Proseminar zu Lie Gruppen

Proseminar zu Lie Gruppen
Andreas Čap
Wintersemester 2015/16
(1) Zeige, dass die Determinantenfunktion det : Mn (R) → R regulär in jedem Punkt
A ∈ Mn (R) mit det(A) 6= 0 ist. (Anleitung: Berechne D det(A)(A).) Schließe daraus,
dass SL(n, R) = {A ∈ Mn (R) : det(A) = 1} eine Lie Gruppe ist und bestimme den
Tangentialraum an SL(n, R) bei der Einheitsmatrix.
(2) Sei O(n) ⊂ Mn (R) die Menge aller orthogonalen n×n–Matrizen. Zeige, dass O(n) eine
Lie Gruppe ist. (Anleitung: Zeige, dass A 7→ At A in jedem Punkt A ∈ O(n) regulär
als Funktion in den Raum der symmetrischen n × n–Matrizen ist.) Bestimme die
Dimension von O(n) und zeige, dass der Tangentialraum o(n) in der Einheitsmatrix
gerade der Raum der schiefsymmetrischen n × n–Matrizen, also der Matrizen X mit
X t = −X ist.
(3) Beschreibe explizit die unterliegende Mannigfaltigkeit der Lie Gruppe SL(2, R) sowie
der Untergruppe
SO(2) = O(2)
∩ SL(2, R). Anleitung: Schreibt man Matrizen in der
x + w −y + z
Form A =
, dann ist det(A) = x2 + y 2 − z 2 − w2 .
y+z x−w
(4) Für Matrizen X, Y ∈ Mn (R) definiere [X, Y ] := XY − Y X. Zeige, dass die Jacobi–
Identität [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z]+[Y, [X, Z]] erfüllt ist. Zeige weiters, dass für beliebige X, Y ∈ Mn (R) die Matrix [X, Y ] spurfrei ist und für schiefsymmetrische Matrizen
X, Y ∈ o(n) auch [X, Y ] schiefsymmetrisch ist.
(5) Betrachte den Raum o(3) der schiefsymmetrischen 3×3–Matrizen. Zeige, dass für A ∈
O(3) und X ∈ o(3) auch AXA−1 ∈ o(3) gilt. Zeige weiters, dass hX, Y i 7→ − 21 tr(XY )
ein positiv definites inneres Produkt auf o(3) definiert, das hAXA−1 , AY A−1 i =
hX, Y i erfüllt.
(6) Finde eine Orthonormalbasis von o(3) bezüglich des inneren Produktes h , i aus dem
letzten Beispiel und zeige, dass der Kommutator [ , ] auf o(3) mit dem Kreuzprodukt
in R3 übereinstimmt.
(7) Für X ∈ o(3) betrachte die Abbildung adX : o(3) → o(3), die definiert ist durch
adX (Y ) := [X, Y ]. Finde die Matrixdarstellung von adX bezüglich der Orthonormalbasis aus dem letzten Beispiel. Zeige damit, dass (X, Y ) 7→ tr(adX ◦ adY ) ein
Vielfaches des inneren Produktes aus dem letzten Beispiel ist.
(8) Zeige, dass b(X, Y ) := tr(XY ) eine nicht entartete symmetrische Bilinearform auf
Mn (R) definiert, die b(AXA−1 , AY A−1 ) = b(X, Y ) für alle A ∈ GL(n, R) und alle
X, Y ∈ Mn (R) erfüllt. Bestimme die Signatur dieser Bilinearform.
(9) Analog zu Beispiel 2 zeige, dass U (n) := {A ∈ Mn (C) : A∗ A = I} und SU (n) := {A ∈
U (n) : det(A) = 1} Lie Gruppen sind. Zeige, dass die Tangentialräume in I gegeben
sind durch u(n) = {A ∈ Mn (C) : A∗ = −A} bzw. su(n) = {A ∈ u(n) : tr(A) = 0}.
1
(10) Zeige direkt, dass die unterliegende Mannigfaltigkeit der Gruppe SU (2) die dreidimensionale Sphäre S 3 ist.
(11) Zeige, dass für X, Y ∈ su(2) immer tr(XY ) ∈ R gilt, und dass hX, Y i = − 12 tr(XY ) ein
positiv definites inneres Produkt auf su(2) definiert. Zeige, dass für jedes X ∈ su(2)
die Abbildung adX : su(2) → su(2) schiefsymmetrisch ist, und X 7→ adX einen
Isomorphismus su(2) → o(3) definiert.
(12) Zeige, dass für A ∈ SU (2) die adjungierte Wirkung Ad(A) : su(2) → su(2) orthogonal
bezüglich des inneren Produkts aus dem letzten Beispiel ist, also Ad einen Homomorphismus SU (2) → SO(3) definiert. Benutze das letzte Beispiel und die Tatsache, dass
SO(3) zusammenhängend ist, um zu zeigen, dass dieser Homomorphismus surjektiv
ist.
(13) Zeige, dass für eine zusammenhängende Lie Gruppe G der Kern von Ad : G →
GL(g) genau das Zentrum Z(G) ist. Zeige, dass Z(SU (2)) nur aus ± id besteht und
benutze das und das letzte Beispiel um zu zeigen, dass SO(3) als Mannigfaltigkeit der
projektive Raum RP 3 ist.
