Klausur zur Vorlesung Spieltheorie

Dr. Tone Arnold
Sommersemester 2006
Klausur zur Vorlesung
Spieltheorie
Die Klausur besteht aus drei Vorfragen und drei Hauptfragen, von denen jeweils
zwei zu beantworten sind. Sie haben für die Beantwortung 90 Minuten Zeit. Verwenden Sie auf eine Vorfrage nicht mehr als 15 Minuten. Als Hilfsmittel ist ein
Taschenrechner zugelassen. Viel Erfolg!
Vorfragen
Aufgabe 1 Zwei Spieler spielen das folgende Konstantsummenspiel:
L
R
T 8, 2 3, 7
B 5, 5 6, 4
a) Geben Sie die maximin Strategien der beiden Spieler an. Besitzt dieses
Spiel einen Sattelpunkt in reinen Strategien? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels (in reinen und gemischten Strategien, falls vorhanden).
c) Lösen Sie das Spiel grafisch, indem Sie für jeden Spieler dessen Auszahlung in Abhängigkeit von den gemischten Strategien beider Spieler in
einer geeigneten Grafik darstellen.
1
Aufgabe 2 Betrachten Sie folgendes Spiel:
a2 b 2
a1 1, 1 5, 3
b1 3, 5 2, 2
a) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels (in reinen und gemischten Strategien, falls vorhanden).
b) Nun wird das Spiel modifiziert, indem Spieler 1 eine sogenannte Outside
Option erhält. Erläutern Sie die Idee der Vorwärtsinduktion anhand dieses modifizierten Spiels. Unter welcher Bedingung bezüglich der Outside
Option resultiert die Vorwärtsinduktion in einer Strategiekombination,
bei der Spieler 1 die Auszahlung 5 erhält?
Aufgabe 3 Betrachten Sie das folgende sequenzielle Spiel:
1
@
@
L
(0, 5)
@
@
`
(2, 2)
@ R
@
@
@
2
@
HH
a HHb
H
HH
1
HH1
@
@
@
@
`
@r
@r
@
@
@
@
@
@
(0, 0)
(0, 0)
(6, 2)
a) Wieviele Teilspiele besitzt dieses Spiel?
b) Geben Sie die Menge der reinen Strategien des Spielers 1 an.
c) Bestimmen Sie alle Nash Gleichgewichte in reinen Strategien.
d) Überprüfen Sie jedes dieser Nash Gleichgewichte auf Teilspielperfektheit.
2
Hauptfragen
Aufgabe 4 Betrachten Sie das folgende Spiel in Extensivform: Am ersten Knoten
hat Spieler 1 die Wahl zwischen den Aktionen Unten (U) und Rechts (R). Am
zweiten Knoten hat Spieler 2 diese Aktionen zur Auswahl, und am dritten
Knoten wieder Spieler 1. In den Klammern steht jeweils oben die Auszahlung
für Spieler 1, und unten die für Spieler 2.
1u
2u
R
U
10
−1
1u
R
U
10
11
R
10
10
U
20
0
a) Geben Sie für jeden Spieler jeweils die Menge seiner reinen Strategien an.
b) Stellen Sie das Spiel in Form einer Auszahlungsmatrix dar.
c) Geben Sie alle Nash Gleichgewichte des Spiels an.
d) Geben Sie alle teilspielperfekten Nash Gleichgewichte des Spiels an.
e) Nun wird das Spiel zweimal hintereinander gespielt. Die Auszahlung des
wiederholten Spiels ist für jeden Spieler die Summe der Auszahlungen der
beiden Runden (ohne Diskontierung). Wie hoch ist die maximal mögliche Auszahlung, die Spieler 1 bzw. Spieler 2 in einem teilspiel perfekten
Nash Gleichgewicht des wiederholten Spiels jeweils erreichen können? Begründen Sie Ihre Antwort.
