Klausur Numerische Methoden II

Klausur Numerische Methoden II
Universität Siegen, Fachbereich Maschinenbau, 29.09.2009
Aufgabe 1
Zum Ende der Semesterferien macht sich ein Student Gedanken zu seinem nächsten Urlaub.
Er würde am liebsten nach Griechenland reisen und dort die Sonne genießen. Um eine
grobe Vorstellung von den Temperaturen in Griechenland zu bekommen, sucht er eine
Temperaturübersicht für das ganze Jahr im Internet heraus. Doch für sein Lieblingsreiseziel
Athen bekommt er nur die folgende Tabelle zu sehen:
Monat
T [◦ C]
1
2
Jan Feb
13
3
4
März Apr
16
5
Mai
6
Juni
30
7
Juli
8
Aug
9
Sept
10
Okt
23
11
12
Nov Dez
Die Temperaturen geben dabei die durchschnittliche Temperatur des jeweiligen Monats an.
Durch einen Fehler bei der Darstellung sind lediglich nur 4 von 12 Monaten mit Temperaturen abgebildet. Die Temperaturen sind jeweils am 15. des Monats registriert worden.
Leider ist gerade der Monat August nicht in der Tabelle vorhanden und er wollte doch
so gerne in diesem Monat nach Athen fliegen. Nach kurzer Überlegung kommt er auf die
Idee sich durch eine Polynominterplation ein Bild von dem gesamten Temperaturverlauf
zu machen.
a) Berechnen sie das genäherte Polynom unter Zuhilfenahme der Newtonschen Form und
sämtlicher verfügbarer Stützstellen!
Die Newtonsche Form lautet:
Pn (x) =
n
X
ci ni (x)
(1)
i=0
mit den Stützpolynomen:
ni (x) = (x − x0 ) (x − x1 ) . . . (x − xi−1 ) ∀ i = 0, 1, . . . , n
(2)
Für diese Aufgabe folgt somit:
P3 (x) =
3
X
ci ni (x)
(3)
i=0
mit:
n0 = 1
n1 = (x − x0 )
n2 = (x − x0 ) (x − x1 )
n3 = (x − x0 ) (x − x1 ) (x − x2 )
Die Bestimmung der Interpolationskonstanten
gungen:
=1
= (x − 1)
(4)
= (x − 1) (x − 3)
= (x − 1) (x − 3) (x − 6)
ci erfolgt durch die Interpolationsbedin-
P3 (1) = c0
P3 (3) = c0 + c1 (3 − 1)
P3 (6) = c0 + c1 (6 − 1) + c2 (6 − 1) (6 − 3)
P3 (10) = c0 + c1 (10 − 1) + c2 (10 − 1) (10 − 3) + c3 (10 − 1) (10 − 3) (10 − 6)
= 13
= 16
= 30
= 23
(5)
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Lösen der Gleichungssysteme ergibt:
c0 = 13
16 − 13
c1 =
2
30 − 13 − 1, 5 · 5
c2 =
15
23 − 13 − 1, 5 · 9 − 0, 6333 · 63
c3 =
9·7·4
Somit folgt das Polynom zu:
= 1, 5
(6)
= 0, 6333
= −0, 1722
P3 (x) = c0 n0 (x) + c1 n1 (x) + c2 n2 (x) + c3 n3 (x)
= 13 · 1 + 1, 5 (x − 1) + 0, 6333 (x − 1) (x − 3) − 0, 1722 (x − 1) (x − 3) (x − 6)
= 13 + 1, 5 x − 1, 5 + 0, 6333 (x2 − 4 x + 3) − 0, 1722 (x3 − 10 x2 + 27 x − 18)
= −0, 1722 x3 + 2, 3553 x2 − 5, 6826 x + 16, 4995
(7)
b) Welche Temperatur herrscht in Athen nach der numerischen Berechnung im Monat
August?
Die Temperatur im Monat August (x = 8) kann nun durch das Polynom berechnet
werden:
P3 (8) = −0, 1722 · 83 + 2, 3553 · 82 − 5, 6826 · 8 + 16, 4995 = 33, 6115 [◦C]
(8)
Eine Woche später sieht er noch einmal im Internet nach. Diesmal kann er die Tabelle ganz
einsehen. Im August herrscht eine Temperatur von 28◦ C.
c) Wie groß ist der Fehler, den er bei seiner Berechnung gemacht hat?
|f (8) − P3 (8)| = |28◦C − 33, 6115◦C| = | − 5, 6115◦C| = 5, 6115◦C
40
Interpolation
Internet
30
Temperatur
(9)
20
10
0
−10
−20
2
4
6
Monate
8
10
12
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Aufgabe 2
Der Student interessiert sich nicht nur in seinem Urlaub für Temperaturen. Auch in seiner
Freizeit beschäftigt er sich gerne mit Thermodynamik. Seit längerem stellt er sich die Frage,
wie der Temperaturverlauf aussieht, wenn zwei Stäbe gleichen Materials unterschiedlicher
Temperatur miteinander Wärme austauschen. Dieser Vorgang soll lediglich den Wärmeaustausch untereinander, aber nicht den Wärmeaustausch an die Umgebung berücksichtigen.