(14) Zeige, dass die 3–dimensionale Lie Algebra g := sl(2, R) nicht isomorph zu o(3) sein
kann. Anleitung: Finde eine Matrix X in g, sodass die Abbildung ad(X) : g → g nilpotent ist. Zeige, dass die Existenz eines Isomorphismus ϕ : g → o(3) einen Widerspruch
zu Beispiel (7) liefern würde.
a b
(15) Sei G ⊂ GL(2, R) die Untergruppe aller Matrizen der Form
mit a, b ∈ R
0 1
und a 6= 0. Bestimme die Lie Algebra g dieser Gruppe und zeige, dass jede nicht–
kommutative 2–dimensionale Lie Algebra isomorph zu g ist. Anleitung: Zeige, dass
jede solche Lie Algebra eine Basis {X, Y } besitzt, sodass [X, Y ] = Y gilt.
(16) Der komplexe projektive Raum CP n ist die Menge aller komplexen Geraden durch 0
in Cn+1 . Zeige, dass CP n kanonisch eine kompakte glatte Mannigfaltigkeit ist, die als
homogener Raum der Gruppen GL(n+1, C), U (n+1) und SU (n+1) realisiert werden
kann.
(17) Zeige, dass der Raum CP 1 mit der Sphäre S 2 identifiziert werden kann (Riemannsche Zahlenkugel). Mit dem letzten Beispiel folgt, dass S 2 als homogener Raum von
GL(2, C) betrachtet werden kann. Zeige, dass die kanonische Karte aus dem Beweis
von Satz 1.16 der Vorlesung einen Diffeomorphismus von R2 auf das komplement eines
Punktes definiert, und genau die üblichen inhomogenen Koordinaten auf CP 1 liefert.
(18) Das letzte Beispiel liefert eine Projektion SU (2) → SU (2)/U (1) ∼
= S 2 , die man als
3
2
−1
glatte Abbildung p : S → S betrachten kann, sodass p (x) ∼
= S 1 für jedes x ∈ S 2
gilt (“Hopf–Faserung”). Zeige, dass für jedes y ∈ S 2 und V := S 2 \ y gilt, dass
p−1 (V ) ∼
= V × S 1 . Ist S 3 ∼
= S 2 × S 1?
(19) Eine komplexe Struktur auf einem reellen Vektorraum V ist eine lineare Abbildung
J : V → V für die J ◦J = − id gilt. Zeige, dass man V zu einem komplexen Vektorraum
machen kann, indem man die Skalarmultiplikation durch (a + ib) · v := av + bJ(v)
definiert. Schließe daraus, dass auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V genau
dann eine komplexe Struktur existiert, wenn er gerade Dimension hat.
(20) Zeige, dass die Menge Jn der komplexen Strukturen auf R2n eine Mannigfaltigkeit
bildet, die mit dem homogenen Raum GL(2n, R)/GL(n, C) identifiziert werden kann.
(21) Sei G eine Lie Gruppe, H ⊂ G eine abgeschlossene Untergruppe und G/H der entsprechende homogene Raum. Seien g und h die zugehörigen Lie Algebren und g/h
der Quotientenvektorraum. Zeige, dass die Adjungierte Wirkung von Elementen von
H auf g eine Wirkung Ad von H auf g/h definiert. Zeige weiters, dass die Gruppe G
kanonisch auf dem Raum X(G/H) der Vektorfelder auf G/H wirkt.
(22) Im Setting des letzten Beispiels betrachte die kanonische Projektion p : G → G/H.
Zeige, dass für ein Element g ∈ G und einen Tangentialvektor ξ ∈ Tg G das Element
Tg λg−1 · ξ + h ∈ g/h nur von Tg p · ξ ∈ TgH (G/H) abhängt. Zeige weiters, dass diese
Konstruktion einen linearen Isomorphismus ϕg : TgH (G/H) → g/h definiert und dass
ϕgh = Ad(h−1 ) ◦ ϕg gilt.
(23) Benutze das vorherige Beispiel um zu zeigen, dass man X(G/H) mit der Menge
{f ∈ C ∞ (G, g/h) : f (gh) = Ad(h−1 )(f (g)) ∀g ∈ G, h ∈ H}
identifizieren kann. Zeige, dass die G–Wirkung aus dem vorletzten Beispiel in diesem Bild durch (g · f )(g 0 ) := f (g −1 g 0 ) gegeben ist. Zeige, dass für ein G–invariantes
Vektorfeld ξ mit entsprechender Funktion f , das Element f (e) ∈ g/h H–invariant ist,
und sich umgekehrt jedes solche Element eindeutig zu einem G–invarianten Vektorfeld
ausdehnt.
