5. ¨Ubungswoche

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5. Übungswoche
Kapitel 5: Diskrete Verteilungen (Fortsetzung)
[ 6 ] In der Klausur zur Vorlesung Fortgeschrittene Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
im Februar 2009 waren von 24 Studierenden zwei Linkshänder. Laut einem Eintrag bei Wikipedia
beträgt der Anteil π der Linkshänder in der Bevölkerung 10 bis 15%. Beantworten Sie alle folgenden
Fragen jeweils für π = 0.10 und π = 0.15.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen genau 2 Linkshänder anzutreffen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen höchstens 2
Linkshänder anzutreffen?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen mindestens 2
Linkshänder anzutreffen?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit unter 24 zufällig ausgewählten Personen mehr als 2
Linkshänder anzutreffen?
[ 7 ] Betrachten Sie ein ,,Lottospiel 3 aus 9”. Sie kreuzen auf einem Spielschein drei der Zahlen
1, 2, . . . , 9 an. Die Lottomaschine zieht dann zufällig drei aus diesen 9 Zahlen.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Zufallsvariabel Anzahl der Richtigen.
b) Geben Sie den Namen der Verteilung und die Parameter an.
c) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion.
d) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion graphisch dar.
e) Wo ungefähr liegt der Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsfunktion und somit der Erwartungswert?
f) Berechnen Sie den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
g) Mit welchen R-Befehlen können Sie die Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion berechnen?
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[ 8 ] In Beispiel 1.7 (siehe auch Kap. 6) wurde für die Zeit X zwischen zwei starken Erdbeben
als Modell eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0.04 verwendet. Dabei wurde die
Zeit in Tagen gemessen. Die Anzahl der starken Erdbeben in t Tagen ist dann poissonverteilt mit
dem Parameter λ · t. Sei Nt die Anzahl der starken Erdbeben in t Tagen.
a) Geben Sie den Parameter, den Erwartungswert und die Varianz von Nt für t = 7 und für
t = 14 Tage an.
b) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
t
λ·t
P (Nt = 0)
P (Nt = 1)
P (Nt = 2)
P (Nt = 3)
7
14
c) Stellen Sie die zwei in b) berechneten Wahrscheinlichkeitsfunktionen (nebeneinander) graphisch dar.
d) Berechnen Sie die folgenden Werte der Verteilungsfunktionen:
t
λ·t
P (Nt ≤ 0)
P (Nt ≤ 1)
P (Nt ≤ 2)
P (Nt ≤ 3)
P (Nt > 2)
P (Nt ≥ 3)
7
14
e) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
t
λ·t
P (Nt > 1)
P (Nt ≥ 1)
7
t
14
λ·t
P (1 ≤ Nt ≤ 3)
P (1 ≤ Nt < 3)
P (1 < Nt ≤ 3)
P (1 < Nt < 3)
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[ 9 ] Hypergeometrische Verteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ h(20, 20, 10)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Die hypergeometrische Verteilung hat drei Parameter Ne , Nm und n.
(
)
c) Eine hypergeometrische Zufallsvariable kann als Anzahl der Erfolge bei n Ziehungen (
ohne Zurücklegen aus einer Grundgesamtheit mit Ne Erfolgen und Nm Misserfolgen
aufgefasst werden.
)
d) Der Parameter n darf nicht größer als Ne + Nm sein.
(
)
e) Für eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable gilt stets X < Ne .
(
)
f) Die hypergeometrische Verteilung h(Ne , Nm , n) kann unter gewissen Voraussetzungen (
durch eine Binomialverteilung mit den Parametern n und Nm /(Ne + Nm ) approximiert
werden.
)
g) Die hypergeometrische Verteilung hat wie die Binomialverteilung zwei Parameter.
(
)
h) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, so ist die (
Anzahl der roten Kugeln hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n = 4, Ne =
3, Nm = 7.
)
i) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, kann die (
Anzahl der roten Kugeln in der Stichprobe nur die Werte 1, 2, 3 annehmen.
)
j) Ziehe ich 4 Kugeln aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen drei rot sind, ist der (
Parameter Nm = 1, da ich immer eine Kugel ziehen werde, die nicht rot ist, d.h. ich
habe immer einen Mißerfolg.
)
k) Es gibt keinen Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der hypergeome- (
trischen Verteilung.
)
l) Statt der hypergeometrischen Verteilung kann stets auch die Binomialverteilung ver- (
wendet werden.
)
[ 10 ] Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Eine Grundgesamtheit bestehe aus Ne Erfolgen und Nm Misserfolgen. Es werde n-mal aus dieser
Grundgesamtheit gezogen.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Wird mit Zurücklegen gezogen, so ist die Anzahl der Erfolge exakt binomialverteilt mit (
den Parametern n und π = Nm /(Ne + Nm ).
)
b) Es werde mit Zurücklegen gezogen, es sei Ne = Nm und n sehr groß. Dann ist die (
Anzahl der Erfolge annähernd N (n/2, n/4)-verteilt.
)
c) Wird ohne Zurücklegen gezogen, so ist die Anzahl der Erfolge exakt hypergeometrisch (
verteilt.
)
d) Unabhängig von den Werten der Parameter Ne und Nm ist die hypergeometrische (
Verteilung immer gut durch eine Binomialverteilung zu approximieren, wenn nur n
groß genug ist.
)
e) Sind die Voraussetzungen für eine Approximation der hypergeometrischen Verteilung (
durch die Binomialverteilung erfüllt, so gilt π = Ne /(Ne + Nm ).
)
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[ 11 ] Poissonverteilung
Die folgenden Aussagen beziehen sich auf eine poissonverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter
λ.
