Aufgabenblatt 5 zur Spieltheorie SS 2017

Aufgabenblatt 5 zur Spieltheorie SS 2017
Aufgabe 5.1: Bestimmen Sie sämtliche Nash-Gleichgewichte in reinen und gemischten Strategien der Spiele:
Spiel 1
a
b
x
2, 1
0, 1
Spiel 2
x
a
1, 0
b
−1, −2
c
0, 3
y
1, −1
3, 5
y
1, 2
3, 0
0, 1
z
0, 3
3, 1
−1, 0
Hinweis zu Spiel 2: Verwenden Sie folgenden
Satz: In einem Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien spielt kein Spieler eine strikt
dominierte reine Strategie mit positiver Wahrscheinlichkeit.
Aufgabe 5.2: Gegeben ist folgendes Spiel:
Spiel 3
a [p1 ]
b [p2 ]
c [p3 ]
Ist
Ist
Ist
Ist
das
das
das
das
Strategienprofil
Strategienprofil
Strategienprofil
Strategienprofil
(p, q)
(p, q)
(p, q)
(p, q)
mit
mit
mit
mit
x [q1 ]
2, 0
0, 2
1, 1
y [q2 ]
1, 3
2, 1
2, 3
z [q3 ]
0, 2
3, 1
2, 4
p = ( 14 , 43 , 0) und q = ( 13 , 23 , 0) ein Nash-Gleichgewicht?
p = ( 21 , 0, 21 ) und q = ( 23 , 0, 13 ) ein Nash-Gleichgewicht?
p = (0, 43 , 41 ) und q = ( 12 , 0, 12 ) ein Nash-Gleichgewicht?
p = (0, 1, 0) und q = (0, 12 , 21 ) ein Nash-Gleichgewicht?
Aufgabe 5.3 Wir betrachten einen Tullock-Wettstreit zwischen zwei Firmen. Die beiden
Firmen konkurrieren um einen Auftrag, der derjenigen Firma, die den Zuschlag erhält, einen
Gewinn V > 0 garantiert. Um den Zuschlag zu erhalten, kann bzw. muss Firma i Investitionen in Höhe von si ≥ 0 tätigen. Die Wahrscheinlichkeit pi , dass Firma i den Auftrag erhält,
ist gegeben durch die Höhe ihrer Investition relativ zu den von beiden Firmen getätigten
Investitionen: pi = si /(s1 + s2 ). Der erwartete Gewinn von Firma i ist also gegeben durch
si
· V − si für s1 , s2 ≥ 0, s1 + s2 > 0
πi (s1 , s2 ) =
s1 + s2
Wenn beide Firmen überhaupt keine Investition tätigen, d.h. s1 + s2 = 0, wird der Auftrag
verlost und der erwartete Gewinn ist πi (0, 0) = 21 V . In dieser Aufgaben soll das NashGleichgewicht dieses Spiels auf S1 × S2 = [0, ∞) × [0, ∞) graphisch mittels der Reaktionsfunktionen der beiden Firmen ermittelt werden.
a) Ermitteln Sie die partiellen Ableitungen
∂π1
∂s1
und
∂ 2 π1 1
.
∂s12
b) Zeigen Sie, dass die beste Antwort von Firma 1 auf eine Investition s2 > 0 von Fa. 2
durch
(√
√
√
s2 · ( V − s2 ) falls 0 < s2 ≤ V
R1 (s2 ) =
0
falls s2 > V
gegeben ist. Angenommen Fa. 2 wählt s2 = 49 V . Welchen Verlust hat Fa. 1 zu erwarten,
wenn sie statt ihrer besten Antwort auf diese Strategie ebenfalls s1 = 49 V aufwendet?
