Mathematik - Antwortblatt Übungsklausur
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Mathematik - Antwortblatt Übungsklausur Zugelassene Hilfsmittel: Wörterbuch Muttersprache - Deutsch, Lineal & Stifte Bearbeitungszeit: 120 min Maximal erreichbare Punktzahl: 120 Punkte 1 Aufgabe: 10 Punkte a) Bitte definieren Sie Differenzierbarkeit einer Funktion (2 Punkte)! b) Kann eine Funktion in einem Punkt stetig sein, ohne dort differenzierbar zu sein? Bitte zeichnen Sie graphisch ein Beispiel (2 Punkte)! c) Überprüfen Sie die Funktion f (x) an der Stelle x0 = 1 auf Differenzierbarkeit (6 Punkte)! ⎧ 1 ⎪ x≤1 ⎨ x− 2 f (x) = f ür ⎪ ⎩ 1 2 x x>1 2 Antwort: a) Eine Funktion f (x) ist an der Stelle x0 differenzierbar, wenn (2 Punkte): ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... b) Zeichnen Sie in der nachstehenden Grafik ein Beispiel für eine Funktion ein, die in einem Punkt stetig ist, ohne dort differenzierbar zu sein (2 Punkte)! f(x) x 1 c) Überprüfung von f (x) an der Stelle x0 = 1 auf Differenzierbarkeit (5 Punkte) ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... Die Funktion f (x) ist an der Stelle x0 = 1 ¤ differenzierbar ¤ nicht differenzierbar (richtiges bitte ankreuzen!) 2 (1 Punkt) Aufgabe: 5 Punkte a) Wie lautet die allgemeine Bedingung, damit die Funktion f (x) strikt konvex ist (1 Punkt)? b) Für welche Parameterwerte von a ist die Funktion f (x) = ln (2x + 3)a strikt konvex (4 Punkte)? Antwort: a) Allgemeine Bedingung für strikte Konvexität lautet (1 Punkt) ....................................................................................................................... b) Die Ableitungen lauten: f 0 (x) = .............................................................................................. (1 Punkt) f 00 (x) = ............................................................................................. (1 Punkt) f (x) ist strikt konvex für .................................................................. (2 Punkte) 2 3 Aufgabe: 30 Punkte Ein Unternehmen produziert mit den Faktoren Kapital K und Arbeit A und der √ √ Produktionsfunktion E = A + K sein Endprodukt E. Jede Einheit Arbeit und Kapital sei gleich teuer. a) Bestimmen Sie den kostenminimalen Faktoreinsatz sowie den Lagrangeparameter im Optimum (15 Punkte)! b) Wie hoch ist die Produktionselastizität des Faktors Arbeit bzw. Kapital im Minimum (6 Punkte)? c) Was besagt das Envelopen-Theorem (4 Punkte)? d) Wie verändern sich die Kosten im Minimum, wenn die Produktionsmenge E erhöht wird (5 Punkte)? Antwort: a) Die Lagrangefunktion lautet (3 Punkte): L =................................................................................................................. Bedingungen erster Ordnung (6 Punkte): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Kostenminimaler Faktoreinsatz und Lagrangeparameter lauten (6 Punkte): A∗ =................................................................................................................ K ∗ =............................................................................................................... λ∗ =................................................................................................................ 3 b) Die Produktionselastizität des Faktors Arbeit bzw. Kapital ist wie folgt definiert (2 Punkte): εE,A = . ........................................................................................................... εE,K = . ........................................................................................................... Die Produktionselastizität des Faktors Arbeit im Kostenminimum ist (2 Punkte): εE,A = . ........................................................................................................... Die Produktionselastizität des Faktors Kapital im Kostenminimum ist (2 Punkte): εE,K = . ........................................................................................................... c) Das Envelopentheorem beschreibt (4 Punkte): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ d) Die Kostenfunktion im Minimum lautet (2 Punkte): C∗ = .............................................................................................................. Die Veränderung der Kosten im Minimum (3 Punkte): ∂C ∗ ∂E = ............................................................................................................ 4 4 Aufgabe: 15 Punkte Zwei Nachbarn A und B besitzen einen gemeinsamen Apfelbaum. Zum heutigen Zeitpunkt hängen dort 10 kg Äpfel. Die Nachbarn können die Äpfel entweder "ernten" oder "warten". Jede Woche in der sie die Äpfel hängen lassen, verdoppelt sich deren Gewicht. Derjenige, der zuerst erntet, erhält 60% der Äpfel. Einmal pro Woche entscheidet abwechselnd einer von beiden, ob er die Äpfel ernten möchte oder nicht. Die erste Entscheidung darf Spieler A zum heutigen Zeitpunkt treffen. Spätestens nach 2 Wochen müssen alle Äpfel geerntet werden, da sie ansonsten am Baum verfaulen. a) Stellen Sie folgende Situation als Spiel in extensiver Form dar (5 Punkte)! b) Bestimmen Sie das eindeutige teilspielperfekte Gleichgewicht dieses Spiels (5 Punkte)! c) Ändern sich die Ergebnisse aus a) und b), wenn sich die Äpfel in jeder Woche in der sie hängen bleiben nur um 2 kg vermehren (5 Punkte)? Antwort: a) Bitte übertragen Sie die Spieler, Strategien und Auszahlungen in den Spielbaum (5 Punkte)! Auszahlungen Zeitpunkt Summe t0: t1: t2: 5 Spieler: A B b) Entscheidung (4 Punkte): Spieler ...... in t1 :.................................................................................... Spieler ...... in t0 :.................................................................................... Das Teilspielperfekte Gleichgewicht des Spiels lautet (1 Punkt): ........................................................................................................................ c) Bitte übertragen Sie die Spieler, Strategien und Auszahlungen in den Spielbaum (2 Punkte)! Auszahlungen Zeitpunkt Summe t0: Spieler: A B t1: t2: Entscheidung (2 Punkte): Spieler ...... in t1 :.................................................................................... Spieler ...... in t0 :.................................................................................... Das Teilspielperfekte Gleichgewicht des Spiels lautet (1 Punkt): ........................................................................................................................ 