Analysis I - Mathematik, TU Dortmund

21.10.2013
Übungsblatt 2
Übungen zur Vorlesung
Analysis I
Wintersemester 2013/14
Prof. Dr. B. Schweizer
Dr. M. Heida
1) Summen- und Produktformel (2P je Teilaufgabe).
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion für natürliche Zahlen n:
a)
n
X
1
1
1
k 3 = n4 + n3 + n2 ,
4
2
4
k=1
b)
n
Y
k
(1 + q 2 ) =
n+1
1−q 2
1−q
für q 6= 1
k=0
2) R als metrischer Raum (2P je Teilaufgabe).
Sei E eine beliebige Menge und d : E × E → R eine Abbildung, die für beliebige x, y, z ∈ E
erfüllt:
1. d(x, x) = 0 und d(x, y) > 0 für x 6= y
2. d(x, y) = d(y, x)
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Eine solche Funktion d nennen wir eine Metrik auf E und (E, d) einen metrischen Raum.
Zeigen Sie:
a) d : R × R → R, (x, y) 7→ |x − y| ist eine Metrik auf R.
b) |x − y| ≥ ||x| − |y|| und |xy| = |x||y|.
3) Schranken, maximale Elemente und Suprema. (4P)
Wir betrachten die folgenden Mengen:
A1 = {1 −
1
n
| n = 1, 2, · · · } und A2 = { pq ∈ Q | p2 ≤ 2q 2 , p, q > 0}.
1. Geben Sie für beide Mengen jeweils zwei obere Schranken an. (1P)
2. Besitzen diese Mengen ein maximales Element? (1P)
3. Wie lautet das Supremum von A1 in R? Sei a das Supremum von A2 in R. Zeigen Sie
a2 = 2. (2P)
4) Ein seltsamer Induktionsbeweis. (4P)
Was ist zu dem Nachfolgenden zu sagen?
Behauptung: In einem Hörsaal sind immer nur Männer oder nur Frauen.
Beweis: Wir beweisen per Induktion für jede natürliche Zahl n die Aussage
A(n): Falls n Personen im Hörsaal sind, so sind dies entweder nur Männer oder nur Frauen.
(IA): A(1) ist sicherlich wahr, denn eine Person ist entweder Mann oder Frau.
(IS): Seien n + 1 Personen im Hörsaal. Wir schicken eine Person hinaus, es verbleiben n
Personen. Nach Induktionsvoraussetzung sind diese Personen alle Männer oder alle Frauen.
Um das Geschlecht der hinausgeschickten Person zu überprüfen, lassen wir sie wieder herein
und schicken eine andere Person hinaus. Wieder haben nach Induktionsvoraussetzung alle
das gleiche Geschlecht, also hat die Person, die zuerst draussen war, dasselbe Geschlecht wie
die anderen. q.e.d.
Die folgenden Aufgaben sind für die Übungen am 7.11.2013 bzw. 8.11.2013 als Präsenzübungen vorzubereiten.
P 1) Mengen und Abbildungen I.
Sei f : X → Y eine Abbildung, A, B ⊂ X; A′ , B ′ ⊂ Y beliebige Mengen. Beweisen Sie:
a) f (A ∩ B) ⊂ (f (A) ∩ f (B))
b) f −1 (A′ ∩ B ′ ) = f −1 (A′ ) ∩ f −1 (B ′ ).
P 2) Mengen und Abbildungen II.
Wir betrachten Funktionen f : M → B für Mengen M und B. Zeigen Sie:
a) Es gibt M, B und f : M → B so dass f (f −1 (B)) 6= B.
b) Es gibt M, B und A ⊆ M und f : M → B so dass f −1 (f (A)) 6= A.
P 3) Schranken, minimale Elemente und Infima.
Betrachten Sie die Mengen M1 := N, M2 := Z und M3 := {x ∈ Q : x > 0}.
a) Welche der Mengen M1 , M2 , M3 besitzen ein minimales Element? Geben Sie die minimalen Elemente gegebenenfalls an.
b) Welche der Mengen M1 , M2 , M3 besitzen eine untere Schranke? Geben Sie gegebenenfalls eine untere Schranke an.
b) Welche der Mengen M1 , M2 , M3 besitzen eine größte untere Schranke (Infimum)? Geben
Sie diese größte untere Schranke gegebenenfalls an.
Abgabe am 4.11.2013 um 14:00 in den Briefksten im Foyer Audimax / Mathetower.
Aktuelle Übungsblätter finden Sie auf der Homepage.