Schemata zur Manipulation von Bose

Schemata zur Manipulation von
Bose-Einstein Kondensaten mit Laserlicht
(Schemes for manipulation of Bose-Einstein condensates with laser light)
Mathis Baumert
Diplomarbeit
Institut für Laser-Physik
Universität Hamburg
Hamburg, September 2008
Referenten
Referent:
Prof. Dr. Klaus Sengstock
Koreferent:
Prof. Dr. Werner Neuhauser
Universität Hamburg
Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften
Department Physik
Institut für Laser-Physik
Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Diplomarbeit selbstständig und nur unter Zuhilfenahme der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst zu haben.
Mit einer Ausleihe dieser Arbeit erkläre ich mich einverstanden.
Mathis Baumert
Hamburg, September 2008
Abstract
Since the first observation of Bose-Einstein condensation in 1995 this field of research has
evolved into a very important field of physics. A Bose-Einstein condensate is a sample of
ultra-cold atoms with special quantum mechanical properties. The spinor-BEC-project
in Hamburg has investigated a multitude of phenomena, e.g. complex spin and soliton
dynamics and strongly correlated systems in optical lattices.
In the course of this thesis new methods to manipulate BECs have been studied and
applied. Using liquid crystal displays as spatial-light modulators holographic techniques
can be employed to project arbitrary potentials onto BECs which has been used e.g. for
the generation of long-lived solitons. The resulting algorithms are investigated in detail
and will be discussed critically.
In the second part of this thesis a Bragg-laser system has been set up for detection of velocity distributions. This technique is well known, but has been enhanced to be sensitive
to the magnetic state of the BEC. This technique allows for an interesting investigation
of ultracold gases in optical lattices which bear various similarities to solid state physics.
Limitations of these similarites will be discussed as well. At last, the feasibility of a solid
state simulator will be discussed with the latest results being presented.
Zusammenfassung
Das Gebiet der Bose-Einstein Kondensation (BEC) hat sich in den letzten Jahren zu einem besonders interessanten Feld der Physik entwickelt. Im Rahmen dieser Diplomarbeit
wurden Methoden zur gezielten Manipulation von BECs durch nahezu beliebige optische Potential-Strukturen untersucht. Hierfür wurden erfolgreich Computer-Algorithmen
generiert, deren berechnete Hologramme im Experiment qualitativ reproduziert werden konnten. Es wurden verschiedenste Berechnungstechniken eingesetzt, die jedoch die
Qualität der Hologramme nicht steigern konnten. Weiterhin wurden erfolgreich holographische Bessel-Strahlen erzeugt die durch eine neu entwickelte Auswertetechnik mit
einer Sub-µm Auflösung aufgenommen werden konnten. In aufwändigen Untersuchungen
konnte jedoch gezeigt werden, dass diese holographischen Verfahren unter realistischen
Bedingungen starken Einschränkungen unterliegen. Daher scheint ein Einsatz dieser Verfahren in einem Quantenoptik Experiment mit SLMs nur bedingt geeignet.
Als Basis für eine weitere sehr interessante Möglichkeit zur Manipulation von BECs
wurde erfolgreich ein Bragg-Laser aufgebaut. Dieses eignet sich zur kohärenten Analyse
von Geschwindigkeitsverteilungen in BECs und Eigenschaften der Bandstruktur eines
optischen Gitters. Hierfür wurde in einem neuartigen Aufbau sowohl der Bragg-, als
auch der Raman-Laser auf eine gemeinsame Cavity gelockt. Für die gemeinsame Nutzung
der beiden Lasersysteme kann hierdurch ein Drift der beiden Lasersysteme zueinander
ausgeschlossen werden, was zu besondern Kohärenzeigenschaften und Stabilität führt.
Das Bragg-Laser System konnte erfolgreich an BECs in gekreuzten Dipolfallen getestet werden. Für die Bragg-Spektroskopie wurde weiterhin die Ausnutzung des ZeemanEffektes untersucht um eine neue Klasse von Bragg-Experimenten durchführen zu können.
Hierfür wurde die Theorie zur Berechnung aller möglichen Übergänge erarbeitet.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
i
1 Einleitung
1
2 Grundlagen der Bose-Einstein Kondensation
2.1 Bose-Einstein Kondensate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Manipulation in optischen Potentialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Mehrkomponentige Bose-Einstein Kondensate . . . . . . . . . . . .
3
3
4
6
3 Räumlich aufgelöste optische Potentiale für die Manipulation in
3.1 Räumliche Licht-Modulatoren (SLMs) . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 holographische Methoden zur Manipulation von BECs . . . . . . .
3.2.1 Grundlagen der Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Fresnel-Hologramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Sampling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Fraunhofer Hologramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Fourier-Transform-Hologramm . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Theoretische Grenzen der Holographie . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Berechnung von Hologrammen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.8 Ergebnisse der Holographie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.9 Probleme der digitalen Holographie . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Bessel-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Gauss Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
BECs
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11
12
13
17
17
19
21
21
24
24
27
29
29
30
3.3.2 Bessel-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Holographische Bessel Strahlen . . . . . . .
3.3.4 Realisierung und Messung . . . . . . . . . .
3.3.5 Faltung und Dekonvolution . . . . . . . . .
3.3.6 Ergebnisse der Analyse von Bessel Strahlen
Zustandspräparation von BECs mit SLMs . . . . .
3.4.1 Dunkle Solitonen . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Helle Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Hell-Dunkle Solitonen . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Experimentelle Realisierung von Solitonen .
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31
32
33
35
37
38
39
40
40
41
4 Stark Korrelierte Systeme
4.1 Optische Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Bose-Hubbard Modell . . . . . . . . . . . .
4.2 Stimulierter Raman-Prozess . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bragg Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Magnetische Bragg-Spektroskopie . . . . . .
4.4 Bragg Lasersytem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Frequenzanalyse der Braggstrahlen . . . . .
4.5 Experimentelle Ergebnisse der Bragg-Spektroskopie
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47
48
51
52
53
55
62
65
67
3.4
Anhang
73
A Raman Lasersystem
73
B Band-Struktur im Gitter
77
Literaturverzeichnis
85
Danksagung
89
ii
Kapitel
1
Einleitung
Seit der ersten Erzeugung von Bose-Einstein Kondensaten (BECs) im Jahre 1995 [1, 2],
ist ein regelrechter Boom in diesem Gebiet entstanden. Es konnte schnell gezeigt werden,
dass hierdurch erstmals makroskopische Ein-Teilchen Materiewellenfunktionen erzeugt
werden konnten, die einen tiefen Einblick in die Welt der Quantenmechanik erlauben.
Wichtige Eigenschaften von Wellenfunktionen wie Interferenz wurden bereits wenige
Jahre später nachgewiesen [3].
In den vergangenen Jahren wurden verschiedene Techniken entwickelt, um BECs gezielt
manipulieren zu können. Hierbei wurde bereits 1998 das erste Mal eine Technik entwickelt, mit der es möglich war, ortsaufgelöst die Phase eines Kondensats verändern zu
können [4]. Dies wurde durch Projektion eines sich über das BEC hinweg ändernden
Potentials gewährleistet, was zur Ausbildung von Solitonen geführt hat.
Wurde in diesen Pionierexperimenten noch die Kante einer Rasierklinge auf das Kondensat abgebildet, so wurde in dem Hamburger Spinor-Projekt ein wesentlich flexiblerer
Ansatz gewählt. In diesem System wurden spezielle Displays abgebildet, auf die eine
Kante projeziert war [5, 6]. Der Erfolg der 1998 gemachten Experimente konnte hierbei
noch übertroffen werden.
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden weitergehende Untersuchungen angestellt, um
über die für die Solitonen verwendete Technik hinaus verschiedene Schemata zur allgemeinen Manipulation von BECs zu entwickeln.
Hierfür wurden insbesondere holographische Methoden erforscht. Zusätzlich zur Technik des Phasenaufprägens, die für die Erzeugung der Solitonen nötig ist, lässt sich die
Holographie auch zur Erzeugung beliebiger Potentiale einsetzen. Um ein besonders interessantes Potential handelt es sich z.B. bei nicht divergenten Bessel-Strahlen. Im Rahmen
dieser Arbeit sind holographische Bessel-Strahlen realisiert worden mit der Option, sie
1
KAPITEL 1. EINLEITUNG
als lineare Dipolfalle einzusetzen. Die zugrundeliegenden Algorithmen werden in dieser
Arbeit vorgestellt und diskutiert.
Anfang des neuen Jahrtausends ist ein großer Durchbruch gelungen, als es zum ersten
Mal geglückt ist, mittels der Dipolkräfte einen optischen Kristall, ein sogenanntes optisches Gitter für BECs zu realisieren [7]. Hierdurch war es zum ersten Mal möglich ein
Festkörper-Gitter ohne Verunreinigungen in einem optischen System zu modellieren.
Im Bereich starker Korrelationen ist es dem Spinor-Projekt gelungen, weltweit erstmals ein optisches Dreiecks-Gitter aufzubauen. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde
ein Bragg-Laser-System aufgebaut und charakterisiert. Mit dem Bragg-Laser steht ein
wirksames Mittel zur Verfügung, mit dem verschiedene Eigenschaften dieses optischen
Dreiecksgitters untersucht werden können.
Aufgrund all der interessanten Fragestellungen und Forschungsschwerpunkte werden im
Rahmen dieser Arbeit verschiedene, neuartige Methoden zur Manipulation von BECs
vorgestellt. Hierzu gehören:
• Manipulation mit holographisch erzeugten Potentialen (siehe Kap. 3.2).
• Vorstellung verschiedener Algorithmen für z.B. Fresnel- und Fourier-TransformHologramme (siehe Kap. 3.2.2 und folgende).
• Untersuchung konkreter Probleme, wie z.B. lineare Dipolfallen, die durch holographische Bessel-Strahlen erzeugt werden (siehe Kap. 3.3).
• Konkrete Anwendung neuartiger Techniken zur Erzeugung von Solitonen (siehe
Kap. 3.4).
• Manipulation von BECs in optischen Gittern (siehe Kap. 4.1).
• Bragg-Spektroskopie und die Weiterentwicklung zur magnetischen Bragg-Spektroskopie
(siehe Kap. 4.3 und folgende).
2
Kapitel
2
Grundlagen
der
BoseEinstein Kondensation
2.1
Bose-Einstein Kondensate
Zur Beschreibung von Bose-Einstein Kondensaten (BECs) ist es nötig, die Wechselwirkungen eines solchen Viel-Körper-Systems zu vereinfachen. Dies wird im Rahmen der
Mean-field -Näherung getan. Hierbei wird angenommen, dass die Wechselwirkungen der
Atome eines BECs untereinander durch ein gemitteltes oder effektives Potential dargestellt werden können. Dies führt letztendlich zu der Beschreibung als makroskopische
Wellenfunktion und damit zur Beschreibung als effektives Ein-Teilchen-System.
In Näherung geringer Energien und Dichten, die es erlauben, lediglich 2-Teilchen-Stöße
in s-Wellen-Näherung zu berücksichtigen, wird das System durch einen Hamiltonian in
zweiter Quantisierung beschrieben [8]:
~2 ~ 2
Ĥ =
d ~r Ψ̂ (~r, t) −
∇ + Vext (~r, t) Ψ̂ (~r, t)
2m
Z
g
−
d3~r Ψ̂† (~r, t) Ψ̂† (~r, t) Ψ̂ (~r, t) Ψ̂ (~r, t)
2
Z
3
†
(2.1)
g ist direkt zur s-Wellen Streulänge a1 proportional, während Vext das die Atome einschließende externe Potential beschreibt. Man sieht leicht, dass es sich hierbei um einen
herkömmlichen Hamilton-Operator handelt, der einen zusätzlichen Wechselwirkungsterm enthält. Dieser zusätzliche Term wird durch die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren des quantenmechanischen Feldes beschrieben, die durch Ψ̂† (~r, t)
1
a in Einheiten des bohrschen Atomradius a0 : a ≈ 100 · a0
3
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER BOSE-EINSTEIN KONDENSATION
und Ψ̂ (~r, t) gegeben sind. Um diese Gleichung auf eine Form zu vereinfachen, in der
sie handhabbar wird, werden die Feldoperatoren in Bogoliubov-Näherung betrachtet.
Hierfür wird angenommen, dass die Operatoren durch ihre Erwartungswerte dargestellt
werden können, auf die im Rahmen der Unschärfe lediglich eine kleine Störung wirkt.
Der quantenmechanische Feldoperator wird in Bogoliubov-Näherung somit zu:
ˆ (~r, t)
Ψ̂ (~r, t) = Ψ (~r, t) + δΨ
(2.2)
Mit Hilfe der Heisenberg Gleichung, die die Zeitentwicklung einer Wellenfunktion als
Kommutator mit dem Hamilton-Operator darstellt, kann der Hamiltonian in zweiter
Quantisierung zur sehr einfachen Form der Gross-Pitaevski Gleichung (GPE) umgeformt
werden:
∂
~2 ~ 2
2
i~ Ψ̂ (~r, t) = −
(2.3)
∇ + Vext (~r, t) + g |Ψ (~r, t)| Ψ (~r, t)
∂t
2m
Es handelt sich also offensichtlich um eine herkömmliche Schrödingergleichung, die um
einen nichtlinearen Term ergänzt wurde. Dieser nichtlineare Term ist proportional zur
Teilchendichte n (~r, t) = |Ψ (~r, t)|2 .
2.2
Manipulation in optischen Potentialen
Die ersten Bose-Einstein Kondensate wurden in magnetischen Fallen erzeugt und gespeichert. Dies war eine logische Folge aus der Tatsache, dass die Hinzunahme von
Magnetfeldern überhaupt erst das effektive Einfangen mittels magneto-optischer Fallen (MOT) möglich gemacht hatte. Neben Vorteilen wie einer einfachen Handhabung,
hat diese Technik jedoch auch große Nachteile. Entlang einer Quantisierungsachse, die
mit Einschalten eines Magnetfeldes wie einer Magnetfalle vorgegeben wird, gibt es für
die unterschiedlichen Spinzustände aufgrund der Zeeman-Aufspaltung high-“ und low”
”
field-seeking-states“ [9]. Dementsprechend sind BECs, die in einer solchen Falle erzeugt
werden, Spin-polarisiert.
Weiterhin gibt es die Möglichkeit BECs rein optisch zu halten und sogar auch zu erzeugen [10]. Hierbei handelt es sich um Dipol-Fallen, welche in guter Näherung ein Spinunabhängiges Einfangen der Atome ermöglichen. Die Anwendung der Dipolkräfte als
Dipolfallen und auch als optische Gitter (siehe Kap. 4.1) ist eine wichtige Grundlage der
Experimente die während dieser Diplomarbeit angefertigt wurden. Daher werden die zugrundeliegenden Mechanismen im folgenden vorgestellt. Ein weiterer wichtiger Effekt, ist
die Phasen-Manipulation von Materiewellen. Eine solche Pahsen-Veränderung ist ebenfalls durch Laserlicht möglich und war insbesondere bei der Erzeugung von Solitonen
ausschlaggebend (siehe Kap. 3.4). Daher wird diese Technik ebenfalls vorgestellt.
Die Kräfte einer Dipol-Falle resultieren aus einer quantenmechanischen Betrachtung der
atomaren Zustände in Wechselwirkung mit dem anwesenden Lichtfeld. Sind das Atom
und das Lichtfeld voneinander entkoppelt resultiert dies in getrennten Energiezuständen
die in Abb. 2.1(a) zu sehen sind. Bei schwacher Kopplung kombinieren die HamiltonOperatoren von Atom und Feld, was zu einem geimsamen Energieschema führt (siehe
4
2.2. MANIPULATION IN OPTISCHEN POTENTIALEN
Abb. 2.1(b)). Für eine starke Kopplung entstehen neue Eigenzustände die sich als Superposition der alten Zustände darstellen [11]:
|1, N i = expiφ/2 cos(θ) |e, N i + exp−iφ/2 sin(θ) |g, N + 1i
|2, N i = − expiφ/2 sin(θ) |e, N i + exp−iφ/2 cos(θ) |g, N + 1i
(2.4)
Diese Zustände werden dressed-states“ genannt (siehe Abb. 2.1(c)).
”
E
E
|N + 1
|e, N
|g, N + 1
|N
|N − 1
|g, N
|e
|3
h̄ωL
|e, N − 1
h̄ωA
|e, 1
|2
|g, 2
|g
|1
h̄ωL
|0
h̄∆
(a)
|e, 0
|g, 1
(b)
E
|1, N
|g, N + 1
h̄∆
h̄Ω
|e, N
|2, N
|1, N − 1
|g, N
|e, N − 1
|2, N − 1
(c)
Abbildung 2.1: Das Dressed-Atom-Modell: (a) zeigt die Energieniveaus des Atoms (links)
und des Lichtfeldes (rechts) ohne Kopplung; in (b) haben das Atom und das Lichtfeld zu
gemeinsamen Energieniveaus gekoppelt; (c) zeigt den Übergang in eine neue Eigenbasis,
den dressed-states
Die Energieeigenwerte der dressed-states“ sind im Vergleich zum ungestörten System
”
verschoben. Die Besetzungswahrscheinlichkeit der einzelnen dressed-states hängt nun
5
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER BOSE-EINSTEIN KONDENSATION
entscheidend von der Verstimmung des Lichtfeldes zum atomaren Übergang ab. Bei blau
verstimmten Licht ist vornehmlich der |1, N i Zustand besetzt, was zu einer repulsiven
Kraft führt (siehe Abb. 2.2(a)). Bei rot verstimmten Licht ist vornehmlich der |2, N i
Zustand besetzt, so dass hieraus eine attraktive Kraft folgt (siehe Abb. 2.2(b)).
E
E
f1
f1
|1, N
|g, N + 1
|1, N
|e, N
|g, N + 1
|e, N
h̄Ω( r )
h̄Ω( r )
|e, N
|e, N
|g, N + 1
|2, N
f2
|g, N + 1
|2, N
f2
r
r
(a)
(b)
Abbildung 2.2: Das Energieschema eines Gaussförmigen Laserstrahls: (a) zeigt den Übergang der nicht koppelnden Hamiltonians zur Kopplung zu dressed states für blau verstimmtes Licht; (b) zeigt dies für rot verstimmtes Licht
Betrachtet man wieder Bose-Einstein Kondensate, so hat man durch die Dipolkraft die
Möglichkeit eines räumlichen Einschlusses und der Manipulation. Die Wellenfunktion
eines BECs setzt sich allerdings aus einem Produkt von quantenmechanischer Phase
und einem ortsabhängigen Anteil zusammen:
Ψ = eiφ Ψ
(2.5)
Wird diese Wellenfunktion einem Dipolpotential U (~r t) ausgesetzt, so fängt die Phase
an sich zeitlich zu entwickeln mit:
eiφ = e
iU t
~
(2.6)
Bei unterschiedlich starker Einstrahlung auf verschiedene Teile des Kondensates kann so
ein Phasengradient in der Wellenfunktion erzeugt werden. Dieser Sachverhalt wird wie
bereits erwähnt insbesondere bei der Erzeugung von Solitonen genutzt (siehe Kap. 3.4).
2.2.1
Mehrkomponentige Bose-Einstein Kondensate
Die ersten BECs, die erzeugt wurden, bestanden ausschließlich aus einer Komponente
[1, 2]. Das bedeutet, dass die Atome in einem definierten Hyperfein-Niveau vorlagen und
zudem Spin-polarisiert waren. Die Spin-Polarisation resultiert aus der im vorangegangenen Kapitel behandelten Methode, die Atome in einer Magnetfalle evaporativ zu kühlen.
Betrachtet man das Termschema von 87 Rb (siehe Abb. 2.3), so erkennt man, dass es überdies möglich ist Hyperfein-Niveaus zu erreichen. Bei Hinzunahme eines quantisierenden
Magnetfeldes ist es ebenfalls möglich in jedem Hyperfein-Niveau die entsprechenden
Zeeman-Niveaus gezielt zu bevölkern.
6
2.2. MANIPULATION IN OPTISCHEN POTENTIALEN
Die Experimente, die während dieser Diplomarbeit durchgeführt wurden, machen sich
die Möglichkeit zu nutze, mehrkomponentige BECs zu erzeugen. Eine Mischung im BEC
von F = 1-Atomen und F = 2-Atomen wurde insbesondere bei der Erzeugung von
hell-dunklen Solitonen eingesetzt (siehe Kap. 3.4.3), während der Einsatz verschiedener Zeeman-Niveaus für eine weiterentwickelte Form eines Bragg-Lasersytems genutzt
werden soll (siehe Kap. 4.3 und 4.3.1). Bei dem Einsatz der BEC-Mischungen war es
prinzipiell erwünscht jedwede Dynamik in Form von Populationstransfer und Dynamik,
sowie Phasendynamik zu unterbinden. Auf diese Weise bekommt man in Näherung zwei
entkoppelte Komponenten, deren Wechselwirkung nur noch über den mean-field-Ansatz
beschrieben wird. Um solche mehrkomponentigen BECs zu entkoppeln müssen die Mechanismen die der Dynamik zugrundeliegen verstanden werden. Nur so ist es möglich
das System ausreichend gut zu kontrollieren und die unerwünschte Wechselwirkung auszuschließen und zu unterdrücken. Im Folgenden werden daher mehrkomponentige BECs
erklärt und auf die darin entstehende Dynamik eingegangen.
Ein Wechsel zwischen den Grundzustandshyperfein-Niveaus ist durch einen Energieübertrag im GHz Bereich möglich. Eine Möglichkeit hierfür ist das Einstrahlen einer Mikrowelle mit 6, 834 GHz, bei der das ganze Kondensat anfangen wird, Rabi Oszillationen
zwischen den Zuständen F = 1 und F = 2 auszuführen. Strahlt man einen π-Puls
ein, so lässt sich das Kondensat vollständig in den jeweils anderen Zustand überführen.
Weiterhin sind natürlich auch Superpositionszustände möglich. Eine Möglichkeit, ein
BEC ortsaufgelöst in einen anderen Hyperfein-Zustand zu überführen, ist ein RamanLasersystem, welches im Anhang A beschrieben wird.
Weiterhin ist es möglich, Atome eines Hyperfein-Niveaus und eines mF -Zustandes in
einen anderen mF Zustand zu überführen, sobald die Atome in einer Spin-unabhängigen
Dipolfalle eingefangen sind. Auch hier sind Mischungen möglich, die die Untersuchung
interessanter Effekte möglich machen [12]. Zwischen einer Hyperfein-Mischung und einer
Spin-Mischung gibt es einige Gemeinsamkeiten, jedoch auch einige zentrale Unterschiede.
Zwischen den Komponenten einer Hyperfein-Mischung gibt es keine selbstgetriebene
Populationsdynamik die z.B. zu einer Oszillation des Kondensates zwischen den verschiedenen Niveaus führen würde. Ein Populationstransfer ist daher nur getrieben durch
eine Mikrowelle oder einen Raman-Laser möglich (siehe Anhang A). Zwischen den Komponenten herrscht eine repulsive Wechselwirkung, die durch eine Interspezies s-Wellen
Streulänge a1 2 beschrieben wird. Dies führt zu einer Bewegungsdynamik, wenn beide
Komponenten leicht zueinander versetzt sind [13]. Ein solcher Versatz ensteht z.B. indem die Fallenkräfte für die verschiedenen Komponenten unterschiedlich sind, wie es in
Magnetfallen der Fall ist. Durch die unterschiedlichen Kräfte ist der räumliche Punkt
an dem die Falle die Gravitation kompensiert unterschiedlich hoch, man spricht hierbei vom gravitational-sag. Da eine solche Dynamik in den hier gemachten Experimenten unterbunden werden muss, muss eine solche Abhängigkeit der Fallenstärke von der
Hyperfeinstruktur ausgeschlossen werden. Dies wird durch den Einsatz von Dipolfallen
gewährleistet (siehe Kap. 2.2).
In den einzelnen Hyperfein-Niveaus koppeln die mF Niveaus untereinader durch Spinabhängige Stoßwechselwirkung. So kann nach teilweiser Besetzung mehrerer Spin-Zustände
7
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER BOSE-EINSTEIN KONDENSATION
Abbildung 2.3: Termschema der S1/2 und P3/2 Niveaus von
perfeinstruktur [9]
8
87 Rb
einschließlich der Hy-
2.2. MANIPULATION IN OPTISCHEN POTENTIALEN
eine dichteabhängige Oszillation zwischen den mF Komponenten beobachtet werden
[14, 15]. Diese Kopplung wird durch eine Konkurrenz von Dichte- und Spin-abhängiger Mean-Field-Wechselwirkung und dem quadratischen Zeeman-Effekt ausgelöst und
weist weiterhin ein Resonanzphänomen auf [16]. Die beobachteten Oszillationen sind in
den Untersuchungen dieser Diplomarbeit jedoch unerwünscht. Durch Anlegen eines rel.
hohen Offset-Feldes kann die Spin-Dynamik in guter Näherung unterdrückt werden [17].
Weiterhin verhalten sich die Spin-Zustände in F = 1 und F = 2 völlig unterschiedlich.
