Loesungsblatt 11

Johannes Gutenberg-Universität Mainz
Grundzüge der Mikroökonomie BA
SS 2010
Tutoriumsaufgaben
Übungsblatt 11
Aufgabe 11.1 Cournot-Nash und Stackelberg Wettbewerb
1
Die Marktnachfrage ist P = 40 − 3 Q und die Grenzkosten betragen MC = 4.
a) Nehmen Sie an, es befinde sich nur ein Anbieter im Markt. Wie hoch ist die gewinnmaximale
Ausbringungsmenge, welchen Preis kann der Produzent erzielen?
MR(Q) = MC(Q) ergibt
M
M
⇒ Q = 54, PM = 22, ПM= 54 *(22 − 4) = 972
40 - 2/3 Q = 4
b) Nehmen Sie nun an, es befinden sich zwei Anbieter i = A, B im Markt und dass sich diese im
Cournot-Wettbewerb befinden (d.h. jeder betrachtet die eigene Ausbringungsmenge Qi als
strategische Variable). Bestimmen Sie die Reaktionskurven der Anbieter. Was ist das Cournot-Nash
Gleichgewicht? Ermitteln Sie das Cournot-Nash-Gleichgewicht graphisch und rechnerisch. Was ist der
Gewinn im Cournot-Nash-Gleichgewicht?
Residualnachfrage von A: P = 40 - 1/3 (QA + QB,fix)
MRA = 40 − 2/3 QA − 1/3 QB,fix = 4 ⇒ QA*( QB)= 54 − 1/2 QB,fix (A’s Reaktionsfunktion)
und, entsprechend, QB*( QA)= 54 − 1/2 QA,fix (B’s Reaktionsfunktion)
Das Cournot-Nash Gleichgewicht ist ein Strategienpaar QA*, QB* so dass
QB* = QB*(QA*) und QA* = QA*(QB*).
Einsetzen von QB* = 54 − 1/2 QA,*
in QA* = 54 − 1/2 QB* ergibt QA* = 54 − 1/2(54 − 1/2 QA*)
daher ist QA* = 4/3 * 27 = 36 und QB* = 36
Der Preis ist 16 und der Gewinn für jeden Wettbewerber ist
ПA = ПB = П*= 36*(16-4)= 432
c) Beschreiben Sie verbal die strategischen Überlegungen die der Strategienwahl im NashGleichgewicht zugrunde liegen.
Beide Akteure betrachten die Angebotsmenge ihres Konkurrenten als gegeben, d.h. sie nehmen an
dass die konkrete Auswahl ihrer Strategie keine Rückwirkung auf die Strategieauswahl des
Konkurrenten hat.
Stattdessen stellen die Akteure Vermutungen darüber an, was die Strategiewahl des Konkurrenten
ist und ermitteln darauf ihre beste Antwort.
Im Nash-Gleichgewicht sind diese Vermutungen konsistent in dem Sinne dass jeder Spieler eine beste
Antwort gegen eine Strategie spielt, die selbst eine beste Antwort auf die von ihm gewählte Strategie
darstellt.
Damit bestätigen sich in einem Nash-Gleichgewicht diese Vermutungen selbst.
d) Nehmen Sie an, die Firmen wollen ihren gemeinsamen Gewinn maximieren. Stellen Sie das
gemeinsame Gewinnmaximierungsproblem in den Mengen QA und QB auf. Welche
Mengenkombinationen maximieren den gemeinsamen Profit? Zeichnen Sie den Ort dieser
Mengenkombinationen in Ihr Schaubild. Was ist der gemeinsame Gewinn (gehen Sie davon aus, dass
nur variable Kosten anfallen).
1
ΠA+B = 40 (QA + QB) − 3 (QA + QB)2 − C(QA) − C(QB)
2
∂Π A+ B
= 40 − 3 (QA + QB) − 4 = 0
A
∂Q
2
∂Π A+ B
A
B
=
40
−
3 (Q + Q ) − 4 = 0.
B
∂Q
Daher ist QA + QB = 54 gewinnmaximal.
Der dazugehörige Marktpreis ist 22. Der gemeinsame Gewinn ist daher 54 × (22 – 4) = 972. Beachten
Sie, dass die Aufteilung der Produktionsmenge auf die Produzenten beliebig ist, da beide überall
dieselben Grenzkosten haben.
e) Nehmen Sie an, die Firmen einigen sich darauf, dass sie die Produktion der gewinnmaximalen
Menge hälftig zwischen sich aufteilen. Zeigen sie graphisch und rechnerisch, dass es sich in diesem
Fall für Firma B lohnt einseitig von der gemeinsamen Strategie abzuweichen.
Wenn Firma B annimmt, dass Firma A sich an die Einigung hält, zeigt sich, dass es sich für Firma B
lohnt vom Abkommen abzuweichen:
- Graphische Lösung siehe blauer Pfeil im Schaubild: B reagiert auf QA = 27 gemäß seiner
Reaktionskurve.
- Rechnerische Lösung durch Einsetzen der Menge QA = 27 in die Reaktionsfunktion von B und
Bestimmung der resultierenden Gewinne für Firma A und B.
B
A
Einsetzen in die Reaktionsfunktion ergibt Q *(Q =27)=40,5.
1
Entsprechend ist der Preis P(QA + QB) = 40 − 3 (27 + 40,5) = 17,5. Bei variablen Kosten von 4 je
Einheit ergibt sich für B ein Gewinn von 546,75. Für A ergibt sich bei einer Produktion von 27 ein
Gewinn von 364,5.
f) Bestimmen Sie das Stackelberg-Gleichgewicht für Firma A als Stackelberg-Führer. Lösen Sie das
Problem rechnerisch und tragen Sie das Stackelberggleichgewicht in das Schaubild ein. Was lässt sich
über die Anreize des Stackelberg-Führers sagen, die Gleichgewichtsmenge tatsächlich zu produzieren,
nachdem der Stackelberg-Folger seine Mengenwahl getroffen hat?
Der Stackelberg-Führer wählt die Menge unter der Annahme, dass sich der andere Spieler
entsprechend seiner Reaktionsfunktion anpasst. Daher:
1
Max
ΠA(QA,QB) s.t. QB = 54 − 3 QA.
QA
1
1
Max
[40 − 3 (QA + QB)] QA − C(QA) s.t. QB = 54 − QA.
QA
2
Einsetzen dieser Nebenbedingung in die Gewinnfunktion (Lagrange ist eine etwas umständliche
Alternative) ergibt
1
1
ΠA = [40 − 3 (QA + 54 − QA)] QA − C(QA)
2
1
∂Π A
= 22 − 3 QA − 4 = 0
A
∂Q
so dass QASL = 54.
Einsetzen in die Reaktionsfunktion des Folgers ergibt dessen Menge QBSF = 27.
Q = 81, PSE = 13, ΠASL = 486 and ΠBSF =234.
54
B
A
Das Stackelberg-Gleichgewicht ist nicht rückverhandlungsstabil weil es kein Nash-Gleichgewicht ist
(d.h. es liegt kein wechselseitiges Best-response vor, insbesondere ist die Menge des
Stackelbergführers kein best response auf die Menge des Folgers). Sobald B seine Mengenwahl
vorgenommen hat, ergäben sich für A im Grunde Anreize, darauf entsprechend seiner eigenen
Reaktionskurve zu reagieren.