Physikalisches Anfängerpraktikum 4 Quantenmodelle

Physikalisches Anfängerpraktikum 4
Quantenmodelle
John Schneider & Jörg Herbel
Durchgeführt am 21.05.2012
Universität Konstanz
SS 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Versuchsziele
3
2 Physikalische Grundlagen
3
2.1 Rohrresonator & Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1 Stehende Schallwellen in einem Rohr . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.2 Teilchen im Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.3 Kombination mehrerer Rohre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.1 Der Kugelresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3.2 Zusammenhang mit dem Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.3 Simulation des Wasserstoffmoleküls mit dem Doppelkugelresonator 11
3 Versuchsdurchführung
3.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Rohrresonator . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Kugelresonator ohne Zwischenring .
3.2.3 Kugelresonator mit Zwischenring .
3.2.4 Rohrresonator mit Irisblenden . . .
3.2.5 Doppelkugelresonator . . . . . . . .
4 Auswertung
4.1 Rohrresonator . . . . . . . . . . . .
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring .
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden . . .
4.5 Doppelkugelresonator . . . . . . . .
4.6 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . .
5 Fragen und Aufgaben
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
14
14
15
16
16
16
16
17
.
.
.
.
.
.
17
18
21
26
31
37
40
40
6 Anhang
42
Messprotokoll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Physikalische Grundlagen
1 Versuchsziele
In diesem Versuch werden verschiedene quantenmechanische Systeme durch Experimente
mit Schallwellen simuliert. Es wird beispielsweise ein Teilchen in einem unendlich hohen
Potentialtopf durch stehende Schallwellen in einem abgeschlossenen Rohr modelliert.
Auch das Wasserstoffatom sowie das einfach ionisierte Wasserstoffmolekül werden durch
Schallexperimente untersucht.
2 Physikalische Grundlagen
Hinweis: In dieser Arbeit werden Vektoren fettgedruckt dargestellt.
2.1 Rohrresonator & Potentialtopf
2.1.1 Stehende Schallwellen in einem Rohr
Schallwellen sind Longitudinalwellen, d.h. sie schwingen in Ausbreitungsrichtung. Die
Resonatoren sind hierbei die Teilchen, aus denen das Trägermedium aufgebaut ist, in diesem Versuch Luftmoleküle. Diese regen sich ausgehend vom Erregerzentrum der Schallwelle gegenseitig zu Schwingungen an und es entstehen lokale Druckschwankungen. Wir
betrachten zunächst Schallwellen, die sich in einem Rohr ausbreiten und an den Rohrenden reflektiert werden. Einfallende und reflektierte Welle überlagern sich und interferieren miteinander. Konstruktive Interferenz tritt auf, wenn zwischen der Rohrlänge L
und der Wellenlänge des Schalls die Beziehung
L = n , n 2 N,
2
(1)
herrscht. In diesem Fall bilden sicht stehende Wellen aus, deren Amplitude doppelt so
groß wie die der ursprünglichen Wellen ist. Dies zeigt Abb. 1.
3
!
!
gas
p · κ/$gas
Kκ/$gas
vPh
λgas
= fest = √
= √
(11.111)
λfest
E/$
E/$fest
vPh
fest
Die stehende Druckwelle ist daher um λ/2 gegen
die stehende Schwingungsamplitudenwelle versetzt
(Abb. 11.70).
2 Physikalische Grundlagen
622
2.1 Rohrresonator & Potentialtopf
5. Versuche zur Atom- und Quantenphysik
Grundlagen
11.68. Erzeugung der Kundtschen Staubfiguren
5.9.1
Der Rohrresonator
Stehende Schallwellen in einem Rohrresonator
Eine Resonanz in einem Rohrresonator tritt auf, wenn sich eine stehende Welle bildet.
Die Schallwelle, die vom Lautsprecher erzeugt wird, wird zwischen den Enden des Resonators reflektiert. Eine Resonanz entsteht, wenn die reflektierte Welle in Phase mit der
Abb. 11.70. Schwingungsamplituden- und Druckverteilung
Lautsprecher
erzeugten
Welle
ist
und
reflektierte
Schall
konstruktiv
erAbbildung
1: Stehende
Schallwellen
in einem
Gas.
⇠ steht
Auslenkung,
p fürmit
dendem
Druck.
11.69. Rubensschesvom
Flammenrohr
einer
stehenden
Welleder
in einem
Gas für die
oberste Grafik
zeigt
den longitudinalen
Charakter
der Wellen.
