Tutorium 24.11.2010 – Kapitel 11 Kapitel 11 Kapitel 11

Übungen zur Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie
Prof. Dr. Aleksander Berentsen
Tut
Tutorium 24.1
24.11.2010
.11.2010 – Kapitel 11
Kapitel 11 im Überblick
In den bisherigen Kapiteln wurden nur endliche, nicht wiederholte Spiele betrachtet.
In der Realität findet man sich jedoch oftmals in einer Situation wieder, bei welcher
man ein unendliches Spiel spielt (bzw. nicht weiss wann es enden wird) und dieses
oftmals auch noch wiederholt gespielt wird. Genau mit solchen Interaktionen
beschäftigt sich das Kapitel 11. Es soll ebenfalls untersucht werden, ob durch
wiederholte Spiele Kooperation erreicht werden kann. Die Idee ist, dass nichtkooperatives Verhalten in der Folgeperiode bestraft werden kann.
Bei (endlich oder unendlich) wiederholten Spielen erhalten die Spieler nach jeder
Runde die Auszahlung gemäss ihrer Strategiekombination. Die Auszahlung nach der
ersten Runde wird von den Spielern jedoch als wertvoller angesehen, als die
identische Auszahlung nach t-Perioden. Diese Zeitpräferenz wird mit einem
Diskontfaktor berücksichtigt. Die Auszahlungen der Spieler in dem wiederholten Spiel
werden folglich als gewichtete Summe der Auszahlungen in den einzelnen Perioden
modelliert.
Kann Kooperation in einem endlich wiederholten Gefangenen Dilemma entstehen?
Ist die Anzahl Wiederholungen bekannt, so werden die Spieler in der letzten Periode
nicht-kooperieren, da sie anschliessend nicht mehr bestraft werden können. Folglich
kann auch ein Abweichen in der zweitletzten Periode nicht mehr bestraft werden und
die Spieler werden bereits in der zweitletzten Periode abweichen, usw. Es entsteht
folglich in einem endlich wiederholten GD keine Kooperation.
Kann Kooperation in einem unendlich wiederholten Gefangenen Dilemma entstehen?
Wird ein GD unendlich wiederholt (bzw. das Ende ist unbekannt), so kann in jeder
Periode glaubhaft mit einer Bestrafung in der nächsten Periode gedroht werden. Dies
kann zu Kooperation führen. Kann, muss aber nicht. Je nach der Zeitpräferenz der
Spieler lohnt es sich in einer Periode abzuweichen (grössere Auszahlung in dieser
Periode) und anschliessend die Konsequenzen zu tragen (tiefere Auszahlung in der
Zukunft). In diesem Zusammenhang wurden zwei Trigger-Strategien (Grim und tit-fortat) besprochen, welche jeweils die eigene Aktion für die nächste Periode vom
vergangenen Verhalten des Gegenspieler abhängig macht.
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Discount factor
Penalty
Tit-for-tat (TFT)
Effective rate of return
Present value (PV)
Trigger strategy
Grim strategy
Punishment
Infinite horizon
Repeated play
Die aufgeführten Aufgaben sollten jeweils im Vorfeld der Veranstaltung bearbeitet
werden.
Aufgabe 1
Kreuze die korrekten Aussagen an:
In endlichen Spielen kann Wiederholung zu Kooperation führen, wenn die
Spieler die Länge des Spiels nicht kennen.
Das endlich wiederholte Gefangenendilemma (mit n =2) hat ein eindeutiges
teilspielperfektes Gleichgewicht, in welchem beide Spieler nie kooperieren.
In endlich wiederholten Spielen entsteht immer Kooperation, weil es in jeder
Periode eine „Zukunft“, d.h. die Möglichkeit eine Abweichung zu bestrafen
gibt.
Wiederholung ist die einzige Methode, welche zu Kooperation führen kann.
Aufgabe 2
„Wenn ein Gefangenendilemma hundert Mal wiederholt wird, können sich die Spieler
sicher sein, das kooperative Ergebnis zu erreichen“. Ist diese Aussage wahr? Erkläre
anhand eines Beispiels.
