Lösung der Hausaufgaben 1

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK,
CAMPUS ESSEN
Prof. Dr. Patrizio Neff
20.04.2012
Lösungsvorschlag zur 1. Hausübung in Analysis II im SS 12
Hausaufgabe 1 (6+6 Punkte):
Bestimmen Sie alle Punkte a 2 R, in denen die Funktion f definiert durch
⇢
x für x < 0
3
(a) f : R ! R; x 7 ! x ,
(b) f : R ! R; x 7 !
x4 für x 0
differenzierbar ist. Beweisen Sie ihre Behauptung direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit
aus dem Skript.
Lösung:
(a) Wir betrachten zunächst den Fall a 2 ( 1, 0). Für h > 0 so klein, dass a + h 2 ( 1, 0) ist
|(a + h)3 | |a3 |
h
(a + h)3 + a3
=
h
3
a
3a2 h 3ah2 h3 + a3
h !0
=
= 3a2 3ah h2
! 3a2
h
und somit f differenzierbar auf ( 1, 0) mit Ableitung f 0 (x) = 3x2 .. Für a 2 (0, 1) und
h > 0 so klein, dass a + h 2 (0, 1), gilt
f (a + h)
h
f (a)
=
|(a + h)3 | |a3 |
h
3
(a + h)
a3
=
h
a3 + 3a2 h + 3ah2 + h3 a3
h !0
=
= 3a2 + 3ah + h2
! 3a2 ,
h
was gleichbedeutend damit ist, dass f auch in (0, 1) differenzierbar ist mit f 0 (x) = 3x2 .
Zuletzt bleibt der Fall a = 0. Wegen
f (a + h)
h
f (a)
=
f (0 + h) f (0)
|h3 |
h2 |h|
h !0
=
=
= h|h|
! 0
h
h
h
ist f somit auch in null differenzierbar mit Ableitung f 0 (0) = 0.
(b) Auch hier betrachten wir mehrere Fälle. Zunächst sei a 2 ( 1, 0) und h > 0 so klein, dass
a + h 2 ( 1, 0). Dann ist
f (a + h) f (a)
a+h a
h !0
=
=1
! 1
h
h
und daher f in ( 1, 0) differenzierter mit Ableitung f 0 (x) = 1. Für a 2 (0, 1) und h > 0 so
klein, dass a + h 2 (0, 1) ist
f (a + h)
h
f (a)
(a + h)4 a4
h
a4 + 4a3 h + 6a2 h2 + 4ah3 + h4 a4
=
h
h !0
= 4a3 + 6a2 h + 4ah2 + h3
! 4a3
=
und somit f auch in (0, 1) differenzierter mit Ableitung f 0 (x) = 4x3 . Zuletzt müssen wir
f (a + h)
h
f (a)
an der „ Klebestelle “ a = 0 untersuchen. Dazu lassen wir h von oben bzw. von unten gegen
null streben und beobachten was passiert:
f (0 + h)
h!0
h
f (0)
f (0 + h)
h!0
h
f (0)
lim
h4
= lim
h!0
h<0
h<0
0
h
h!0
h>0
h>0
lim
= lim
h
h!0
h>0
0
h
= lim h3 = 0,
= lim 1 = 1.
h!0
h<0
Offensichtlich stimmen also der rechts- und linksseitige Grenzwert nicht überein, so dass der
Grenzwert
f (0 + h) f (0)
lim
h!0
h
h6=0
nicht existiert und daher f in a = 0 nicht differenzierbar ist.
Hausaufgabe 2 (6+8+4+8 Punkte):
Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen
(a) f (x) = exp
(c) f (x) =
✓
1
1
x2
◆
für |x| < 1,
(b) f (x) =
1 + x2
für x 2 R \ { 1, 1},
1 x2
✓
(d) f (x) = e
1+x
1 x
3x
◆x2
für |x| < 1,
p
· log( x2 + 6) für x 2 R.
Lösung:
Mit den aus der Vorlesung bekannten „ Ableitungsregeln “ folgt direkt
(a) (Kettenregel)
◆ ✓
◆0
1
f (x) = exp
·
1 x2
1 x2
✓
◆
1
0
= exp0
· (1 x2 ) 1
2
1 x
◆
✓
1
· (1 x2 ) 2 · ( 2x)
= exp
1 x2
✓
◆
2x
1
=
· exp
(1 x2 )2
1 x2
0
(b) Für |x| < 1 ist
f (x) =
✓
1+x
1 x
◆x2
0
✓
= exp log
1
✓
1+x
1 x
◆x2 !!