6 5 Aufgabe: 20 Punkte Nehmen Sie an, dass Airbus und Boing sich für die Strategie "Wettbewerb" oder "kein Wettbewerb" bei der Entwicklung eines neuen Flugzeugtyps entscheiden können. • Die Auszahlungen von Airbus sind: ¡ A ¢ ¡ ¢ W , W B = 100, kW A , W B = 500, ¡ A ¢ ¡ ¢ W , kW B = 0, kW A , kW B = 300. • Die Auszahlungen von Boing sind: ¡ B ¢ ¡ ¢ W , W A = 200, kW B , W A = 600, ¡ B ¢ ¡ ¢ W , kW A = 0, kW B , kW A = 300. a) Übertragen Sie die Auszahlungen in eine 2 x 2 Matrix! Bestimmen Sie alle Gleichgewichte bei simultaner Zugreihenfolge in reinen Strategien (7 Punkte)! b) Wie ist ein Nash-Gleichgewicht (NGG) definiert (3 Punkte)? c) Was ist eine dominante Strategie? Existieren in dem vorliegenden Spiel dominante Strategien (5 Punkte)? d) Verändern Sie nur zwei Zahlen in der Auszahlungsmatrix so, dass anschließend kein NGG in reinen Strategien existiert (5 Punkte)! Antwort: a) Übertragen Sie die Payoffs in die Matrix und zeichnen Sie das Abweichungsdiagramm (5 Punkte)! Airbus WA k WA WB Boeing k WB Gleichgewicht(e) in reinen Strategien (2 Punkte): ........................................................................................................................ 7 b) Die Definition für ein Nash-Gleichgewicht lautet (3 Punkte): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ c) Die Definition für eine dominante Strategie lautet (3 Punkte): ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ Es liegt eine dominante Strategie vor für Spieler ............. in der Strategie ............. und für Spieler ............. in der Strategie ............. vor (2 Punkte). d) Verändern Sie nur zwei Zahlen in der Auszahlungsmatrix so, dass anschließend kein NGG in reinen Strategien existiert und zeichnen Sie dann das Abweichungsdiagramm (5 Punkte)! Airbus WA k WA WB Boeing k WB 8 6 Aufgabe: 8 Punkte a) Wie lautet die Stammfunktion zu g (a) = 4a5 − 1 a2 (3 Punkte)? b) Bestimmen Sie die Stammfunktion von f (x) = x4 ln 3x. Nutzen Sie hierzu die partielle Integration (5 Punkte)! Antwort: a) Die Stammfunktion von g (a) = 4a5 − 1 a2 lautet (3 Punkte): G (a) = .......................................................................................................... b) Partielle Integration von f (x) = x4 ln 3x mit Nebenrechnung (2 Punkte): u =.......................... u0 =.......................... v =.......................... v 0 =.......................... Die Stammfunktion lautet (3 Punkte): F (x) = .......................................................................................................... 9 7 Aufgabe: 20 Punkte a) Optimieren Sie die Funktion G (x) = (a − x) ex und ermitteln Sie den optimalen Wert für x (8 Punkte)! b) Berechnen Sie die Bedingung zweiter Ordnung. Erhalten Sie ein Minimum oder ein Maximum (7 Punkte)? c) Wie verändert sich die Funktion G (x) im Optimum, wenn sich a erhöht (5 Punkte)? Antwort: a) Bedingung erster Ordnung (5 Punkte): Gx = .................................................................................................................. Optimaler Wert (3 Punkte): x∗ = .................................................................................................................. b) Bedingung zweiter Ordnung (6 Punkte): Gxx (x∗ ) = .......................................................................................................... Es liegt ein ¤ Minimum ¤ Maximum (richtiges bitte ankreuzen!) vor (1 Punkt). c) Veränderung von G (x) im Optimum, wenn sich a erhöht (5 Punkte): ∂G(x∗ ) ∂a = .......................................................................................................... 10 8 Aufgabe: 12 Punkte: Approximieren Sie die folgende Funktion f (x) = e2x linear und quadratisch an der Stelle x0 = 0! Antwort: Die Formel für eindimensionale Funktionen an der Stelle x0 lautet für: lineare Approximation (1 Punkt): fe(x0 ) = ............................................................................................................ quadratische Approximation (1 Punkt): e fe(x0 ) = ............................................................................................................. Die Ableitungen lauten (2 Punkte): fx (x) = ............................................................................................................. fxx (x) = ............................................................................................................. Die Funktionswerte an der Stelle x0 = 0 lauten (3 Punkte): f (0) = ............................................................................................................. fx (0) = ............................................................................................................. fxx (0) = ............................................................................................................. Für f (x) lautet die lineare Approximation an der Stelle x0 = 0 (2 Punkte): fe(x) = ............................................................................................................ Für f (x) lautet die quadratische Approximation an der Stelle x0 = 0 (3 Punkte): e fe(x) = ............................................................................................................. 11