3
Aufgabe 5 Zwei Firmen, A und B, stellen Energy Drinks her. Die Firmen konkurrieren mittels der Qualität ihrer Produkte. Jede Frima kann zwischen drei
möglichen Qualitäten wählen: hoch (H), mittel (M), und niedrig (N). Die Gewinne der Firmen pro Periode sind in der folgenden Auszahlungsmatrix angegeben:
H
M
N
H
M
N
8, 8
9, 7
11, 6
7, 9 10, 10 12, 9
6, 11 9, 12 11, 11
a) Bestimmen Sie die beiden Nash Gleichgewichte (in reinen Strategien)
dieses Spiels.
b) Welche Strategiekombination maximiert den gemeinsamen Gewinn (i.e.
die Summe der Gewinne) beider Firmen? Stellt diese Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht dar?
c) Angenommen, die beiden Firmen interagieren über drei Perioden und
maximieren jeweils die Summe ihrer (undiskontierten) Gewinne. Konstruieren Sie ein Paar von Strategien, die ein Nash Gleichgewicht des
wiederholten Spiels darstellen und bei denen in zwei der drei Perioden
das Ergebnis aus Aufgabenteil b) erreicht wird.
d) Jetzt nehmen Sie an, die Firmen interagieren unendlich oft miteinender,
und zukünftige Gewinne werden mit dem Diskontfaktor δ diskontiert.
Wie hoch muss δ mindestens sein, damit ein Paar von Trigger–Strategien
ein Gleichgewicht darstellen? (Hinweis: Es gibt zwei Möglichkeiten, die
Trigger–Strategie zu konstruieren!)
4
Aufgabe 6 Firma A ist Monopolist in einem Markt. Firma Z erwägt einen Markteintritt. Die Preis–Absatz Funktion in dem Markt ist
p(Y ) = 10 − Y mit Y = yA + yZ .
Die Grenzkosten (GK) beider Firmen sind konstant. Die der Firma Z sind
cZ = 1. Zusätzlich entstehen der Firma Z fixe Eintrittskosten in Höhe von 9.
Bezüglich der GK der Firma A herrscht asymmetrische Information: Firma A
kennt ihre eigenen GK, Firma Z kennt diese nicht. Firma Z weiss aber, dass die
GK der Firma 1 entweder 0 oder 4 betragen, jeweils mit der Wahrscheinlichkeit
0.5. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung ist Common Knowledge.
Es gibt zwei Perioden. In Periode 1 ist Firma A Monopolist und produziert
eine Menge yA1 . Firma Z beobachtet diese Menge und trifft dann ihre Eintrittsentscheidung. Tritt Firma Z in Periode 2 in den Markt ein, werden ihr
sofort die GK der Firma A bekannt, und es entsteht ein Cournot–Duopol mit
vollständiger Information. Falls die Firma Z nicht eintritt, bleibt die Firma A
in der zweiten Periode Monopolist.
Der gemeinsame Diskontfaktor ist δ = 1, d.h. es findet keine Diskontierung
statt.
a) Berechnen Sie die Monopolmenge sowie den Monopolgewinn (für eine
Periode) der Firma A in Abhängigkeit von ihren Grenzkosten.
b) Berechnen Sie die Angebotsmengen und Gewinne der beiden Firmen
in einem (eventuellen) Duopol (ebenfalls für eine Periode), ebenfalls in
Abhängigkeit der GK der Firma A. Unter welcher Bedingung hätte Firma
Z ein Interesse, in den Markt einzutreten, wenn sie vollständige Information hätte?
c) Angenommen, Firma 1 hat niedrige GK (c1 = 0). Sie möchte dies der
Firma 2 signalisieren, indem sie in Periode 1 eine höhere Menge ŷ als ihre
Monopolmenge anbietet. Welche zwei Bedingungen muss diese Menge
erfüllen, damit das Signal glaubwürdig ist, i.e. in einem separierenden
Gleichgewicht?
d) Leiten Sie ein Intervall her, innerhalb dessen ŷ die Bedingungen für ein
separierendes Gleichgwicht erfüllt.
e) Existiert in diesem Modell ein Pooling Gleichgewicht? Begründen Sie ihre Antwort. (Hinweis: Würde Firma Z in den Markt eintreten? Welche
Menge würde jeder Typ von Firma A in der ersten Periode anbieten?)
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