Höhere Analysis (SS 2017) — Blatt 2

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. Jochen Schmid, Jonas Brinker
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung: 29. April 2017
Höhere Analysis (SS 2017) — Blatt 2
Die Mathematik gehört zu jenen Äußerungen menschlichen Verstandes, die am wenigsten von
Klima, Sprache oder Tradition abhängen.
— Ilja Ehrenburg
Kernaufgaben zur Abgabe in der Übung am 29. April 2017:
2.1. Sei D ⊂ R2 offen und f : D → R2 : (x, y) 7→ (f1 (x, y), f2 (x, y))T eine Abbildung. Wir definieren
e → C durch D
e := {x + iy | (x, y) ∈ D}
eine entsprechende komplexwertige Abbildung fe: D
−1
e
e
und f (x + iy) := f1 (x, y) + if2 (x, y). D.h. f (z) = T ◦ f ◦ T (z), wenn T : R2 → C durch
T (x, y) = x + iy definiert ist.
(a) Sei nun f in (x0 , y0 ) ∈ D differenzierbar, sei z0 = x0 + iy0 und z = x + iy. Zeigen Sie, dass
∂ fe(z0 )
∂ fe(z0 )
x − x0
T Jf (x0 , y0 ) ·
=
(z − z0 ) +
(z̄ − z̄0 )
y − y0
∂z
∂ z̄
für die Jakobimatrix Jf (x0 , y0 ) and der Stelle (x0 , y0 ) und alle (x, y) ∈ R2 gilt.
(b) Zeigen Sie, dass f genau dann in (x0 , y0 ) ∈ D differenzierbar ist, wenn es in z = z0 stetige
e → C gibt, so dass
Abbildungen A, B : D
fe(z) = fe(z0 ) + A(z)(z − z0 ) + B(z)(z̄ − z̄0 )
e
für alle z ∈ D.
2.2. Sei D ⊂ C eine offene Menge und Q ⊂ D ein für den Satz von Green zulässiges Gebiet. Der
Rand ∂Q von Q sei die Spur einer einfach geschlossenen C 1 -Kurve γ : [0, 1] → C. Beweisen Sie,
dass
Z1
Z
f (z)dz :=
γ
f (γ(t))γ̇(t)dt = 0
0
für jede analytische Funktion f : D → C mit stetiger Ableitung.
2.3. (a) Sei G ⊂ C ein Gebiet und f : G → C eine analytische Funktion mit f 0 (z) = 1/z. Beweisen
Sie, dass f + c, mit geeigneter Konstante c, ein Zweig des Logarithmus ist.
(b) Berechnen Sie ii und i (1 − i)(1+i) bezüglich des Hauptzweiges des Logarithmus.
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Dr. Jochen Schmid, Jonas Brinker
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Übung: 29. April 2017
2.4. (a) Es sei die offene Menge D ⊂ C und eine analytische Funktion f : D → C gegeben. Beweisen
Sie für alle a, b ∈ D mit a 6= b und [a, b] := {a + t(b − a) | t ∈ [0, 1]} ⊂ D die Ungleichung
|f (b) − f (a)| ≤ sup |f 0 (z)| |b − a| .
z∈[a,b]
(b) Finden Sie eine analytische Funktion g : C → C und a, b ∈ C mit a 6= b, so dass
g(b) − g(a) 6= g 0 (z)(b − a)
für alle z ∈ [a, b].
Weitere Aufgaben:
2.5. Es sei S2 := {(z, t) ∈ C × R | |z|2 + t2 = 1}, Ĉ := C ∪ {∞} und p : S2 → Ĉ die stereografische
Projektion mit
(
z
, für t 6= 1
p(z, t) := 1−t
.
∞ , für t = 1
(a) Zeigen Sie, dass (0, 1), (w, t) und (p(w, t), 0) für (w, t) 6= (0, 1) auf einer Gerade liegen.
(b) Beweisen Sie die Bijektivität von p, sowie
(
p
−1
(z) =
2
2z
, |z| −1
|z|2 +1 |z|2 +1
,
für z 6= ∞
für z = ∞ .
(0, 1) ,
(c) Zeigen Sie, dass d(z, w) := |p−1 (z) − p−1 (w)| eine Metrik auf Ĉ definiert. Beweisen Sie
anschließend, dass für eine Folge (zn ) ⊂ C und z ∈ C
d(zn , z) → 0 ,
(n → ∞)
⇔
|z − z0 | → 0 ,
und Ĉ mit der durch d induzierten Topologie kompakt ist.
(n → ∞)