Übungsblatt 1 Höhere Mathematik 1/Stochastik1 1

Übungsblatt 1 Höhere Mathematik 1/Stochastik1
Prof. Dr.B.Grabowski
Zweiwertige Logik
Aufgabe 1
Vervollständigen Sie folgende Wahrheitswerttabelle!
(0 = Falsch, 1 = Wahr)
Aufgabe 2
Beweisen Sie folgende logische Äquivalenzen:
b) (a fl b) ‹ (Ÿ b fl Ÿ a)
a) (a ⇒ b) ⇔ (¬a ∨ b)
c) Ÿ (a ¤b) ‹ (a ⁄ b)
Aufgabe 3
Sei G die Menge aller Studierenden der TFH Berlin. Folgende Prädikate auf G seien gegeben:
m(x): x studiert Mathematik
i(x) : x studiert Informatik
g(x) : x besucht die Vorlesung Graphentheorie
e(x) : x ist im ersten Semester
Formulieren Sie in der Sprache der Prädikatenlogik:
a) Nur die Studenten der Informatik des 1. Semesters besuchen die Vorlesung
Graphentheorie
b) In der Vorlesung Graphentheorie sitzen auch mindestens 1 Student der Informatik und
mindestens 1 Student der Mathematik.
c) Verneinen Sie b)!
d) Jeder Student, der die Vorlesung Graphentheorie besucht, ist im 1. Semester.
Aufgabe 4
Folgt aus den Aussagen
1) „Paul mag keine Kartoffeln.“
2) „Paul mag Spagetti oder Kartoffeln oder Reis. “
3) “ Wenn Paul Spagetti mag, so mag er auch Kartoffeln und Reis.“
„Paul mag Reis und Spagetti“ ?
Weisen Sie Ihre Behauptung mit Hilfe von Wahrheitswerttabellen nach!
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Aufgabe 5
Formulieren Sie folgende Aussagen in der Sprache der Logik unter Verwendung der logischen
Quantoren " und $:
a) „Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die
durch 3 teilbar ist.“
b)
c)
d)
e)
f)
„Das Quadrat jeder beliebigen reellen Zahl ist größer gleich Null.“
Bilden Sie die Verneinung der in b) formulierten Aussage!
„Für jede natürliche Zahl gilt: Wenn m2 gerade, so ist auch m gerade!“
Bilden Sie die Kontraposition der Aussage d) !
Verneinen Sie d) !
g)
h)
i)
j)
k)
„Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte!“
Verneinen Sie die Aussage g)
„Es existieren natürliche Zahlen, die sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar sind!“
„ Die Menge der positiven reellen Zahlen besitzt kein Minimum.“
Bilden Sie die Negation der Aussage ∀x ∈ G∃y ∈ M : p ( y ) ⇒ (q ( x) ∨ ¬a ( x))
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Zusatz:Lösen Sie folgende Logikprobleme
PROBLEM 1:
Es sind genau 100 Leute auf einer Insel.
Der erste sagt: "Genau einer von uns lügt".
Der zweite sagt: "Genau zwei von uns lügen".
Der dritte sagt: "Genau drei von uns lügen".
usw.
Der 99. sagt: "Genau 99 von uns lügen".
Der 100. sagt: "Genau 100 von uns lügen".
Frage: Wieviele lügen und wer ?
PROBLEM 2:
Es sind genau 100 Leute auf einer Insel.
Der erste sagt: "Mindestens einer von uns lügt".
Der zweite sagt: "Mindestens zwei von uns lügen".
Der dritte sagt: "Mindestens drei von uns lügen".
usw.
Der 99. sagt: "Mindestens 99 von uns lügen".
Der 100. sagt: "Mindestens 100 von uns lügen".
Frage: Wieviele lügen und wer ?
Bemerkung:
es müssen natürlich nicht genau 100 Leute auf der Insel sein.
Das erste Problem funktioniert mit beliebig vielen (aber mindestens zwei) Leuten.
Der zweite Problem funktioniert dagegen nur mit einer geraden Anzahl von Leuten.
PROBLEM 3:
Wir sind an einer Weggabelung. Hier gabelt sich der Weg in die beiden Richtungen
Saarbrücken und Berlin. Es gibt aber kein Hinweisschild, welcher Weg in welche Richtung
zeigt. An der Weggabelung stehen 2 Brüder. Der eine von beiden sagt immer die Wahrheit,
der andere lügt immer! Es ist nicht bekannt, welcher der beiden Brüder die Wahrheit sagt und
welcher lügt.
Nun kommt ein Wanderer des Wegs und möchte nach Berlin. Er darf genau eine Frage an
irgendeinen der beiden Brüder stellen, die aber nur mit Richtig oder Falsch beantwortet werden
kann. Welche Frage stellt der Wanderer, um den Weg nach Berlin zu finden?
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PROBLEM 4:
Aus den Fällen des Inspektor Craig:
„Was fängst Du mit diesen 3 Fakten an?“ fragt Inspektor Craig den Sergant Mc Pherson.
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(2)
(3)
(4)
Wenn A schuldig und B unschuldig ist, so ist C schuldig.
C arbeitet niemals allein.
A arbeitet niemals mit C.
Niemand außer A,B,C war beteiligt und mindestens einer von ihnen ist schuldig.
Sergant: „ Nicht viel Sir. Können Sie aus diesen 3 Fakten schließen, wer schuldig und wer
unschuldig ist?“
Craig: „ Nein, aber ich kann daraus schließen, wer mit Sicherheit schuldig ist.“
Wen meint Inspektor Craig?
Beweisen Sie Ihre Aussage anhand einer geeigneten Wahrheitswertabelle!
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