3. ¨Ubungsserie Spieltheorie

TU Ilmenau
Institut für Mathematik, Diskrete Mathematik
Jens Schreyer
Sommersemester 2017
3. Übungsserie Spieltheorie
Aufgabe 1
Man betrachte das folgende Spiel. Spieler 1 wählt dabei die Zeile, Spieler 2 die
Spalte und Spieler 3 die Tabelle:
L
R
O 0,0,3 0,0,0
U 1,0,0 0,0,0
Tabelle A
L
R
O 2,2,2 0,0,0
U 0,0,0 2,2,2
L
R
O 0,0,0 0,0,0
U 0,1,0 0,0,3
Tabelle B
Tabelle C
(a) Man bestimme alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
(b) Man zeige, dass es ein korreliertes Gleichgewicht gibt, in dem Spieler 3 immer
Tabelle B wählt und Spieler 1 und 2 (O,L) und (U,R) mit Wahrscheinlichkeit
1
wählen.
2
(c) Inwiefern ist es für Spieler 3 von Vorteil, die Information, die Spieler 1 und 2
zur Koordination ihrer Handlungen benutzen, nicht zu kennen?
Aufgabe 2
Ein Spiel G = (N, (Ai )i∈N , (ui )i∈N ) heißt symmetrisch, wenn gilt:
• Ai = Aj = B für alle i, j ∈ N
• Für alle Permutationen π von N und alle a, a0 ∈ A = B n gilt:
(∀i ∈ N : ai = a0π(i) ) =⇒ (∀i ∈ N : ui (a) = uπ(i) (a0 ))
(a) Man beweise, dass es in jedem konvexen symmetrischen Spiel eine Aktion
b ∈ B derart gibt, dass a∗ = (b, b, ..., b) ein Nash-Gleichgewicht ist.
Hinweis: Man betrachte dazu die Funktion Φ : B × B → R mit
Φ(x, y) := u1 (y, x, ..., x)
und verfahre wie beim Beweis des Satzes von Nikaido-Isoda.
1
(b) Man gebe ein Beispiel für ein symmetrisches 2-Personenspiel ohne symmetrische Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien an. Man beweise, dass jedes endliche symmetrische Spiel ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht in gemischten
Strategien hat.
Aufgabe 3 (El-Farol Bar Problem)
In einem Stadtteil von Santa Fe steht die El-Farol Bar, in der jeden Donnerstag
Abend Live Musik gespielt wird. Es gibt 100 Leute in dem Stadtteil, die deshalb
gern die Bar besuchen würden. Erscheinen mehr als 60 Leute in der Bar, so ist diese
überfüllt und die Besucher hätten zu Hause (Auszahlung 0) einen angenehmeren
Abend verbracht als in der Bar (Auszahlung -1). Sind höchstens 60 Leute in der
Bar, wird der Abend für diese angenehmer (Auszahlung 1) als zu Hause.
(a) Man gebe das Spiel in Normalform an und bestimme alle Nash-Gleichgewichte
in reinen Strategien.
(b) Man zeige dass es mindestens ein echt gemischtes Nash-Gleichgewicht gibt.
Aufgabe 4 (Kampf zwischen Artgenossen)
Im Kampf um Nahrungsquellen und bei Paarungskämpfen setzen Artgenossen Waffenorgane um so seltener ein, je gefährlicher sie sind. Dennoch besteht zumindest
eine gewisse Gefahr, dass sie zum Einsatz kommen. Ein solcher Kampf kann als Spiel
mit zwei reinen Strategien (Ritualkampf und Beschädigungskampf) betrachtet werden. Wendet ein Tier Strategie B an und das andere R, so gewinnt der Aggressivere
und bekommt eine Auszahlung von 5 während der Defensivere 0 erhält. Wenden
beide Parteien die gleiche Strategien an, so kommt es zum Kampf, der jeweils mit
Wahrscheinlichkeit 12 gewonnen wird. Im Fall des Beschädigungskampfes erhält der
Sieger +7 und der Verlierer -10. Beim Ritualkampf der Sieger +4 und der Verlierer
-1.
(a) Man betrachte das Spiel als Zweipersonenspiel und gebe eine Auszahlungsmatrix an.
(b) Man betrachte das n-Personenspiel, in dem jedes Tier gegen einen zufälligen
Gegner antritt. Wie kann man dieses aus der Sicht des Spielers i als Zweipersonenspiel mit gemischten Strategien modellieren? Man bestimme eine BesteAntwort-Korrespondenz des Spielers i.
(c) Welches Verhalten ergibt sich, wenn jeder Spieler davon ausgeht, dass sich alle
gleich verhalten?
(d) Man gebe ein Nash-Gleichgewicht der gemischten Erweiterung des Spieles aus
Aufgabe b) an.
2