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Aufgabe 3 (Prüfungsaufgabe)
Kuppel
20.-
10.-
20.-
60, 60
36, 70
10.-
70, 36
50, 50
Babalabar
Gegeben sei die abgebildete Normalform eines simultanen Spiels. Die zwei
Diskotheken Babalabar und Kuppel haben jeweils pro Periode zwei Aktionen zur
Auswahl. Sie können einen Eintrittspreis von 20.- oder einen Eintrittspreis von 10.verlangen. Das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Nehme an, die Geschäftsleitung
der Kuppel spielt die Strategie tit-for-tat. Zu Beginn des Spiels verlangt Sie 20.Eintrittsgebühr, d.h. sie kooperiert in der ersten Periode.
a) Was ist eine tit-for-tat Strategie? Welche andere Trigger-Strategie ist Dir noch
bekannt?
b) Nehme an, dass der reale Zinssatz 100% beträgt. Berechne den Barwert für
die Diskothek Babalabar, wenn sie die tit-for-tat Strategie spielt.
c) Berechne den Barwert für die Diskothek Babalabar, wenn sie in der ersten
Periode den Eintrittspreis auf 10.- senkt und danach wieder einen Eintrittspreis
von 20.- verlangt.
d) Lohnt sich diese Abweichung?
e) Nehme weiterhin an, dass die Geschäftsleitung der Kuppel tit-for-tat spielt.
Wie hoch muss der reale Zinssatz r mindestens sein, damit sich ein dauernder
Eintrittspreis von 10.- (immer abweichen) für die Geschäftsleitung der
Babalabar strikt lohnt?
f) Kreuze die korrekten Aussagen an:
Kooperation in allen Runden ist möglich, wenn die Spieler nicht zu ungeduldig
sind, d.h. wenn der reale Zinssatz nicht zu gross ist.
In endlichen Spielen führt, wenn die Spieler die Länge des Spiels kennen,
Wiederholung zu Kooperation in allen Runden.
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Wenn Spieler zukünftige Auszahlungen genügend hoch bewerten, können sie
es vorziehen, in allen Runden zu kooperieren.
Wenn ein Spiel nach jeder Runde mit einer Wahrscheinlichkeit p < 1
fortgesetzt wird, haben zukünftige Auszahlungen weniger Gewicht als bei
Sicherheit (p = 1).
Aufgabe 4
Betrachte ein Spiel mit den beiden Spielern „Child’s Play“ und „Kid’s Corner“. Beide
verkaufen identische Holzspielwaren. Beide Spieler können einen hohen oder einen
niedrigen Preis festlegen. Wenn beide einen hohen Preis verlangen, erzielen sie
einen Gewinn von 64'000 CHF (pro Jahr). Wenn der eine Spielwarenhändler einen
niedrigen und der andere Spielwarenhändler einen hohen Preis festlegt, verdient der
Erstere 72'000 CHF (pro Jahr) und der Letztere 20'000 CHF (pro Jahr). Wenn beide
einen niedrigen Preis verlangen, erzielen sie einen Gewinn von 57'000 CHF (pro
Jahr).
a) Das simultane Spiel wird nur einmal gespielt. Zeige, dass dieses Spiel die
Struktur eines Gegangenendilemma hat. Wie lautet das Nash Gleichgewicht
und die dazugehörigen Auszahlungen?
b) Das Spiel wird vier Mal gespielt (4 Jahre). Bestimme die Gesamtgewinne der
Spielwarenhändler am Ende des Spiels. Der reale Zinssatz beträgt r = 0%.
c) Begründe dieses Resultat.
d) Nehme an, das Spiel wird unendlich oft wiederholt. Beide benutzen die Grim
Strategie. Bestimme den einmaligen Gewinn sowie die Verluste in jeder
zukünftigen Periode, die sich ergeben würden, wenn der eine Spielwarenhändler einmal abweichen würde (niedriger Preis) während der andere die
Grim Strategie spielt.
e) Für welche realen Zinssätze ist in diesem Fall Kooperation nachhaltig?
f) Nehme an die Spieler spielen dieses Spiel Jahr für Jahr. Nach vier Jahren
endet das Spiel überraschend. Bestimme die Gesamtgewinne der
Spielwarenhändler am Ende des Spiels. Der reale Zinssatz beträgt r = 0%.
Vergleiche das Resultat mit dem Resultat aus b).
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