So gibt es in F = 1 einen ferromagnetischen Grundzustand, der sich durch eine parallele Ausrichtung der atomaren Spins auszeichnet. Im F = 2 Zustand liegt dagegen
ein antiferromagnetischer Grundzustand (auch polarer Zustand) vor, der sich durch ein
Verschwindenden des Gesamtspins des Systems auszeichnet2 . Dieser Sachverhalt wird
insbesondere in Kap. 4.1 weitergehend behandelt.
Eine Dynamik der Hyperfein-Aufspaltung wird somit durch den Einsatz von Dipolfallen
unterbunden, während eine Spin-Dynamik verschiedener Zeeman-Niveaus durch rel. hohe
Offset-Magnet-Felder unterbunden wird.
2
Die Begriffe des Ferromagnetischen- und des Antiferromagnetischen-Zustands wurden eingeführt um
eine gewisse Analogie zur Festkörperphysik herzustellen. Man muss jedoch berücksichtigen, dass sich die
Natur der Wechselwirkung grundlegend vom Festkörpermagnetismus unterscheidet.
9
KAPITEL 2. GRUNDLAGEN DER BOSE-EINSTEIN KONDENSATION
10
Kapitel
3
Räumlich aufgelöste optische
Potentiale für die Manipulation in BECs
Das Erzeugen räumlich aufgelöster Potentiale ist seit Beginn der Forschung mit BECs
von besonderem Interesse. Eine Vielzahl von interessanten Effekten lässt sich nur durch
Potentiale realisieren, die auf einer Größenordnung von µm kontrolliert werden können.
Solch interessanten Potentiale sind z.B. ringförmige Dipolfallen für die Erzeugung eines
Ring-BECs. Im Bereich der Phasenmanipulation ist auch das Einstrahlen von scharf
abgebildeten Kanten von Interesse. Der letztere Fall wurde zur Erzeugung von Solitonen eingesetzt (siehe Kap. 3.4). Bei den ersten Experimenten dieser Art wurde hierfür
eine Rasierklinge auf das Kondensat abgebildet [4]. Es war mit diesen Mitteln nicht
möglich komplexe oder auch dynamische Potentiale zu erzeugen. In den letzten Jahren
ist die Entwicklung der Technik jedoch an einen Punkt gekommen, an dem es möglich
wurde Displays herzustellen und mit diesen Laserlicht zu modulieren ohne die kohärenten Eigenschaften zu beeinflussen. Diese räumlichen Licht-Modulatoren erlauben einen
flexiblen und dynamischen Einsatz und werden daher in Kap. 3.1 vorgestellt und beschrieben. Flexible Strukturen lassen sich einerseits über eine direkte Abbildung auf das
BEC projezieren oder alternativ mit der Technik der Holographie erzeugen. Gegenüber
einer Abbildung bietet die Holographie jedoch zentrale Vorteile die ein besonderes Interesse begründen. Ein wesentlicher Aspekt ist hierbei, dass die zugrundeliegenden Beugungsintegrale (siehe Kap. 3.2.1) es ermöglichen drei-dimensional aufgelöste Strukturen
in zwei-dimensionalen Beugungsbildern zu kodieren. Konventionelle Abbildung ermöglichen hingegen von Natur aus lediglich eine zwei-dimensionale Abbildung bei Nutzung
einer zwei-dimensionalen Ausgangsstruktur. Durch die drei-dimensionale Abhängikeit ist
weiterhin der Projektionsabstand zum Hologramm variabel, so dass im extremen Fall auf
Abbildungsoptiken verzichtet werden kann. Zumindest ist es aber möglich ergänzende
Optiken einzuberechnen oder sogar Linsenfehler der verwendeten Optiken zu korrigie11
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
ren. Die Grundlagen der Holographie und ein möglicher Einsatz wird daher in Kap.
3.2.1 und den darauf folgenden Kapiteln untersucht. Hierbei werden verschiedene Algorithmen verwendet die bedauerlicher Weise jedoch keine zufriedenstellenden Ergebnisse erzielen können (siehe Kap. 3.2.8). Weiterhin werden konkrete Einsatzzwecke der
Licht-Modulator Technik vorgestellt, die zu einer erfolgreichen Generierung von BesselStrahlen (siehe Kap. 3.3) und Solitonen geführt haben.
3.1
Räumliche Licht-Modulatoren (SLMs)
Um ein beliebiges Lichtpotential zu erzeugen, gab es bisher nur begrenzte Möglichkeiten.
Eine Möglichkeit war es, belichtete und entwickelte Photoplatten auf ein BEC abzubilden. Es war damit jedoch nicht möglich das Potential auf kurzen Zeiträumen, also innerhalb eines Experimentierzyklusses auszutauschen. Die moderne Beamer-Technologie
hat diese Möglichkeiten jedoch vorangetrieben und ermöglicht heutzutage mithilfe sogenannter räumlicher Lichtmodulatoren (Spatial Light Modulator, SLM) ein gezieltes
Erzeugen komplexer Potentialstrukturen.
Die SLMs, die im Rahmen dieser Diplomarbeit eingesetzt wurden, basieren hierbei auf
der Technologie von Liquid Crystal Displays (LCDs). LCDs basieren auf nichtlinearen
Effekten von bestimmten Flüssigkristallen. Diese sind ganz allgemein Moleküle, die sich
in einer Phase befinden, in der sie sich hydrodynamisch als Flüssigkeit verhalten. Durch
die Wechselwirkung resultiert jedoch eine geordnete Struktur, wie sie aus Kristallen
bekannt ist. Die Ausrichtung dieser Kristalle lässt sich in einigen Fällen über eine externe Spannung steuern. Die in LCDs verwendeten Kristalle haben den nicht-linearen
Effekt, dass sie je nach Ausrichtung definiert linear polarisiertes Licht drehen können.
In herkömmlichen LCDs wird dies in einer Transmissionsanordnung verwendet. Auf der
einen Seite der Flüssigkristalle strahlt Licht ein, welches durch einen Pol-Filter auf die
gewünschte Polarisation gebracht wird. Auf der Austrittsseite befindet sich ein um 90◦
gedrehter Pol-Filter. Ist das entsprechende Pixel des Displays hell“, sind die Kristalle
”
so ausgerichtet, dass die Polarisation des herinkommenden Lichtes beim Durchlaufen der
Schicht um 90◦ gedreht wird. Im Falle eines schwarzen Pixels wird die Polarisation nicht
gedreht. Das Prinzip hierfür ist in Abb. 3.1 zu sehen.
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde ein LC-R 1080 SLM der Firma Holoeye eingesetzt
(siehe Abb. 3.2) [18].
Die Pixel eines Displays sind hierbei als dünne Schichten von Flüssigkristallen zwischen
Halbleitermaterialien aufgebaut (liquid crystal on silicon, LCoS). Im Gegensatz zu den
Transmissions-LCDs werden diese Displays in Reflektion verwendet. Das Licht durchläuft
die Flüssigkristallschicht und wird reflektiert. Die Schicht wird somit im Doppeldurchlauf
verwendet. Das Display hat eine Auflösung von 1920 x 1200 (Widescreen Ultra eXtended Graphics Array, WUXGA-Format) und eine quadratische Pixelgröße von 8, 1µm.
Das Display hat somit eine Gesamtgröße von 15, 4 × 6, 7mm2 . Die Ansteuerung erfolgt
über den herkömmlichen DVI-Grafikausgang einer Grafikkarte und eine Steuereinheit.
Der Computer ist über ein DVI-Kabel mit der Steuereinheit verbunden, welche das Display mithilfe spezieller Flachbandkabel ansteuert. Die Steuereinheit lässt sich weiterhin
12
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
Polfilter
Flüssigkristalle
Pol-Filter
Farbfilter
Abbildung 3.1: Schema eines roten Pixels eines LCD-Schirms. Von hinten wird Licht eingestrahlt, welches zunächst einen Pol-Filter, die von Glasplatten umschlossenen Flüssigkristalle, einen um 90◦ gedrehten Polfilter und zuletzt einen Farbfilter durchläuft
über die serielle Schnittstelle mit einem RS-232 Kabel ansteuern (siehe Abb 3.3 für
Schema). Da die Farbübergänge des Displays nicht linear sind, ist es hier möglich eine
Kalibrationskurve zu installieren, die für eine Ausgabe von linearen Grauwerten sorgt.
Für eine Amplituden-Modulation des Lichtes, wie sie bei LCDs stattfindet, müssen noch
Polarisations-sensible Medien in den Strahlengang eingebracht werden. In diesem Aufbau
werden hierfür Polarisationsstrahlteiler (Cubes) verwendet (Siehe Abb. 3.4 für Schema).
Die Displays sind von ihrem Hersteller (Brillian Corporation, USA) auf ein Kontrastverhältnis von 2000:1 spezifiziert. Weiterhin ist der Kontrast von dem verwendeten Cube
abhängig, welcher vom Hersteller (Linos Photonics, Göttingen) mit 10000:1 spezifiziert
wurde [19]. Für die optimale Auslöschung müssen sowohl das Display als auch der Cube
rechtwinklig getroffen werden. Nach optimaler Justage wurde das Löschungsverhältnis
in diesem Aufbau zu 1760:1 bestimmt. Die Belastungsgrenze des SLMs liegt bei einer
eingestrahlten Leistungsdichte von 2W/cm2 .
3.2
holographische Methoden zur Manipulation von BECs
Mit den in Kap. 3.1 beschriebenen SLMs ist es möglich, optische Potentiale auf BECs
abzubilden. Diese Technik wurde bereits in der Diplomarbeit von S. Stellmer [20] ausführlich untersucht. Durch den Einsatz herkömmlicher Abbildungsobjektive ist es lediglich
möglich zwei-dimensionale Strukturen abzubilden. Weiterhin ist eine Justage des Bildes
ausschließlich über das verwendete Objektiv möglich, was sich je nach verwendetem System als sehr anfällig und damit kompliziert erweisen kann. Es ist nun von besonderem
13
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
(a)
(b)
(c)
Abbildung 3.2: Bilder des verwendeten SLM-Systems: (a) zeigt ein Bild der Steuereinheit
und zweier angeschlossener Displays; in (b) ist ein einzelnes Display mit Größenvergleich
zu sehen; (c) zeigt das Display in starker Vergrößerung, auf welches ein Schachbrettmuster mit abwechselnd schwarzen und weißen Pixeln gegeben wurde
Interesse, alternative Schemata der Potentialerzeugung zu finden durch die diese beiden
Probleme umgangen werden können. In dieser Arbeit wurden holographische Methoden
als Lösungsansatz verfolgt, womit die bisherigen Techniken weiterentwickelt werden. Bei
der Berechnung digitaler Holgramme ist es möglich numerische Optiken“ in die holo”
graphische Abbildung zu intergieren. Hierdurch können z.B. Linsenfehler ausgeglichen
werden oder sogar auf bestimmte Linsen vollständig verzichtet werden. Weiterhin ist es
möglich die Abbildung zu Justieren indem zusätzliche Fresnel-Linsen einberechnet werden. Ein weiterer Aspekt der die Holographie sehr reizvoll macht ist die Möglichkeit,
drei-dimensionale Strukturen auf das zwei-dimensionale Display des SLMs zu kodieren.
Bis vor kurzem hatte sich der Einsatz von holographisch genutzten SLMs auf dynamisch
steuerbare optische Pinzetten reduziert [21] und in der Forschung mit kalten Quantengasen überhaupt keinen Einsatzzweck gefunden. Es jedoch vor kurzer Zeit erstmals
gelungen mit einem holographisch betriebenen SLM ein BEC zu zerteilen indem ein
zeit-veränderliches Potential auf das BEC projeziert wurde [22]. Dies ist als ein erster
Schritt zu sehen, der zeigt, dass holographische Techniken einen sinnvollen Einsatz an
BEC-Experimenten finden können.
14
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
DVI-VideoSignal
Stereungseinheit
PC
RS232Sterungssignal
Display
Abbildung 3.3: Schema der Ansteuerung und Nutzung eines SLM-Displays
Abbildung 3.4: Schema des SLM-Aufbaus zur Amplitudenmodulation
Es wurde bereits erwähnt, dass die Justage eines Systems sich durch den Einsatz eines konventionell abgebildeten SLMs sehr stark erschweren kann. Für die Generierung
von Solitonen (siehe Kap. 3.4) war jedoch genau dies nötig. Daher wird im folgenden
auf den genauen Aufbau und die damit verbundenen Schwierigkeiten eingegangen. In
Hinsicht auf die mögliche Umstellung auf ein holographisches System wird auch auf die
Auflösungslimts eingegangen um einen Bezugswert festzulegen mit dem hier gemessenen
Ergebnisse bewertet werden können (siehe Kap. 3.2.8). Die Auflösung der holographischen Methoden muss mindestens die Auflösung der konventionellen Abbildung erreichen
um als Alternative in Betracht gezogen zu werden.
Das Einstrahlen von Potentialen wurde bisher über eine konventionelle Abbildung mit
Hilfe eines Objektivs bewerkstelligt. Hierbei wurden die vom SLM wiedergegebenen
Strukturen über ein hochwertiges Objektiv in 10-facher Verkleinerung auf den Ort der
BECs abgebildet (Siehe Abb. 3.5). Die Optik ist ein Produkt der Firma B. Halle mit
15
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
einer NA von 0,3 und einem theoretischen Auflösungsvermögen von 2, 3µm bei einer Wellenlänge von 780nm. Die Auflösung wird weiterhin experimentell bestimmt, indem die
Breite einer abgebildeten Kante betrachtet wird. Die auf dem SLM scharfe Kante hatte
im Bild eine Breite von 2, 8µm (Abfall von 90% auf 10%). Die gemessenen Ergebnisse
stimmen sehr gut mit der Theorie überein [23].
Abbildung 3.5: Abbildung von SLM Strukturen mittels hochauflösender Verkleinerung
durch das Halle-Objektiv
In diesem Aufbau wird die hochauflösende Optik sowohl für die Abbildung und somit
die Detektion, als auch für die Manipulation mittels des SLMs verwendet. Dies stellt
besondere Anforderungen an die Justage, da sowohl die CCD-Kamera als auch der SLM
gleichzeitig scharf abgebildet sein müssen. Es hat sich herausgestellt, dass die Justage
extrem sensibel und z.T. schwer reproduzierbar ist.
Im Folgenden wird daher die Holographie als mögliche Alternative zur bisherigen Abbildung vorgestellt. Hierbei werden zunächst die grundlagen und anschließend konkrete
Algorithmen vorgestellt und untersucht ob es durch sie möglich ist weitestgehenst auf
den Einsatz von hochwertigen Optiken verzichten zu können.
16
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
3.2.1
Grundlagen der Holographie
Holographie basiert auf der Interferenz von Licht und wird hervorragend durch das
Fresnel-Kirchhoff Intgral (siehe z.B. [24]) beschrieben.
i
Ẽ (x, y, z) =
λ
ZZ
Ẽ (x1 , y1 , z1 )
R2
e−ikr
cos θ dx1 dy1
r
(3.1)
Hierbei wird eine gegebene elektrische Feld-Amplitude Ẽ in der Ebene z = z1 für beliebige z durch das Integral beschrieben. Das Fresnel-Kirchhoff-Integral ist analytisch
nicht lösbar und sehr aufwändig numerisch exakt zu berechnen, so dass in der Regel
gewisse Näherungen herangezogen werden. Je nach Näherung werden die Hologramme für verschiedene Abstandsregimes berechnet. Man unterscheidet hier zwischen einem
Fresnel-Hologramm (Nahfeld-Näherung, siehe Kap. 3.2.2), einem Fraunhofer-Hologramm
(Fernfeld-Näherung, siehe Kap. 3.2.4) und einem Fourier-Transform-Hologramm (Erzeugung des Hologramms mittels einer konvexen Linse, siehe Kap. 3.2.5). Sämtliche der
hieraus resultierenden Algorithmen wurden untersucht und getestet.
3.2.2
Fresnel-Hologramm
Eine der wichtigsten Näherungen ist die Paraxial-Näherung. Es wird angenommen, dass
der Abstand zwischen dem Bild und dem zu berechnenden Hologramm groß ist gegen
die Ausdehnungen des Bildes. Der Aufbau zur Rekostruktion eines Fresnel-Hologramms
ist in Abb. 3.6 zu sehen.
Abbildung 3.6: Die vom Hologramm gebeugten Wellenfronten interferieren in der Bildebene zu der im Hologramm kodierten Struktur
Für diesen Fall kann in Gleichung (3.1) θ ≈ 0 angenommen werden und damit cos θ ≈ 1
[24]. Hierdurch kann die elektrische Feld-Amplitude vereinfacht werden zu:
Ẽ = u (x, y, z)
(3.2)
Je nach Bildgröße reduziert sich durch diese Näherung der Rechenaufwand um einen
Faktor von mehreren Millionen. Die numerische Berechnung ist jedoch weiterhin zu
aufwändig, um in Betracht gezogen zu werden. Nach Einsetzen von Gleichung (3.2)
erscheint das Integral in kartesischer Darstellung als:
17
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
u (x, y, z) =
ZZ
i
λ·L
u (x1 , y1 , z1 ) ·
(x − x1 )2 + (y − y1 )2
· exp −ik
dx1 dy1
2L
R2
(3.3)
mit:
p
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 + (z − z1 )2
r =
z − z1 = L
√
x
1+x ≈ 1+
2
(3.4)
Hierbei beschreiben die Koordinaten x1 , y1 , z1 den Ort des Bildes, während x, y, z den
Ort des zu berechnenden Hologrammes angeben. Einfache Termumformung überführt
den Ausdruck weiterhin zu:
π ZZ h
n π
oi
i
u (x, y, z) =
exp i x2
u (x1 , y1 , z1 ) exp i
x21 + y12
λ·L
λL
λL
2
R
2π
× exp −i x · x0 d x0
(3.5)
λL
Dieser Ausdruck gleicht dem einer normalen Fourier-Transformation, die sich darstellt
als:
Z
H(ν) =
h(t) exp (−i2πνt) d t
(3.6)
R
Im folgenden wird die allgemeine und kontinuierliche Formulierung aus Gleichung (3.6) in
eine Diskrete Form umgeformt. Dies ist nötig, da die verwendeten Displays eine diskrete
Anzahl von Pixeln haben. Eine kontinuierliche Fouriertransformation formt sich daher
wie folgt in eine diskrete Fouriertransformation um:
Z
H(ν)
=
h(t) exp (−i2πνt) d t = F T (h(t))
R
=⇒
H(k)
=
N
−1
X
n=0
i · 2π
h(n) exp −
kn
N
= DF T (h(n))
(3.7)
Hierbei ist F T die Abkürzung für Fouriertransformation und DF T die Abkürzung für
diskrete Fouriertransformation. Die kontinuierlichen Variablen ν und t sind hierbei in
ganzzahlige Variablen k = 0, ..., N − 1 und n = 0, ..., N − 1 übergegangen, wobei N die
18
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
Anzahl an diskreten Werten angibt. Da die ursprünglichen kontinuierlichen Variablen
nicht gleich normiert sind wie die diskreten Laufindices, muss zunächst eine Substitution
vollzogen werden.
Substituieren wir in Gleichung (3.5) ∆x1 ∆x = λzN mit x1 = ∆xN1 m und x = ∆xm
(y
N
und y1 vollkommen analog), so kann das Fresnel-Integral zu einer diskreten Fouriertransformation umgeformt werden:
λL
i
02
02
m +n
exp i
u(m ) =
λ·L
∆x21
∆x21
m∆x1
2
2
exp iπ
m +n
×DF T u
N
λLN 2
0
(3.8)
Hierbei ist m ein ganzzahliger Laufindex für die x-Achse des Bildes und n der Laufindex
für die y-Achse. N ist die Anzahl der Pixel für eine Zeile bzw. eine Spalte.
Aus technischen Gründen wurden die Hologramme quadratisch berechnet, so dass die
Pixelanzahl für beide Achsen gleich ist. Weiterhin folgt hieraus, dass die Seitenlängen
des Bildes gleich sind, also ∆x0 = ∆y0 . Das Hologramm berechnet sich somit über die
Fouriertransformierte des Bildes, welches mit einem quadratischen Phasenfaktor multipliziert wird. Die Fouriertransformierte selber wird ebenfalls mit einem quadratischen
Phasenfaktor multipliziert. Da der globale Phasenfaktor außerhalb der Fouriertransformierten proportional zu L ist, während der Phasenfaktor in der Fouriertransformierten
proportional zu L1 ist muss im folgenden überprüft werden ob es für bestimmte Abstände,
L, Aliasing-Probleme geben kann.
3.2.3
Sampling Theorem
Es liegt ersteinmal die Vermutung nahe, dass man mit Gleichung (3.8) sämtliche Freiheiten in der Berechnung von Fresnel-Hologrammen bezüglich Abstand L und Ausdehnung
des Bildes ∆x0 hat. Tatsächlich gibt es durch die diskrete Darstellung von Schwingungen
Einschränkungen, die zu beachten sind.
Betrachtet man eine Reihe von Schwingungen aufsteigender Frequenz, welche mit einer
zeitlichen Rasterung ∆t gesampled werden, so sieht man, dass für niedrige Frequenzen eine gute Beschreibung der Schwingung über die einzelnen Punkte stattfindet (vergleiche Abb. 3.7(a)). Bei höheren Frequenzen sieht man, dass immer weniger Punkte
zur Beschreibung einer einzelnen Flanke zur Verfügung stehen (siehe Abb. 3.7(b)), bis
letztendlich nur noch die Maxima und Minima beschrieben werden (Abb. 3.7(c)). Über
dieser kritischen Frequenz erkennt man, dass die Rasterung viel niedrigere Frequenzen
beschreibt, als eigentlich dargestellt sind (Abb. 3.7(d)). Man bezeichnet diesen Effekt
auch als Aliasing. Die kritische Frequenz, bei der die Minima und Maxima gerade noch
beschrieben werden, wird das Nyquist-Limit genannt. Man erkennt leicht, dass diese
1
kritische Frequenz gerade durch νkrit = 2∆t
gegeben ist.
Betrachten wir unter diesem Aspekt Gleichung (3.8), dann sehen wir, dass der globale
Phasenfaktor proportional zu z ist, während der Phasenfaktor in der Fouriertransforma19
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 3.7: Prinzip des Nyquist Limits. Wenn die Frequenz der zu samplenden Welle
(blau) zu groß wird, gibt das Sampling eine Frequenz wieder die eigentlich viel kleiner
ist ((d) rote Kurve).
tion proportional zu
1
z
ist. Für den ersten Faktor erhalten wir eine Relation:
z≥
∆x21
λN
(3.9)
während für den zweiten Phasenfaktor folgt:
z≤
∆x21
λN
(3.10)
Man sieht leicht, dass somit nur gelten kann:
z=
∆x21
λN
(3.11)
Hat die Bildebene einen geringeren Abstand zum Hologramm als z, folgt ein AliasingEffekt des Phasenfaktors unter der FT, während ein größerer Abstand als z zu Aliasing
des globalen Phasenfaktors vor der FT führt.
20
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
Bei einer Pixelgröße von s = 8, 1 µm, welche durch den SLM vorgegeben ist, einer Pixelanzahl von N = 3000 pro Seitenlänge und damit verbunden einer Seitenlänge des Bildes
von ∆x1 = 2, 43 cm resultiert aus Gleichung (3.11) ein Arbeitsabstand von L = 25, 23 cm.
Dies ist ein Abstand, der im Labor sehr gut realisiert werden kann.
Es gibt somit für den vorgestellten Algorithmus für Fresnel-Hologramme ausschließlich
einen Abstand zwischen Hologramm und Bild, für den ein Hologramm berechnet werden
kann. Die mit Gleichung (3.8) und Gleichung (3.11) berechneten Hologramme haben
insgesamt keine zufriedenstellende Qualität erreicht (siehe Kap. 3.2.8). Um zu überprüfen ob dies an den für Fresnel-Hologramme gemachten Näherungen liegt und somit
für Nahfeld-Hologramme allgemein keine zufriedenstellende Auflösung erreicht werden
kann, werden im folgenden die anderen in Kap. 3.2.1 erwähnten Näherungen untersucht.
3.2.4
Fraunhofer Hologramm
Die Fraunhofer Region (Fernfeld-Region) wird erreicht, wenn der Phasenfaktor innerhalb
der Fouriertransformation von Gleichung (3.8) vernachlässigt werden kann. Es wird somit davon ausgegangen, dass die Phasenrotation dieses Faktors über den kompletten
Hologramm Bereich wesentlich kleiner als 1 Radiant ist. Die Fernfeldregion ergibt sich
dann zu:
z
π∆x20
4λz
(3.12)
Setzen wir die Parameter des letzten Kapitels ein, sehen wir, dass z 600m. Das
Hologramm wird dann beschrieben über:
i
λL
02
02
exp i
m +n
u(m ) =
λ·L
∆x21
m∆x1
×DF T u
N
0
(3.13)
Die Fraunhoferregion lässt sich im Labor dementsprechend experimentell nicht umsetzen
und ist daher nicht weiter relevant. Im Folgenden kann jedoch gezeigt werden, dass ein
Fraunhofer-Hologramm durch ein Fourier-Transform-Hologramm realisiert werden kann,
da das Bild durch eine Linse auf einen realistischen Arbeitsabstand projeziert wird.
3.2.5
Fourier-Transform-Hologramm
Die Fourier-Transform-Holographie bedient sich der Abbildung einer konkaven Linse.
