Vorlesung Spieltheorie, A. Diekmann Übungen 1

Vorlesung Spieltheorie, A. Diekmann
Übungen 1 - 3
Abgabetermin bis: Freitag, 15. April 2016
Jedes einzelne Übungsblatt enthält 2 bis 3 Aufgaben. Jede Aufgabe gibt bei korrekter Lösung
einen Punkt. Bei der Korrektur werden auch Teilpunkte gegeben.
Um den Kreditpunkt für die Übungen zu erhalten, müssen Sie für die sechs Aufgabenblätter
mindestens 2/3 der maximal möglichen Punkte erreichen.
Sie können die Aufgaben in Gruppen (mit maximal fünf Gruppenmitgliedern) lösen. Wenn
Sie eine gemeinsame Lösung haben, können Sie diese als PDF oder Word-Dokument mit
allen Namen und Matrikelnummern per E-mail einreichen an:
[email protected]
Natürlich können Sie die Aufgaben auch allein bearbeiten.
Bitte schicken Sie die Lösungen nur dann an Herrn Näf, wenn Sie sich für die Übungen
registriert haben.
Die nächsten drei Übungen (Übungen 4 – 6) erhalten Sie in der ersten Maihälfte.
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Übungsblatt 1
Aufgabe 1
a) Geben Sie die Maximin-Strategie(n) an.
b) Gibt es dominante Strategien? Wenn ja, geben sie diese an.
c) Geben Sie Pareto-optimale Strategienprofile an.
d) Geben Sie das oder die Nash-Gleichgewichte an.
Aufgabe 2
Eine ziemlich unrealistische Situation:
Ein grosszügiger Multi-Billionär macht zwei Spielern A und B folgendes Angebot: Die beiden
Spieler wählen unabhängig voneinander jeweils eine (nicht-negative reelle) Zahl ≥ 0. Das
Produkt der beiden Zahlen wird an jeden Spieler in Fr. ausgezahlt. (Wählt Spieler A 20,5 und
Spieler B 1000 dann erhalten beide je 20500 Fr.). Sofern Nash-Gleichgewichte existieren:
a) Geben Sie das oder die Nash-Gleichgewichte an.
b) Geben Sie das oder die Nash-Gleichgewichte an, wenn die Spieler maximal 1000‘000
wählen dürfen.
c) Geben Sie das oder die Nash-Gleichgewichte an, wenn die Obergrenze von 1000‘000
entfällt, aber eine Untergrenze eingeführt wird. Es dürfen nur Zahlen ≥ 1000 gewählt
werden.
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Übungsblatt 2
Aufgabe 1: Piratenschatz
Ein Piratenschatz mit 100 Goldmünzen soll unter fünf Piraten aufgeteilt werden.
Die Ränge der fünf Piraten sind: 1. Anton Bonnet, 2. Bootstrap Bill, 3. Cutler Beckett, 4.
Davy Jones, 5. Edward Teach (A, B, C, D, E)
Die Aufteilung wird nach folgenden Regeln vorgenommen:
•
Der Ranghöchste macht einen Vorschlag zur Aufteilung, dann stimmen die Piraten
ab.
•
Der Vorschlagende ist stimmberechtigt und hat die ausschlaggebende Stimme, wenn
es keine Mehrheit gibt.
•
Wird der Vorschlag angenommen, erfolgt diese Aufteilung und das Spiel ist zu Ende.
•
Wird die Aufteilung nicht angenommen, dann wird der Vorschlagende über Bord
geworfen und der nächste im Rang schlägt eine Aufteilung vor.
•
Jeder Pirat möchte viele Goldmünzen erhalten. (Erhalten sie bei einem Vorschlag
gleich viele Goldmünzen, wie sie bei einem alternativen Vorschlag auch erhalten
könnten, wählen sie den Vorschlag, bei dem sie den Vorschlagenden über Bord
werfen können.)
Foto von dc-freibeuter.de
Welche Aufteilung wählen die strikt rationalen und eigennützigen Piraten?
Hinweis: „Zäumen Sie das Pferd vom Schwanz her auf“, d.h.
denken Sie an die Rückwärtsinduktion!
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Aufgabe 2: Zahlenwahlspiel („Beauty- Contest-Spiel“)
Sie können eine Zahl von 0 bis 100 wählen (nicht notwendigerweise eine ganze Zahl). Sie
spielen in einer Gruppe von 100 Personen. Von den eingesandten Zahlen in Ihrer Gruppe
wird der (arithmetische) Mittelwert berechnet. Diejenige Zahl gewinnt, die zwei Dritteln des
Mittelwerts (2/3 multipliziert mit dem arithmetischen Mittelwert) am nächsten kommt.
a) Geben Sie die Nash-Gleichgewichtsstrategie(n) an. Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Geben Sie die dominierten Strategien an.
c) Gibt es eine dominante Strategie?
d) Was ist im Fall N = 2, also mit genau zwei Spielern? Gibt es eine dominante Strategie?