Durch die Clausius-Planck Ungleichung in Entropieform, das Fourier Gesetz der Wärmeleitung und die spezielle konstitutive Gleichung folgen die beiden Differentialgleichungen:
κ −1
1
θ̇ =
θ
(10)
1 −1
c0
mit:
θ̇
θ̇ = 1
θ̇2
θ
θ= 1
θ2
(11)
und
Dabei sind die Temperaturen der Stäbe θ1 , θ2 , der Wärmeleitkoeffizient κ = 300 W
K
J
die Wärmekapazität c0 = 1200 K . Die exakte Lösung ist von den Anfangstemperaturen
θ10 = 380 K und θ20 = 310 K abhängig. Es folgt die exakte Lösung:
1 −2 cκ t
1
e 0
+ 0, 5 z0
θ = 0, 5 w0
(12)
−1
1
mit w0 = θ10 + θ20 und z0 = θ10 − θ20 .
a) Berechnen Sie die ersten drei Schritte der numerischen Lösung des Temperaturverlaufes
mit dem Heunverfahren (Zeitschrittweite h = 0, 5 s)!
Das Heunverfahren lautet:
y n+1 = y n +
h
[f (xn , y n ) + f (xn , y n + h f (xn , y n ))]
2
(13)
Für dies Aufgabe folgt:
κ −1
κ −1
0, 5 κ −1
1
1
1
θ +
θ n + 0, 5
θ
θ n+1 = θ n +
1 −1 n c0
1 −1
1 −1 n
2
c0
c0
1
κ −1
κ2
1 −1
1
θ
= θn +
2
θ +
1 n
1 −1 n c20 −1
4
c0
"
#
2
1 κ
1 κ2
1 − 21 cκ0 + 41 κc2
−
2
2 c0
4 c0
0
=
θn
1 κ
1 κ2
1 κ2
1 κ
−
+
1
−
2
2 c0
4 c0
2 c0
4 c20
0, 8906 0, 1094
=
θ
0, 1094 0, 8906 n
(14)
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Für den ersten Schritt folgt:
0, 8906 0, 1094
θ1 =
0, 1094 0, 8906
0, 8906 0, 1094
=
0, 1094 0, 8906
372, 3420
=
317, 6580
θ0
380
310
(15)
Für den zweiten Schritt:
0, 8906 0, 1094 372, 3420
θ2 =
0, 1094 0, 8906 317, 6580
366, 3596
=
323, 6404
Und für den dritten:
(16)
(17)
0, 8906 0, 1094 366, 3596
θ3 =
0, 1094 0, 8906 323, 6404
361, 6861
=
328, 3139
θ1
θ2
θ1 exakt
θ2 exakt
380
370
Temperatur
360
350
340
330
320
310
0
1
2
3
4
5
Zeit
b) Ist das Heunverfahren explizit oder implizit? Begründen Sie!
Das Heunverfahren ist explizit, da das neu zu berechnende θ n+1 nur von den Werten
θ n aus dem vorherigen Schritt abhängt!
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c) Berechnen Sie den globalen Fehler jeder einzelnen Komponente des Vektors θ!