Um diese Art von Holographie zu verstehen, müssen erst verstanden werden, wie sich
die Wellenpropagation durch eine solche Linse darstellt. Es wird sich zeigen, dass das die
Abbildung die sich aus der Berechnung der Wellenpropagation durch den freien Raum
und durch die Linse ergibt, die Form eines Fraunhofer-Hologramms annimmt. Das Schema einer Hologramm-Rekonstruktion mit Nutzung einer Linse ist in Abb. 3.8 zu sehen.
21
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
Man erkennt wie bei herkömmlicher Beugung an einem Gitter verschiedene Beugungsordnungen, welche sich mit verschiedenen Komponenten des berechneten Hologramms
identifizieren lassen. Die erste Beugungsordnung (links oben auf dem Schirm in der Abbildung) ist das beabsichtigte Bild des Hologramms. Die minus erste Ordnung ist das
komplex konjugierte Gegenstück des Objektes (rechts unten), während in der Mitte die
Autokorrelation zwischen beiden als nullte Ordnung zu erkennen ist.
Abbildung 3.8: Aufbau eines Fourier-Transform-Hologramms. Im Bild sieht man das Bild
als erste Beugungsordnung, das komplex konjugierte Bild als minus erste Beugungsordnung und die Autokorrelation als hellen Punkt in der Mitte.
Wir erhalten für die Propagation durch eine Linse die allgemeine Formel für die relative
Änderung der Phase [25]
x2 + y 2
+
p (x, y) = exp −iπ
(3.14)
λf
Hierbei ist f die Brennweite der Linse, die aus der geometrischen Optik durch:
1
1
1
= (n − 1)
−
(3.15)
f
R1 R2
bestimmt ist. Hierbei ist n der Brechungsindex des Linsenmaterials, R1 und R2 sind die
Wölbungsradien der Vorder- und Rückseite der Linse.
Betrachten wir ein System, in dem wir auf der linken Seite einer konvexen Linse im
Abstand s ein Bild haben. Auf der rechten Seite der Linse steht im Brennpunkt der
Linse eine Photoplatte, mit der das erzeugte Hologramm aufgenommen werden soll. Die
Propagation der Wellenfronten von der Bildoberfläche zur Linse wird hierbei durch eine
Fresneltransformation, wie sie in Gleichung (3.5) beschrieben wird, berechnet. Dies lässt
sich vereinfacht als Faltungsintegral darstellen.
Z
g(t) = (f ⊗ h)(t) =
f (τ ) · h(t − τ )dτ
R
√
G(ω) =
2π · F (ω)H(ω)
(3.16)
Betrachten wir in Gleichung (3.5) den globalen Phasenfaktor als gleichmäßige Krümmung
der Wellenfront und betrachten diesen als konstant, dann folgt:
22
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
n π
o
x21 + y12
u(x, y, z) = IF T u (x1 , y1 , z1 ) exp i
λL
n π
o
= u(x, y, 0) ⊗ IF T exp i
x21 + y12
λL
(3.17)
In dieser Darstellung lässt sich die Abbildung der Linse in drei Schritten berechnen.
Die Linse steht bei z = 0, somit haben wir zu Beginn die Funktion des Bildes am Orte
z = −s gegeben. Durch Fresneltransformation wird die Propagation zur Linse am Orte
z = 0 berechnet:
x02 + y 02
u1 (x , y , 0) = u1 (x , y , −s) ⊗ exp +iπ
λs
0
0
0
0
(3.18)
Nach Gleichung (3.14) entwickelt sich die Wellenfront beim Durchlaufen der Linse zu:
x2 + y 2
u2 (x , y , 0) = p u1 (x , y , 0) = exp −iπ
u1 (x0 , y 0 , 0)
λf
0
0
0
+
0
(3.19)
Der weitere Verlauf bis hin zur Brennebene der Linse lässt sich wieder durch eine Fresneltransformation beschreiben:
x002 + y 002
u2 (x , y , f ) = u2 (x , y , 0) ⊗ exp +iπ
λf
00
00
0
0
(3.20)
Wertet man diese Rechenschritte aus, so erhält man nach einigen Termumformungen:
(x002 + y 002 )(f − s)
u2 (x , y , f ) = exp +iπ
F T u1 (x0 , y 0 , −s)
2
λf
00
00
(3.21)
Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem aus Gleichung (3.13), so stellt man fundamentale
Ähnlichkeit zu der Hologrammberechnung der Fraunhofer-Hologramme fest. Der Phasenfaktor hat im Prinzip eine leicht andere Form, was nichts an der Tatsache ändert, dass
wir durch Benutzung einer konvexen Linse ein Hologramm in Fernfeldnäherung im Labor
realisieren können. Die Linse projeziert somit die Bildebene des Fraunhofer-Hologramms
aus dem näherungsweise unendlichen in unmittelbare Nähe der Linse.
Die aus den Fourier-Transform-Hologrammen entstandenen Algorithmen sind mit Hilfe
des SLMs getestet worden. Die Ergebnisse waren jedoch noch erheblich schlechter als
die Ergebnisse der Fresnel-Holographie. Es war hierbei z.T. garnicht möglich die als
Ausgangstruktur vorgegebenen Muster wiederzuerkennen.
Da die schlechten Ergebnisse offenbar kein Problem des verwendeten Regimes sind, wird
im folgenden die allgemeine Beugungseffizienz des SLMs behandelt, da vermutet wird,
dass diese entscheidenden Einfluss auf die Qualität der holographischen Abbildung hat.
23
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
3.2.6
Theoretische Grenzen der Holographie
Um ein generelles Problem mit der Lichtbeugung am SLM auszuschließen wird im folgenden die theoretische Grenze der Beugungseffizienz des SLMs behandelt.
Die Hologramme, die bisher behandelt wurden, waren 2D-Abbildungen der Wellenfronten bei einer Entfernung z. Diese Hologramme werden daher als Flächenhologramme
bezeichnet. Betrachtet man die Amplituden-Transmission, erhält man einen Ausdruck:
t∼
α1
α0 + α1
(3.22)
α0 ist hierbei der gemittelte Absorptionskoeffizient, während α1 die sich räumlich ändernde Amplitudenmodulation widerspiegelt [25]. Es muss gelten α0 ≥ α1 , da die Amplitude maximal so groß sein kann wie der Offset α0 . Die Brechungseffizienz eines 2DHologrammes ergibt sich weiter zu [25]:
η∼
α1
2(α0 + α1 )
2
(3.23)
Sie wird maximal für α0 = α1 und beträgt dann η = 6, 25%. Das bedeutet, dass mindestens 93, 75% der auf das Hologramm eingestrahlten Laserleistung in ungewollten Ordnungen verloren gehen. Das in diesem Experiment eingesetzte Display bietet nur die
Möglichkeit zuverlässiger Amplitudenmodulation. Andere Displays erlauben eine direkte Phasenmodulation. Auf diese Weise geht kein Licht in Absorption verloren, sondern
wird in der Phase verzögert und kann somit zusätzlich zur Interferenz beitragen. Die
Effizienz eines solchen Phasenhologramms würde maximal η = 34% erreichen [25].
Neben den Flächenhologrammen gibt es auch Volumenhologramme, bei denen die Information nicht in einer dünnen Schicht, sondern drei-dimensional abgespeichert wird.
Realisiert werden kann das z.B. durch dickere Photoplatten. Betrachtet man diese hinsichtlich der Beugungseffizienz so erhält man für Phasenhologramme eine maximale Effizienz von η = 100%.
Da wir mit dem SLM lediglich 2D-Amplituden-Hologramme erstellen können, stellt das
theoretische Limit der Beugungseffektivität ein zentrales Problem dar. Einerseits wird
ein Teil des nicht nutzbaren Lichtes absorbiert, ein wesentlicher Teil wird jedoch nicht
gebeugt und ist somit in der nullten-Ordnung zu finden. Hierdurch stört das Licht vor
allem als Streulicht die Messungen, wodurch es einerseits inkohärent den Kontrast erheblich verschlechtert und andererseits die Qualität herabsetzt indem es kohärent die
Interferenz verschlechtert.
3.2.7
Berechnung von Hologrammen
Auch wenn die Computer Entwicklung in den letzten Jahrzehnten rasant angestiegen
ist, stellt bei der Hologrammberechnung die Rechenkapazität einen zentralen Punkt
dar. Betrachtet man die Berechnung einer Fouriertransformation, so ergibt sich, dass
24
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
der Rechenaufwand ∼ N 2 ist, wobei N die Mächtigkeit des zu berechnenden Objektes darstellt. Betrachtet man Gleichung (3.7), folgt dies einfach aus der Tatsache, dass
für k = N Punkte n = N Summen ausgeführt werden müssen. Einen großen Fortschritt
stellte hierbei die Entwicklung des Fast-Fourier-Transform“-Algorithmusses dar (FFT).
”
Dieser Algorithmus schaffte es, den Rechenaufwand auf ∼ N · ln N herabzusetzen.
Der FFT Algorithmus basiert auf einem rekursiven Divide and Conquer“ Prinzip. Neh”
men wir oBdA an, dass N eine Potenz der Zahl 2“ sei, dann können wir Gleichung (3.7)
”
folgendermaßen zerlegen:
N
2
H(k) =
−1
X
n=0
i · 2π
h(2n) exp −
2nk
N
N
2
+
−1
X
n=0
i · 2π
h(2n + 1) exp −
(2n + 1)k
N
(3.24)
Die DFT wurde so in zwei
zerlegt. Deren Berechnungsaufwand
Fouriertransformationen
N 2
N 2
N2
verhält sich somit ∼
+ 2
= 4 . Da wir angenommen hatten, dass N ein
2
Vielfaches der Zahl 2“ sei, lässt sich die ursprüngliche DFT in log2 N Fouriertransfor”
mationen zerlegen. Hieraus folgt sofort die Anzahl der entsprechenden Rechenoperation.
Diese ist proportional ∼ N · log2 N ∼ N · ln N . Besonders für große N ist der Geschwindigkeitsvorteil durch eine FFT enorm. Optimale Zerlegung ist jedoch nur gewährleistet,
wenn sich N komplett durch die Primzahl 2“ zerlegen lässt.
”
Die klassische Fouriertransformation lässt sich noch verallgemeinern, was letztendlich
zu einer Form führt, über die sich das Fresnel-Kirchhoff-Integral noch natürlicher beschreiben lässt. Betrachtet man eine herkömmliche Fouriertransformation wie z.B. in
Gleichung (3.6), dann lässt sich eine mehrmalige Hintereinanderausführung der FT darstellen als:
H 2 (ν) = H(H(ν))
(3.25)
H n+1 (ν) = H(H n (ν))
(3.26)
und allgemein:
Ersetzen wir nun n = 2α
π , so dass n nicht mehr ganzzahlig ist, so erhalten wir eine
Fraktionale Fourier Transformation (FRT) mit der Form:
Hα (ν) = H
2α
π
r
1 − cot α
−2πν 2
(ν) =
exp
2π
2 tan (α)
Z
i2πνt
it2
× exp −
+
h(t) d t
sin α
2 tan (α)
R
(3.27)
25
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
Man sieht leicht, dass für n = π2 Gleichung (3.27) die herkömmliche kontinuierliche FT
ergibt. Analog ergibt sich für n = − π2 die inverse Fouriertransformation. Man erkennt,
dass in der FRT sämtliche quadratischen Phasenfaktoren der Gleichung (3.5) auf natürliche Art und Weise bereits vorhanden sind. Die Fouriertransformation ist eine Operation,
mit der man vom Zeit- zum Frequenzraum oder vom Orts- zum Impulsraum wechseln
kann. Allgemein wechselt man von einem Raum zu dessen reziproken Raum. Die FRT
ist eine Transformation, die den Raum hingegen in ein Übergangsregime wechselt, quasi
einen kombinierten Orts-Impuls-Raum. Eine klassische Vorstellung hierzu gibt es nicht.
Stellen wir nun das Fresnel-Kirchhoff-Integral aus Gleichung (3.5) in einer Dimension
über die FRT dar, so ergibt sich [26]:
uz
xn
β
Z
iπ
x2n
iπ
2
= exp
×
u0 (x0 ) exp
x
λf1 sin α cos α
λf1 tan α 0
R
i2π
x0 xn d x0
× exp −
λf1 sin α
iπ tan α 2
= exp
x F n (u0 (x0 ))
λf1
(3.28)
Hierbei ist f1 eine zunächst willkürliche konstante Länge. Der Abstand vom Bild zum
Hologramm ergibt sich zu z = f1 tan α. Es gibt weiterhin die Möglichkeit, die FRT
über eine Fouriertransformation und eine inverse Fouriertransformation darzustellen. In
diskreter Form folgt:
α −π sgn[sin φ] + 2α + π
πµ2
= exp i
· exp −i
tan
4
N
2
0
2
πm
sin φ
×DF T −1 exp −i
N
α πm2
m∆x0
· exp −i
tan
×DF T u0
N
N
2
(Un )µ
(3.29)
Hierbei gelten ähnliche Substitutionen wie bei Gleichung (3.8):
∆x0 = ∆xn =
p
λf1 N
z = f1 tan φ
In Hinsicht auf das Nyquist-limit ergeben sich weiterhin folgende einschränkende Kriterien:
|sin α| ≤ 1
α π
tan ≤ 1 =⇒ α ≤ ⇐⇒ n ≤ 1
2
2
∆x20
tan α ≤ N =⇒ tan α ≤ 1
λf1
26
3.2. HOLOGRAPHISCHE METHODEN ZUR MANIPULATION VON
BECS
Für die in Kapitel 2.4.2 beschriebenen Hologramme waren das Bild und das Hologramm
stets gleich groß. Bei den über die FRT berechneten Hologrammen bestimmt sich die
Seitenlänge des Hologrammes im Verhältnis zur Seitenlänge des Bildes zu:
∆xz (z) =
∆xn
λN
=
β
∆x0
q
z 2 + f12
(3.30)
Die Berechnung von Hologrammen mittels der FRT bietet somit zusätzliche Möglichkeiten das Beugungsmuster ortsaufgelöst berechnen zu können.
Es wurden hierbei die Grundlagen für einen vielversprechenden Ansatz gelegt. Aus Zeitgründen konnte eine erfolgreiche Umsetzung jedoch nicht intensiv verfolgt werden, da
der Algorithmus sehr viel komplexer ist als die vorherigen Algorithmen. Es könnte in
einer weiterführenden Diplomarbeit untersucht werden, ob dieser Ansatz die Probleme
der Fresnel- und Fourier-Transform-Algorithmen lösen kann.
3.2.8
Ergebnisse der Holographie
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden zu allen angegebenen Techniken Algorithmen
zur Generierung digitaler Hologramme geschrieben. Da sämtliche Algorithmen nicht erfolgreich waren, werden im folgenden die Ergebnisse der Fresnel-Holographie vorgestellt,
da diese mit Abstand am besten waren. Bei den anderen Techniken war z.T. schwer zu
erkennen ob diese überhaupt funktioniert haben.
Für die Messung wurden die Hologramme zunächst berechnet und anschließend über
den SLM auf eine CCD-Kamera der Firma Hamamatsu1 abgebildet. In Abb. 3.9(a) Abb. 3.9(c) sieht man das Ausgangstestbild, das generierte Hologramm und seine Rekonstruktion. Vergleicht man im letzten Bild die horizontale und die vertikale Kante des
Rechtecks, so sieht man, dass die vertikale Linie erheblich schärfer ist. Man erkennt somit,
dass das Bild mit einem Astigmatismus rekonstruiert wurde. Dies ist auf die nicht quadratische Form des SLMs zurückzuführen. Da die Auflösung des rekonstruierten Bildes
schon mit dem bloßen Auge erkennbar war, wurden keine weiteren Messungen zur quantitativen Bestimmung betrieben. Die Auflösung lässt sich mit ≈ 30 − 50 µm abschätzen.
Man erkennt weiterhin, dass der Kontrast äußerst schlecht wiedergegeben wird. Berücksichtigt man die in Kap. 2.4.6 gemachten Vorhersagen bezüglich der Beugungseffizienz,
war die Aufnahme der Rekonstruktionen nicht unproblematisch. Da über 90% des eingestrahlten Lichtes in die 0-te Beugungsordnung schien, mussten im Algorithmus Verschiebefunktionen eingefügt werden, um das Hologramm von der 0-ten Beugungsordnung
räumlich zu trennen. Auch mit der holographischen Verschiebung des Rekonstruktionsbildes, wurde die Messung durch heftiges Streulicht gestört.
Insgesamt ist das Ergebnis dieser Untersuchungen, dass ein holographisches Betreiben des SLMs in einem BEC-Experiment nicht ratsam ist. Es war nicht möglich eine scharf berandete Struktur abzubilden. Auch eine homogene Lichtintensität konnte
1
Hamamatsu CCD-Kamera vom Typ C8484
27
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
(a)
(b)
(c)
(d)
Abbildung 3.9: Bilder der Holographie Experimente: (a) zeigt das Ausgangstestbild; (b)
zeigt das kodierte Hologramm; (c) zeigt die Kameraaufnahme des Bildes; (d) aufgrund
des schlechten Kontrastes ist hier nochmals die Kameraufnahme mit stark übersättigten
Farben zu sehen
nicht gewährleistet werden. Auf eventuelle weitere Probleme und damit weiteren Ansatzpunkten die zu einer Verbesserung der Ergebnisse führen könnten wird im Kap.
3.2.9 eingegangen.
Dennoch ist die Holographie ein für die Zukunft vielversprechendes Mittel, da sie erheblich flexibler ist als jeglicher optische Aufbau. Es gibt prinzipiell keine Linsenfehler zu
berücksichtigen, da die Fresnel-Hologramme ohne jegliche Optik auskommen. Hierüber
erübrigt sich auch jegliche Justage, da ein Scharfstellen über den Einsatz zusätzlicher
Fresnel-Linsen, die in das Hologramm eingerechnet werden, ermöglicht werden kann.
Eine prinzipielle Verbesserung wäre durch den Einsatz von Phasen-SLMs denkbar, dennoch bleibt die Entwicklung der nächsten Jahre abzuwarten, ob die Technik einen Punkt
erreicht an dem SLM-Hologramme bedenkenlos an einem Quantenoptik-Experiment eingesetzt werden können.
28
3.3. BESSEL-STRAHLEN
3.2.9
Probleme der digitalen Holographie
Ein großes Problem der von mir erstellten Algorithmen ist die Näherung diskreter Bildpunkte. Die Pixel der berechneten Hologramme werden vom Algorithmus als punktförmig
betrachtet. Von jedem Punkt geht anschließend eine kohärente Kugelwelle aus, deren Intensität vom Schwärzungsgrad des Pixels abhängt. In der Tat handelt es sich bei den Pixeln um eine Faltung des Funktionswertes mit einer Rechteckfunktion (siehe Kap. 3.3.5).
Dies sorgt dafür, dass jedes Pixel nicht mehr als Kugelwelle sondern als Beugung am
Einzelspalt angesehen werden muss. Bei typischen Arbeitsabständen zwischen dem SLM
und der Kamera von ca. 15 - 25cm kann man nun nicht mehr annehmen, dass die Intensität aufgrund der Paraxial-Näherung homogen und ungefähr konstant ist. Die Intensität
entspricht stattdessen einer sinc-Funktion. In der Bildebene gibt es bereits auf 2cm Entfernung vom Intensitätszentrum einen nicht mehr vernachlässigbaren Intensitätsabfall,
weswegen das von diesem Pixel gebeugte Licht nicht mehr die Interferenz-Rolle übernehmen kann, die ihm zugerechnet war. Wie man in Abb. 3.2(b) jedoch erkennen kann, gibt
es auch zwischen den Pixeln noch schwarze Ränder. Diese Sachverhalte in den Algorithmen zu berücksichtigen ist jedoch äußerst komplex und wird höchstwahrscheinlich nur in
einem sehr komplizierten Iterationsalgorithmus möglich sein. In Anbetracht der früher
erwähnten Einschränkungen wie z.B. der Beugungseffizienz ist es überdies fraglich, ob
ein solcher Aufwand letztendlich zu einer Hologramm Generierung führen kann, die dem
Anspruch eines Quantenoptik-Experimentes genügt.
3.3
Bessel-Strahlen
Nach den allgemeinen Versuchen beliebige Strukturen holographisch zu erzeugen, ergab
sich die Frage ob es zumindest möglich ist spezielle Potentiale zu erzeugen. Wie in Kap.
2.2 erwähnt wurde, können die Kräfte eines solchen Potentials genutzt werden um Atome
einzufangen. Die herkömmlichen Dipolfallen unterliegen jedoch dem Problem der Gauss
Optik. Gaussförmige Strahlen unterliegen wie alles andere auch der Unschärferelation.
Dies führt dazu, dass ein kollimierter Laserstrahl unweigerlich divergiert. Dies fällt schon
im Umgang mit einfachen Laserdioden auf, die auf eine Entfernung von einigen Metern
kollimiert werden müssen. Selbst hier fällt schon auf, dass es selbst bei genauester Justage nicht möglich ist, den Laserpunkt auf einen Durchmesser unterhalb einer gewissen
Schwelle zu bringen, die in der Größenordnung einiger Millimeter liegt. Weiterhin gibt
es auch eine Lösung der Wellengleichung, die die Unschärfe erfüllt ohne zu divergieren.
Es wird daher im Folgenden auf die Divergenz-Probleme gaußförmiger Strahlen eingegangen um anschließend eine mögliche Lösung in Form von sogenannten Bessel-Strahlen
vorzustellen. Diese wurden bisher mit Hilfe hochpräziser Optiken generiert (siehe Kap.
3.3.2) und werden im Rahmen dieser Arbeit alternativ durch Holographie erzeugt (siehe
Kap. 3.3.3). Der hierbei erreichte Waist war überaus gut und lag in der Größenordnung
der Auflösung des Halle-Objektivs (siehe Kap. 3.2).
29
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
3.3.1
Gauss Optik
In der Optik gehorchen alle Wellen der Wellengleichung [27], siehe Gleichung (3.31).
1 ∂2
∇ − 2 2
c ∂t
2
E(~r, t) = 0
(3.31)
Da uns die Zeitabhängigkeit der zu untersuchenden Felder nicht interessiert, machen wir
einen Separationsansatz, in dem wir die Wellenfunktionen in einen zeitabhängigen und
einen ortsabhängigen Anteil zerlegen:
E(~r, t) = Ψ(~r) · u(t)
(3.32)
Die Wellengleichung reduziert sich damit zu einer zeitunabhängigen Wellengleichung,
der Helmholtzgleichung:
(∇2 + k 2 )Ψ(~r) = 0
(3.33)
Nehmen wir nun an, dass sich zu einem festen Zeitpunkt t das skalare elektrische Feld
darstellt als:
E(~r) = Ψ(~r) exp(−ikz)
(3.34)
Hierbei stellt Ψ die skalare Amplitude des Feldes dar, während der Exponentialfaktor
die Schwingung des Feldes darstellt. Setzt man diesen Ansatz in Gleichung (3.33) ein, so
erhält man eine Differentialgleichung, deren Lösung durch eine Gaussmode beschrieben
wird [27]. Der Strahlradius (waist) ist über den Abstand vom Mittelpunkt definiert, an
dem die Intensität auf e12 abgefallen ist. Der z-abhängige Strahlradius stellt sich hierbei
dar als:
ω 2 (z) = ω02
1+
Den Abstand, bei dem der Waist auf den
zeichnet man weiter als Rayleigh Range:
zR =
√
λz
πω02
2 !
(3.35)
2-fachen Ausgangswert angestiegen ist, be-
πω02
λ
(3.36)
Ein Gaussscher Strahl wird folglich immer divergieren und lässt sich unter gar keinen
Umständen auf unendlichen Abstand kollimieren.
30
3.3. BESSEL-STRAHLEN
3.3.2
Bessel-Strahlen
Wie die Gaussschen Strahlen, so müssen auch die Bessel-Strahlen eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung sein, Gleichung (3.31). Eine allgemeine Lösung mit Propagationsrichtung in z-Richtung lässt sich z.B. darstellen als [28]:
Z
E(x, y, z ≥ 0, t) = exp(i(βz − ωt))
2π
A(φ)
0
× exp(iα(x cos φ + y sin φ)) d φ
(3.37)
E stellt hierbei die elektrische Feldamplitude dar. Mit A(φ) wird eine willkürliche kom2
plexe Funktion beschrieben, während weiterhin α2 + β 2 = ωc gilt. Betrachten wir im
weiteren die axiale und radiale Symmetrie getrennt voneinander. Für die radiale Intensität sieht man leicht, dass die z-Abhängigkeit wegfällt, wenn β reell ist. Für die
Intensität gilt
1
(3.38)
|E(~r, t)|2 ,
2
so dass der für reelle β rein imaginäre Phasenfaktor iβz im Betragsquadrat eins ergibt.
