Universität des Saarlandes Übung zur Vorlesung Spieltheorie

Universität des Saarlandes
ABTEILUNG 1.2 - ÖKONOMIE UND STATISTIK
Professor Dr. Dinko Dimitrov
Dipl.-Math. Dominik Karos
Übung zur Vorlesung Spieltheorie
Sommersemester 2013
Übungsblatt 5
Zu Lösen bis zum 20. Mail
Bitte beachten Sie, dass für die Übung am 20. Mai ein Ersatztermin in der Woche
vom 21. Mai bis 24. Mai stattnden wird. Zeit und Ort werden auf unserer Homepage
und dem nächsten Übungsblatt bekannt gegeben.
Aufgabe 17(ehemalige Klausuraufgabe) Der Herr und Dr. Faust haben folgendes Problem:
Der Herr möchte, dass Faust an ihn glaubt (1. Ziel), ohne dass er sich selbst zeigen muss (2.
Ziel).Das erste Ziel hat bei der Rangfolge immer die höhere Priorität. Faust wäre es am liebsten,
wenn der Herr sich zeigte, und er dann an ihn glauben würde. Ohne Beweis an den Herrn zu
glauben ist besser als trotz Beweis nicht an ihn zu glauben, aber schlechter als ohne Beweis nicht
an ihn zu glauben.
a) Geben Sie das Spiel in Normalform an (Verwenden Sie für beide Spieler die Auszahlungen
1-4).
b) Berechnen Sie das Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien, sowie die Reservationsnutzen
beider Spieler.
c) Wenn Faust morgens aufwacht, ist er sich nie sicher, ob er sein bisheriges Leben nur geträumt
hat. Da er in Mephistos Begleitung waltet, lebt er unendlich lange. Also wiederholt sich das
Spiel unendlich oft.
d) Begründen Sie (ohne das Gleichgewicht anzugeben!), dass es bei ausreichend hohem Diskontfaktor ein Nash-Gleichgewicht im unendlich wiederholten Spiel gibt, bei der die durchschnittliche Auszahlung für den Herrn 3 und für Faust 4 beträgt.
e) Konstruieren Sie die Strategien für das Nash-Gleichgewicht aus 4.
Aufgabe 18(ehemalige Klausuraufgabe)
Gegeben sei ein Duopol zwischen zwei Firmen die
dasselbe Gut zu Stückkosten von 40 produzieren. Die Preisabsatzfunktion laute
P (q1 , q2 ) = 100 −
q1 − q2 .
a) Berechnen Sie die Gleichgewichtsmenge
b) Welche Produktionsmenge
q̂
q∗ .
müssen die beiden Firmen vereinbaren, um ihren Gewinn zu
maximieren?
c) Geben Sie das Spiel in Normalform an, bei dem beide Spieler entweder die Gleichgewichtsmenge
q∗
oder die optimale Menge
q̂
produzieren.
d) Berechnen Sie den minimalen Diskontfaktor, bei dem bei unendlicher Wiederholung des
Spiels ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht mit durchschnittlicher Auszahlung von 450
für beide Spieler existiert.
Aufgabe 19
Gegeben seien drei Firmen, die dasselbe Gut herstellen. Die Kostenfunktion aller
drei Firmen laute
C(qi ) = 5qi .
1
c
2013, Lehrstuhl für Wirtschaftstheorie
Spieltheorie
Die Nachfragefunktion am Markt laute
Übungsblatt 5
D(p) = 10 − p.
Die drei Firmen setzen ihren Preis gleich-
zeitig fest. Die Kunden kaufen ausschlieÿlich bei der günstigsten Firma, alle Firmen sind in der
Lage die Gesamtnachfrage zu bedienen. Sind mehrere Firmen gleich günstig, so teilen sich die
Konsumenten gleich zwischen diesen Firmen auf.
a) Wie nennt man ein solches Spiel?
b) Wie lautet der Preis im Nash-Gleichgewicht?
c) Auf welchen Preis sollten sich die Firmen einigen, um ihren Gewinn zu maximieren?
d) Wie lauten die teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte bei endlicher Wiederholung des Spiels,
falls der Diskontierungsfaktor ausreichend hoch ist?
e) Wie lauten die teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte bei unendlicher Wiederholung des
Spiels, falls die Diskontierungsfaktoren ausreichend hoch sind? Wie lauten jeweils die Auszahlungen?
f ) Wie hoch muss der Diskontierungsfaktor in Teil 5) sein?
2
c
2013, Lehrstuhl für Wirtschaftstheorie