1
Zur Kontrolle: Die partiellen Ableitungen sind:
∂π1
∂s1
1
=
s2
(s1 +s2 )2 V
− 1,
∂ 2 π1
∂s12
2
= − (s12s
+s2 )3 V .
c*) Zeigen Sie, dass s1 = 0 nicht die beste Antwort von Firma 1 darauf ist, dass Firma 2
nicht investiert, d.h. s2 = 0 wählt.
Existiert überhaupt eine beste Antwort von Fa. 1 auf s2 = 0? Erklären Sie.
√
√
√
d) Zeigen Sie, dass man mit den Hilfsvariablen x1 = s1 und x2 = s2 sowie w = V
die Reaktionsfunktion von Firma 1 darstellen kann als
q
p
∗
x1 (x2 ) = x2 (w − x2 ) = ( 12 w)2 − (x2 − 12 w)2 für 0 < x2 ≤ w
Welche geometrische Figur beschreibt der Graph dieser Funktion in der (x1 , x2 )-Ebene?2
Stellen Sie die Reaktionsfunktion von Firma 2 entsprechend dar.
Skizzieren Sie beide Reaktionsfunktionen in einem (x1 , x2 ) Diagramm und bestimmen
Sie geometrisch das Nash-Gleichgewicht in den (x1 , x2 )-Koordinaten.
e) Ermitteln Sie durch Rücktransformation die Formel für das Nash-Gleichgewicht in den
(s1 , s2 )-Koordinaten (Lösung: s∗1 = s∗2 = 41 V )
Warum ist (s1 , s2 ) = (0, 0) nicht ein zweites Nash-Gleichgewicht?
Ist es plausibel, dass die Reaktionsfunktion jeder Firma mit wachsender Investition der
konkurrierenden Firma zunächst wächst und dann fällt?
Aufgabe 5.4 In einer Provinzstadt lebt eine Kontinuum I = [0, 1] von Einwohnern. Die
einzige Freizeitbeschäftigung an einem Wochenende ist eine Wanderung in die weitläufige
Umgebung, die einen Nutzen von 1 liefert. Eines Tages stirbt der reichste Bewohner der
Stadt. In seinem Testament verfügt er, dass aus seinem Nachlass ein Museum gebaut werden soll. Nachdem das Museum gebaut ist, entscheidet jeder Einwohner, ob er ins Museum
oder Wandern geht. Der Nutzen eines Museumsbesuches hängt wegen des daraus resultierenden Gedränges negativ vom Anteil α der anderen Einwohner ab, die ebenfalls das Museum
besuchen, und ist gegeben durch:
u(a, α) = 2 · (1 − α)
Auf Beschluss des Stadtrates hin ist der Eintritt für das Museum frei.
a) Bestimmen Sie den Anteil von Museumsbesuchern im sozialen Optimum3 und im NashGleichgewicht.
b) Wie hoch ist der Nutzen für einen Einwohner vor und nach der Eröffnung des Museums?4 Erklären Sie.
c) Bei der nächsten Wahl wird aus unerfindlichen Gründen ein Spieltheoretiker zum
Bürgermeister gewählt. Als erste Amtshandlung verfügt er, dass das Museum einen
Eintrittspreis in Höhe von p = 1/2 erhebt und dass die resultierenden Einnahmen
gleichmäßig an alle Bewohner der Stadt verteilt werden.5 Wie hoch ist nun der Anteil
von Museumsbesuchern im Nash-GG? Zeigen Sie, dass sich durch die Maßnahme der
Nutzen aller Bewohner erhöht!
√
r2 − x2 : Fkt. beschreibt einen (Halb-)Kreis mit Radius 12 w und Mittelpunkt auf der x2 -Achse bei 12 w.
Das soziale Optimum definiert sich durch Maximierung von w(α) = α u(a, α) + (1 − α) u(b, α).
4
Nehmen Sie an, dass nach der Eröffnung das Nash-GG gespielt wird.
5
Der Nutzen verändert sich dadurch zu u(a, α) = 2 (1 − α) − p + pα, u(b, α) = 1 + pα.
2
3
2