Der globale Fehler wird wie folgt berechnet:
gn = |y(xn ) − yn |
(18)
g31 = |θ1 (t = 1, 5) − θ31 |
g32 = |θ2 (t = 1, 5) − θ32 |
(19)
Für diese Aufgabe folgt:
Laut Aufgabenstellung lautete die exakte Lösung:
300
1 −2 1200
1
361, 5328
1,5
e
+ 0, 5 (380 − 310)
θ(1, 5) = 0, 5 (380 + 310)
(20)
=
−1
1
328, 4672
Somit folgt der globale Fehler für jede einzelne Komponente zu:
g31 = |361, 5328 − 361, 6861| = 0, 1533
g32 = |328, 4672 − 328, 3139| = 0, 1533
(21)
Aufgabe 3
Ein weiteres Interessengebiet des Studenten ist die Mathematik. Sein Problem ist jedoch die
Differenziation. Bei komplizierteren Ableitungen ist er sich nie sicher, ob seine Ergebnisse
stimmen. Deshalb versucht er seine Ergebnisse an einigen Stützstellen mit der numerischen
Lösung zu vergleichen. Die zu differenzierende Funktion lautet:
f (x) =
1 − x2
x4 − ln(x)
(22)
Er möchte die Ableitung mit Hilfe der numerischen Differenzenformeln herleiten. Berechnen
Sie die Ableitung der Funktion an den Stellen x = [1, 2, 3] mit dem
a) Rückwärtsdifferenzenquotienten,
Der Rückwärtsdifferenzenquotient lautet:
δ− f (x̄) =
f (x̄) − f (x̄ − h)
= 10 (f (x̄) − f (x̄ − 0, 1))
h
(23)
Für die angegebenen Stützstellen folgt:
x = 1:
δ− f (1) = 10 (f (1) − f (0, 9)) = 10 (0 − 0, 2495) = −2, 495
(24)
δ− f (2) = 10 (f (2) − f (1, 9)) = 10 (−0, 196 + 0, 2106) = 0, 146
(25)
δ− f (3) = 10 (f (3) − f (2, 9)) = 10 (−0, 1001 + 0, 1064) = 0, 063
(26)
x = 2:
x = 3:
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b) zentraler Differenzenquotienten.
Der zentrale Differenzenquotient lautet:
δf (x̄) =
f (x̄ + h) − f (x̄ − h)
= 5 (f (x̄ + 0, 1) − f (x̄ − 0, 1))
2h
Für die angegebenen Stützstellen folgt:
x = 1:
δf (1) = 20 (f (1, 1) − f (0, 9)) = 5 (−0, 1534 − 0, 2495) = −2, 0145
(27)
(28)
x = 2:
δf (2) = 20 (f (2, 1) − f (1, 9)) = 5 (−0, 1823 + 0, 2106) = 0, 1415
(29)
δf (3) = 20 (f (3, 1) − f (2, 9)) = 5 (−0, 0944 + 0, 1064) = 0, 06
(30)
x = 3:
Die Schrittweite soll dabei jeweils h = 0.1 sein.
Aufgabe 4
Als Übung möchte der Student zum Schluss von der Funktion aus Aufgabe 3 die numerische
Integration bilden. Das betrachtete Intervall ist x ∈ [1, 10].
a) Verwenden Sie für die numerische Integration die Gaußsche Quadraturformel mit drei
Stützstellen!
Das Integral lautet:
I=
Z10
1 − x2
dx
x4 − ln(x)
(31)
1
Zunächst müssen die Integrationsgrenzen x ∈ [a, b] in x̄ ∈ [−1, 1] überführt werden.
Dies funktioniert über den Zusammenhang:
b−a
1
(a + b) +
x̄
2
2
10 − 1
1
x̄
= (1 + 10) +
2
2
= 5, 5 + 4, 5 x̄
x=
(32)
aus dieser Transformation folgt:
dx
= 4, 5
d x̄
⇒ d x = 4, 5 d x̄
(33)
Somit folgt für das Integral:
I = 4, 5
Z1
−1
1 − (5, 5 + 4, 5 x̄)2
d x̄
(5, 5 + 4, 5 x̄)4 − ln(5, 5 + 4, 5 x̄)
(34)
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Die zu betrachtende Funktion f¯ ist nun:
f¯(x̄) = 4, 5
1 − (5, 5 + 4, 5 x̄)2
(5, 5 + 4, 5 x̄)4 − ln(5, 5 + 4, 5 x̄)
(35)
Die Gaußsche Quadraturformel lautet:
r !
r !
5
8
5
3
3
Q2 (f¯) = f¯ −
+ f¯(0) + f¯
9
5
9
9
5
5
8
5
(−0, 0551) + (−0, 1441) + (−0, 8729)
9
9
9
= −0, 6436
=
(36)
b) Welchen Genauigkeitsgrad m hat die Gaußsche Quadraturformel mit drei Stützstellen?
Was bedeutet dies für die obige Funktion?
Der Genauigkeitsgrad ist m = 5. Die Funktion wird nicht exakt integriert!
c) Wie viele Stützstellen benötigt man, um die Funktion exakt zu integrieren?
Unendlich viele!
0
−0.05
f (x)
−0.1
−0.15
−0.2
−0.25
−0.3
−0.35
2
4
6
x
8
10