Topologie - Mathematik, TU Dortmund
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Dortmund, 13. Juli 2017
Technische Universität Dortmund
Fakultät für Mathematik
Prof. Dr. Rainer Brück
Topologie
Beweis zum Lemma von Urysohn
Beweis. In einem T4 -Raum gibt es zu jeder abgeschlossenen Menge C und jeder offenen
Menge U mit C ⊂ U stets eine offene Menge V mit C ⊂ V ⊂ V ⊂ U .
Aus der Menge
D=
p
2k
: p , k ∈ N , 0 ≤ p ≤ 2k
bilden wir die Folge
1 3 2n − 1
1 1 3
F = 0, 1, , , , . . . , n , n ,
,... .
2 4 4
2 2
2n
Wir wählen offene Mengen G0 , G1 , sodass A ⊂ G0 ⊂ G0 ⊂ G1 ⊂ G1 ⊂ X \ B. Jeder
weiteren Zahl d ∈ D ordnen wir induktiv nach Folgengliedern eine offene Menge Gd zu,
sodass für d < d0 gilt Gd ⊂ Gd0 . Allen Zahlen d von D, die in der Folge vor b = (2p+1)·2−n
stehen, seien bereits offene Mengen Gd zugeordnet mit Gd ⊂ Gd0 , wenn d, d0 vor b stehen
und d < d0 ist. Unter den vor b stehenden Gliedern der Folge F ist a = p · 2−n+1 bzw.
c = (p+1)·2−n+1 die von b aus gesehen nächst kleinere bzw. nächst größere Zahl bezüglich
der Relation <. Dann wähle eine offene Menge Gb mit Ga ⊂ Gb ⊂ Gb ⊂ Gc .
S
Für t ∈ [0, 1] sei Gt := { Gd : d ∈ D, d ≤ t }. Dann ist Gt offen, und für t < t0 gilt
Gt ⊂ Gt0 . Nun definieren wir f : X → R durch
inf { t ∈ R : x ∈ G } für x ∈ G ,
t
1
f (x) :=
1
für x ∈
/ G1 .
Dann gilt 0 ≤ f (x) ≤ 1 für x ∈ X, f (A) = {0} und f (B) = {1}.
Somit bleibt nur noch die Stetigkeit von f zu zeigen. Dazu sei Gt := ∅ für t < 0 und
Gt := X für t > 1. Für x0 ∈ X und 0 < δ < ε gilt x0 ∈ U := Gf (x0 )+ε−δ \ Gf (x0 )−ε ⊂
f −1 ((f (x0 ) − ε, f (x0 ) + ε)) und U ist offen. Also ist f stetig in x0 .