Weiterhin muss es für einen Besselstrahl auch eine axiale Symmetrie geben. Betrachtet man Gleichung (3.37), so sieht man, dass eine axiale Symmetrie insbesondere dann
gewährleistet ist, wenn A(φ) unabhängig von φ ist. Die Lösung ist somit proportional
zu:
I(x, y, z) ∼
Z
exp(i(βz − ωt)) 2π
E(x, y, z ≥ 0, t) ∼
exp(iα(x cos φ + y sin φ) d φ
2π
0
= exp(i(βz − ωt))J0 (αρ)
(3.39)
Hierbei ist
+
=
und J0 die Besselfunktion nullter Ordnung. Für 0 < α ≤ ωc
1
resultiert ein Besselstrahl, dessen gemittelte Intensität radial mit ∼ αρ
abfällt. Da E
jedoch nicht quadratintegrabel ist, erkennt man sofort, dass es unmöglich ist, einen idealen Besselstrahl zu generieren. Entsprechend einer Besselfunktion gibt es einen zentralen
Peak und Ringe mit äquidistanten Radien. In jedem Ring der um den zentralen Peak
gebildet wird, steckt die gleiche Energie wie im zentralen Peak [28]. Daher folgt für die
Energie:
x2
y2
ρ2
Z
2π
Z
E ∼
0
d
d→∞
|E(ρ, φ)|2 d φ d ρ =⇒ ∞
(3.40)
0
Ein idealer Besselstrahl ließe sich somit nur mit unendlich viel Energie aufbauen und
lässt sich daher nur in Näherung erzeugen.
Es ist leicht zu erkennen, dass die Phasenfaktoren in Gleichung (3.39) ebene Wellen
darstellen, die um den Winkel φ geneigt sind. Solch zueinander verkippte Planwellen
lassen sich mit Hilfe eines Axikons erzeugen, einem konusförmigen Glaskörper, wie z.B.
einem Kegel. Siehe hierzu Abb. 3.10.
31
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
Abbildung 3.10: Erzeugung eines Besselstrahls mit Hilfe eines Axikons. Im Überlagerungsbereich interferieren die Strahlen zu einem idealer Weise δ-förmigen Peak.
3.3.3
Holographische Bessel Strahlen
Da Axikons für Bessel Strahlen geringen Waists extrem präzise gefertigt sein müssen,
sind sie dementsprechend teuer. Daher wurde versucht, Bessel Strahlen holographisch mit
Hilfe eines SLMs herzustellen. Zunächst ist es hierbei wichtig, die Transmissionsfunktion
des Hologramms zu bestimmen.
Ausgehend von einer Besselfunktion muss hierfür die Fresnel-Transformation bestimmt
werden. Im Falle von Besselfunktionen ist dies sogar analytisch möglich [29]. Es folgt für
die Transmissionsfunktion in Polarkoordinaten [30]:
ρ
Tl (ρ, θ) = exp(ilθ) exp −i2π
ρ0
(3.41)
Tl stellt das Hologramm eines Bessel-Strahls l-ter Ordnung dar mit ρ0 als einem Skalierungsfaktor. In Abb. 3.11 sind Beispiele von berechneten Bessel-Hologrammen zu sehen.
(a)
(b)
Abbildung 3.11: Hologramme zur Erzeugung von Bessel-Strahlen: (a) zeigt einen BesselStrahl nullter Ordnung, der Art von Bessel-Strahlen die hauptsächlich in dieser Diplomarbeit untersucht wurden; (b) zeigt das Hologramm eines Bessel-Strahls 5-ter Ordnung.
Die Theorie sagt für die Länge des Besselstrahls vorraus [31, 30]:
32
3.3. BESSEL-STRAHLEN
L=
Dρ0
2λ
(3.42)
Hierbei ist D die Länge des Hologramms, in unserem Fall also die Länge des Displays.
Der Waist wird ausschließlich über den Skalierungsfaktor ρ0 bestimmt und ergibt:
W0 = 0, 766 · ρ0
3.3.4
(3.43)
Realisierung und Messung
Das Ziel von Bessel-Strahlen ist es, einen über möglichst große Distanz kollimierten
Strahl mit dabei möglichst kleinem Waist zu erreichen. Versuchen wir den Waist möglichst
klein zu machen, so wird es uns unmöglich, den Strahl genau auszumessen, da der Waist
in den Größenbereich einzelner Kamerapixel geht. Für die Aufnahme wird wie vorangegangenen Kapiteln eine Kamera der Firma Hamamatsu mit einer Pixelgröße von 6, 45 µm
benutzt. Ein Strahl mit einem Waist von 5 − 10 µm würde lediglich als heller Punkt erscheinen, dessen direkt benachbarten Pixel evtl. noch leicht beleuchtet sind. Der simple
Aufbau zur Messung der Bessel-Strahlen ist in Abb. 3.12 zu sehen. Um den Bessel-Strahl
jedoch genau charakterisieren zu können wird im folgenden eine Methode entwickelt, mit
der der Strahl wesentlich feiner aufgelöst werden kann, als es die Kamera alleine erlaubt.
Abbildung 3.12: Aufbau zur Messung der Bessel-Strahlen. Die Kamera wurde mithilfe
eines Verschiebetisches präzise eingestellt.
Die Technik die im folgenden vorgestellt wird, ist in der Astrofotographie sehr verbreitet. Das gleiche Bild wird mehrfach aufgenommen mit dem einzigen Unterschied, dass es
33
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
jedesmal um wenige hundert Nanometer auf der Kamera verschoben wird. Anschließend
setzt man die Bilder zusammen und erhält so ein wesentlich höher aufgelöstes Bild. Das
Problem besteht nun darin, das Bild entsprechend abzurastern. Hierbei bedient man
sich der unterschiedlichen Pixelgrößen des verwendeten SLMs und der der Kamera. Verschiebt man das Hologramm auf dem SLM um ein Pixel, also 8, 1µm, so verschiebt man
das Bild auf der Kamera ebenfalls um 8, 1µm, was einem Pixel und 1, 65µm entspricht.
Verschiebt man auf dem SLM um vier Pixel, also 32, 4µm hat man auf der Kamera um
5 Pixel und 0, 15µm verschoben. Die Periodizität lässt sich leicht herausrechnen, so dass
man nominell eine Auflösung im Nanometer Bereich erreicht. Die Aussage ist allerdings
sehr kritisch zu betrachten, da in dieser Betrachtung sämtliche Inhomogenitäten des
SLMs als auch des Kamerachips vollständig vernachlässigt werden. Das Schema einer
solchen Abrasterung ist in Abb. 3.13 zu sehen.
Pixel 1-1 2-1 3-1
(a)
Pixel 1-2 2-2 3-2
(b)
Pixel 1-3 2-3 3-3
(c)
Abbildung 3.13: Gefaltetes Abrastern eines Bildes: Es wird eine Besselfunkion mit sehr
groben Pixeln abgerastert. Jedes Pixel nimmt immer das Integral der Funktion in seinem
Bereich auf.
Unbestritten bleibt aber die Aussage, dass es auf diese Art und Weise möglich ist, eine
Auflösung zu erreichen, die unterhalb der Kamera-Pixelgröße liegt. Bei dem Arbeiten
mit dieser Technik wurde festgestellt, dass die Bessel-Strahlen am besten durch binäre
Hologramme erzeugt werden konnten, was auf ein Problem der Graustufenwiedergabe
des SLMs schließen lässt. Weiterhin wurden für die Rasterung des Bildes 20 Unterteilungen in x-Richtung gewählt und aufgrund der Punktsymmetrie in y-Richtung lediglich
6 Unterteilungen. Das Zusammensetzen erfolgt, indem jedes Kamerapixel, welches sich
nun aus 20 × 6 Pixeln zusammen setzt, in einer neuen Matrix entsprechend seiner Position angeordnet wird (siehe Schema 3.14). Das resultierende Bild ist in Abb. 3.15 zu
sehen.
Man sieht in diesem Bild zwei Effekte. Einerseits sieht man hier direkt die Inhomogenitäten der Kamera und des SLMs, da das Bild Pixel aufweist, die offenbar nicht
vollständig richtig in die Matrix einsortiert wurden. Inhomogenitäten der Pixellängen
34
3.3. BESSEL-STRAHLEN
Pixel 1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 3-1 3-2 3-3
Abbildung 3.14: Die Pixel aus Abb. 3.13 werden zu einem neuen Bild geordnet.
Abbildung 3.15: Wiedergabe des neugeordneten, subpixel aufgelösten Bildes
sorgen in diesem Fall dafür, dass das aufgenommene Bild an einer anderen Stelle der
Rasterung steht als es berechnet wurde. Der andere Effekt, der für ein unscharfes Verwaschen des Bildes sorgt, resultiert durch die Faltung der Bildpunkte mit einer Rechteckfunktion des Pixels.
3.3.5
Faltung und Dekonvolution
Ein Bild einer Kamera wird aufgenommen, indem sämtliche Photonen, die in einem
Kamerapixel registriert werden, aufsummiert werden. Ein Pixel eines Bildes stellt somit
nicht den Funktionswert eines Objektes U an einem bestimmten Ort dar, sondern das
Integral über einen gewissen Bereich:
35
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
Z
IP ixel =
U (x, y) d xd y
(3.44)
2
Definieren wir eine quadratische Kastenfunktion mit einer Kantenlänge a an der Stelle
x0 und y0 :
K(x, y) =


 K=1


für x0 + a2 ≥ x ≥ x0 − a2
und y0 + a2 ≥ y ≥ y0 − a2
sonst
K=0
(3.45)
Damit können wir Gleichung (3.44) zu einer Faltung umschreiben (siehe Gleichung (3.16)):
Z
U (x, y) · K(x − x0 , y − y0 ) dx dy
IP ixel (x0 y0 ) =
R2
I˜ = Ũ ⊗ K̃
(3.46)
˜ Ũ und K̃ die Fouriertransformierten der Funktionen I, U und K. Die
Hierbei sind I,
Faltung von zwei Funktionen lässt sich leicht anhand von Abb 3.16 nachvollziehen.
Abbildung 3.16: Wirkung der Faltung einer Funktion mit der Kastenfunktion eines Pixels
bei der Abrasterung der Funktion.
Es ist leicht zu sehen, dass das wirkliche Objekt nur erhalten wird, wenn die Faltung
mit der Rechteckfunktion rückgängig gemacht werden kann. Dies ist im Fourierraum besonders einfach, da die Entfaltung oder auch Dekonvolution in diesem Raum über eine
einfache Division erreicht werden kann. Das Problem bei der Berechnung einer Dekonvolution liegt insbesondere in der Problematik der Nulldivision. Die Fouriertransformierte
einer Kastenfunktion ist die sinc-Funktion, die unendlich viele Nulldurchgänge hat. Eine
36
3.3. BESSEL-STRAHLEN
analytische Division ist hierdurch ausgeschlossen, da der Ausdruck ansonsten divergieren
würde. Moderne Dekonvolutionsalgorithmen folgen daher nicht der direkten Division im
Fourierraum. Sie benutzen stattdessen einen iterativen Weg, bei dem durch Vorgabe des
einen Faltungsfaktors die Gestalt des anderen Faltungsfaktors approximiert wird.
3.3.6
Ergebnisse der Analyse von Bessel Strahlen
Es wurde im Experiment ein Bessel-Strahl nullter Ordnung erzeugt, dessen Skalierung
r0 = 3, 5 · 8, 1 µm beträgt. Der Bessel-Strahl behielt über eine Distanz von s = 150 mm
einen konstanten Waist. Durch die in den vorangegangen Kapiteln beschriebenen Techniken konnte das Strahlprofil an einem beliebigen Punkt hochaufgelöst bestimmt werden
(siehe Abb 3.17(b)). Im weiteren wurde durch das Intensitätsmaximum ein Schnitt gelegt, an den eine Besselfuntion angefittet wurde. Der Waist ließ sich hiermit zu 9, 8 µm
bestimmen. Um dies zu bewerten kann davon ausgegangen werden, dass die kleinste
abgebildete Struktur die Größe eines Pixels haben kann. Dies ist durch den SLM mit
8, 1 µm vorgegeben. Der Quotient von gemessenem Waist und der Pixelgröße bestimmt
sich zu ≈ 1, 2. Nun kann dies mit der Auflösung des hochauflösenden Halle-Objektivs
verglichen werden (siehe Kap. 3.2), welches eine gemessene Auflösung von 2, 8 µm ergab,
wobei sich die theoretische Auflösung zu 2, 1 µm bestimmte. Der hieraus resultierende
Quotient ergibt sich zu ≈ 1, 33. Man erkennt, dass der erzielte Waist des holographisch
generierten Bessel-Strahls in der Größenordnung der Auflsöung des Halle-Objektivs liegt
und somit ein außerordentlich gutes Ergebnis ist.
Zuletzt wurde noch bestimmt, welcher energetische Anteil im zentralen Peak des aufgenommenen Strahles lag. Hierfür wurde angenommen, dass 99% der vom SLM ausgehenden Strahlleistung, in Näherung also sämtliches Licht, auf die Kamera fallen. Es
wurde das Verhältnis der aufintegrierten Intensität im zentralen Peak zur aufintegrierten
Intensität des Restes des Kamerachips bestimmt. Es konnte somit festgestellt werden,
dass lediglich ein Anteil von 10−5 in den zentralen Peak des Besselstrahls gebeugt wird.
Die maximale Intensität dieses Peaks beträgt lediglich das Zehnfache des gemittelten
Hintergrundlichtes. Ein Grund hierfür ist das in Kap. 3.3.2 beschriebene Problem, dass
in jedem Ring der Bessel-Funktion so viel Energie steckt wie im zentralen Peak. Ein
weiteres Problem stellt die Beugungseffizienz dar, die in Kap. 3.2.6 beschrieben wurde.
Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurden ausschließlich Besselstrahlen nullter Ordnung
untersucht. Die Strahlen waren zwar über eine große Reichweite kollimiert und hatten
einen sehr kleinen Waist, jedoch wäre es mit dieser Realisierung nicht möglich z.B. eine
funktionsfähige Dipolfalle zu realisieren, da es nicht möglich ist, die nötigen Intensitäten
im Zentrum aufzubauen. Insbesondere sind auch Besselstrahlen erster Ordnung interessant, da diese im Zentrum ein Intensitätsminimum haben. In radialer Symmetrie stellt
dies eine Doughnut-Mode da (Siehe Abb. 3.18). Verwendet man blauverstimmtes Licht,
kann man hiermit Atome oder auch Moleküle im Zentrum einsperren. Der theoretische
Waist des zentralen Minimums ist hierbei sogar noch kleiner als der des zentralen Peaks
des Bessel-Strahls erster Ordnung. Es wäre somit eine interessante Frage, ob es durch
reine Phasen-SLMs evtl. möglich wäre, eine größere Beugungseffizienz für die zentralen
Peaks zu erreichen, um somit eine lineare und völlig homogene Dipolfalle oder auch
37
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
(a)
(b)
Abbildung 3.17: Vergleich des ungefilterten Bessel-Profils (a) (siehe auch Abb. 3.15), mit
dem gefilterten Bild nach Dekonvolution (b).
Doughnut Falle realisieren zu können.
Abbildung 3.18: Eine Besselfunktion erster Ordnung mit dem sehr scharf berandeten Tal
im Ursprung
3.4
Zustandspräparation von BECs mit SLMs
Nach den intensiven Untersuchungen zu den Möglichkeiten die ein SLM bietet um BECs
mit optischen Potentialen zu manipulieren, soll nun ein konkretes Beispiel eines solchen
Einsatzes gegeben werden. Der SLM wird hierbei genutzt um eine Kante auf das BEC
abzubilden. Dies resultiert darin, dass ein Phasengradient zwischen den beiden Seiten des
BECs ensteht (siehe Kap. 2.2). Hierbei enstehen sogenannte Solitonen, die im Folgenden
vorgestellt werden. Es wird anschließend auf die verschiedenen Typen möglicher Solitonen eingegangen (siehe Kap. 3.4.1 und folgende) um zuletzt auf die bahnbrechenden
38
3.4. ZUSTANDSPRÄPARATION VON BECS MIT SLMS
Ergebnisse dieser Untersuchung einzugehen (siehe Kap. 3.4.4).
In der Natur sind sämtliche Wellenphänomene einer natürlichen Verbreiterung unterworfen. Beobachten wir eine Wasserwelle in einem offenen Gewässer, so sehen wir schnell,
dass sich die Amplitude verringert, während die Breite der Welle zunimmt. Unternimmt
man ein solches Experiment allerdings nicht in einem offenen Gewässer sondern z.B. in
einem Kanal, so stellt man fest, dass sich eine Welle entlang des Kanals nicht so verhält
[32]. Vernachlässigt man allgemeine Dämpfungseffekte, so erkennt man, dass die Wellenform über lange Strecken unverändert bleibt und auch die Amplitude kaum abnimmt.
Die Rede ist hier von einem Soliton, einem Wellenpaket, dessen dispersive Eigenschaft
durch äußere Einwirkung kompensiert wird. Im Falle der Kanalwelle lassen sich die Kanalwände als äußeres Potential betrachten, die ein Auseinanderlaufen der Wellenform
nicht gestatten. Eine genaue Behandlung der von Scott Russel gemachten Entdeckung
ist über die Korteweg-deVries-Gleichung möglich. Soliton-Phänomene sind in der Natur, also bei makroskopischen Objekten, seit inzwischen mehr als 150 Jahren bekannt.
In der Spektroskopie an Gasen wurden solitäre Effekte bereits Ende der 60er und Anfang der 70er Jahre im 20. Jahrhundert entdeckt, welche in diesem Zusammenhang als
selbst-induzierte Transparenz bezeichnet wurde [33, 34, 35]. Mit der Realisierung der
ersten Bose-Einstein Kondensate war es daher von besonderem Interesse, ob ein solches
Quantensystem diese Eigenschaft makroskopischer Festkörper und Fluide teilt.
Ein Soliton kann sich in einem System prinzipiell nur dann ausbilden, wenn die Gleichung, die dieses System beschreibt, auch solitäre Lösungen beinhaltet, was im allgemeinen vorraussetzt, dass das System nicht-linear ist. Die Gleichung, die ein BEC in
einer harmonischen Falle beschreibt, ist die Gross-Pitaevski-Gleichung, die in Kap. 2.1
beschrieben wird (siehe Gleichung (2.3)). Bei der Untersuchung dieser Gleichung auf
solitäre Lösungen trifft man prinzipiell auf zwei Lösungen: Als Minimum in der Dichte
(Dip) und damit dunklen Soliton und als Maximum (Peak), einem hellen Soliton (siehe Abb. 3.19). Interessant ist hierbei, dass helle und dunkle Solitonen in einem BEC
oszillieren können, wenn sie nicht vollständig durchmoduliert sind [5].
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
-6
-4
-2
(a)
0
2
4
6
-6
-4
-2
0
2
4
6
(b)
Abbildung 3.19: Die zwei solitären Lösungen der GPE
3.4.1
Dunkle Solitonen
Experimente zu dunklen Solitonen in BECs wurden das erste Mal bereits 1999 durchgeführt [4]. Betrachtet man die 1D-GPE für ein Kondensat mit repulsiver Wechselwir39
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
kung (WW), also g1D > 0, so ergibt sich für ein Kondensat, auf das ein axiales Potential
von Vext = 0 wirkt, eine nichtdispersive Lösung der Form:
Ψd (z, t) =
√
n0 (i sin α + cos α tanh(κd {z − z0 (t)}) exp(−i
g1 n0
)
~
(3.47)
Hierbei ist n0 = |Ψ|2 die Dichte der ungestörten Wellenfunktion. Weiterhin ist z0 (t) die
zeitlich abhängige Position des dunklen Solitons. Mit einer Bewegungsgeschwindigkeit
d
¯−1 cos α, ergibt sich eine zeitabhängige Position des Solitons
von v = ~κ
m tan α und κd = ξ
von:
z0 (z, t) = z0 (0) + v · t
(3.48)
Im Ausruck für κd stellt ξ¯ die Ausheillänge des Kondensates dar, also die Länge im
Kondensat, über die Dichteschwankungen kompensiert werden können.
Betrachtet man die Phase der Wellenfunktion, so erkennt man schnell, dass für den freien
Parameter α = 0 die Phase im Bereich von z = −∞ bis z = +∞ die Werte − π2 bis + π2
durchwandert. Berücksichtigt man α und bestimmt die Phasendifferenz, so erhält man:
∆φ = π ± 2α
(3.49)
Man erhält hierüber eine unmittelbare Möglichkeit zur Erzeugung eines solchen Solitons.
Da die Wellenfunktion zwangsläufig über das Soliton hinweg den in Gleichung (3.49)
angegebenen Phasengradienten aufweist, kann man aus einem unpräparierten Kondensat
durch Aufprägen eines solchen Phasengradienten ein Soliton erzeugen.
3.4.2
Helle Solitonen
Betrachtet man nun ein Kondensat mit attraktiver WW, so ergibt sich in 1D Näherung
eine nicht dispersive Form der Wellenfunktion [36], mit:
r
Ψh =
N h κh
mvz
sech(κh {z − z0 (t)}) exp(i(
+ Ωh t + φh ))
2
~
(3.50)
Hier ist Nh die Teilchenzahl im Soliton, ~Ωh = − g1D4ξ̄Nh − 12 mv 2 , während κh = ξ¯ somit
unabhängig von α ist. In dem Exponenten steht weiterhin ein konstanter Phasenfaktor
φh .
3.4.3
Hell-Dunkle Solitonen
In mehrkomponentigen BECs ist es nunmehr auch möglich, eine Kombination eines
dunklen und eines hellen Solitons zu erzeugen [5, 37]. Transferiert man bei Erzeugung
eines dunklen Solitons einen Teil der Atome in einen anderen Hyperfeinzustand, so wirkt
40
3.4. ZUSTANDSPRÄPARATION VON BECS MIT SLMS
die repulsive Kraft des dunklen Solitons gegen die dispersive Neigung der transferierten
Komponente, sie verhält sich somit wie ein helles Soliton. Man spricht in diesem Zusammenhang von hell-dunklen Solitonen oder auch von Vektorsolitonen, da die Wellenfunktion durch einen komplexen Spinor beschrieben wird. Die entscheidenden Parameter
verändern sich bei einer Kopplung des hellen an das dunkle Soliton zu:
s
κh ξ¯ =
cos2 α
+
Nh
¯ 0
4ξn
2
Nh
− ¯
4ξn0
(3.51)
v =
~κh d
tan α
m
(3.52)
~Ωh =
~ 2 κ2
(1 − tan2 α) − ∆
2m
(3.53)
und
Hierbei ist ∆ die Differenz der chemischen Potentiale der einzelnen Hyperfein-Niveaus.
Da κ−1 direkt proportional zur Breite eines Solitons ist, sieht man an Gleichung (3.51),
dass die Breite eines hell-dunklen Solitons breiter ist als die eines reinen dunklen Solitons.
Auch folgt direkt, dass die Geschwindigkeit langsamer ist als die eines dunklen Solitons.
Man kann das hell-dunkle Soliton somit als ein verunreingtes dunkles Soliton ansehen,
was unter anderem einen Verbreiterungsmechanismus mit sich bringt. Für Nh → 0 gehen
die Parameter in die bekannten Gleichungen der dunklen Solitonen über.
3.4.4
Experimentelle Realisierung von Solitonen
Kurz vor Beginn dieser Arbeit wurden Messungen zur Erzeugung von Solitonen durchgeführt. Während der Diplomarbeit wurden die aufgenommenen Daten analysiert und
die zugrundeliegende Theorie intensiv innerhalb des Teams diskutiert. Die Erzeugung
von Solitonen, erfolgte indem mittels eines Spatial Light Modulators ein Phasenpotential auf die BECs aufgeprägt wurde (siehe Kap. 2.2). Da die experimentelle Realisierung
des Experimentes lediglich den Einsatz eines einzelnen hochauflösenden Objektivs zulässt
(siehe auch Kap. 3.2), wurde dieses Objektiv sowohl für die Phasenpräparation, als auch
für die Detektion genutzt. Hierfür wurde vor die verwendete CCD-Kamera2 ein nichtpolarisierender Strahlteiler Würfel gestellt, auf dem das Detektionslicht und das Licht
vom SLM überlagert wurden. Die Technik, mit der gewährleistet wurde, dass sowohl der
SLM als auch die Kamera gleichzeitig scharf auf das Kondensat abgebildet werden, ist
ausführlich in [20] beschrieben. ein Schema der Anordnung ist in Abb 3.20 zu sehen.
Die 87 Rb Atome werden zunächst in einer 2D-3D MOT eingefangen und anschließend
in einer Melassen Phase auf Sub-Doppler Temperaturen gekühlt. Hiernach erfolgt das
Umladen in eine Ioffe-Pritchard Falle, in der die Atome evaporativ bis kurz vor die
Kondensationstemperatur gekühlt werden. Es folgt das Umladen in eine Dipolfalle, die
2
CCD-Kamera der Firma Photometrics vom Typ SenSys
41
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
SLMLicht
SLM
Polarisierender
Cube
Detektionslicht
BEC
Kamera
Strahlteiler
Hochauflösende
Optik
Abbildung 3.20: Schema des experimentellen Aufbaus. In der Präparationsphase wird die
gewünschte Potentialstruktur über den SLM auf das BEC abgebildet. In der Detektionsphase wird aus der anderen Richtung das Detektionslicht eingestrahlt. Beide Strahlen
sind überlagert.
mit einem 1064nm Nd-YAG Laser3 und einem Waist wN d = 35µm erzeugt wird. Die
Dipolfalle wird nun in der Intensität heruntergerampt und sorgt dadurch für weitere
Evaporation. Nach Ende der Evaporation ist die Atomwolke zu einem BEC kondensiert.