Entnommen
zeugten Schall Die
interferiert.
Dies ist
erfüllt,
wenn die halbe
Wellenlänge
ein ganzzahliges
398.
Vielfaches n = aus
1, 2,[3],
. . .S., 1
der Rohrlänge L ist:
c
Die Abb. zeigt den Fall zweier geschlossener
an denen die Auslenkung(5.9.1)
stets
,
L = n = n Enden,
2
2f
null, der Druck dafür maximal ist, dieser Fall liegt auch im Versuch vor. Für verschiedene
mit der Schallgeschwindigkeit c und der Frequenz f . Abbildung 5.9.1 zeigt die Amplitun aus Gl. (1) ergeben sich unterschiedliche Anzahlen an Knoten und Bäuchen. Dies zeigt
den p der Druckverteilung für die Grundschwingung (grün) und die erste Oberschwindung
nachfolgende
Abb.: Welle im Rohr.
(rot)
einer stehenden
Abbildung
Stehende
Schallwellen
in einem
welches durch
Lautsprecher
Abbildung5.9.1:
2: Stehende
Schallwellen
in einem
RohrRohr,
(abgeschlossen
durcheinen
Lautsprecher
und
und ein Mikrofon
abgeschlossen
wird.
Mikrofon).
Die grüne
Kurve zeigt die Grundschwingung (n = 2), die rote Kurve
zeigt den Fall n = 3 (1. Oberschwingung). Entnommen aus [4].
Mathematisch kann die Druckverteilung im Rohrresonator mit Hilfe der HelmDie Druckverteilung
im Rohr wird beschrieben durch die Helmholtztgleichung
holtzgleichung
in der Form
t) t) 1
@12 p(r,
@ 2 p(r,
= = 4p(r,
p(r, t)
(5.9.2)
t)
(2)
2
c2 @t @t2
berechnet werden. Dabei sind die Dichte und die Kompressibilität. Im nächsten Abmit derwird
Ausbreitungsgeschwindigkeit
c (da die Gleichung
in r und
t ist,cos(!t)
löst auch
die
schnitt
sich zeigen, dass nach Abseparation
der Zeit linear
mit p(r,t)
= p(r)
zeitunabhängige
Differentialgleichung
den Druck
die gleiche
annimmt
wie dieEine
zeidie Superpositition
mehrerer Wellen, für
wodurch
stehende
WellenForm
ermöglicht
werden).
tunabhängie
Schrödingergleichung
ein quantenmechanisches
das inzweier
einem
stehende Welle
mit Druckverteilung pfürwird
beschrieben durch dieTeilchen,
Überlagerung
Kasten eingesperrt ist. Letztere wollen wir im folgenden Abschnitt genauer betrachten.
gegenläufiger Wellen gleicher Kreisfrequenz ! und Amplitude A, die 2. (reflektierte)
Abbildung 5.9.2 zeigt ein Spektrum des Rohrresonators. Darin erkennt man, dass die
mit dem Mikrofon gemessene Druckamplitude (in beliebigen Einheiten = arbitrary units
= a. u.) bei bestimmten Frequenzen Maxima hat, welche einer Resonanz entsprechen.
Jedem Maximum kann also ein n zugeordnet werden, dass die Resonanz charakterisiert.
4
Die verschiedenen Frequenzen können entweder
mit dem Sinusgenerator oder mit der
Soundkarte des PCs auf den Lautsprecher gegeben werden.
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Rohrresonator & Potentialtopf
Welle ist aufgrund der Reflexion um ' phasenverschoben:
p(t, x) = p1 + p2
= A · (cos(!t + kx) + cos(!t kx + '))
⇣
⇣
'⌘
'⌘
= 2A · cos kx
· cos !t +
2
2
(3)
Sowohl p1 und p2 als auch p lösen Gl. (2), wobei man letztere Lösung als stehende Welle
identifiziert, bei der Ort und Zeit voneinander getrennt sind, was die Ausbildung von
Schwingungsbäuchen und -knoten ermöglicht. Für k muss hierbei gelten, wobei ⌫ die
Frequenz der Welle ist:
k=
2⇡ c
!