✓
2
= exp x log
✓
1+x
1 x
◆◆
und daher (Ketten-, Produkt- und Quotientenregel)
✓
✓
◆◆ ✓
✓
◆◆0
1+x
1+x
0
0
2
2
f (x) = exp x log
· x log
1 x
1 x
✓
✓
◆◆ ✓
✓
◆
✓ ✓
◆◆0 ◆
1+x
1+x
1+x
2
2
= exp x log
· 2x · log
+ x · log
1 x
1 x
1 x
✓
◆ x2 ✓
✓
◆
✓
◆0 ◆
1+x
1+x
1 x
1+x
=
· 2x · log
+ x2 ·
·
1 x
1 x
1+x
1 x
✓
◆ x2 ✓
✓
◆
◆
1+x
1+x
x 1 · (1 x) (1 + x) · ( 1)
2 1
=
· 2x · log
+x ·
·
1 x
1 x
1+x
(1 x)2
✓
◆x2 ✓ ✓
◆
◆
1+x
1+x
x
= 2x ·
· log
+
1 x
1 x
1 x2
(c) (Quotientenregel)
f 0 (x) =
2x · (1
x2 ) (1 + x2 ) · ( 2x)
4x
=
2
2
(1 x )
(1 x2 )2
(d) (Produkt- und Kettenregel)
⇣
⌘0
p
p
· log( x2 + 6) + e 3x · log( x2 + 6)
⌘0
⇣p
p
1
·
x2 + 6
= e 3x · ( 3) · log( x2 + 6) + e 3x · p
x2 + 6
p
1
1
= 3e 3x · log( x2 + 6) + e 3x · p
· p
· 2x
2
x + 6 2 x2 + 6
✓
◆
p
x
3x
2
=e
3 · log( x + 6) + 2
x +6
f 0 (x) = e
3x 0
Hausaufgabe 3 (6 Punkte):
Zeigen Sie:
1
log
2
8 x 2 (0, 1) :
Hinweis: Mittelwertsatz.
✓
1+x
1 x
Lösung:
Sei x 2 (0, 1). Die Funktion
1
f : [0, x] ! R; z 7 ! log
2
◆
✓
> x.
1+z
1 z
◆
ist stetig und als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (0, x) auch differenzierbar mit Ableitung
✓
◆ ✓
◆0
1
1+z
1+z
0
0
f (z) = log
·
2
1 z
1 z
1 1 z 1 · (1 z) (1 + z) · ( 1)
= ·
·
2 1+z
(1 z)2
1 1 z
2
1
1
= ·
·
=
=
.
2 1 + z (1 z)2
(1 + z)(1 z)
1 z2
Nach dem ersten Mittelwertsatz existiert nunmehr ein cx 2 (0, x) mit
✓
◆
1
1
1+z
log
0 = f (x) f (0) = f 0 (cx ) · (x 0) =
·x
2
1 z
1 c2x
Da x 2 (0, 1) und cx 2 (0, x), ist
1
1
und somit
1
log
2
✓
1+x
1 x
◆
=
c2x
>1
1
1
c2x
· x > 1 · x = x.
Hausaufgabe 4 (8+4 Punkte):
(a) Seien X ✓ R ein offenes Intervall, f : X ! R differenzierbar und M
|f 0 (x)|  M 8 x 2 X, dann ist f gleichmäßig stetig.
(b) Zeigen Sie:
f : (0, 1/2) ! R; x 7 !
0. Zeigen Sie: Ist
1 + x2
1 x2
ist gleichmäßig stetig.
Lösung:
(a) Sei " > 0 vorgegeben. Nach Voraussetzung ist f auf X differenzierbar und damit insbesondere
stetig. Wählen wir nun
"
:=
>0
M
folgt mit dem ersten Mittelwertsatz für alle x, y 2 X mit |x y| < :
|f (x)
f (y)| = |f 0 (cxy ) · (x
y)| = |f 0 (cxy )| · |x
y| < M · = ",
wobei cxy 2 (x, y).
(b) f ist als Komposition differenzierbarer Funktionen auf (0, 1/2) differenzierbar mit Ableitung
f 0 (x) =
4x
(1 x2 )2
(vgl. Hausaufgabe 3 (c)). Für x 2 (0, 1/2) ist
|f 0 (x)| =
4x
<⇣
(1 x2 )2
4·
1
1
2
1 2
2
und somit f nach Aufgabenteil (a) gleichmäßig stetig.
⌘2 =
32
>0
9
Hausaufgabe 5 (8 Punkte):
Sei f : [ 1, 1] ! R stetig und auf ( 1, 1) zweimal differenzierbar. Ferner sei f 0 stetig auf [ 1, 1]
und es gelte f ( 1) = f (1) sowie f 0 ( 1) = f 0 (1) = 0. Zeigen Sie:
9 x1 6= x2 2 ( 1, 1) :
f 00 (x1 ) = f 00 (x2 ) = 0.
Hinweis: Satz von Rolle.
Lösung:
Setze ↵ := f (1) = f ( 1) und definiere
h : [ 1, 1] ! R; x 7 ! f (x)
↵.
Dann ist h nach Voraussetzung auf [ 1, 1] stetig und in ( 1, 1) differenzierbar. Insbesondere gilt
h( 1) = f ( 1)
a=a
a=0
bzw.
h(1) = f (1)
a=a
a=0
und somit nach dem Satz von Rolle
9 x0 2 ( 1, 1) :
0 = h0 (x0 ) = f 0 (x0 ).
Auch die Ableitungsfunktion f 0 : [ 1, 1] ! R erfüllt nach Aufgabenstellung die Voraussetzungen
des Satzes von Rolle, so dass wir diesen erneut anwenden. Damit folgt die Existenz einer Stelle x1
zwischen 1 und x0 und einer Stelle x2 zwischen x0 und 1 mit
f 00 (x1 ) = f 00 (x2 ) = 0
und damit die Behauptung.