Das Beauty-Contest-Spiel erhielt seinen Namen von einem Zitat von John Maynard Keynes:
„Professionelle Geldanlage lässt sich mit Zeitungswettbewerben vergleichen, bei denen
unter 100 abgebildeten Gesichtern die sechs schönsten auszuwählen sind, wobei der Preis
an denjenigen geht, dessen Auswahl der durchschnittlichen Präferenz aller Teilnehmer am
nächsten kommt; deshalb darf man nicht solche Gesichter benennen, die man selbst am
schönsten findet, sondern diejenigen, von denen man glaubt, dass sie bei den anderen
Teilnehmern, die alle das Problem aus demselben Blickwinkel betrachten, am ehesten
Gefallen finden. Unter diesen Voraussetzungen werden also nicht etwa diejenigen gewählt,
die nach Einschätzung des jeweiligen Teilnehmers wirklich die schönsten sind, und nicht
einmal diejenigen, die die Durchschnittsmeinung tatsächlich für die schönsten hält. Wir
haben den dritten Grad erreicht, in dem wir unsere Intelligenz anstrengen, zu antizipieren,
was nach der Durchschnittsmeinung zu erwarten ist. Und es gibt manche, glaube ich, die den
vierten, fünften oder noch einen höheren Grad anwenden.“
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Aufgabe 3: Salomonisches Urteil
In der ersten Vorlesung wurde das Mechanismus-Design von Glazer und Ma (1989) erläutert.
In der Darstellung der Vorlesung wird die wirkliche (echte) Mutter zuerst befragt. Natürlich
ist zu Beginn unbekannt, ob die echte oder die falsche Mutter zuerst befragt wird.
Untersuchen Sie den Fall, wenn die falsche Mutter zuerst befragt wird (Fall b). Wird mit dem
Design auch in diesem Fall das gewünschte Ergebnis erzielt, dass sich echte und falsche
Mutter zu erkennen geben, d.h. rationale wirkliche Mütter sagen „ja“ und rationale falsche
Mütter sagen „nein“? Muss eine der Mütter oder müssen beide eine Strafe zahlen?
Hinweis: Sie müssen die Auszahlungen an den Endknoten des Entscheidungsbaums
(Spielbaum) entsprechend anpassen, da sich die Reihenfolge der Akteure umgekehrt hat.
Ferner ist die Regel des Befragungsdesigns zu beachten (die unverändert bleibt): Sagen
beide Mütter „ja“, zahlt die Erstbefragte die kleine Strafe s, die Zweitbefragte die grössere
Strafe S. Wenn Sie die korrekten Auszahlungen im Spielbaum eingetragen haben, bestimmen
Sie das Nash-Gleichgewicht.
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Übungsblatt 3
Aufgabe 1: Stein, Schere, Papier
Zeigen Sie, dass die gemischte Strategie, Stein, Schere, Papier mit einer Wahrscheinlichkeit
von je 1/3 zu wählen, ein Nash-Gleichgewicht ist.
Aufgabe 2: Chickenspiel - das dritte Gleichgewicht!
Dies ist ein (asymmetrisches) Chickenspiel. Es gibt zwei Gleichgewichte in reinen Strategien
und ein drittes Gleichgewicht in gemischten Strategien.
a) Berechnen Sie das Strategienprofil des gemischten Gleichgewichts (Sie können wie beim
Nullsummenspiel das „Indifferenztheorem“ verwenden. Dabei müssen Sie aber bedenken,
dass die Auszahlungen von Spalte nicht mehr die Auszahlungen von Zeile mit negativem
Vorzeichen sind.)
b) Wieviel erhält der Zeilenspieler, wieviel der Spaltenspieler im Gleichgewicht
(Erwartungswerte)?
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Aufgabe 3: Gefangenendilemma
Anmerkung: In der linken unteren Zelle der
Matrix wurden die Auszahlungen verdreht
notiert!
Dies ist ein Gefangenendilemma. „Not guilty“ entspricht „Schweigen“ oder „Cooperation“ =
C, „guilty“ entspricht „aussagen“ oder „Defektion“ = D.
Statt der Gefängnisjahre nehmen Sie positive Auszahlungen: u1(C,C) = 3, u1(D,C) = 5,
u1(C,D)= 0 und u1(D,D) = 1. Entsprechend für Spieler 2: u2(C,C) = 3, u2(C,D) = 5, u2(D,C)= 0 und
u2(D,D) = 1.
Schreiben Sie diese Werte zunächst in die Matrix (Spiel in Normalform).
a) Stellen Sie das Spiel in Extensivform dar. Beide Spieler entscheiden simultan!
b) Stellen Sie das Spiel in Extensivform dar, wenn Dave zuerst wählt und danach Henry
entscheidet.
c) Ermitteln Sie die Nash-Gleichgewichte des sequenziellen Spiels.
d) Geben Sie das oder die teilspielperfekten Gleichgewichte im sequenziellen Spiel an.
(Hinweis: Am besten „übersetzen“ Sie zur Lösung von c) und d) das sequenzielle Spiel in die
Normalform. )
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