Als letzter Schritt in der Erzeugung der BECs wird noch in der y-Achse ein weiterer
Dipolstrahl eines Ti-Sa-Lasers mit λ = 830nm und einem Waist von wT i−Sa = 125µm
eingestrahlt. Die Teilchenzahl wurde zu N ≈ (52 ± 5) · 103 Teilchen bestimmt mit einer maximalen Dichte von (5, 8 ± 5) · 1019 m−3 . Hieraus resultieren die Ausheillänge mit
ξ¯0 ≈ (0, 51 ± 5)µm (3D), bzw. ξ0 ≈ (0, 72 ± 7)µm (1D) und die Schallgeschwindigkeit
mm
cs,0 ≈ (1, 4 ± 1) mm
s (3D) bzw. c̄s,0 ≈ (1, 0 ± 1) s (1D). Die mittlere Dichte wurde hierbei über Spindynamik gemessen [38]. In Zusammenhang mit der axialen Ausdehnung
Lz = (112 ± 2)µm, den Fallenfrequenzen und der Thomas-Fermi-Näherung in drei Dimensionen, konnte hiermit die Teilchenzahl bestimmt werden. Die Fallenfrequenzen sind
hierfür zu ωz ≈ 2π · 5, 9Hz, ωy ≈ 2π · 85Hz und ωx ≈ 2π · 133Hz bestimmt worden [5].
Zur Erzeugung von dunklen Solitonen wird ein Teil des Kondensates mit Licht beschienen, welches um etliche GHz zu den S1/2 → P3/2 Übergängen verstimmt ist. Entsprechend Gleichung (2.6) fängt die Phase des Kondensates an sich zu entwickeln. Über den
SLM wird also eine scharfe Kante abgebildet. Diese wird mit dem hochauflösenden Objektiv mit einer Auflösung von 2, 3µm auf das Kondensat abgebildet (vgl. Kapitel 3.2).
Der Laserstrahl wird ausgeschaltet, nachdem die belichtete Seite einen Phasenschub um
π erhalten hat. Hierdurch konnten zum ersten Mal sehr langlebige Solitonen erzeugt
werden, bei denen auch die Oszillation beobachtet und vermessen werden konnte. Die
Oszillationsfrequenz wurde zu Ω = 2π · (3, 8 ± 0, 1)Hz bestimmt, was in guter Über3
42
Nd-YAG-Laser der Firma Innolight vom Typ Mephisto
3.4. ZUSTANDSPRÄPARATION VON BECS MIT SLMS
einstimmung mit dem theoretisch bestimmten Wert von Ω = 2π · 4, 0Hz liegt. In Abb.
3.21(a) sind die in Absorptionsmessung aufgenommenen Dichteprofile der Kondensate
nach aufsteigenden Entwicklungszeiten zu sehen. Zusätzlich sind in Abb. 3.21(b) die
in einer 1D-GPE Operator-Splitstep-Methode simulierten Entwicklungen eines entsprechenden Solitons zu sehen [39].
Die Erzeugung von hell-dunklen Solitonen folgt einem leicht anderen Prinzip. Zunächst
ist hierfür ein räumlich aufgelöster Transport in einen anderen Hyperfein-Zustand erforderlich, der durch den in Kapitel 2.2.1 erwähnten Raman-Laser erfolgt. Der genaue
Aufbau, verbunden mit der Charakterisierung folgt in Kapitel A. Es handelt sich bei
diesem Laser um zwei zueinander offset gelockte Laser, wobei die Verstimmung zueinander mit ∆ν = 6, 834 GHz genau der benötigten Energie entspricht, um einen Transfer
von F = 1 → F = 2 zu betreiben. Strahlt man die zwei Laserstrahlen auf das Kondensat ein, erfolgt ein zwei Photonen-Prozess. Es erfolgt eine virtuelle Anregung in ein
zu den angeregten F 0 -Niveaus weit rot verstimmtes Intermediate Niveau. Von dort erfolgt eine stimulierte Emmission in das jeweils andere Hyperfein Niveau. Strahlt man die
beiden Laser länger ein, so regt man kohärent intensitätsabhängige Rabi-Oszillationen
zwischen dem F = 1 und dem F = 2 Niveau an. Es wird mit einem BEC im F = 1
Niveau gestartet, anschließend wird mit Hilfe des SLMs eine Stufe auf das Kondensat
eingestrahlt, bis eine vollständige Rabi-Oszillation stattgefunden hat. Es befinden sich
nun auf beiden Seiten des Kondensates sämtliche Teilchen im Ausgangs-Niveau, während
an der Kante aufgrund der endlichen Auflösung ein Übergangsbereich entsteht. Hier hat
ein Teil nicht die Intensität erhalten, die für eine vollständige Oszillation nötig wäre.
Die erfolgte Rabi-Oszillation in diesem sehr kurzen Bereich reicht von 0 bis 2π. In der
Mitte dieses Bereiches sind optimalerweise also alle Atome in den F = 2 Zustand transferiert worden. Auf den Anteil des Kondensates im F = 2 Zustand wirkt die repulsive
WW des Anteils im F = 1 Zustand, was dazu führt, dass es sich bei dieser Komponente um ein helles Soliton handelt. Im F = 1 Anteil ensteht durch diesen Prozess ein
Dichte-Dip, der zu einem dunklen Soliton wirkt. Durch diese Technik war es erstmals
möglich, hell-dunkle-Solitonen zu erzeugen, die obendrein sehr langlebig waren. Die Oszillationsfrequenz wurde hierbei zu ωh−d = 2π · (0, 90 ± 0, 02)Hz bestimmt und ist somit
sehr viel kleiner als die der reinen dunklen Solitonen. In Abb. 3.22 sind die Absorptionsmessungen der hell-dunklen Solitonen zu sehen. Hierfür wurde nach kurzer Fallzeit
zunächst ein Absorptionsbild der ersten Komponente durchgeführt. Anschließend wurde
das Hyperfein-Niveau der andere Komponente mit Hilfe von Radiofrequenz gewechselt.
Nach kurzer weiterer Fallzeit wurde dann mit dem gleichen Detektionslaser die zweite
Komponente aufgenommen.
Somit konnten erstmals erfolgreich langlebige dunkle und hell-dunkle Solitonen erzeugt
werden. Durch die Auswertung an der im Rahmen dieser Arbeit mitgewirkt wurde,
konnten die erzeugten Solitonen und deren Dynamik verstanden werden.
43
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
(a)
0
0
0.06
0.06
0.11
0.11
0.18
0.18
0.26
0.26
0.38
0.38
0.44
0.44
0.58
0.58
0.65
0.65
0.80
0.80
(b)
Abbildung 3.21: Eine Zeitreihe dunkler Solitonen (a) und der numerischen Berechnungen
(b). Die Zeit ist auf die Oszillationsperiode T normiert
44
3.4. ZUSTANDSPRÄPARATION VON BECS MIT SLMS
0s
0.10 s
0.35 s
0.52 s
0.82 s
1.30 s
2.00 s
Abbildung 3.22: Eine Zeitreihe hell-dunkler Solitonen.
45
KAPITEL 3. RÄUMLICH AUFGELÖSTE OPTISCHE POTENTIALE
FÜR DIE MANIPULATION IN BECS
46
Kapitel
4
Manipulation von BECs in
stark korrelierten Systemen
Seit der ersten Entdeckung der Bose-Einstein Kondensate erlebt die Forschung auf diesem Gebiet einen immer weiter steigenden Boom. Zunächst war vor allem die Faszination
groß, ein makroskopisches Quantensystem zum Anschauen“ realisieren zu können. In
”
letzter Zeit verstärken sich jedoch die Hoffnungen, dass man mit Hilfe so genannter optischer Gitter einen Quantensimulator realisieren wird können. Ein solcher Simulator
könnte es ermöglichen, Festkörper und andere Systeme in Bereichen zu erforschen, die
momentan einfach nicht zugänglich sind. Betrachtet man z.B. einen Festkörper, so sind
uns die physikalischen Vorgänge im Inneren größten Teils verborgen. Es gibt die Möglichkeit der Neutronenstreuung oder auch der Analyse mit Röntgenstrahlen, jedoch nicht
für Licht mit den Energieskalen, auf denen die interessanten Prozesse vonstatten gehen.
Bose-Einstein Kondensate erlauben hingegen vollständigen optischen Zugang. Die Hoffnung ist zugleich auch das Problem, das auf diesem Bereich der Forschung mit BECs
liegt, ein System geeignet zu präparieren und wichtige Messgrößen zu finden, mit denen
man allgemeine Aussagen über stark korrelierte Systeme im Allgemeinen machen kann.
Damit ein solcher Quantensimulator eines Tages Realität werden kann, wird in der aktuellen Forschung vor allem große Aufmerksamkeit darauf gelegt, Gemeinsamkeiten eines
optischen und eines Festkörpergitters zu bestimmen. Es sind in den letzten Jahren viele
Analogien herangezogen worden, die in diesem Experiment z.T. analysiert werden. Es
wird geschaut, in welchem Rahmen diese Analogien sinnvoll sind und wo deren Grenzen
sind.
47
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
4.1
Optische Gitter
Optische Gitter bilden sich, wenn durch Interferenz eine räumlich abhängige Intensitätsverteilung erzeugt wird. Eine Möglichkeit hierfür sind stehende Wellen, weswegen sich
ein 1D-Gitter am einfachsten dadurch realisieren lässt, dass man einen Laserstrahl in
sich selbst reflektiert. Man erhält damit ein periodisches Potential mit einer Gitterkonstanten von a = λ2 . Hat der nicht interferierende Laserstrahl ein Dipol-Potential von U0 ,
so ergibt sich für das 1D-Gitter ein Potential von:
U1D (~r, z) = 4 · U0 · cos2 (k, z)
(4.1)
Es hat sich durchgesetzt, die Potentialtiefe in Einheiten der Rückstoßenergie anzugeben.
2 k2
Mit Er = ~2m
resultiert somit [40]:
2m 3πc2 Γ 2P
U0
= 2 2
Er
~ k 2ω03 ∆ πω02
(4.2)
Hierbei steht ω0 für den Waist, Γ für die Linienbreite des assoziierten Überganges, ∆ für
die Verstimmung zu diesem Übergang und P für die Laserleistung in den Gitterstrahlen.
Durch das periodische Potential sehen die Atome einen räumlich viel stärkeren Einschluss
als in einer normalen Dipolfalle. Hierdurch erhöht sich die Fallenfrequenz zu:
2 · ER
ωz =
~
r
4 · U0
ER
(4.3)
Axial erhalten wir somit ein periodisches Gitter, während wir radial einen Kreisscheibenförmigen Einschluss bekommen.
In der Ebene der Kreisscheiben wurde an diesem Experiment statt einer kubischen Gittersymmetrie das erste Mal eine Dreieckssymmetrie aufgebaut. Hierfür wurden entgegen
des vorangegangenen Konzeptes keine retroreflektierten Strahlen verwendet, statt dessen werden drei Laserstrahlen unter einem Winkel von 120◦ zueinander eingestrahlt [40].
Betrachtet man in kartesischen Koordinaten die ~k-Vektoren der drei Strahlen, so stellen
diese sich dar, als:
 
1
~k1 = 0 ,
0


− cos π3
~k2 =  − sin π  ,
3
0

− cos π3
~k3 =  + sin π 
3
0

(4.4)
Betrachtet man die Intensitätsverteilung, so gibt es zwei Spezialfälle, die mit der Polarisationseinstellung der Laserstrahlen zu tun haben. Im einen Fall zeigen die Polarisationen
der Laserstrahlen aus der Ebene des 2D-Gitters heraus. Ein Schema der Geometrie der
Polarisation ist in Abb. 4.1(a) zu sehen. In diesem Falle bekommen wir eine Intensitätsverteilung, die in allen Punkten π-polarisiert ist. Die Intensität bestimmt sich zu:
48
4.1. OPTISCHE GITTER
√ 3
I = + cos
3y + cos
2
n
n
√ o
√ o
1
1
+ cos
3x − 3y
3x + 3y
2
2
(4.5)
Diese Intensitätsverteilung ist in Abb. 4.1(b) wiedergegeben. Man erkennt, dass es sich
um ein Dreiecksgitter handelt. Auf Grund der π-Polarisation ist diese Form des Gitters
vollkommen unabhängig von der Spineinstellung der einzelnen Atome des BECs.
(a)
(b)
Abbildung 4.1: Das Dreiecks-Gitter: in (a) ist die Strahlgeometrie mit den jeweiligen
Polarisationen (graue Pfeile) zu sehen; (b) zeigt das resultierende Dipolpotential
Weiterhin ist es möglich, die Polarisation der Strahlen in der Ebene des 2D-Gitters
einzustrahlen. Hierbei kommt es jedoch durch die Interferenz der Strahlen zu Gebieten,
in denen dadurch zirkular polarisiertes Licht entsteht. Das Schema der eingestrahlten
Polarisationen ist in Abb. 4.2(a) zu sehen. Die Intensitätsverteilung bestimmt sich zu:
n
√ √ o
1
1
I = 3 + cos
3x − 3y
3y − 2 cos
4
2
(√ )
n
√ o
3
3y
1
2
−2 cos
3x + 3y
+ sin
2
2
2
(4.6)
In Abb. 4.2(b) ist die Intensitätsverteilung mit Hinweis auf die räumlich unterschiedlichen Polarisationen dargestellt. Die unterschiedlichen mF Komponenten erfahren in den
unterschiedlichen Bereichen daher unterschiedliche Potentiale.
Allgemein berechnet sich die Dipolkraft zu [41]:
3πc2 Γ
Udip (~r) =
2ω 3 ∆
1
∆F S
1 + PgF mF
3
∆
I(~r)
(4.7)
49
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
(a)
(b)
Abbildung 4.2: Das magnetische Gitter: in (a) ist die Strahlgeometrie mit den jeweiligen
Polarisationen (graue Pfeile) zu sehen; (b) zeigt das resultierende Dipolpotential. Um die
Aufmerksamkeit auf den wesentlichen Teil des Potentials zu lenken, wurde der unwichtige
Teil ausgegraut.
Man sieht leicht, dass das Potential hauptsächlich durch den ersten Summanden der
Klammer dominiert wird. Außerdem ist die Dipolkraft umso größer, desto geringer die
Verstimmung zum atomaren Übergang ist, da es hierbei eine Proportionalität von ∆−1
gibt. Für die unterschiedlichen mF -Niveaus ergibt sich jedoch durch sgn [PgF mF ] eine
empflindliche Abhängigkeit der am Gitterplatz wirkenden Polarisationen. Hierbei ist
durch P(σ ± ) = ±1 gegeben, während gF vom verwendeten Hyperfeinzustand abhängig
ist. Für F = 1 ist gF = −1/2. Für F = 1 sehen somit Atome im mF = +1 Zustand
für σ − -polarisiertes Licht ein tieferes Potential als für σ + -polarisiertes Licht. Für den
mF = −1 Zustand verhält es sich umgekehrt.
Im F = 2 Zustand ist gF = +1/2, weswegen sich die Verhältnisse im Vergleich zu F = 1
umkehren. Atome im mF = +2 Zustand sehen daher das stärkste Potential durch σ + polarisiertes Licht, während die negativen mF Einstellungen das stärkste Potential durch
σ − -polarisiertes Licht erfahren.
Es wurde daher der Begriff des antiferromagnetischen Gitters eingeführt, weil jeweils
benachbarte Gitterplätze abwechselnd attraktiv auf mF = +2 oder mF = −2 wirken
(für die Zeeman-Zustände von F = 1 genau umgekehrt).
Wenn man sich noch einmal die Potentialstruktur aus Abb. 4.1(b) vor Augen führt, so
sieht man außerdem, dass die Tiefe der Potentialtöpfe im Vergleich zum Dreiecksgitter
sehr viel kleiner ist. Bei gleicher Verstimmung muss dementsprechend sehr viel mehr
Leistung auf das BEC gegeben werden, um einen vergleichbaren Teilchen-Einschluß zu
erhalten. Der Gitter-Laser1 kann die hierfür benötigte Leistung bei einer momentanen
1
50
Titan-Saphir-Laser der Firma TekhnoScan
4.1. OPTISCHE GITTER
Wellenlänge von λ = 830nm nicht erreichen, weswegen ein Versuch in der Zukunft
sein wird, die Gitterwellenlänge näher an den Rubidium-Übergang bei λRb = 780nm
heranzubringen und somit ∆ zu reduzieren [42]. Man erkennt in Gleichung (4.7) leicht,
dass durch diesen Schritt das Potential aufgrund der 1/∆ Abhängigkeit erheblich größer
wird.
4.1.1
Bose-Hubbard Modell
Als in Kap. 2.1 BECs in harmonischen Fallen beschrieben wurden, wurde der Ansatz eines gemittelten Potentials gemacht. In einem periodischen Gitterpotential bricht
diese Näherung zusammen, da das Potential auf einer Größenordnung weit unterhalb
der Ausheillänge variiert. Es muss somit ein vollkommen neuer Ansatz verfolgt werden. Es hat sich gezeigt, dass sich ein solch periodisches System sehr gut über das
Bose-Hubbard-Modell (BHM) beschreiben lässt [43]. Ausgangspunkt ist auch hierfür
der Hamilton der zweiten Quantisierung aus Gleichung (2.1). Zur Herleitung des BoseHubbard-Hamiltonians wird der bosonische Feldoperator hingegen in einer Eigenbasis
von Wannierfunktionen dargestellt. Betrachtet man weiterhin nur die geringsten Vibrationszustände, ergibt sich der Hamiltonian des BHM zu:
H = −J
X
<i, j>
b†i bj +
X
i
1 X
i n̂i + U
n̂i (n̂i − 1)
2
(4.8)
i
Der Hamilton wird nun mehr nicht mehr durch die Näherung eines gemittelten Potentials bestimmt, sondern durch das Vernachlässigen langreichweitiger Wechselwirkung. In
der Tat werden nur Wechselwirkungen nächster Nachbarn berücksichtigt. Der Hamilton aus Gleichung (4.8) setzt sich aus drei Summanden zusammen. Der erste Summand
steht hierbei für die Tunnelenergie eines Teilchens vom Gitterplatz j zum Gitterplatz i,
der Proportionalitätsfaktor J wird daher Tunnelparameter genannt. Der zweite Teil des
Hamiltons bezeichnet die Energie des i-ten Teilchens im externen Potential. Hierunter
fallen sämtliche Parameter, die nicht durch das Gitter beschrieben werden, insbesondere das chemische Potential und der harmonische Einschluss, der durch die endliche
Ausdehnung und damit inhomogene Leistungsdichte der Gitterstrahlen resultiert. Der
letzte Term beschreibt die Wechselwirkung eines Teilchens auf dem i-ten Gitterplatz mit
sämtlichen anderen Teilchen auf dem selben Gitterplatz. Der Proportionalitätsfaktor U
wird daher on-site-interaction genannt.
Es ist sehr schwer analytische Vorhersagen mit Hilfe des BHM-Hamiltonians machen zu
können. Insbesondere für Grenzfälle ist dies aber möglich. Für sehr starke Gitter können
wir nähern J = 0, weswegen sämtliche Atome vollständig an Gitterplätzen lokalisiert
sind. Dieser Effekt wird Mott-isolierender-Zustand genannt und wurde bereits an diesem
Experiment nachgewiesen und eingehend untersucht [36, 44].
51
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
4.2
Stimulierter Raman-Prozess
Der aus der Festkörperphysik bekannte Raman-Effekt hat ein Pendant in der Quantenoptik. Auf diesem quantenoptischen stimmulierten Raman-Effekt basieren u.a. zwei
wichtige Werkzeuge in der Forschung mit BECs, dem Raman-Lasersytem (siehe Anhang A) und das Bragg-Lasersytem (siehe Kap. 4.4). Daher soll der zugrundeliegende
Festkörper-Effekt im folgenden kurz erläutert werden um anschließend den stimmulierten
Raman-Effekt der Quantenoptik vorzustellen.
In der Festkörperphysik versteht man unter Raman-Effekt eine Wechselwirkung eines
Photons mit einem Gitterplatz eines Festkörper-Gitters. Es gibt hierbei zwei verschiedene Formen, die auch in Abb. 4.3 zu sehen sind. Im ersten Fall (Abb. 4.3(a)) wechselwirkt
ein hereinstrahlendes Photon mit einem Gitterplatz und wird wieder mit weniger Energie
emittiert. Weiterhin wird ein Phonon mit der Differenzenergie erzeugt. Im zweiten Fall
(Abb. 4.3(b)) gibt es eine Phonon-Photon-Kopplung zwischen einem eingestrahlten Photon und einem einlaufenden Phononen. Diese wechselwirken mit einem Gitterplatz und
werden als ein Photon emittiert. Dieses Photon hat dementsprechend höhere Energie. In
der Raman-Spektroskopie nimmt man Spektren auf, in denen man die Energie des eingestrahlten Photons als zentralen Peak erkennt. Im zuerst beschriebenen Raman-Prozess
hat das gestreute Photon weniger Energie. Die hieraus resultierende Energiebande wird
Stokes-Linie genannt, während der zweite Effekt zur Anti-Stokes-Linie führt.
Photon
Phonon
Stokes
anti-Stokes
Phonon
Photon
(a)
(b)
Abbildung 4.3: Der Raman Effekt: in (a) sieht man den Stokes Effekt, bei dem durch
Kristallwechselwirkung ein Photon absorbiert und ein Photon und Phonon emittiert
werden; in (b) erkennt man den Anti-Stokes-Effekt, bei dem ein Photon und ein Phonon
in einem Kristall wechselwirken und ein einzelnes Photon emittiert wird.
In der Physik mit BECs gibt es einen ähnlichen Effekt, der jedoch nur induziert möglich
ist. Es handelt sich hierbei um einen Zwei-Photonen-Prozess. Hierfür werden zwei zueinander verstimmte Laserstrahlen auf die Atome eines BECs eingestrahlt. Beide Laser sind
52
4.3. BRAGG SPEKTROSKOPIE
stark zu den angeregten F 0 -Niveaus verstimmt und verhindern somit eine reale Population des angeregten Zustandes. Man bezeichnet den Laser mit der leicht höheren Energie
als Pump-Laser mit Epump = h · νpump und den anderen Laser als Probe-Laser mit
Eprobe = h · νprobe . Der Pump-Laser regt ein Atom in ein virtuelles Niveau an, während
der Probe-Laser eine stimulierte Emission erreicht. Da das stimuliert emittierte Photon
eine Energie von Eprobe hat, bleibt die Differenzenergie ∆E = Epump − Eprobe im Atom
zurück.
Wie beim Festkörper-Raman-Effekt wird also auch beim quantenoptischen Raman-Effekt
das zunächst absorbierte Photon mit einer anderen Energie wieder emittiert.
Es gibt hauptsächlich zwei experimentelle Regimes für den stimulierten Raman-Effekt.
Im einen Bereich wird er in einer Form ähnlich zu einem Raman-Laser eingesetzt. Hierbei werden die Laser unter einem Winkel von 0◦ eingestrahlt, weswegen es keinen Impulsübertrag gibt, da man |kpump | = |kprobe | nähern kann. Die Differenzenergie wird auf
∆ν = 6, 834GHz eingestellt, was der Energieaufspaltung des F = 1 und des F = 2
Niveaus entspricht. Die übertragene Energie kann daher nur dafür genutzt werden, um
ein Atom von F = 1 zu F = 2 zu transferieren, da alle kinetischen Anregungen die
gleichzeitige Energie- und Impulserhaltung verletzen würden.
Im zweiten Regime werden die Laser unter einem beliebigen Winkel zueinander
einge
strahlt. Aufgrund des Winkels kommt es zu einem Differenz-Impuls von ∆p = ~ ~kpump − ~kprobe der auf das Atom übertragen wird. Die Frequenzdifferenzen werden hier wesentlich kleiner eingestellt um einen Transfer in den anderen Hyperfeinzustand auszuschließen. Betrachtet man die GPE (siehe Gleichung (2.3)) so ist der einzige Term, der explizit vom
2 k2
Wellenvektor k abhängig ist, die kinetische Energie. Mit Ekin = ~2m
ergibt sich im
reziproken Raum die bekannte Energieparabel. Stellt man nun ∆ν und ∆k über Winkel und Frequenz entsprechend ein, so kann man ein Kondensat an beliebige Punkte
auf der Energieparabel transferieren. Diese zweite Einsatzmöglichkeit des stimulierten
Raman-Effektes wird Bragg-Effekt genannt, welcher im folgenden Kapitel im Speziellen
behandelt wird.
4.3
Bragg Spektroskopie
Aus der Analyse von Festkörpern und Molekülen ist die Bragg-Spektroskopie bekannt.
Sie wird beschrieben durch Interferenzeffekte, die Licht an verschiedenen Gitterebenen
erfährt. Betrachtet man ein Gitter mit dem Gitterabstand a, so wird ein Teil des Lichtes
an der ersten Gitterebene und ein Teil an der zweiten Gitterebene reflektiert (siehe Abb.