2⇡⌫
2⇡ (1) ⇡
=
=
=
=n
c
c
c
L
(4)
Es folgt die Dispersionsrelation zwischen den quantisierten Wellenzahlen kn und den
zugehörigen Frequenzen ⌫n :
c
c
⌫n =
kn = n
(5)
2⇡
2L
Für den Abstand zweier benachbarter Resonanzfrequenzen gilt:
⌫ = ⌫n+1
⌫n =
c
2L
(6)
2.1.2 Teilchen im Potentialtopf
Das quantenmechanische Analogon zur stehenden Schalwelle in einem Rohr ist ein Teilchen in einem zeitlich konstanten Kastenpotential V (r). Das Teilchen genügt der Schrödingergleichung
✓
◆
@
~2
i~
(r, t) =
4 + V (r)
(r, t),
(7)
@t
2m
wobei die Teilchenwellenfunktion und m die Teilchenmasse ist. V wird als eindimensional mit der Länge L angenommen, weiterhin seien die Potentialwände unendlich hoch.
Es gilt also:
8
<0, x 2 (0, L)
V (x) =
:1, sonst
Folglich ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens außerhalb des Kastens 0 (das
Teilchen kann die Potentialwände nicht überwinden, analog dazu können die Schallwellen
5
2 Physikalische Grundlagen
2.1 Rohrresonator & Potentialtopf
das Rohr nicht verlassen). Damit reduziert sich Gl. (7) zu:
i~
@
(x, t) =
@t
~2
4 (x, t)
2m
Diese Gleichung stellt die Analogie zum vorangehenden Abschnitt her, vgl. Gl. (2). Durch
den Separationsansatz (x, t) = (x) · ei!t erhält man die zeitunabhängige Schrödingergleichung
~2
E (x) =
4 (x)
(8)
2m
mit der Teilchenenergie E. Diese Gleichung wird gelöst durch stehende Wellen der Form
(x) = A sin(kx + ')
mit den Randbedingungen (0) = (L) = 0, woraus ' = 0 und k = n⇡/L, n 2 N, folgt.
Es gilt also:
⇣ n⇡ ⌘
(x)
=
A
sin
x
624
5. Versuche
zur Atom- und Quantenphysik
L
p
´L
Die Normierungsbedingung 0 | (x)|2 dx = 1 liefert A = 2/L, es ergeben sich also
Estehende
bezeichnet
dabeiwelche
die Energie des Teilchens. Stehende Wellen entsprechen einer zeitunWellen,
abhängigen Lösung von Gleichung 5.9.4,rda einfallende
⇣ n⇡ ⌘ und reflektierte Welle in Phase
2
sind. Gleichung 5.9.5 wird durch ebene
(x) =Wellensinder Form
x
L
L
erfüllen. Setzt man dies in Gl. (8) ein, erhält man für die möglichen Teilchenenergien:
(x) = A sin(kx + )
(5.9.6)
~2 ⇡ 2unendlich
gelöst. Am Rand des Kastens, wo dasEPotential
hoch ist, muss die Wellenfunkn2
n =
tion Null sein. Diese Randbedingungen (x 2mL
= 0) 2= 0 und (x = L) = 0 sind erfüllt, wenn
die Phasenverschiebung = 0 und der Wellenvektor k = n⇡/L sind, wobei n eine ganze
Nachfolgende Abb. verdeutlicht die stehende Welle im Potentialtopf.
Zahl ist.
Abbildung
Lösungen
der Schrödingergleichung
für einen Potentialtopf
mit unAbbildung5.9.3:
3: Stehende
Teilchenwelle
als Lösung der Schrödingergleichung
im Potentialtopf
endlichen hohen
mitWänden
unendlich hohen Wänden. Die grüne Welle entsrpicht n = 1, die rote n = 2
(1. Oberschwingung). Entnommen aus [4].
Abbildung
5.9.3 zeigt
die Wellenfunktion
(x) für die Grundschwingung
mit2,ndort
= 1sind
und
Die Verteilung
der Bäuche
und Knoten unterscheidet
sich von der in Abb.
=
2L
(grün)
sowie
für
die
erste
Oberschwingung
mit
n
=
2
und
=
L
(rot).
Die
B
B
Wellenfunktion unterscheidet sich von den Amplituden der Druckverteilung in Abbildung
5.9.1 lediglich durch die Position der Knoten und Bäuche.
