Blatt 11

Übungsblatt 11
Analysis 1
Wintersemester 2014/15
Prof. Dr. Alan Rendall
21.01.2015
abzugeben bis 29.01.2015
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe
Lösen Sie die folgenden Aufgaben schriftlich und geben Sie Ihre Lösungen bis Donnerstag 10:00 im Briefkasten
Ihrer Übungsgruppe in der vierten Etage des Institutsgebäudes ab! Sie dürfen die Aufgaben allein oder in Gruppen
bearbeiten (nutzen Sie dafür auch das Lernzentrum!), jedoch sollten höchstens je zwei Studierende gemeinsam ein
Lösungsblatt abgeben. Auf diesem sollten dann beide Namen und Matrikelnummern vermerkt sein.
Aufgabe 47
Zeigen Sie unter Verwendung der Definition von Diﬀerenzierbarkeit, dass die durch f (x) = |x|3 gegebene Funktion
f : R → R auf ganz R stetig diﬀerenzierbar ist!
Aufgabe 48
Zeigen Sie, dass für jede reelle Zahl α > 0 die Funktion f : R → R,
{
0
für x ≤ 0
f (x) =
x1+α cos x1 für x > 0
diﬀerenzierbar ist! Untersuchen Sie auch, für welche α die Ableitung stetig ist!
Aufgabe 49 Finden Sie c ∈ R derart, dass die Funktion f : R → R
{
1
arctan |x|
für x ̸= 0
f (x) =
c
für x = 0
stetig ist! Untersuchen Sie die so erhaltene Funktion auf Diﬀerenzierbarkeit im Punkt x = 0!
Aufgabe 50
Finden Sie Konstanten a, b, c, d ∈ R derart, dass die durch


für x ≤ 1
ax + b
f (x) = ax2 + c für 1 < x ≤ 2

 dx2 +1
für x > 2
x
gegebene Funktion f : R → R auf ganz R diﬀerenzierbar ist!
Aufgabe 51
Zur diﬀerenzierbaren Funktion f : R → R seien beliebige reelle Zahlen x0 und t gegeben. Zeigen Sie, dass dann
eine reelle Zahl θ ∈ (0, 1) existiert, die
f (x0 + t) − f (x0 ) = t f ′ (x0 + θt)
erfüllt!
Zeigen Sie, dass im Beispiel f (x) =
und berechnen Sie diesen!
1
1+x
bei gegebenem x0 > 0 θ für t → 0 einen eindeutigen Grenzwert annimmt
Zusatzaufgabe Z6 (Diese Aufgabe wird nicht bewertet.)
Die Funktion f : R → R sei stetig und es existieren c ∈ R und t ∈ (0, 1) derart, dass
lim
x→0
f (x) − f (tx)
=c
x
gilt. Zeigen Sie, dass f in x = 0 diﬀerenzierbar ist!
Hinweis. Untersuchen Sie
f (tn x) − f (tn+1 x)
tn x
für n ∈ N, n ≥ 1 und summieren Sie über n (Stichwort geometrische Reihe“)!
”
1
Testaufgaben
Diese Aufgaben sollten Sie innerhalb weniger Minuten und mit wenigen Zeilen lösen können. Falls dies nicht
der Fall ist, wird empfohlen, sie zur Übung zu nutzen. In unregelmäßigen Abständen werden diese oder ähnliche
Aufgaben während der Übung schriftlich abgefragt.
T39 Ist die durch f (x) = x gegebene Funktion f : Q → R im Punkt x = 0 diﬀerenzierbar? Begründen Sie Ihre
Aussage!
Wie sieht es mit der Funktion g : Z → R, g(x) = x2 am gleichen Punkt aus?
T40 Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen f : R → R! Sie dürfen die Diﬀerenzierbarkeit als
gegeben annehmen.
(i) f (x) = x|x|
(ii) f (x) = x2 sin x
(iii) f (x) = sin x cos x
(iv) f (x) = sin(cos x)
(v) f (x) = exp(−x2 )
(vi) f (x) = log(1 + sin2 x)
(vii) f (x) = arctan(x2 )
(viii) f (x) =
1
2+cos x
(ix) f (x) = x2 exp(−x2 )
T41 Zeigen Sie, dass für alle positiven ganzen Zahlen n und alle reellen Zahlen x > 0
)
(
n
∑
dn
1
n
(x log x) = n! log x +
dxn
k
k=1
gilt!
T42 Berechnen Sie für beliebige x ∈ R und n ∈ N\{0} die n-te Ableitung der Funktion f : R → R, f (x) = x2 exp x
(Hinweis: Leibniz-Regel)!
2