4.4). Auch an den folgenden Ebenen wird Licht reflektiert. Betrachtet man die reflektierten Strahlen der einzelnen Gitterebenen, so sieht man leicht, dass diese konstruktiv
interferieren, wenn diese einen Laufunterschied von λ aufweisen. Bei einem Winkel zum
Einfallslot von θ ergibt sich daher die Bragg-Bedingung:
2a · cos θ = nλ
für
n∈N
(4.9)
53
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
θ
a
}
1.Ordn ung
a · cos θ
0.Ordn ung
Abbildung 4.4: Bei Bragg Reflektion haben die reflektierten Wellenfronten der verschiedenen Gitterebenen gerade einen Laufunterschied von λ und interferieren daher konstruktiv
Bragg-Spektroskopie gibt somit die Möglichkeit, mit Röntgenlicht bekannter Wellenlänge
Festkörper auf deren Struktur zu analysieren. Sowohl die Gitterkonstante, als auch die
Gitterstruktur lassen sich über diese Methode bestimmen. Umgekehrt lassen sich Aussagen über das verwendete Röntgenlicht machen, wenn die Charakteristika des Gitters
bekannt sind. Die Auflösungsschärfe der sogenannten Bragg-Peaks ist durch die Anzahl
der interferierenden Strahlen, also durch die Anzahl der reflektierenden Gitterebenen
begrenzt.
Betrachtet man den quantenoptischen Bragg-Effekt, so findet die Bragg-Reflektion in anderer Form statt. Die Bragg-Strahlen bilden hierfür ein wanderndes Gitter an dem BECAtome gebeugt werden. Dies findet wie bereits beschrieben als Zwei-Photonen-Prozess
statt, bei dem die Energie in Form einer Verstimmung der beiden Strahlen zueinander
und der Impuls in Form eines Winkels der beiden Strahlen zueinander übertragen wird.
Als nächstes betrachtet man eine stehende Lichtwelle zweier entgegenkommender LaserStrahlen und lässt durch diese im Winkel θ ein BEC fallen. War für die Festkörper-BraggSpektroskopie die Schärfe der Peaks durch die Anzahl der Gitterebenen begrenzt, so ist
die Auflösung für die gebeugten BECs durch die Wechselwirkungszeit gegeben. Für lange
Wechselwirkungszeiten können wir mit der De-Broglie-Wellenlänge der BEC-Atome die
Bragg-Bedingung neu definieren:
2a · cos θ = nλdB
für
n∈N
(4.10)
Bei der Beugung eines Atoms an der stehenden Bragg-Lichtwelle zweier entgegenlaufen54
4.3. BRAGG SPEKTROSKOPIE
der Laser-Strahlen, wird durch den Zwei-Photonen-Prozess ein Differenzimpuls von 2~k
übetragen (vgl. auch Kap. 4.2).
Dies wird nach Abschalten der Falle sichtbar, da sich die Atome mit dem übertragenen
Impuls während der Flugzeit (time-of-flight, TOF) von den nicht gestreuten Atomen
wegbewegen. Dies ist ein fundamentaler Punkt, den es zu beachten gibt, da es momentan
nicht möglich ist, einzelne Gitterplätze im Ortsraum zu betrachten. Statt dessen sind
die Ergebnisse eine Projektion des Impulsraumes.
Trotz fundamentaler Unterschiede zwischen der laufenden Lichtwelle von Bragg-Strahlen
und den stehenden Wellen eines optischen Gitters, zeigen die Abbildungsmessungen des
optischen Gitters ebenfalls ein Bild der Impulsverteilungen. Auch hier werden über MehrPhotonen-Prozesse Impulse übertragen, was nach TOF sichtbar wird. Für die Abbildung
eines optischen-Gitters gibt es außerdem die Möglichkeit Anregungen in höhere Bänder
(siehe Anhang B) mit Hilfe spezieller Techniken auf die Brillouin-Zonen abzubilden [7].
Der resultierende Beugungs-Effekt der BEC-Atome an einer wanderenden Bragg-Lichtwelle
lässt sich neben der Darstellung eines Zwei-Photonen-Prozesses mit einstellbarem Energieund Impulsübertrag auch relativistisch durch einen Wechsel der Bezugssysteme erklären.
Dies ist ausführlich in [45] beschrieben. Die Aussagen und Ergebnisse sind jedoch identisch.
4.3.1
Magnetische Bragg-Spektroskopie
Die Technik, mit der die Bragg-Spektroskopie üblicherweise eingesetzt wird, arbeitet
mit linear polarisierten Laserstrahlen. Es wird damit lediglich kinetische Energie und
ein Impuls übertragen. Ein solches Verfahren ermöglicht im time-of-flight Bild lediglich
die Möglichkeit einer Impulstrennung. Ein Ziel der Bragg-Spektroskopie in BECs ist es,
Geschwindigkeiten von Bewegungsflüssen messen zu können und andererseits ganz allgemein die Geschwindigkeitsverteilung im System zu messen. Üblicherweise wird hierfür
während der TOF ein kurzer Bragg-Puls appliziert, der jedoch bereits ein verfälschtes
Ergebnis liefert. Betrachtet man die GPE aus Gleichung (2.3), so erkennt man, dass sich
die Energie des Kondensates aus der kinetischen-, der potentiellen- und aus der Wechselwirkungsenergie zusammensetzt. Die Wechselwirkungsenergie ist Dichteabhängig und
hängt weiter vom s-Wellen Streukoeffizienten ab. Beim Abschalten der Falle wird diese
Energie in die kinetische Geschwindigkeitsverteilung umgewandelt. Die Geschwindigkeitsverteilung während der TOF ist somit größer und breiter als sie es noch in der
Falle war. Man spricht daher vom mean-field-shift [46]. Die Spektroskopie in der Falle
ist prinzipiell möglich, birgt aber Probleme. Da während der Bragg-Applikation noch die
volle Wechselwirkung unter den Kondensats-Atomen wirkt, überträgt und verteilt ein
gebeugtes Atom den auf ihn übertragenen Impuls relativ schnell auf andere Atome. Das
Ergebnis ist ein sehr verwaschenes Bild anstatt sehr scharfer Interferenz, wie es bei Spektroskopie an freien Teilchen bekannt ist. Es ist durchaus möglich, ein original getreueres
Bild der Geschwindigkeitsverteilung in der Falle zu erhalten, jedoch ist dies verbunden
mit höherem Aufwand, vor allem in der Auswertung der Daten. Um solche Probleme
zu umgehen und dennoch die Möglichkeit zu haben eine präzise Spektroskopie in der
Falle machen zu können, ist es in dieser Diplomarbeit der Ansatz, eine Bragg-Abbildung
55
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
nicht ausschließlich über den Impuls zu gewährleisten, sondern zusätzlich eine Projektion
auf einen anderen internen Zustand zu gewährleisten. Hierfür wird einerseits ein homogenes Magnetfeld angelegt um den Atomen des Kondensates eine Quantisierungsachse
aufzuzwingen und eine Unterscheidung über die Zeeman-Niveaus zu ermöglichen.
Um den mF -Zustand eines Atoms zu verändern, muss während des 2-Photonen Übergangs prinzipiell mit zirkular polarisiertem Licht gearbeitet werden. In einem ersten
Schritt soll das Bragg-System an einem freien Kondensat und an einem Kondensat im
1D-Gitter getestet werden. Hierfür werden beide Strahlen parallel in Richtung des 1DGitters eingestrahlt. In Abb. 4.5 ist ein Schema dieser Geometrie zu sehen.
z
1D-Gitter
Bragg-Strahlen
BEC
Abbildung 4.5: Die von den Magnetfeldspulen umschlossene Experimentierzelle. In Richtung des 1D-Gitters werden auch beide Bragg-Strahlen eingestrahlt. Die Quantisierungsachse liegt in z-Richtung und ist durch die Spulen vorgegeben.
Es ist leicht zu sehen, dass in diesem Aufbau ausschließlich der Einsatz von zirkularpolarisierten Strahlen möglich ist, da die Quantisierungsachse für die Nutzung von πpolarisiertem Licht nicht zugänglich ist. Dieser Einsatz von σ-polarisiertem Licht würde
zu einem Transfer von ∆mF = ±2 führen (siehe Abb. 4.6).
In Kap. 4.2 wurde vereinfachend erwähnt, dass der Zwei-Photonen-Übergang über ein
virtuelles Niveau stattfindet. In der Tat ist es so, dass dieses Intermediate-level trotzdem es zu den angeregten F 0 -Niveaus verstimmt ist, dennoch an sie koppelt. Ohne diese
Kopplung wäre ein solcher Übergang gar nicht möglich. Rein experimentell ist bestätigt,
dass die ∆mF = 0 Raman-Übergänge funktionieren und somit auch erlaubt sein müssen
[45]. Dies muss nicht zwangsläufig auch für die ∆mF = ±2 Übergänge der Fall sein. Bei
der Analyse der Dipolmatrixelemente hat sich jedoch herausgestellt, dass sich sämtliche
dieser Übergänge weginterferieren und somit nicht möglich sind (siehe Kap. 4.3.1). Um
56
4.3. BRAGG SPEKTROSKOPIE
F'=2
F'=1
F'=0
σ+
σ-
F=1
mF=
-1
0
1
Abbildung 4.6: Bei einem Übergang mit σ-polarisiertem Licht würde bei angelegtem
Magnetfeld z.B. in F = 1 ein Übergang von mF = −1 zu mF = 1 geschehen
eine mF abhängige Bragg-Spektroskopie dennoch zu ermöglichen, muss bei gleicher Laserstrahlen Geometrie die Quantisierungsache adiabatisch gedreht werden. Hierfür wird
ein um 90◦ gedrehtes Feld hochgerampt und anschließend das bisherige Magnetfeld heruntergerampt [44]. Nun kann aus der gleichen Einstrahl-Richtung π-polarisiertes Licht
verwendet werden. Der Strahl mit der zirkularen Polarisierung muss weiterhin aus der
Richtung der Quantisierungsachse einstrahlen, damit die Atome dies als σ-polarisiertes
Licht sehen. Es wird dementsprechend für einen der beiden Strahlen σ-Licht verwendet,
während der andere Strahl auf π-Polarisation eingestellt ist. Auf diese Weise wird lediglich ein Transfer von ∆mF = ±1 vorgenommen. Berechnungen haben ergeben, dass diese
Übergänge alle möglich sind. Im nächsten Kapitel werden die Berechnungen der Dipolmatrixelemente im Detail vorgeführt. Es wird weiterhin untersucht, ob es Unterschiede
gibt ob der Pump- oder der Probestrahl π-polarisiert ist.
Übergangsstärken
Ein Bragg-Transfer, aber auch ein Raman-Transfer in einem BEC, entspricht einem 3Niveau-System [47, 48], mit dem Ausgangszustand i, einem virtuellen Niveau I (auch
Intermediate-level genannt) und dem Endzustand f . Auf das Atom wirken zwei Lichtfelder mit der Frequenz ν1 und ν2 . Beide Frequenzen sind um ∆ zum Intermediate-level
I verstimmt, während weiter ν2 noch zusätzlich um δ zum Endzustand f verstimmt ist.
Da die Verstimmung ∆ groß ist im Vergleich zur Rabi-Frequenz, kann das Problem auf
57
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
ein effektives 2-Niveau-System reduziert werden. Man spricht in diesem Zusammenhang
von adiabatischer Eliminierung. Für dieses System folgt eine effektive Rabi Frequenz,
die durch die Raman Rabi Frequenz gegeben ist [49]:
Ωeff =
X Ω f F 0 ΩF 0 i
F0
2∆
= E0f F 0 E0F 0 i
X hf | e~r | F 0 i hF 0 | e~r | ii
F0
2∆I
(4.11)
e~r ist hierbei der elektrische Dipoloperator. E0 sind die elektrischen Feldamplituden des
Laserlichts für die verschiedenen Übergänge. Weiterhin ist in guter Näherung erfüllt, dass
∆ groß gegen die Hyperfeinaufspaltung der angeregten Niveaus ist. Dadurch vereinfacht
sich Gleichung (4.11) zu:
Ωeff
E0f F 0 E0F 0 i X 0 0 =
F e~r i
f e~r F
2∆
0
(4.12)
F
Man sieht somit leicht, dass ein Übergang ausschließlich möglich ist, wenn Ωef f 6= 0.
Betrachtet man einen Bragg-Übergang in F = 1 mit ∆mF = ±2, so bleibt als Anfangszustand nur mF = ±1. Aufgrund der Auswahlregel ∆F = 0, ±1 koppelt F = 1 an die
angeregten Zustände F 0 = 0, 1, 2. Es müssen nun die Wechselwirkungsstärke zu jedem
dieser Übergänge berechnet werden und anschließend kohärent aufaddiert werden. Siehe
[9] und Referenzen für die weitere Herleitung.
Die Wechselwirkung eines solchen Überganges wird durch die Dipol-Matrix Elemente
beschrieben, welche gegeben sind, durch:
F, mF e~r F 0 , m0F
(4.13)
Um dies zu berechnen nutzt man das Wigner-Eckart-Theorem, um das Matrix-Element
in ein Produkt aus reduziertem Matrix-Element und Clebsch-Gordan-Koeffizienten (CGKoeffizenten) zu schreiben. Mit dem Index i, der die Raumkomponente von ~r bezeichnet
folgt:
F, mF eri F 0 , m0F = F e~r F 0 F, mF F 0 , 1, m0F , i
(4.14)
Wobei ||d~r|| das reduzierte Matrix-Element kennzeichnet. Benutzt man weiterhin die
Schreibweise der Wigner 3-j Symbole, so folgt:
F
F, mF eri F 0 , m0F = F e~r F 0 C1Fim
F 0 m0
F
mit den Clebsch-Gordan-Koeffizienten als:
58
(4.15)
4.3. BRAGG SPEKTROSKOPIE
F
C1Fim
F 0 m0F
F 0 −1+mF
= (−1)
√
F0
2F + 1
m0F
1
F
i −mF
(4.16)
Benutzt man weiter die Schreibweise der 6-j Wigner Symbole, so wird es möglich das
reduzierte Matrixelement weiter zu faktorisieren und somit die Abhängigkeit vom Hyperfeinzustand abzuseparieren:
p
0 0
0
F e~r F = J e~r J (−1)F +J+1+I (2F 0 + 1)(2J + 1)
J J0 1
F0 F I
(4.17)
Mit dem bekannten reduzierten Matrixelement hJ = 1/2 k e~r k J 0 = 3/2i lassen sich so
die Übergangsstärken berechnen. Das reduzierte Matrixelement wird hierbei über die
Lebensdauer von der angeregten Zustände bestimmt. Alternativ kann man die ausgerechneten CG-Koeffizienten in Einheiten von hJ k e~r k J 0 i auch bekannten Tafelwerken
entnehmen [9].
Da die Zwei-Photonen-Prozesse symmetrisch sind, müssen die Übergangsraten der folgenden drei Fälle bestimmt werden:
F = 1, mF = −1 =⇒ |1, −1i
=⇒
|1, 1i ,
|2, −1i
=⇒
|2, 1i ,
|2, −2i
=⇒
|2, 0i
(4.18)
Die folgenden Ergebnisse entsprechen den einzelnen Erwartungswerten aus Gleichung (4.12).
Offensichtlich ist ein Übergang erlaubt wenn die Summe aus dieser Gleichung ungleich
null ist.
In den Summen der Tabellen 4.0(a) - 4.0(c) sind alle beteiligten Prozesspfade aufaddiert.
Man erkennt, dass die Dipolmatrix Elemente für alle Übergänge ∆mF = 2 verschwinden.
Diese Übergänge sind somit alle verboten.
Betrachten wir weiterhin einen ∆mF = ±1 Übergang, so lassen sich die Dipolmatrixelemente in Einheiten von hJ k e~r k J 0 i bestimmen.
Aus Symmetriegründen müssen hier folgende Übergänge bestimmt werden:
|1, −1i
=⇒
|1, 0i
mit σ + − π und π − σ − ,
|2, −2i
=⇒
|2, −1i
mit σ + − π und π − σ − ,
|2, −1i
=⇒
|2, 0i
mit σ + − π und π − σ −
(4.19)
Die Berechnungen von η aus den Tabellen 4.2 - 4.4 zeigen, dass die ∆mF = ±1 Übergänge
alle möglich sind. Die konkreten Übergangsstärken ergeben sich, wenn die aufsummierten
59
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
(a) Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand
F = 1, mF = −1 koppelnden angeregten Zuständen
F0 = 2
F0 = 1
F0 = 0
σ + von
mFq= −1
σ − zu
mq
F =1
q 24
q24
5
− 24
q
1
5
q24
1
6
Produkt
1
1
24
5
− 24
1
6
1
6
Summe
0
(b) Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand
F = 2, mF = −1 koppelnden angeregten Zuständen
F0 = 3
F0 = 2
F0 = 1
σ + von
mFq= −1
σ − zu
mq
F =1
q10
q10
− 18
q
1
1
8
q
1
40
Produkt
1
1
10
− 18
1
40
1
40
Summe
0
(c) Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand F = 2, mF = −2 koppelnden angeregten
Zuständen
F0 = 2
F0 = 1
F0 = 0
σ + von
mFq= −2
1
30
q
1
q 12
1
20
σ − zu
mq
F =0
1
5
q
− 18
q
1
120
Summe
1
5
q
1
q6
− 14
q
1
20
0
Tabelle 4.1:
60
Produkt
1
6
1
6
4.3. BRAGG SPEKTROSKOPIE
F0 = 2
F0 = 1
F0 = 0
σ + von
mFq= −1
1
q 24
5
q24
1
6
π zu
mFq= 0
1
6
−
0
q
Produkt
− 18
q
5
− 24
1
− 12
0
1
6
π von
mF q
= −1
σ − zu
mq
F =0
1
q8
5
− 24
Produkt
− 18
5
24
1
6
1
12
Summe
1
12
Tabelle 4.2: Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand F = 1, mF = −1 koppelnden
angeregten Zuständen
F0 = 3
σ + von
mFq= −1
1
30
F0 = 2
q
1
12
F0 = 1
q
1
20
π zu
mFq= 0
4
− 15
q
1
− 24
q
1
40
Produkt
2
− 15
1
2
q
1
1
− 12
q 2
1
20
− 16
q
− 16
σ − zu
mq
F =0
1
3
q
1
− 12
Produkt
q
− 31 12
q
1
6
1
2
1
2
− 61
Summe
q
π von
mF q
= −1
q
− 61
1
2
q
1
2
Tabelle 4.3: Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand F = 2, mF = −2 koppelnden
angeregten Zuständen
F0
=3
σ + von
mFq= −1
1
10
F0 = 2
q
F0 = 1
q
Summe
1
8
1
40
π zu
mFq= 0
3
10
−
0
q
1
30
Produkt
3
− 10
1
20
q
0
q
− 41
1
3
1
3
q
1
3
π von
mF q
= −1
4
15
−
q
1
− 24
q
1
40
σ − zu
mq
F =0
Produkt
q
− 18
q
q
1
5
1
120
− 52
1
8
1
40
q
1
3
1
q3
− 41
1
3
q
1
3
Tabelle 4.4: Die Dipolmatrix Elemente der an den Zustand F = 2, mF = −1 koppelnden
angeregten Zuständen
61
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
Übergangswahrscheinlichkeiten der einzelnen Intermediate-levels (Summe) mit dem reduzierten Dipolmatrixelement multipliziert wird2 . Weiterhin erkennt man, dass es keine
Abhängigkeit der Übergangsstärken von der Zuordnung der Polarisationen gibt.
Durch die hier angefertigten Berechnungen wird klar, dass ein magnetischer Bragg-Übergang mit ∆mF = ±2 nicht möglich ist. Der magnetische Übergang mit ∆mF = ±1 ist
hingegen in allen Fällen möglich. Dieser Fall hat jedoch höhere Anforderungen. Um
die π-Polarisation zu gewährleisten die einer der Bragg-Strahlen haben muss, muss die
Quantisierungsachse orthogonal zu diesem Strahl stehen, so dass der Bragg-Laser nicht
ohne weitere Vorbereitung in beliebigen Geometrien eingesetzt werden kann.
4.4
Bragg Lasersytem
Das Bragg-System erzeugt ähnlich wie der Raman-Laser bichromatisches Licht. Die Verstimmungen sind sehr klein. Es wird ein Laser präpariert, dessen Licht zum Experiment
geführt wird. Dort wird der Strahl aufgeteilt und in zwei akusto-optischen Modulatoren (AOMs) zueinander verstimmt. Im Rahmen dieser Diplomarbeit wurde ein BraggLasersytem aufgebaut, dessen Schema in Abb. 4.7 zu sehen ist.
In diesem Aufbau wird ein Gitter-stabilisierter Diodenlaser (External Cavity Diode Laser, ECDL) (Master) per Frequenz-Modulations-Spektroskopie (FM-Spektroskopie) [50]
auf eine Cavity3 gelockt wie auch der Raman-Laser, der in Anhang A beschrieben wird.
Die Cavity selber wird auf den MOT-Kühllaser stabilisiert. Hierfür wird ein kleiner Anteil
des Bragg-Master-Lichtes in den Spektroskopiezweig abgeführt. Für die FM-Modulation
wird zuerst mit Hilfe eines Elektro-optischen Modulators (EOM) eine Radiofrequenz
(RF) auf das Laserlicht im Spektroskopiekreis aufmoduliert. Damit es zwischen dem
Raman-Master und dem Bragg-Master zu keiner Störung kommt, wird der RamanLaser mit 10M Hz moduliert, während der Bragg-Master mit 23M Hz moduliert wird.
Der Laser wird anschließend in die Cavity eingekoppelt. Die Cavity funktioniert wie
jeder herkömmliche Resonator und ist daher ein nahezu perfekter Spiegel, wenn nichtresonantes Licht einstrahlt und nahezu perfekt transmittierend, wenn das eingestrahlte
Licht resonant ist. Die Cavity hat eine Periodizität von 4GHz. Ist eine Resonanz der
Cavity auf die Crossover-Resonanz von 87 Rb justiert worden, ist es somit möglich einen
ECDL präzise in 4GHz Schritten zur 87 Rb-Resonanz offset zu locken. Das von der Cavity reflektierte FM-modulierte Licht des Raman- und Bragg-Lasers wird auf eine schnelle
Fotodiode gegeben, wodurch die aufmodulierten RF-Signale gemessen werden können.
Diese Signale werden über einen Power-Splitter aufgeteilt. Die eine Hälfte des Signals
wird nun mit 10M Hz gemischt, wodurch ein DC-Spektroskopie-Signal des Raman-Lasers
entsteht. Die andere Hälfte des Signals wird mit 23M Hz gemischt, wodurch das DCSpektroskopie-Signal des Bragg-Lasers entsteht. Beide Signale entsprechen einer PoundDrever-Hall (PDH) Spektroskopie (siehe [51, 52] und ebenfalls [40], siehe Abb. 4.8 für
ein Pound-Drever-Hall Signal). Über eine elektronische Regelung (PID-Regler) wird der
Laser auf den Nulldurchgang der Spektroskopie stabilisiert.
2
3
62
hJ = 1/2 k e~r k J 0 = 3/2i = (4, 22752 ± 0, 87 · 10−3 )e · a0 = (3, 58424 ± 0, 74 · 10−3 ) · 10−29 C · m
Cavity der Firma Toptica vom Typ FPI 100-750-3V0 mit einer Periodizität von 4GHz
4.4. BRAGG LASERSYTEM
MOT-Referenz-Laser
Strahlteiler
Cavity
PD für Lock der
Cavity
Strahlteiler
RamanMaster
Abschwächer
Rubidium Glaszelle
λ/2-Platte
λ/2-Platte
FM-Cavity
Spektroskopie
FM-Rubidium
Spektroskopie
Doppler verbreiterte
Hilfsspektroskopie
Master
EOM
Abschwächer
λ/2-Platte
Slave
Faser zum
Experiment
Faraday
Isolator
Abbildung 4.7: Das Schema des Bragg-Lasers. Alle eingesetzten Strahlteiler-Würfel sind
polarisierend. Das System gibt die Möglichkeit sowohl die Cavity-Spektroskopie als auch
eine Rubidium-Spektroskopie zu verwenden.
Der Teil des Lichtes, der nicht in den Spektroskopiekreis abgezweigt wurde, wird nun
auf eine freilaufende Laserdiode (Slave) gegeben. Das Master-Licht begünstigt so, dass
in dem Slave-Laser eine Mode mit der Frequenz des Masters anspringt, indem er als
stimulierender Laser wirkt. Man spricht in diesem Zusammenhang vom Seeden eines
Slave-Lasers. Der ganze Vorgang wird über einige optische Dioden geschützt um Rückreflexe zu unterbinden, die den Master zerstören könnten. Der Slave Laser wird auf eine
Ausgangsleistung von ca. 20mW eingestellt und in eine Glasfaser eingekoppelt, welche
das Licht zum Experiment führt. Hinter der Glasfaser wird der Laserstrahl aufgeteilt.
Jeder der beiden Strahlen wird nun auf einen AOM gegeben, die phasenstarr und präzise
zueinander verstimmt sind (siehe Abb. 4.9 für Schema).