(24) Sei V ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und b : V × V → R eine nicht
degenerierte symmetrische Bilinearform. Zu einem Teilraum W ⊂ V sei W ⊥ := {v ∈
V : b(v, w) = 0 ∀w ∈ W }. Zeige, dass W ⊥ ⊂ V ein Teilraum der Dimension
dim(V ) − dim(W ) ist, sowie dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
(a) Die Einschränkung von b auf W ist nicht degeneriert
(b) Die Einschränkung von b auf W ⊥ ist nicht degeneriert
(c) W ∩ W ⊥ = {0}
(d) V = W ⊕ W ⊥
(25) Betrachte Rn+1 mit der Bilinearform b(x, y) = x1 y 1 + · · · + xn y n − xn+1 y n+1 und die
Teilmenge Hn := {x ∈ Rn+1 : b(x, x) = −1, xn+1 > 0}. Zeige, dass Hn eine glatte
Teilmannigfaltigkeit von Rn+1 ist und dass b eine positiv definite Riemann Metrik
auf Hn induziert. Die erhaltene Riemann Mannigfaltigkeit heißt der n–dimensionale
hyperbolische Raum. Zeige weiters, dass die orthogonale Gruppe O(n, 1) von b transitiv
auf Hn wirkt, wobei jede der Abbildungen `g die Riemann Metrik erhält.
(26) Sei B n = {x ∈ Rn : |x| < 1} der n–dimensionale Einheitsball. Definiere eine Funktion
f : B n → Hn durch f (x) := √ 1 2 (x, 1). Beschreibe diese Abbildung für n = 2
1−|x|
geometrisch und zeige, dass sie für beliebiges n einen Diffeomorphismus definiert.
Berechne die Riemann Metrik auf B n , die man durch Zurückziehen der hyperbolischen
Metrik mit f erhält.
(27) Betrachte das Standard Hermite’sche innere Produkt h , i auf Cn , und sei ω : Cn ×
Cn → R der Imaginärteil davon. Zeige, dass ω eine nicht entartete schiefsymmetrische
Bilinearform definiert, die zusätzlich ω(iz, iw) = ω(z, w) für alle z, w ∈ Cn erfüllt.
(28) Die Heisenberg Gruppe:
 Zeige,dass die Menge aller reellen (n + 2) × (n + 2)–
1 u a
Matrizen der Blockform 0 I v  mit Blöcken der Größe 1, n und 1 eine Lie Un0 0 1
tergruppe von GL(n + 2, R) bildet, wobei I die n × n–Einheitsmatrix bezeichnet. Zeige
dann, dass die Matrizen mit u = v = 0 und a ∈ Z einen Normalteiler bilden, und
definiere die Heisenberg Gruppe Hn als die Quotientengruppe.
(29) Bilde eine Matrix wie im letzten Beispiel auf (u1 + iv1 , . . . , un + ivn , e2πia ) ab, um
einen Diffeomorphismus Hn → Cn × U (1) zu erhalten. Beschreibe die Multiplikation auf Hn in diesem Bild. Zeige insbesondere, dass für Elemente (z, ϕ) und (w, ψ)
von Cn × U (1) der Kommutator in Hn durch (0, e−2πiω(z,w) ) gegeben ist, wobei ω
die schiefsymmetrische Bilinearform aus Beispiel 27 bezeichnet. Schließe daraus, dass
die Kommutatoruntergruppe von Hn mit dem Zentrum Z(Hn ) übereinstimmt und
isomorph zu U (1) ist.
(30) Zeige analog zu Beispiel 29, dass die Lie Algebra hn der Heisenberggruppe mit Cn ⊕ R
identifiziert werden kann, wobei die Lie Klammer durch [(z, a), (w, b)] = (0, −ω(z, w))
geben ist. Berechne die Exponentialabbildung der Heisenberggruppe als Funktion Cn ⊕
R → Cn × U (1). Zeige weiters, dass es eine reelle Basis {q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , z} von
hn gibt, sodass z ∈ z(hn ), [qi , qj ] = [pi , pj ] = 0, sowie [qi , pj ] = δij z gilt.
(31) Betrachte eine Matrix mit Eintragungen u, v und a wie in Beispiel 28. Für eine
Funktion f : Rn → C lasse diese Matrix durch ((u, v, a) · f )(x) := e2πi(a−hv,xi) f (x − u)
wirken. Zeige, dass dies einen Homomorphismus von Hn in den Gruppe der invertierbaren linearen Abbildungen auf dem Vektorraum aller Funktionen von Rn nach C
definiert. Begründe, warum für eine L2 –Funktion f auch (u, v, a) · f eine L2 –Funktion
ist. Zeige weiters, dass der Operator f 7→ (u, v, a) · f als lineare Abbildung L2 (Rn ) →
L2 (Rn ) unitär ist.
(32) Betrachte die Lie Algebra hn der Heisenberggruppe aus Beispiel 30. Für eine glatte
Funktion f : Rn → Rn mit kompaktem Träger und X ∈ hn zeige, dass (X · f )(x) :=
d
| (exp(tX) · f )(x) eine glatte Funktion X · f : Rn → Rn mit kompaktem Träger
dt t=0
definiert. Zeige, dass [X, Y ] · f = X · (Y · f ) − Y · (X · f ) für alle X, Y ∈ hn und alle
f ∈ Cc∞ (Rn , Rn ) gilt und berechne, wie die Elemente der Basis aus Beispiel 30 wirken.