6
Vergleich von Schallwellen mit einem quantenmechanischen Teilchen im Kastenpotential
Im klassischen Fall von Schallwellen bildet sich im Rohr eine stationäre Druckverteilung aus. Im Fall des quantenmechanischen Teilchens handelt es sich um eine stationäre
Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Randbedingungen unterscheiden sich: Während bei der
2 Physikalische Grundlagen
2.2 Quantenzahlen
an den Rändern Druckbäuche, während sich im Potentialtopf an den Rändern Knoten
befinden. Dies hat jedoch keinen Einfluss auf die möglichen Wellenlängen im Rohr bzw.
Topf, in beiden Fällen muss k ein ganzzahliges Vielfaches von ⇡/L sein.
2.1.3 Kombination mehrerer Rohre
Koppelt man mehrere Rohrresonatoren durch Irisblenden aneinander, treten pro bereits
vorhandener Resonanzfrequenz zusätzliche Resonanzfrequenzen auf. Deren Anzahl ist
gleich der Anzahl der zusätzlich angekoppelten Rohre. Werden zwei Rohre zusammengekoppelt, tritt in der Nähe jeder ursprünglichen Resonanzfrequenz eine weitere auf, bei
drei Rohren treten zwei weitere Resonanzfrequenzen pro bereits vorhanderer Resonanz
auf usw. Die Resonanzfrequenzen liegen folglich bei steigender Anzahl an angekoppelten Rohren immer dichter beieinander, es entsteht ein Band von Resonanzen. Da nicht
unendlich viele Resonanzfrequenzen vorhanden sind (dies wäre nur für unendlich viele
Rohre, also L ! 1 der Fall, dann würde in Gl. (6) ⌫ ! 0 resultieren), weist das Band
Lücken auf.
Als quantenmechanisches System, welches dadurch modelliert wird, kann man ein eindimensionales Kristallgitter betrachten. Es liegt eine periodische Anordnung von Potentialtöpfen vor und für die Elektronenenergie ergibt sich ebenfalls eine Bandstruktur mit
Lücken.
2.2 Quantenzahlen
Die Quantenzahlen beschreiben das Wasserstoffatom. Folgende Quantenzahlen sind in
diesem Versuch wichtig:
1. Die Hauptquantenzahl n 2 N gibt die Energie des Elektrons im elektrischen Feld
des Atomkerns an. Unterschiedliche Hauptquantenzahlen entsprechen unterschiedlichen Schalen, n = 1 enstpricht der K -Schale, n = 2 der L-Schale usw. Je höher
n, desto höher der mittlere Abstand des Elektrons vom Atomkern und desto höher
die potentielle Energie im Coulomb-Potential des Kerns. Beim Wasserstoffatom
entsprechen alle Zustände mit gleichem n ungefähr der gleichen Energie.
2. Die Drehimpulsquantenzahl l 2 N0 (eine Nebenquantenzahl ) hängt mit dem Betrag
des Bahndrehimpulses des Elektrons zusammen und beschreibt die möglichen Or-
7
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül
bitale, auf denen sich das Elektron aufhalten kann. l = 0 enstpricht dem s-Orbital,
l = 1 dem p-Orbital usw. Es gilt hierbei für ein festes n die Einschränkung l  n 1,
zu jedem n gibt es folglich n weitere Unterzustände, deren Energien ungefähr gleich
sind (man sagt, die Energieniveaus der Hauptquantenzahlen seien n-fach entartet).
3. Die magnetische Quantenzahl m 2 Z (ebenfalls eine Nebenquantenzahl) gibt die
z-Komponente des Bahndrehimpulses des Elektrons an. Es gilt hierbei die Einschränkung l  m  l, zu jedem l sind folglich 2l + 1 Werte für m möglich. Die
Energien sind für ein festes l bei den unterschiedlichen m gleich, die Orbitale sind
also entartet, dies kann aber durch Anlegen eines externen Magnetfeldes geändert
werden, s. Abschnitt 2.3.2. Bei Mehrlektronensystemen können nur Elektronen mit
unterschiedlichem m das gleiche Orbital besetzen.
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül
2.3.1 Der Kugelresonator
Der Kugelresonator besteht aus einer metallenen Hohlkugel mit festem Radius. Wie auch
beim Rohrresonator können sich bei speziellen Anregungsfrequenzen stehende Wellen
ausbilden. Es gilt weiterhin Gl. (2). Mit dem Separationsansatz p(r, t) = p(r) · cos(!t)
ergibt sich:
!2
p(r) = 4p(r)
c2
Aufgrund der Kugelsymmetrie des Problems empfiehlt sich der Übergang zu Kugelkoordinaten, wodurch man die Differentialgleichung
1 @
r2 @r
✓
@
r
p
@r
2
◆
1
@
2
r sin # @#
✓
@
sin # p
@#
◆
1
@2
!2
p= 2p
c
r2 sin2 # @'2
mit p = p(r, #, ') erhält. Diese Gleichung lässt sich durch den Ansatz
p(r, #, ') = Ylm (#, ') · f (r) separieren in einen winkel- und einen radiusabhängigen Teil.
