1.¨Ubungsblatt - Institut für Mathematik

ADM III: Einführung in die Spieltheorie, WS 2006/2007
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Dr. Guido Schäfer
1. Übungsblatt
Besprechung: Donnerstag, 26.10.2006
Tutorin: Janina Brenner
Aufgabe 1.
Betrachte das folgende strategische Zweipersonenspiel.
T
B
L
(1, 1)
(1, 0)
M
(1, 0)
(0, 1)
R
(0, 1)
(1, 0)
(a) Bestimme die Nash-Gleichgewichte des Spiels.
(b) Gibt es ein striktes Nash-Gleichgewicht?
Aufgabe 2.
Bestimme die Nash-Gleichgewichte des folgenden Zweipersonenspiels mittels der Beste-Antwort
Funktionen.
T
M
B
L
(2, 2)
(3, 1)
(1, 0)
C
(1, 3)
(0, 0)
(0, 0)
R
(0, 1)
(0, 0)
(0, 0)
Aufgabe 3.
Betrachte das strategische Zweipersonenspiel (N, (Ai ), (ui )), N = [2], mit Ai = R+ (Menge der
nicht-negativen reelen Zahlen) für i ∈ N und u1 (a1 , a2 ) = a1 (a2 − a1 ) und u2 (a1 , a2 ) = a2 (1 − a1 −
a2 ). Bestimme die Nash-Gleichgewichte dieses Spiels.
Aufgabe 4 (First-price sealed-bid auction).
Ein Objekt soll an einen der Spieler in N = [n], n ≥ 2, versteigert werden. Wir bezeichnen den
Wert, den das Objekt für Spieler i ∈ N hat, mit vi ∈ R+ und nehmen an, dass
v1 > v2 > · · · > vn > 0.
Jeder Spieler schreibt sein Gebot bi ∈ R+ für das Objekt auf einen Zettel, steckt ihn in einen
Umschlag und schickt diesen an den Auktionator (sog. sealed-bid auction).
Einführung in die Spieltheorie, 1. Übungsblatt
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Der Auktionator vergibt das Objekt an den Spieler, dessen Gebot maximal ist. Wird das maximale Gebot von mehr als einem Spieler eingereicht, so erhält der Spieler mit kleinstem Index das
Objekt. Sei das maximale Gebot bmax . Der Gewinner zahlt einen Preis p = bmax für das Objekt.
Wir definieren den Payoff von Spieler i ∈ N als vi − p falls Spieler i das Objekt erhält und als 0
sonst. Zeige, dass die folgenden Aussagen wahr sind:
(a) Das Aktionsprofil (b1 , b2 , . . . , bn ) = (v2 , v2 , . . . , vn ) ist ein Nash-Gleichgewicht.
(b) In allen Nash-Gleichgewichte ist Spieler 1 der Gewinner.
(c) Für jeden Spieler i ∈ N wird die Aktion bi = x für x > vi von der Aktion bi = vi schwach
dominiert.
(d) Ein Aktionsprofil b ist ein Nash-Gleichgewicht genau dann wenn (i) b1 = bmax , (ii) für das
zweithöchste Gebot b0 gilt b0 = bmax und (iii) bmax ∈ [v2 , v1 ].
Aufgabe 5 (Second-price sealed-bid auction).
Das Setting ist wie in Aufgabe 4. Der Auktionator vergibt das Objekt an den Spieler mit dem
maximalen Gebot (Regel wie in Aufgabe 4). Der Preis für das Objekt wird nun aber durch das
zweithöchste Gebot bestimmt. Sei b0 das zweithöchste Gebot. Der Spieler, der das Objekt erhält,
bekommt dieses zu einem Preis von p = b0 .
(a) Zeige, dass die Aktionsprofile (b1 , b2 , . . . , bn ) = (v1 , v2 , . . . , vn ) und (b1 , b2 , . . . , bn ) =
(v1 , 0, . . . , 0) Nash-Gleichgewichte sind.
(b) Finde ein Nash-Gleichgewicht, in dem Spieler i ∈ N der Gewinner ist.
(c) Zeige, dass für jeden Spieler i ∈ N die Aktion bi = vi eine schwach dominante Aktion ist.
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