Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie

Einführung in die Spieltheorie
und experimentelle Ökonomie
Aufgabe 1
Übung VL4-5 - 08.12.2010
Aufgabe 1a
• Cournot Duopol: Beide Anbieter wählen
simultan ihre Menge qi.
• Anbieter i maximiert seinen Gewinn:
π (qi , qj ) = qi p(Q) − C(qi ) = qi (30 − qi − qj ) − 6qi
Menge*Preis
Kosten
• Um die gewinnmaximierende Menge qi
zu finden, ableiten und null setzen.
Aufgabe 1a
1
q1 = R1(q2 ) =12 − q2
2
1
q2 = R2 (q1) =12 − q1
2
• Zweite Gleichung in erste Gleichung
einsetzen und nach q1 auflösen (das
Gleiche für q2):
1
1
q1 =12 − (12 − q1)
2
2
Aufgabe 1a
• Nach qi ableiten:
∂πi
= 24 − 2qi − q j = 0
∂qi
• Somit ergibt sich die Reaktionsfunktion (BesteAntwort-Kurve) von Anbieter i als:
1
qi = Ri (qj ) =12 − qj
2
• Dies gilt für beide Anbieter. Es ergibt sich also ein
Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei
Unbekannten.
Aufgabe 1a
• Es ergeben sich folgende
gewinnmaximierende Mengen:
q1 = q2 = 8
• Es ergibt sich ein Marktpreis von (in
inverse Nachfragekurve einsetzen):
p(Q) = 30 −16 =14
• Beide Anbieter erzielen einen Gewinn
von (in Gewinnfunktion einsetzen):
πi = 64
Aufgabe 1b
• Stackelberg Duopol: Anbieter 1 (Leader) wählt q1.
Anbieter 2 (Follower) erfährt q1 und wählt
anschliessend q2.
• Wir suchen das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht
unter Anwendung der Rückwärtsinduktion.
• Die Analyse startet also mit der
gewinnmaximierenden Entscheidung über q2 von
Spieler 2.
π2 (q2 , q1) = q2 p(Q) −C(q2 ) = q2 (30 − q2 − q1) − 6q2
Menge*Preis
Kosten
Aufgabe 1b
• Analog zu a) (Cournot) ergibt sich die
Reaktionsfunktion des Followers als:
1
q2 = R2 (q1) =12 − q1
2
• Der Stackelberg Leader kann sich einen Punkt auf
der Reaktionsfunktion des Followers aussuchen
(Tipp: betrachte die obige lineare Funktion. Wo hat
die Funktion ihr Maximum?). Er maximiert also
seinen Gewinn gegeben die Reaktionsfunktion von
Anbieter 2.
π1(q1, R2 (q1)) = q1(30 − q1 − R2 (q1)) − 6q1
Aufgabe 1b
Aufgabe 1c
• R2(q1) ersetzen, ableiten und null setzen führt zur
gewinnmaximierenden Angebotsmenge des Leaders
qL = 12. Der Follower reagiert darauf mit qF = 6 (in
Reaktionsfunktion einsetzen).
• Der Marktpreis liegt bei p = 12 und folgt aus:
p(Q) = 30 − (12 + 6) =12
• Die Gewinne betragen (in Gewinnfunktionen
einsetzen):
π L = 72;π F = 36
• Kollusion impliziert, dass sich die Anbieter bezüglich
ihrer Mengenentscheidung absprechen können.
• Im hergeleiteten Nash-Gleichgewicht (a) & c)) gilt,
dass kein Anbieter einen unilateralen
Abweichungsanreiz hat. Dabei kann es durchaus
sein, dass beide ihre Situation verbessern können,
wenn sie gemeinsam vom Gleichgewicht abweichen.
• Dafür muss der maximale Gesamtgewinn betrachtet
werden.
Π = π1 +π2 = q1(30 − q1 − q2 ) − 6q1 + q2 (30 − q1 − q2 ) − 6q2 = Q(30 −Q) − 6Q
Aufgabe 1c
Aufgabe 1c
• Ableiten und Nullsetzen:
∂Π
= 24 − 2Q = 0
∂Q
• Der Gesamtgewinn ist also maximal bei QM = 12.
Dies gilt unabhängig von der zeitlichen Abfolge der
Anbieterentscheidungen. Aus:
q1 + q2 = Q
folgt, dass qi = 6. Der Gesamtgewinn beträgt 144 (in
Gewinnfunktion einsetzen). Da die Anbieter zu
gleichen Teilen anbieten, resultiert auch der gleiche
Gewinn von 72 pro Anbieter.
• Der Stackelberg Leader kann den gleichen Gewinn
erzielen wie wenn der Gesamtgewinn maximiert wird.
Er ist also indifferent zwischen dem Gewinn nach
Absprache gegenüber dem Gewinn im Stackelberg
Duopol (Beachte: im Stackelberg Duopol hängt der
Gewinn vom Leader schlussendlich von der
Mengenentscheidung vom Follower ab).