Da der radiale Anteil im Experiment nicht gemessen werden kann, wird er nicht weiter
diskutiert. Für den winkelabhängigen Anteil erhält man:

1 @
sin # @#
✓
@
sin #
@#
◆
+
1 @2
Y m (#, ') = l(l + 1)Ylm (#, ')
sin2 # @'2 l
8
(9)
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül
Ylm heißt Kugelflächenfunktion. Wegen l 2 N0 gibt es mehrere Lösungen, die gegeben
sind durch
s
(2l + 1)(l m)!
Ylm (#, ') =
· Plm (cos #) · eim' .
(10)
4⇡(l + m)!
Die Plm nennt man zugeordnete Legendre-Polynome, sie können explizit über die Formel
( 1)m
dl+m 2
m
2 m
2
Pl (x) =
(1 x )
(x
1)l
(11)
l
l+m
2 l!
dx
mit x = cos # berechnet werden. Es gilt hierbei: l  m  l. Tab. 1 zeigt einige einfache
Beispiele.
m = ±1
m=0
l=0
P00 (cos #) = 1
l=1
P10 (cos #) = cos #
l=2
P20 (cos #) = 12 (3 cos2 #
m = ±2
P1±1 (cos #) = ⌥ sin #
1)
P2±1 (cos #) = ⌥3 cos # sin #
P2±2 (cos #) = 3 sin2 #
Tabelle 1: Legendre-Polynome bis l = 2 aus [4]
Die daraus berechneten Kugelflächenfunktionen sind betragsmäßig in Abb. 4 dargestellt.
9
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül
5.9 Quantenmodelle
627
m = ±1
m=0
m = ±2
m = ±3
l=0
l=1
l=2
l=3
Tabelle 5.9.2: Betrag der Kugelflächenfunktionen |Y m ( ,')| bis zu l = 3.
Abbildung 4: Beträge der aus Gl. (10) und (11) berechnete lKugelflächenfunktionen bis l = 3.
Es gilt: |Y m | = |Y
m
| für ein bestimmtes |m|. Entnommen aus [4].
l
l vom Radius r abhängt, heißt Radialgleichung und lautet
Der zweite Teil, der
nur noch
Zu jedem l gehören zwar @2l2 f+
sind!2jedoch entartet, sie haben alle
(r)1 m-Zustände,
2 @f (r) l(l +diese
1)
(5.9.13)
+
f
(r)
= 2 f (r).
@r2im Frequenzspektrum
r @r
r
die gleiche Energie und treten
beic der gleichen Frequenz auf.
Die Lösungen der Radialgleichung sind die Besselfunktionen mit halbzahligem Index.
Sie soll hier nicht explizit gelöst werden, da sie im Experiment keine Rolle spielt. Eine
detaillierte Lösung der Helmholtzgleichung findet sich in [Ehl07].
Symmetriebrechung durch Zwischenringe Wird der Kugelresonator leicht verlängert, indem
zwischen die
Metallhalbkugeln
Zwischenringen einsetzt, findet
Der man
Kugelresonator
mit beiden
Zwischenringen
– Symmetriebrechung
m
eine Brechung
Die z.YB.
sind
jetzt keine
Lösungen
Hebt mander
die Kugelsymmetrie
Kugelsymmetrie auf, statt.
indem man
im Versuch
Ringe exakten
zwischen die
l wie
beiden Halbkugeln legt und die Kugel damit vertikal leicht in die Länge zieht, dann wird
mehr, gelten aber noch in guter Näherung. Das System erhält eine neue, vertikale Symdie Entartung der einzelnen m-Unterzustände aufgehoben. Dies bedeutet, dass die vermetrieachse,
an der
sich die Kugelflächenfunktionen
ausrichten.
sind die durch
schiedenen
Kugelflächenfunktionen
zu einem l nicht mehr
die gleiche,Weiterhin
sondern geringfügig
unterschiedliche Energie haben. Im Spektrum erscheinen sie dann nicht mehr bei der gleim charakterisierten
Unterzustände zu einem festen l nicht mehr komplett entartet. Lechen Frequenz, sondern als Gruppe von l + 1 Peaks.