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ist X ∼ Po(10)-verteilt, so kann X nur die Werte 0, 1, 2, . . . , 10 annehmen.
(
)
b) Für eine poissonverteilte Zufallsvariable gilt E(X) = Var(X).
(
)
c) Mit wachsendem Wert des Parameters λ wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Pois- (
sonverteilung breiter und flacher.
)
d) Die möglichen Werte einer poissonverteilten Zufallsvariable X sind 1, 2, 3 . . ..
(
)
e) P (0) = P (X = 0) = e−λ > 0 für alle λ > 0.
(
)
f) Für großes λ ähnelt die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Dichtefunktion einer Normal- (
verteilung.
)
g) Es gilt E(X) = λ und Var(X) = λ2 .
(
)
h) Die Poissonverteilung hat einen Parameter λ, wobei λ = 1/E(X) gilt.
(
)
i) Die Poissonverteilung ist symmetrisch um den Parameter λ.
(
)
j) Die Poissonverteilung kann für große λ durch eine Binomialverteilung approximiert (
werden.
)
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Kapitel 6: Stetige Verteilungen
[ 1 ] In Beispiel 1.7 (siehe auch Kap. 6) wurde für die Zeit X zwischen zwei starken Erdbeben
als Modell eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0.04 verwendet.
a) Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz von X an.
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeiten, dass die Zeit zwischen
zwei starken Erdbeben
i) kleiner als 25, 50 bzw. 75 Tage,
ii) größer als 60, 90 bzw. 120 Tage,
iii) größer als 25 und kleiner als 50 Tage ist.
c) Geben Sie die Verteilungsfunktion an und berechnen Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten
mit Hilfe der Verteilungsfunktion.
d) Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zeit zwischen zwei starken Erdbeben größer als t ist und berechnen Sie diese Wahrscheinlichkeiten für t = 30, 60, 100, 200
und 365.
e) Wie kann man die obigen Wahrscheinlichkeiten mit R berechnen?
[ 2 ] Rechteckverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Der Erwartungswert einer Rechteckverteilung im Intervall [a, b] ist genau die Mitte des (
Intervalls [a, b].
)
b) Auch die Varianz einer Rechteckverteilung im Intervall [a, b] liegt im Intervall [a, b].
(
)
c) Es gibt nur drei stetige Verteilungen: die Rechteckverteilung, die Exponentialverteilung (
und die Normalverteilung.
)
d) Die Rechteckverteilung hat zwei Parameter a und b und das Intervall [a, b] ist der (
Bereich der möglichen Werte.
)
e) Die Verteilungsfunktion einer rechteckverteilten Zufallsvariablen mit den Parametern (
a und b ist im Intervall [a, b] eine Gerade mit der Steigung 1/(b − a).
)
f) Die Dichtefunktion der Rechteckverteilung mit Werten im Intervall [a, b] ist über diesem (
Intervall eine waagerechte Gerade y = b−a, d.h. die Dichtefunktion bildet ein Rechteck
über [a, b] mit der Höhe b − a.
)
g) Für die Rechteckverteilung im Intervall (a,b) gilt: Je größer die Länge des Intervalls, (
desto kleiner ist die Varianz.
)
h) Die Rechteckverteilung verdankt ihren Namen dem Graphen ihrer Verteilungsfunktion. (
)
i) Der Graph der Rechteckverteilungsfunktion ist linear.
(
)
j) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine U (a, b)-verteilte ZV in [a1 , b1 ] ⊂ [a, b] fällt, hängt nur (
von der Länge, nicht von der Lage des Intervalls [a1 , b1 ] ab.
)
k) Man spricht von einer Rechteckverteilung, wenn zwei Zufallsvariablen X und Y nur (
Werte in einem Rechteck annehmen können.
)
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[ 3 ] Exponentialverteilung
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Verteilungsfunktion einer Exponentialfunktion ist für x > 0 streng monoton stei- (
gend.
)
b) Ist X exponentialverteilt, so gilt P (X ∈ [0, 1]) > P (X ∈ [a, a + 1]) für alle a > 0, da (
die Dichte streng monoton fallend ist und die entsprechenden Flächen kleiner werden.
)
c) Ist X exponentialverteilt mit dem Parameter λ, so gilt P (X = 0) = fX (0) = λ · e−λ·0 = (
λ.
)
d) Ist X exponentialverteilt mit dem Parameter λ = 1, so gilt F (t) = e−t .
(
)
e) Die Dichtefunktion der Exponentialverteilung ist für x ≥ 0 eine streng monoton fallende (
Funktion mit f (0) = λ.
)
f) Ist X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit dem Parameter λ > 0, so gilt immer: (
P (X ∈ [0, 1]) > P (X ∈ [1, 2]).
)
g) Für die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X mit dem (
Parameter λ > 0 gilt: F (t) = 1 − e−λt für −∞ < t < ∞.
)
h) Für eine exponentialverteilte Zufallsvariable X mit dem Parameter λ > 0 gilt immer: (
E(X) = Var(X) = 1/λ.
)
i) Für die Exponentialverteilung mit dem Parameter λ gilt, je größer der Erwartungswert, (
desto größer ist die Varianz.
)
j) Eine exponentialverteilte Zufallsvariable nimmt nur Werte kleiner als λ an.
(
)
k) Die Exponentialverteilung tritt häufig im Zusammenhang mit einem Poisson-Prozess (
auf.
)
l) Bei einem Poisson-Prozess sind die Zeiten bis zum Eintritt eines Ereignisses exponen- (
tialverteilt.
)