spieltheorie - Seminar für Wirtschaftstheorie

Prof. Dr. Klaus M. Schmidt
Seminar für Wirtschaftstheorie
Zweistündige Klausur zur Vorlesung und Übung
„SPIELTHEORIE“
Sommersemester 1996
Bearbeiten Sie drei von den folgenden vier Aufgaben. Mehr als drei Aufgaben werden nicht
berücksichtigt. Die Fragen werden in der Reihenfolge der Bearbeitung gewertet. Alle
Aufgaben besitzen die gleiche Gewichtung.
Hilfsmittel: nicht-programmierbare Taschenrechner
Viel Erfolg!
1. Betrachten Sie das folgende simultane Spiel in Normalform:
a
w 0,7
x 5,2
y
z
b
c
d
2,5
3,3
7,0
5,2
0,1
0,1
7,0 2,5 0,7 0,1
0,0 0,−2 0,0 10,−1
(a) Welche reinen Strategien sind rationalisierbar? Begründen Sie Ihre Antwort.
(b) Wie läßt sich die Strategie w für Spieler 1 rechtfertigen? Warum kann sie nicht
Bestandteil eines Nash-Gleichgewichts in reinen Strategien sein?
(c) Zeigen Sie, daß die Strategienkombination (x, b) das einzige Nash-Gleichgewicht
darstellt. Argumentieren Sie mit Hilfe der Reaktionskorrespondenzen.
2. Betrachten Sie die folgende extensive Form:
1
L
R
2
(6, 0, 6)
F
G
3
(8, 6, 8)
l
r
1
L’
(0, 0, 0)
R’
L’
(7, 10, 7)
(7, 10, 7)
R’
(0, 0, 0)
(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Teilspiele sowie die Menge der reinen Strategien pro
Spieler.
(b) Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Gleichgewichte des Spiels.
(c) Teilspielperfektheit nimmt nicht nur an, daß alle Spieler erwarten, daß in sämtlichen
Teilspielen ein Nash-Gleichgewicht gespielt wird, sondern auch, daß alle Spieler dieselben
Gleichgewichte erwarten.
Erläutern Sie diese Aussage anhand des obigen Spieles.
3. Betrachten Sie das folgende simultane Spiel. Zwei gegnerische Armeen stehen vor der
Entscheidung, ob sie einen strategisch wichtigen Punkt einnehmen sollen. Jeder
Befehlshaber hat die Wahl, am nächsten Tag anzugreifen oder abzuwarten. Desweiteren
sind die Armeen mit gleicher Wahrscheinlichkeit entweder stark oder schwach, wobei die
Wahrscheinlichkeiten für die Armeen unabhängig voneinander sind. Die Generale kennen
nur den Typ ihrer eigenen Truppe, vom Gegner hingegen nur die Wahrscheinlichkeiten.
Die Auszahlungen ergeben sich wie folgt: Wird der Punkt eingenommen, so ist dies M
wert. Eine Einnahme erfolgt, wenn man angreift und der Gegner abwartet. Greifen beide
an, dann gewinnt die stärkere Armee. Sind beide identisch, so gewinnt keiner. Bei einem
Angriff treten unabhängig vom Ausgang Verluste auf, wenn auch der Gegner attackiert hat:
s, wenn die eigene Armee stark ist, w wenn die eigene Armee schwach ist. Es gelte M/2 >
w > s.
(a) Bestimmen Sie zunächst die Auszahlungen für alle denkbaren Situationen in
Matrixform.
(b) Stellen Sie das Spiel mittels der extensiven Form dar.
(c) Überführen Sie die extensive Form in die Normalform, und bestimmen Sie alle
Bayesianischen Gleichgewichte in reinen Strategien.
4. Betrachten Sie das folgende Modell mit einer Unternehmung und einem Konsumenten. Die
Firma stelle ein Produkt her, das entweder von hoher (H) oder niedriger (L) Qualität sei.
Die Wahrscheinlichkeit für eine hohe Qualität betrage λ. Der Konsument kenne die
Eigenschaften des Gutes vor dem Kauf nicht, sondern nur die Wahrscheinlichkeiten. Er
bewerte ein Produkt mit hoher Qualität mit v H , das mit niedriger mit v L . Die
Produktionskosten betragen cH bzw. cL und fallen nur an, wenn das Gut gekauft wird. Der
Konsument benötige genau eine Einheit des Gutes. Sein Nutzen aus dem Konsum betrage
v i − p i = H , L . Der Preis p des Gutes sei staatlich festgesetzt.
Nehmen Sie im folgenden an, daß gelte: v H > p > v L > cH > cL .
(a) Kann es passieren, daß es an diesem Markt zu keinem Handel kommt? Wenn ja, wann
ist dies der Fall?
(b) Das Management der Unternehmung, das die Qualität der hergestellten Ware kennt,
überlegt, ob es mit Hilfe von Werbung den Absatz verbessern kann. Die Werbung kann
zwar nicht die Eigenschaften des Produktes enthüllen, jedoch beobachten die Konsumenten
vor ihrer Kaufentscheidung die Kosten der Werbekampagne.
Welchen Effekt könnte sich die Unternehmensleitung von der Werbung versprechen?
(c) Beschreiben Sie das Spiel, das sich aus Teil (b) ergibt, mit Hilfe der extensiven Form.
Unterstellen Sie dabei, daß die Werbekosten entweder A (d.h. Werbung) oder 0 (d.h. keine
Werbung) betragen.
(d) Existiert ein Separierungsgleichgewicht in diesem Spiel? Begründen Sie Ihre Antwort.
(e) Ändert sich etwas an Ihrer Aussage in (d), wenn
v H > p > v L > c L > cH
ist?