Die in diesem Experiment verwendeten AOMs haben eine optimale Beugungseffizienz bei
einer Betriebsfrequenz von 80M Hz, weswegen der eine AOM auf genau dieser Frequenz
betrieben wird, während der andere AOM mit 80M Hz + δ betrieben wird. δ liegt hierbei im Bereich weniger kHz. Um die Verstimmung ohne großen technischen Aufwand
genau einstellen zu können, erzeugt ein spannungsbetriebener Frequenzgenerator (Voltage controlled oscillator, VCO) eine Frequenz von 70M Hz. Das Signal wird aufgeteilt
63
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
Abbildung 4.8: Ein typisches Pound-Drever-Hall-Signal mit einer extrem steilen Flanke
in der Mitte
AOM1
BEC
vom Laser-Tisch
AOM2
Abbildung 4.9: Der vom Lasersytem kommende Strahl wird aufgeteilt, in den AOMs
zueinander verstimmt und in einem beliebigem Winkel auf das BEC gestrahlt.
und mit dem Signal eines Frequenzgenerators4 gemischt. Dieser Frequenzgenerator hat
zum Synchronisieren mit anderen Frequenzgeneratoren einen Ausgang mit 10M Hz und
selbstverständlich einen frei einstellbaren Ausgang, der auf 10M Hz + δ eingestellt wird.
Da die frei wählbare Frequenz auf die Synchronisationsfrequenz geregelt wird, erhält
man somit eine präzise Offset-Frequenzquelle. Der Mischer5 arbeit vom Prinzip her als
Multiplikator, weswegen er Summen- und Differenzfrequenzen erzeugt. Die Differenzfrequenzen werden über einen Hochpass herausgefiltert, so dass lediglich die gewünschten
Frequenzen ausgegeben werden. Diese werden noch verstärkt und anschließend auf die
AOMs gegeben. Im folgenden wird die Schwebung der beiden Strahlen analysiert. In
Abb. 4.10 ist ein Bild des Bragg-Lasersytems zu sehen.
4
5
64
Frequenzgenerator der Firma Stanford research Systems vom Typ Model DS345
RF-Mischer der Firma Mini-Curcuits vom Typ ZAD-1-1
4.4. BRAGG LASERSYTEM
Abbildung 4.10: Ein Foto des Bragg-Lasersytems
4.4.1
Frequenzanalyse der Braggstrahlen
Das im Rahmen dieser Arbeit aufgebaute Bragg-Lasersytem wird im weiteren auf die
Qualität der Interferenz untersucht. Hierfür wurde ein Aufbau gewählt, der dem Einsatz
am Experiment möglichst nahe kommt. Das Licht des Bragg-Systems wird in eine Glasfaser eingekoppelt und zu einem Untersuchungstisch geleitet. Dort wird das Licht durch
einen Strahlteiler aufgeteilt und einzeln auf die AOMs gelenkt. Das von den AOMs gebeugte Licht wird anschließend wieder überlagert und auf eine Photodiode gegeben. Das
Signal der Photodiode wird auf einen Frequenz Analysator6 gegeben und im Frequenzraum untersucht. Die hierfür angewendete Fourier-Analyse stellt sich normalerweise als
Integral über den ganzen Zeitraum dar. Da solch eine exakte Analyse selbstverständlich
nicht möglich ist, nimmt man lediglich einen Abschnitt. Aus der Länge des Abschnitts
ergibt sich die Detektionsbandbreite. Wie aus Kap. 3.3.5 bekannt ist, resultiert hieraus
eine Faltung mit einer Rechteckfunktion. In der Frequenzanalyse bekommt man somit
eine Verfälschung des Spektrums. Um dieses Problem zu umgehen, sind verschiedene
Filter und Funktionen entwickelt worden, die zusätzlich mit dem Signal gefaltet werden, um solche Störprobleme zu umgehen. Die Filter unterscheiden sich hierbei in der
Frequenzauflösung, der Amplitudengenauigkeit und der Unterdrückung des spektralen
6
UPV Audio Analyzer der Firma Rhode & Schwartz
65
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
Leck-Effektes. Letzterer sorgt in der Frequenzanalyse für Neben-Peaks, die auf dem Original Signal nicht existiert haben. Die Unterdrückung dieses Effektes ist am Wichtigsten,
da nur auf diese Weise erkannt werden kann, ob reale Störquellen vorliegen oder ob es sich
um Artefakte der Analyse handelt. Die Frequenzgenauigkeit ist nicht ausschlaggebend,
da die Frequenz durch die Frequenzgeneratoren vorgegeben wird und somit hinreichend
genau bekannt ist. Für die Amplitudengenauigkeit reicht eine grobe Abschätzung des
Signal-zu-Rausch-Verhältnisses, weswegen der verwendete Filter hierauf nicht optimiert
sein braucht. Aufgrund dieser Anforderungen fiel die Wahl auf den Blackman Filter, der
eine Unterdrückung von Artefakt-Peaks um −74dB ermöglicht [53].
Die Qualität des Beats wird in drei Messungen bestimmt. Zunächst werden die Eingangssignale an den AOMs über einen Mischer in Summen- und Differenzsignale umgewandelt,
wonach das Differenzsignal mit dem Audio Analyzer untersucht wird. So erhalten wir
die auf den Laserstrahlen maximal erreichbare Beat-Breite und weiterhin das maximal
erreichbare Signal-zu-Rausch-Verhältnis. Sämtliche Messungen werden im Vergleich zu
einem Frequenzgenerator gezeigt, um eine optische Abschätzung einer definitv scharfen“
”
Frequenzquelle zu gewährleisten. In Abb. 4.11(a) ist die Messung der AOM-Schwebung
in einer Bandbreite von 200Hz um das erwartete Signal zu sehen. Man erkennt, dass das
Rauschen der bei den AOMs eintreffenden Signale um 30dB unterdrückt ist. Weiterhin
erkennt man ein im Abstand von 20 Hz periodisches Signal. Es ist bis jetzt nicht bekannt,
wodurch dieses Signal verursacht wird. Da es jedoch nicht in der Modulation des Lichtes
gemessen wird und somit störend wäre (siehe weiter unten), ist die Quelle des Signals
nicht intensiv verfolgt worden. Auf dem Frequenzgenerator erkennt man deutlich eine
Schwebung mit der Netzfrequenz von 50Hz bei 5450Hz und 5550Hz. In Abb. 4.11(b)
ist das Spektrum mit einer Bandbreite von 20Hz um das Signal aufgetragen. Man sieht
eine Linienbreite von geschätzt etwa einem Hz, welche sich perfekt an die Linienform
des Frequenzgenerators anlegt. Man erkennt hieraus, dass die tatsächliche Linienbreite
in der Auflösung des Frequenz Analysators verloren geht, da die Linienbreite des im Vergleich benutzten Frequenz Generators in Realität weit unterhalb der hier aufgetragenen
Linienbreite liegt. Folglich liegt auch der Beat der AOM-Signale definitv unterhalb eines
Hz.
In einem zweiten Schritt werden die AOMs wieder angeschlossen und es wird das Photodiodensignal der Schwebung der beiden überlagerten Bragg-Laserstrahlen ausgewertet. Hierbei wird der Bragg-Master zunächst freilaufend gelassen und nicht elektronisch
nachgeregelt. Hierfür sind die Ergebnisse in Abb. 4.12(a) zu sehen. Man erkennt, dass es
vom Signal-zu-Rausch-Verhältnis keine nennenswerten Verluste zu den Signalen vor den
AOMS gibt. Dieses liegt weiter bei 30dB. Die periodischen Strukturen auf den AOMSignalen sind jedoch nicht mit auf das Licht moduliert worden. Weiterhin erkennt man
die 50Hz Netzfrequenz, die jedoch durch einen unbekannten Effekt jeweils in zwei Linien
aufgeteilt wird. Der höher aufgelöste Graph in Abb. 4.12(b) zeigt, dass die Auflösung
weiterhin durch die Grenzen des Gerätes dominiert werden, da auch hier die Frequenzpeaks der Bragg-Interferenz und des Frequenzgenerators im Bereich von einem Hz um
das Signal-Zentrum sehr exakt übereinanderliegen, jedoch erkennt man im Vergleich zu
Abb. 4.11(b), dass das Signal dennoch etwas verbreitert ist.
66
4.5. EXPERIMENTELLE ERGEBNISSE DER
BRAGG-SPEKTROSKOPIE
0
0
-10
rel. Signalstärke [dB]
rel. Signalstärke [dB]
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-20
-30
-40
-50
-70
-80
5400
5420
5440
5460
5480
5500
5520
5540
5560
5580
5600
-60
5490
5492
5494
5496
5498
5500
5502
5504
Frequenz [Hz]
Frequenz [Hz]
(a)
(b)
5506
5508
5510
Abbildung 4.11: Die Messung des Beats der AOM-Eingangssignale. Das gemischte AOMEingangssignal (blau) wird im Vergleich zu einem Frequenzgenerator (grün) dargestellt.
Im letzten Schritt wird der Master-Laser elektronisch frequenzstabilisiert und die Messung wiederholt. In Abb. 4.13(a) ist die grobaufgelöste Messung zu sehen. Die Artefakte
der Messung des ungeregelten Lasers sind auch hier deutlich zu erkennen. Die 50Hz Artefakte sind hierbei jedoch verbreitert, während die Breite des zentralen Peaks schmaler
ist. In der höher aufgelösten Darstellung in Abb. 4.13(b) schmiegt sich auch hier das
Signal zunächst an das Referenzsignal an, bis es eine Verbreiterung zeigt. Das Signal-zuRausch-Verhältnis scheint hier etwas schlechter zu sein als in allen vorangegangenen Messungen, was jedoch durch Schwankungen während der Messung zu erklären ist. Es wird
ein vierfach gemitteltes Spektrum mit 256k-Messpunkten aufgenommen. Dieser Vorgang
dauert einige Minuten, so dass z.B. ein unbemerkter Modensprung des Lasers das Spektrum stark verändern könnte. Die Frequenzstabilisierung ist hierbei sehr zuverlässig.
Selbst wenn der Laser durch Erschütterungen aus dem Lock“ befördert wird, so regelt
”
die Elektronik beim Durchscannen auf der Suche nach einem PDH-Nulldurchgang auf
die nächste gefundene Flanke. Hierdurch kann jedoch nicht zuverlässig ausgeschlossen
werden, dass der Laser zwischenzeitlich nicht geregelt wurde.
Insgesamt ergibt sich für das Bragg-Lasersytem ein Signal-zu-Rausch-Verhältnis von
30dB mit einer durch das Messgerät limitierten Beat-Frequenzbreite von unter einem
Hz.
4.5
Experimentelle Ergebnisse der Bragg-Spektroskopie
Die Bragg-Spektroskopie wurde in einem ersten Versuchsdurchgang an einem BEC in
einer gekreuzten optischen Dipolfalle eingesetzt. Die Strahlen sind hierbei beide linear
polarisiert und wurden parallel zur Quantisierungsachse eingestrahlt, wodurch auf die
BEC-Atome eine Superposition aus zirkular links und zirkular rechts polarisiertem Licht
wirkt. Nach Generierung eines BECs wurde in einer 0◦ -Konfiguration ein Bragg-Puls
67
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
0
0
-10
rel. Signalstärke [dB]
rel. Signalstärke [dB]
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-30
-40
-50
-70
-80
5400
-20
5420
5440
5460
5480
5500
5520
5540
5560
5580
5600
-60
5490
5492
5494
5496
5498
5500
5502
5504
Frequenz [Hz]
Frequenz [Hz]
(a)
(b)
5506
5508
5510
Abbildung 4.12: Die Messung des Beat-Signals der Bragg-Laser-Strahlen mit ungelocktem Master-Laser. Der Beat des Master-Lasers (blau) wird im Vergleich zu einem Frequenzgenerator (grün) dargestellt.
über eine Zeitdauer von 25 µs mit einer Leistung von 15 mW orthogonal zur Detektionsrichtung eingestrahlt. Direkt nach Abschaltung des Bragg-Impulses wurde die Dipolfalle
ebenfalls abgeschaltet. Nach einer TOF von 17 ms wird das Kondensat in Absorption
detektiert. Aufgrund des 0◦ -Aufbaus wird kein Impulsübertrag erwartet, so dass prinzipiell keine Bragg-Beugung möglich sein dürfte. In der Tat hat sich herausgestellt, dass
durch die imperfekte Entspiegelung der Experimentier-Glaszelle ein Rückreflex mit 4%
der Ausgangsintensität entsteht, der im Bereich des BECs sehr gut überlagert ist. Hierdurch ist es nun möglich Messungen zu betätigen, die in einem 0◦ -Aufbau eigentlich nicht
möglich sind. Die Bragg-Beugung findet durch den Rückreflex in einer 180◦ Anordnung
statt. Hierbei erwarten wir einen Impulsübertrag von:
2~k, mit k =
2π
λ
(4.20)
Für die Energieerhaltung muss gelten:
E0 =
~2 k 2
= h · 15.09 kHz
2m
(4.21)
Wir erwarten somit bei variierender Schwebungsfrequenz eine Beugungsresonanz bei
ν0 = 15kHz. In einer ersten Messung wurde diese Resonanz in einem Bereich von 12
- 20kHz mit einer Schrittweise von 0, 5kHz gemessen. Ein typisches Bild von BraggBeugung ist in Abb. 4.14 zu sehen.
Diese Messung wurde achtmal wiederholt. Für jede Serie wurde zunächst der relative Anteil in den gebeugten Peaks berechnet und anschließend über alle acht Serien gemittelt.
68
4.5. EXPERIMENTELLE ERGEBNISSE DER
BRAGG-SPEKTROSKOPIE
0
0
-10
rel. Signalstärke [dB]
rel. Signalstärke [dB]
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-30
-40
-50
-70
-80
5400
-20
5420
5440
5460
5480
5500
5520
5540
5560
5580
5600
-60
5490
5492
5494
5496
5498
5500
5502
5504
Frequenz [Hz]
Frequenz [Hz]
(a)
(b)
5506
5508
5510
Abbildung 4.13: Die Messung des Beat-Signals der Bragg-Laser-Strahlen mit gelocktem
Master-Laser. Der Beat des Master-Lasers (blau) wird im Vergleich zu einem Frequenzgenerator (grün) dargestellt.
Zu guter Letzt wurde eine Gauß-Verteilung an die Datenpunkte angefittet. Die Daten
sind in Abb. 4.15 aufgetragen.
Im Rahmen der Genauigkeit der Messung ist die Näherung einer Gauß-Verteilung akzeptabel, obgleich eine genaue Linienform gegeben ist durch das Quadrat der Fouriertransformierten der Wellenfunktion [46, 54]:
2
|Ψ(px )| ∼
J2 (px x/~)
(px x/~)2
2
(4.22)
Wobei J2 die Bessel-Funktion zweiter Ordnung darstellt und eine eindimensionale Impulsverteilung in x-Richtung betrachtet wird.
Die Resonanz ermittelte sich in der Auswertung zu ν1 = 16, 54kHz mit einer FWHMBreite von σ = 806, 4Hz. Die Resonanz stimmt somit nicht mit dem früher errechneten
Wert von ca. 15kHz überein.
In der Tat ist hierbei die Wechselwirkung im BEC vernachlässigt worden, was diese Verschiebung verursacht. Die repulsive Wechselwirkung sorgt hierbei dafür, dass elementare
Anregungen in Form von Phononen im BEC erzeugt werden.
Vergleicht man die Bragg-Messungen dieser Diplomarbeit mit den Messungen der früheren Diplomarbeit von Thomas Garl [45], so erkennt man, dass die Resonanzverschiebung
verschwindet, wenn die Bragg-Strahlen erst nach Abschalten der Falle und nach kurzer
TOF eingestrahlt werden. Während der TOF verhalten die Atome sich wie freie Teilchen,
so dass eine phononische Anregung nicht möglich ist.
Betrachtet man in Gleichung (2.1) die bosonischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, so lässt sich der Übergang der Anregung freier Teilchen zu phononischen Anregungen durch eine Bogoliubov-Transformation beschreiben [55]:
69
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
Abbildung 4.14: Absorptionsbild eines BECs nach Einwirkung des Bragg-Lasersytems
b†+p = up a†+p + vq a−p
def
b+p = uq a+p + vq a†−p
def
(4.23)
Hierbei beschreiben b†p und bp die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für Bogoliubov Quasi-Teilchen, während a†p und ap die entsprechenden Operatoren für freie Teilchen
mit dem Impuls p beschreiben. Die Anregung dieser Phononen muss in der Energieerhaltung berücksichtigt werden, was rein qualitativ eine Veränderung der Resonanz zu
höheren Frequenzen erklärt. Betrachtet man das Energiespektrum, welches elementare
phonische Anregungen berücksichtigt, so ergibt sich dieses zu [55]:
s
EBog (p) =
p2
n0 µ
·
+
m
p2
2m
2
(4.24)
2
a
wobei das chemische Potential durch µ = 4π~
m gegeben ist. Anhand von Gleichung (4.24)
ist es nun möglich die maximale Dichte n0 des Kondensates zu errechnen. Nach kurzen
Termumformungen ergibt sich hierfür:
n0 = (ν12 − ν02 )
πm2
= 7, 86 · 1014 [cm−3 ]
p2 a
(4.25)
Dies stimmt qualitativ mit den typischen Dichten in einem BEC überein. Um zu bestimmen wie exakt die angewendeten Bogolioubov-Näherungen sind, sollten in weitergehenden Untersuchungen die Fallenfrequenzen bestimmt werden. Weiterhin können die
Absorptionsaufnahmen hinsichtlich der Teilchenzahl ausgewertet werden. Hierbei ergibt
70
4.5. EXPERIMENTELLE ERGEBNISSE DER
BRAGG-SPEKTROSKOPIE
0.35
Cond. Fraction
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
12
13
14
15
16
17
Frequency [kHz]
18
19
20
Abbildung 4.15: Die Resonanzkurve aus der Bragg-Messung mit 180◦ Anordnung
sich eine typische Anzahl von N = 96 · 103 . Mit den Fallenfrequenzen, der Teilchenzahl und sämtlichen anderen bekannten Parametern lässt sich die Dichte ebenfalls in
Thomas-Fermi-Näherung berechnen [17]. Mit dem chemischen Potential µ ergibt sich:
~ωharm 15 · N · a 2/5
µ=
mit
2
aharm
s
~
aharm =
mωharm
(4.26)
weiterhin folgt:
µ
mit
g
a
g = 4π~2
m
n0 =
(4.27)
Falls in weitergehenden Untersuchungen bestätigt werden kann, dass die über die ResonanzVerschiebung berechnete Teilchendichte gut mit den Dichten übereinstimmt, die sich
über Spin-Dynamik oder wie zuletzt beschrieben über die Fallenparamter bestimmt,
würde die Bragg-Spektroskopie somit eine weitere Methode zur Bestimmung der Teilchendichten darstellen.
Für die Zukunft wäre ein Umbau des Experimentes nötig, um die Quantisierungsachse
der BECs variabel drehen zu können. Mit dieser Möglichkeit wäre auch der Einsatz magnetischer Bragg-Spektroskopie möglich, um verschiedenste Bandstruktur-Phänomene
71
KAPITEL 4. STARK KORRELIERTE SYSTEME
zu untersuchen (siehe Anhang B). Weiterhin gibt es im Bereich tiefer Gitter das Phänomen der Mott-Shells, welches sich mit Hilfe der Bragg Spektroskopie und Holographie
untersuchen lässt. Mott-Shells treten im Mott-isolierenden Zustand zwischen Zonen, in
denen jeder Gitterplatz mit n Teilchen besetzt ist, und benachbarten Gitterplätzen, die
mit n − 1 Atomen besetzt sind, auf. Hier zwischen gibt es eine Schicht, die trotz des tiefen Gitters superfluid ist. Bisher gibt es hierzu nur indirekte Nachweise [56], eine direkte
Möglichkeit wäre es z.B., mit einem holographisch erzeugten Bessel-Laguere-Strahl eine
superfluide Kreisbewegung auszulösen. Die hieraus enstehende Geschwindigkeitsverteilung kann dann mit Bragg-Spektroskopie nachgewiesen werden [57].
72
Anhang
A
Raman Lasersystem
Das Raman-Lasersystem ist im Rahmen der Doktorarbeiten von Michael Erhard und
Jochen Kronjäger aufgebaut worden [58, 38]. Dieses Lasersytem wurde u.a. für die Erzeugung langlebiger Solitonen eingesetzt (siehe Kap. 3.4). Weiterhin wurde der Aufbau
umgebaut und mit dem Bragg-Lasersytem kombiniert (siehe Kap. 4.4). Daher soll das
Lasersystem im folgenden kurz beschrieben werden. Der Raman-Laser erzeugt ähnlich
zum Bragg-Laser einen bichromatischen Laserstrahl, dessen Frequenzen um wenige GHz
auseinanderliegen. Diese Frequenzdifferenzen sind viel zu hoch, als dass man sie durch
Verstimmungen mit Hilfe von AOMs erzeugen könnte. Der Frequenzunterschied wird
auf ∆νF =1→F =2 = 6, 8GHz eingestellt. Jede der beiden Frequenzen wird hierbei durch
einen ECDL erzeugt.
Das Schema für den Aufbau des Raman-Lasers ist in Abb. A.1 zu sehen.
In einem ersten Schritt wird einer der beiden Laser (Master) auf die Resonanz der
Cavity gelockt, auf die auch der Bragg-Master gelockt wird. Es wird hierfür eine FMSpektroskopie verwendet, was im Fehlersignal zu einem Pound-Drever-Hall Signal führt
(siehe Kap. 4.4). Ein Teil des Master-Lichtes wird mit einem Teil des zweiten Lasers (Slave) überlagert und auf eine schnelle Photodiode1 gegeben. Die Frequenzen des Lichtes an
sich liegen im T Hz-Bereich und werden von der Diode nicht registriert. Laufen die beiden
Laser jedoch mit unterschiedlichen Frequenzen, so führt dies zu einer Schwebung, die,
sollte sie im GHz-Bereich sein, gemessen werden kann. Die Schwebungsfrequenz wird als
Referenzsignal mit der Soll-Frequenz gemischt, welches zu einem DC-Fehlersignal führt.
Durch weitere Regelelektronik wird dieses Signal verwendet, um den Slave-Laser phasenstarr zum Master-Laser in einem optical phase-locked loop (OPLL) offset zu locken
1
RF-Photodiode der Firma Hamamatsu vom Typ G4176
73
ANHANG A. RAMAN LASERSYSTEM
phase-locked loop
Slave
Master
λ/4-Platte
G4176Photodiode
λ/4-Platte
Optische
Diode
AOM
Optische
Diode
λ/2-Platte
AOM
λ/2-Platte
λ/2-Platte
EOM
zur Cavity
Faser zum
Experiment
Abbildung A.1: Das Schema des Raman-Systems mit phase-locked loop.
[59, 60]. Der Teil des Lichtes, der nicht für die Spektroskopie und den Phasenlock verwendet wird, wird überlagert, in eine Glasfaser eingekoppelt und über diese direkt zum
Experiment geführt. Eine Fourier-Transformationsmessung der Frequenz-Peaks hat hierbei ergeben, dass der Beat des Lasers eine Breite von weniger als einem Hz hat. Eine genauere Messung war nicht möglich, da die Messung durch die Auflösung des verwendeten
Spectrum Analyzers2 limitiert war. In Anbetracht der Tatsache, dass die Einstrahldauern weit unterhalb einer Sekunde liegen (typischerweise µs bis ms- Bereiche), liegt die
Kohärenzzeit des Raman-Lasers um einige Größenordnungen über den Anforderungen.
Bilder des Raman-Systems sind in Abb. A.2 zu sehen.
2
74
UPV Audio Analyzer der Firma Rhode & Schwartz
Abbildung A.2: Ein Foto des Raman-Lasersytems
75
ANHANG A. RAMAN LASERSYSTEM
76
Anhang
B
Band-Struktur im Gitter
Wie bereits in der Einleitung von Kap. 4 beschrieben wurde, haben optische Gitter sehr
viele Ähnlichkeiten zu Festkörpergittern. In beiden Fällen handelt es sich um periodische Potentiale, in denen im einen Fall Elektronen und im anderen Fall Atome gefangen
sind. Es gibt jedoch durch den Tunnel-Effekt eine eingeschränkte Bewegungsfreiheit in
beiden Fällen. Ein sehr interessanter Aspekt in Gittern sind hierbei die für die Teilchen
erreichbaren Energieniveaus. Es zeigt sich hierbei, dass aus sehr geringen Annahmen die
Form einer Bandstruktur folgt. Im Folgenden sollen daher die Grundlagen der Bandstrukturrechnung hergeleitet werden. Hierbei wird sich zeigen, dass es zunächst keinerlei
Unterschiede zwischen Festkörpergittern und optischen Gittern gibt. Tatsächlich werden
die unterschiedlichen Potentiale erst in einem letzten Schritt eingesetzt, so dass hieraus
eine fundamentale Ähnlichkeit zwischen solchen Festkörpersystemen und optischen Systemen gibt.
Für die weitere Herleitung siehe [61, 62]. Zur Herleitung der Bandstruktur muss zunächst
die Bragg-Bedingung umformuliert werden. Hierfür betrachten wir zunächst die Elektronendichteverteilung, für die wir eine Periodizität voraussetzen:
n(~r + T~ ) = n(~r)
(B.1)
wobei T~ ein Translationsoperator ist, gegen dessen Verschiebung das Gitter an sich
invariant ist. T~ ist demnach abhängig von den Gittervektoren ~a1 , ~a2 und ~a3 .
Aufgrund der periodischen Struktur lässt sich die Elektronendichte in einer Fourierentwicklung darstellen. Im 1D-Fall ergibt sich:
77
ANHANG B. BAND-STRUKTUR IM GITTER
n(x) =
X
np exp(i2πpx/a)
(B.2)
p
Hierbei sind p ein Laufindex mit zunächst keiner physikalischen Bedeutung und np die
Fourierkoeffizienten, während a die Gitterkonstante des Gitters darstellt.
Führen wir weiterhin reziproke Gittervektoren ein mit:
~b1 = 2π ~a2 × ~a3
~a1 · ~a2 × ~a3
~b2 = 2π ~a3 × ~a1
~a1 · ~a2 × ~a3
~b3 = 2π ~a1 × ~a2
~a1 · ~a2 × ~a3
(B.3)
~ = v1~b1 + v2~b2 + v3~b3 , wobei die vi nur
mit einem allgemeinen reziproken Gittervektor G
ganzzahlige Werte annehmen, wird die Fourierentwicklung zu:
n(~r) =
X
~ r)
nG~ exp(iG~
(B.4)
~
G
Kommen wir schließlich zur Bragg-Bedingung und betrachten die Bragg-Reflexe eines
einfallenden Lichtstrahles. Es wird angenommen, dass die in einem Volumen des Gitters
gebeugte Amplitude proportional zur lokalen Elektronenkonzentration ist. Wir können
die Amplitude schreiben als:
Z
F =
n(~r) exp(i(~k − ~k 0 ) · ~r) d V
(B.5)
Mit den Fourierkomponenten aus Gleichung (B.4) wird dies zu:
F =
XZ
~ − ~k − ~k 0 ) · ~r) d V
nG~ exp(i(G
(B.6)
~
G
es kann nun gezeigt werden, dass das Integral nur wesentlich von Null verschieden ist,
wenn der Exponent verschwindet. Daher bekommen wir eine neue Beugungsrelation mit:
~ 2 = k2
(~k + G)
(B.7)
mit der Annahme, dass k 2 = k 02 . Diese Annahme wurde bereits in Kap. 4.2 eingeführt
wodurch man erkennt, dass das System hierdurch gut beschrieben wird.
78
Geht man nun zum 1D-Gitter über und setzt G = 2πn/a und k = ±π/a, so formt
sich Gleichung (B.7) in k = ± 21 G = ±nπ/a um. Betrachtet man nun eine nach rechts
laufende Welle mit einem Wellenvektor, der die Bragg Bedingung erfüllt, so wird diese
nach links reflektiert, woraufhin sie wieder umgekehrt nach rechts reflektiert wird. Durch
die andauernde Reflektion kommt es zu einer stehenden Welle, die folgende Formen
annehmen kann:
Ψ(+) = 2 cos(πx/a)
Ψ(−) = 2i sin(πx/a)
(B.8)
Wobei mit (+) und (−) die Parität der Lösung angegeben wird. Im Ortsraum hat das
Gitter im Abstand der Gitterkonstanten a jeweils ein Ion1 , welches ein Potential auf die
Elektronen ausübt. Betrachten wir nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen, so sehen wir, dass |Ψ(−)|2 am Orte der Ionen verschwindet, während |Ψ(+)|2 ein
Maximum bei diesen hat (siehe Abb. B.1). Dies resultiert darin, dass die Elektronen mit
den Wellenfunktionen Ψ(−) und Ψ(+) unterschiedliche potentielle Energien im Coulomb
Feld der Ionen haben. Hieraus resultiert direkt eine Energielücke für k = ±π/a, die als
Bandlücke bekannt ist.
Im weiteren wird die Bandlücke näherungsweise berechnet. Hierfür ist zunächst die
Einführung der Bloch-Wellenfunktionen nötig:
Ψ~k (~r) = u~k (~r) exp(i~k · ~r)
(B.9)
Die Wellenfunktion setzt sich hierbei zusammen aus einer ebenen Welle und einer periodischen Funktion u~k (~r) = u~k (~r + T~ ). Felix Bloch hat bewiesen, dass diese Wellenfunktion das Verhalten von Elektronen in sämtlichen Gittergeometrien beschreibt und
das nach ihm benannte Bloch-Theorem aufgestellt [63]. Es ist unbewiesen, ob die BlochFunktionen die einzig möglichen Wellenfunktionen in einem Gitter sind oder ob es noch
andere exotische Lösungen gibt. Es sind jedoch keine weiteren Lösungen bekannt. Aufgrund der Periodizität kann die Wellenfunktion auch als Fourierentwicklung dargestellt
werden, wobei über die möglichen Wellenvektoren ~k summiert wird:
Ψ=
X
Ck exp(ikx)
(B.10)
k
Betrachten wir das Potential V (~r) in einem Kristall, so muss auch dieses invariant unter
der Translation mit dem Translationsoperator T~ sein. Dasselbe gilt für die potentielle
Energie eines Elektrons in diesem Potential U (~r + T~ ) = U (~r). Hier kann wie auch schon
vorher bei der Elektronendichteverteilung der Ansatz einer Fourierentwicklung gemacht
1
Es handelt sich formal um ein Ion, da wir die Elektronen und die Atomrümpfe von einander losgelöst
ansehen. Hierdurch betrachten wir ein Ionengitter in dem sich ein Elektronengas befindet. Das System
im ganzen ist neutral geladen.
79
ANHANG B. BAND-STRUKTUR IM GITTER
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
|Ψ(+)|2
|Ψ(-)|2
CoulombPotential
-a
0
a
2a
Abbildung B.1: Im Coulomb-Feld der Gitter-Ionen haben die Elektronen mit der Wellenfunktion Ψ(+) eine andere potentielle Energie als die Elektronen der Wellenfunktion
Ψ(−)
werden, wobei hier bereits die Forderung einer reellen potentiellen Energie berücksichtigt
wurde, weswegen die Fourierentwicklung nicht allgemein formuliert ist:
U (x) = 2 ·
X
UG cos(Gx)
(B.11)
G>0
Für ein reines Coulomb-Potential nehmen die Fourierkoeffizienten bekanntermaßen mit
UG ∼ 1/G2 ab.
Nun sind sämtliche Größen beschrieben, die zur Aufstellung und Lösung der Schrödingergleichung nötig sind. Diese stellt sich in Ein-Elektronen Näherung dar als:
1 2
p + U (x) Ψ(x)
2m
!
X
X
~2
−
∆+
UG eiGx
Ck exp(ikx)
2m
G
=
=
E·
X
k
Ck exp(ikx)
(B.12)
k
und weiter:
X ~2
XX
k 2 Ck e−kx +
UG Ck ei(k+G)x =
2m
k
80
G
k
E·
X
k
Ck exp(ikx)
(B.13)
Aus dem Koeffizientenvergleich erhalten wir die Hauptgleichung für ein Elektron im
Gitter:
X
~2 k 2
− E Ck +
UG Ck−G = 0
2m
(B.14)
G
Das Problem zerlegt sich somit in ein Gleichungssystem mit einer Anzahl von Gleichungen, die der Anzahl von Fourierkomponenten Ck entspricht. Betrachten wir nur das
Gleichungssystem mit den Koeffizienten C(k) und C(k − G), so erhalten wir nach wenigen Rechnungen ein quadratisches Gleichungssystem, dessen Lösung die erwünschten
Energie-Eigenwerte bringt. Hierbei ist für die analytische Näherungsmethode die Näherung des Kronig-Penney-Potentials gemacht worden. Dieses beschreibt das Potential als
periodisch auftretende δ-Funktion, wodurch sämtliche Fourierkoeffizienten gleich sind,
also UG = U :
E=
~2
2m
1 2
1
G + k− G
4
2
s
2 !
±
~2 k 2 ~2 k − 12 G
2m
2m
2
+ U2
(B.15)
Man sieht auch hier, dass die Energiebänder in natürlicher Art und Weise ein Teil der
Lösung sind. Schaut man nun auf die Zonengrenze der ersten Brillouin-Zone, die bei 12 G
liegt, dann wird der erste Term unter der Wurzel zu Null, so dass man die Bandlücke
von U erkennt.
Vergleicht man nun optische und Ionengitter, so erkennt man, dass die Bandstruktur
in beiden Fällen direkt aus der Bragg-Bedingung folgt. Bei der Berechnung der Bandstruktur werden zunächst völlig identische Annahmen gemacht, die in beiden Fällen zu
der in Gleichung (B.14) beschriebenen Hauptgleichung führen. In keinem der Schritte,
die zur Hauptgleichung führen, wurde weder die Fermi-/Bose-Statistik noch die genaue
Form des Potentials verwendet. Erst in der numerischen Berechnung wird das Potential
eingesetzt und führt z.B. bei einem optischen 1D-Gitter zu der in Abb. B.2 [64] gezeigten
Bandstruktur.
Das Energieschema bildet durchaus die bekannte Parabelstruktur aus, jedoch wird sie am
Rande einer Zonengrenze deformiert und ergibt dort eine Bandlücke. In der Festkörperphysik hat man zur Darstellung eines solchen Zonenschemas eine Rückführung auf die
erste Brillouin Zone eingeführt (siehe Abb. B.3). Hierbei wird ein Elektron mit einem
Impuls von mehr als πa durch den reziproken Gittervektor G zurück transportiert, bis
es einen Impuls von − πa ≤ k ≤ πa aufweist. Aus der Impuls- und Energieerhaltung muss
zwangsläufig folgen, dass der entsprechende Differenzimpuls von einer anderen Quelle
aufgebracht wurde. Tatsächlich wird dieser Impuls vom Gitter übertragen.
Es erscheint offensichtlich, dass ein solches Verhalten sehr charakteristisch für Festkörper
Gitter ist. Tatsächlich hat dieser Effekt großen Einfluss, wenn man z.B. die Wärmeleitfähigkeit in Gittern verstehen will. Hierbei wird die Wärme in Form von Phononen
durch ein Gitter transportiert, wird jedoch regelmäßig vom Gitter reflektiert und durch
81
ANHANG B. BAND-STRUKTUR IM GITTER
16
14
12
E [ER]
10
8
6
4
2
0
−2
−1.5
−1
−0.5
0
q [hk/2π]
0.5
1
1.5
2
Abbildung B.2: Die Energiebänder eines 1D-Gitters mit einer Gittertiefe von 2 · ER im
Vergleich zur ungestörten Energieparabel (blau)
das Gitter seines Impulses beraubt. Die Wärmeleitfähigkeit hängt in Festkörpern daher
essentiell davon ab, wie ausgeprägt solche Umklapp-Prozesse stattfinden.
Um dem Ziel einer optischen Festkörpersimulation näher zu kommen, ist es wichtig, optische Gitter auf diese Eigenschaften zu untersuchen. In einem Festkörper-Gitter ist eine
Anregung aus dem ersten Energieband in das zweite Energieband möglich, ohne dass
hierfür ein Impuls übertragen werden müsste. Es reicht, dem Elektron die Energie zu
übertragen, der für die Impulserhaltung nötige Impuls wird vom Gitter übertragen. In
einem optischen System entspricht dies einem 4-Photonen-Prozess. Ein Bragg-Laser in
einer 0◦ -Konfiguration sorgt für den Energieübertrag, während die Gitterlaser einen Impulsübertrag von p = 2~k beitragen. Da mit einem 0◦ -Aufbau keine Möglichkeit besteht
die Beugungsordnungen getrennt detektieren zu können, wurde hierfür das Lasersystem
für den Einsatz des magnetischen Bragg-Übergangs vorbereitet (siehe Kap. 4.3.1). Auch
der Rand der Brillouin Zone ist von besonderem Interesse, da hier vom rechten Rand
der Brillouin-Zone eine Reflexion auf den linken Rand der Brillouin-Zone erwartet wird.
Dies wurde bereits in einem Nachbar-Experiment untersucht und konnte bestätigt werden [65]. Die Untersuchungen zu einem impulsfreien Übergang vom ersten ins zweite
Band ist eine interessante Messung, die jedoch noch aussteht.
82
16
14
12
E [ER ]
10
8
6
4
2
0
−0.5
−0.4
−0. 3
−0.2
−0.1
0
q [hk/2π]
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Abbildung B.3: Die Energiebänder aus Abb. B.2 zurückgefaltet in die erste BrillouinZone
83
ANHANG B. BAND-STRUKTUR IM GITTER
84
Literaturverzeichnis
[1] M. H. Anderson, J. R. Ensher, M. R. Matthews, C. E. Wieman und E. A.
Cornell. Science, 269(198), 1995.
[2] K. B. Davis, M.-O. Mewes, M. R. Andrews, N. J. van Druten, D. S. Dufree, D. M. Kurn und W. Ketterle. Phys. Rev. Lett., 75(3969), 1995.
[3] M. R. Andrews, C. G. Townsend, H.-J. Miesner, D. S. Durfee, D. M.
Kurn und W. Ketterle. Science, 275(637), 1997.
[4] S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, K. Sengstock, A. Sanpera,
G. V. Shlyapnikov und M. Lewenstein. Phys. Rev. Lett., 83(5198), 1999.
[5] C. Becker, S. Stellmer, P. Soltan-Panahi, S. Dörscher, M. Baumert, E.M. Richter, J. Kronjäger, K. Bongs und K. Sengstock. Nat. Phys., 4(496),
2008.
[6] S. Stellmer, C. Becker, P. Soltan-Panahi, E.-M. Richter, S. Dörscher,
M. Baumert, J. Kronjäger, K. Bongs und K. Sengstock. Phys. Rev. Lett.,
101(120406), 2008.
[7] M. Greiner: Ultracold quantum gases in three-dimensional optical lattice potentials. Doktorarbeit, Ludwig-Maximilians-Universität, 2003.
[8] F. Dalfovo, S. Giorgini, L. P. Pitaevskii und S. Stringari. Rev. Mod. Phys.,
71(463), 1999.
85
[9] D. A. Steck: Rubidium 87 Line Data, rev. 2.0.1 (2008).
URL: http://steck.us/alkalidata/rubidium87numbers.pdf, 2008.
[10] T. Kinoshita, T. Wenger und D. S. Weiss. Phys. Rev. A, 71(011602), 2005.
[11] J. Dalibard und C. Cohen-Tannoudji. J. Opt. Soc. Am. B, 2(1707), 1985.
[12] H. Schmaljohann, M. Erhard, J. Kronjäger, K. Bongs und K. Sengstock.
Appl. Phys. B, 79(1001), 2004.
[13] D. S. Hall, M. R. Matthews, J. R. Ensher, C. E. Wieman und E.A. Cornell. Phys. Rev. Lett., 81(1539), 1998.
[14] H. Schmaljohann, M. Erhard, J. Kronjäger, S. v. Staa, L. Cacciapuoti,
J. J. Arlt, K. Bongs und K. Sengstock. Phys. Rev. Lett., 92(040402), 2004.
[15] J. Kronjäger, C. Becker, R. Walser, P. Navez, K. Bongs und K. Sengstock. Phys. Rev. A, 72(063619), 2005.
[16] J. Kronjäger, C. Becker, P. Navez, K. Bongs und K. Sengstock. Phys.
Rev. Lett., 97(110404), 2006.
[17] H. Schmaljohann: Spin-Dynamik in Bose-Einstein Kondensaten. Doktorarbeit,
Universität Hamburg, 2004.
[18] Holoeye: Daten Blatt. URL:
http : //www.holoeye.com/download daten/
Spatial Light Modulator LC − R 1080.pdf.
[19] Linos Photonics: Daten Blätter.
URL: http : //www.linos.com/pages/no cache/home/shop − optik/planoptik.
[20] S. Stellmer: Solitonen in mehrkomponentigen Bose-Einstein Kondensaten. Diplomarbeit, Universität Hamburg, September 2007.
[21] E. R. Dufresne und D. G. Grier. Rev. Sci. Instr., 69(1974), 1998.
[22] V. Boyer, R. M. Godun, G. Smirne, D. Cassettari, C. M Chandrashekar,
A. B. Deb, Z. J. Laczik und C. J. Foot. Phys. Rev. A, 73(031402), 2006.
[23] E. Hecht: Optik. Oldenbourg, 3. Auflage, 2001.
[24] O. Svelto: Principles of Lasers. 3. Auflage, 2001.
[25] E. Zhang: Computer Holography: Theory, Algorithms, and Realization. Doktorarbeit, Heidelberg und Mannheim, 1995.
[26] D. Mas, J. Garcia, C. Ferreira, L. M. Bernardo und F. Marinho. Opt.
Comm., 164(233), 1999.
86
[27] H. Kogelnik und T. Li. Proc. of the IEEE, 54(1312), 1966.
[28] J. Durnin. J. Opt. Soc. Am A, 4(651), 1987.
[29] A. Vasara, J. Turunen und A. T. Friberg. J. Opt. Soc. Am. A, 6(1748), 1989.
[30] S. H. Tao, W. M. Lee und X.-C. Yuan. Opt. Lett., 28(1867), 2003.
[31] J. A. Davis, E. Carcole und D. M. Cottrell. Appl. Opt., 35(599), 1996.
[32] J. Scott-Russel: Report on waves. Rep. Brit. Assoc. for Advancement of Science,
Seite 311, 1844.
[33] S. L. McCall und E. L. Hahn. Phys. Rev. Lett., 18(908), 1967.
[34] R. E. Slusher und H. M. Gibbs. Phys. Rev. A, 5(1634), 1972.
[35] W. Krieger und P. E. Toschek. Phys. Rev. A, 11(276), 1975.
[36] S. Dörscher: Dynamik von Solitonen und Korrelationsanalyse in Quantengases.
Diplomarbeit, Universität Hamburg, Februar 2008.
[37] T. Busch und J. R. Anglin. Phys. Rev. Lett., 87(010401), 2001.
[38] J. Kronjäger: Coherent Dynamics of Spinor Bose-Einstein Condensates. Doktorarbeit, Universität Hamburg, 2007.
[39] E.-M. Richter: Simulation der Dynamik mehrkomponentiger Bose-Einstein Kondensate. Diplomarbeit, Universität Hamburg, Juni 2008.
[40] S. Schnelle: Aufbau eines optischen Gitters für ein 87 Rb Spinor-Bose-Einstein
Kondensat. Diplomarbeit, Universität Hamburg, August 2006.
[41] R. Grimm, M. Weidemueller und Y. B. Ovchinnikov: Optical Dipole Traps
For Neutral Atoms. arXiv:9902072.
[42] P. Soltan-Panahi. Doktorarbeit, Universität Hamburg. to be published.
[43] D. Jaksch, C. Bruder, J. I. Cirac, C. W. Gardiner und P. Zoller. Phys.
Rev. Lett., 81(3108), 1998.
[44] C. Becker. Doktorarbeit, Universität Hamburg, 2008. to be published.
[45] T. Garl: Aufbau eines Bragg-Lasersystems für Kohärenzuntersuchungen an
Spinor-Bose-Einstein Kondensaten. Diplomarbeit, Universität Hamburg, Oktober
2004.
[46] J. Stenger, S. Inouye, A. P. Chikkatur, D. M. Stamper-Kurn, D. E. Pritchard und W. Ketterle. Phys. Rev. Lett., 82(4569), 1999.
[47] J. E. Thomas. Contemp. Phys, 35(257), 1994.
87
[48] J. E. Thomas und L. J. Wang. Phys. Rep., 262(311), 1995.
[49] C. J. Foot: Atomic Physics. Oxford University Press, 14. Auflage, 2005.
[50] G. C. Bjorklund, M. D. Levenson, W. Lenth und C. Ortiz. Appl. Phys. B,
32(145), 1983.
[51] R. V. Pound. Rev. Sci. Instr., 17(490), 1946.
[52] R. W. P. Drever, J. L. Hall, F. V. Kowalski, J. Hough, G. M. Ford, A. J.
Munley und H. Ward. Appl. Phys. B, 31(97), 1983.
[53] LDS Test and Measurement: Understanding FFT-Windows. URL:
http : //www.lds − group.com/docs/site documents/
AN014%20Understanding%20FFT%20Windows.pdf.
[54] G. Baym und C. J. Pethick. Phys. Rev. Lett, 76(6), 1996.
[55] J. M. Vogels, K. Xu, C. Raman, J. R. Abo-Shaeer und W. Ketterle. Phys.
Rev. Lett, 88(060402), 2002.
[56] G. K. Campbell, J. Mun, M. Boyd, P. Medley, A. E. Leanhardt, L. G.
Marcassa, D. E. Pritchard und W. Ketterle. Science, 313(649), 2006.
[57] K. Mitra, C. J. Williams und C. A. R. Sá de Melo. Phys. Rev. A, 77(033607),
2008.
[58] M. Erhard: Experimente mit mehrkomponentigen Bose-Einstein-Kondensaten.
Doktorarbeit, Universität Hamburg, 2004.
[59] M. Prevedelli, T. Freegarde und T. W. Hänsch. Appl. Phys. B, 60(S241),
1995.
[60] R. Wynands und A. Nagel. Appl. Phys. B, 68(1), 1999.
[61] C. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, 14. Auflage, 2006.
[62] N. W. Ashcroft und N. D. Mermin: Solid State Physics. Saunders College
Philadelphia, 1. Auflage, 1976.
[63] F. Bloch. Z. Physik, 52(555), 1928.
[64] S. Dörscher. priv. Comm.
[65] P. Ernst. Doktorarbeit, Universität Hamburg, 2009. to be published.
88
Danksagung
Als erstes bedanke ich mich bei Prof. Dr. Klaus Sengstock für die Möglichkeit, meine Diplomarbeit in seiner Arbeitsgruppe anfertigen zu dürfen. Es war ein besonderes
Geschenk und mir immer wieder eine Freude in diesem Institut einen Blick hinter die
Grenzen der bekannten Physik zu werfen. Er hatte stets ein offenes Ohr für Fragen in
fachlichen und menschlichen Belangen. Ich hatte hier eine tolle Zeit, danke!
Vielen Dank an Prof. Dr. Werner Neuhauser für die Übernahme des Zweitgutachtens.
Ich danke Prof. Dr. Kai Bongs, der mir bereits vor zwei Jahren den Eintritt in die
Quantenoptik ermöglicht hat. Er hat mich immer wieder durch angeregte Diskussionen
weitergebracht, so dass ich mich jetzt sehr freue meine Doktorarbeit unter seiner Führung
anfertigen zu dürfen.
Ich möchte mich besonders bei Christoph Becker bedanken. Ich glaube, dass ich wenige
so integere Menschen wie ihn kennen gelernt habe. Neben seinem umfangreichen Wissen und seiner fachlichen Betreuung hat er mich vor allem als Mensch immer wieder
beeindruckt.
Vielen Dank an Dr. Jochen Kronjäger, der mir mit seiner theoretischen und experimentellen Expertise oft geholfen hat schier unlösbare Probleme zu umschiffen.
Ich danke auch Parvis Soltan-Panahi für die Betreuung. Auch er hat in Gesprächen und
durch seine Arbeit am Experiment zum Gelingen dieser Diplomarbeit beigetragen.
Ich danke Eva-Maria Richter für eine tolle DPG-Tagung. Ihre offene, direkte und herzliche Art hat mich oft wieder auf den Boden der Tatsachen zurückgeholt und mich so
weitergebracht.
Vielen Dank an Sören Dörscher, der mir von Beginn an in allen Dörschlab-Fragen zur
Verfügung stand die es in Matlab zu übersetzen galt. Seine besonderen Fähigkeiten in
der Fotographie haben immer wieder zu Bildern geführt die einen zum Träumen angeregt
89
haben.
Ich bedanke mich auch bei Julian Struck, meinem Mitstreiter, für die gemeinsame Zeit
am Experiment.
Ein herzlicher Dank geht an das ganze Quantus-Team mit Anika, Ole, Matthias H.,
Julian, Nadine und Alexandra die immer für ein kleines Schwätzchen bereit waren und
so ausschlaggebend für meine mentale Gesundheit während dieser Zeit verantwortlich
waren.
Mein Dank geht natürlich auch an Stefan und Sönke die mir gezeigt haben was es heißt
niemals aufzugeben, niemals zu kapitulieren“. Ihr habt Großartiges vollbracht, auch
”
wenn der steinige Weg zum Öko-BEC noch bevorsteht. Insofern: die Konkurenz schläft
ja nicht!
Mein dank gilt auch allen anderen Personen der Arbeitsgruppe Quantengase und Spektroskopie.
Ein herzlicher Dank geht an Martin Hierholzer, mit dem ich viele lustige Filmabende
verbracht habe: Gin-Tonic ist ein Teufelsgesöff. Ohne dein Wissen und deine Anregung
aus der Astrofotographie wäre das Kapitel über die Bessel-Strahlen so nicht möglich
gewesen.
Ich bedanke mich bei Sören, Peter, Ulrike, Christoph und Kai für das Korrekturlesen.
Vielen Dank an Holger Schmaljohann für das freundliche zur Verfügung stellen des Layouts seiner Doktorarbeit.
Ich möchte auch Britta, Franziska, Peter, James, Lukas, Andreas E., Hauke, meinem
Cello-Lehrer Andreas H. und allen anderen Freunden bedanken. Ohne euch wäre das
ganze Studium eine sehr triste Angelegenheit gewesen. Wir haben viel zusammen gelacht
und viel Spaß miteinander gehabt.
Als letztes möchte ich mich bei meinen Eltern, Peter und Ulrike, meinen Geschwistern,
Kristina, Elske, Jan-Tido und Grietje, und last but not least bei meinem Schwager Pierre
bedanken. Ohne eure dauerwährende Unterstützung in den guten und schwierigen Zeiten
wäre ich wohl niemals so weit gekommen. Ihr seid mein Fundament.
90