Eigentlich
solltenbestimmten
2l + 1 Peaks auftreten,
weil es zu jedem
l insgesamt 2l +bleiben
1 verschiedene
diglich die
zu einem
|m| gehörenden
Unterzustände
entartet. Im
Frequenzspektrum erscheint folglich zu jedem l eine Gruppe von l + 1 Resonanzfrequenzen als Peaks.
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 3. Mai 2012 um 9:41 Uhr
10
2 Physikalische Grundlagen
2.3 Kugelresonator & Wasserstoffatom/-molekül
2.3.2 Zusammenhang mit dem Wasserstoffatom
Das Wasserstoffatom ist das dem Kugelresonator entsprechende quantenmechanische
System. Das Elektron im Coulomb-Potential V des Kerns wird beschrieben durch die
Schrödingergleichung
E (r) =
~2
4 (r) + V (r) (r)
2m
mit V (r) = e2 /(4⇡"0 r). Geht man wieder zu Kugelkoordinaten über, ist erneut eine
Aufspaltung in einen winkel- und einen radiusabhängingen Teil möglich (letzterer wird
nicht weiter behandelt, s.o. Die Radialteile unterscheiden sich außerdem im akkustischen
und im quantenmechanischen Fall, da sie vom vorhandenen Potential abhängen). Für den
winkelabhängingen Anteil ergibt sich exakt Gl. (9), dementsprechend sind die Lösungen
mit den Kugelflächenfunktionen aus vorangehendem Abschnitt identisch. Es ergibt also
im akkustischen wie auch im quantenmechanischen Fall die gleiche Winkelabhängigkeit.
Die Zahlen l und m der Kugelflächenfunktion Ylm entsprechen im quantenmechanischen
Fall den Nebenquantenzahl aus Abschnitt 2.2 (die Hauptenquantenzahl würde in der
Lösung des Radialteils auftreten).
Auch die Symmetriebrechung durch Ringe beim Kugelresonator hat ein quantenmechanisches Pendant, den Zeeman-Effekt. Dieser beschreibt die Aufhebung der (2l + 1)Entartung der Orbitale durch Anlegen eines externen Magnetfeldes. Es ist allerdings zu
beachten, dass beim Zeeman-Effekt die Entartung vollständig verschwindet, während
durch die Ringe immer noch eine Restentartung bleibt (siehe oben).
2.3.3 Simulation des Wasserstoffmoleküls mit dem Doppelkugelresonator
Der Doppelkugelresonator besteht aus zwei durch eine Irisblende verbundenen Kugelresonatoren. Er ermöglicht uns die Modellierung des einfach ionisierten Wasserstoffsmoleküls
H+
2 . Grundsätzlich entsteht ein Wasserstoffmolekül, wenn sich zwei Wasserstoffatome
räumlich annähern und es zu einer Überlappung der einzelnen Atomorbitale kommt.
Dabei können sich die zugehörigen Wellenfunktion entweder ohne Phasenverschiebung
überlagern (gleiches Vorzeichen), oder sie schwingen gegenphasig (unterschiedliche Vorzeichen). Im ersten Fall erhalten die neu entstandenen Molekülorbitale einen Index g für
gerade, ansonten u für ungerade. Weiterhin werden griechische Buchstaben zur Bezeichnung der Molekülorbitale verwendet, welche sich aus den ursprünglichen magnetischen
Quantenzahlen der Atomorbitale ergeben. Das -Orbital entspricht m = 0, das ⇡-Orbital
11
mal mit gleichem Vorzeichen (Phasenverschiebung von 0 ) und einmal mit verschiedenem
). Anhängig
vom
werden die neu
Vorzeichen
(Phasenverschiebung
von 180
mit bezeichnet
wird, m = 1 führt
zu einem
⇡-Orbital.
EsVorzeichen
wird eine Hauptquantenzahl
entstehenden
Molekülorbitale
mit Symmetrie
einem Indexaber
versehen.
Bei positivem
Vorzeichen
wird
2 Physikalische
Grundlagen
2.3 Kugelresonator
& Wasserstoffatom/-molekül
eingeführt,
um
Orbitale
gleicher
unterschiedlicher
Energie
zu unterscheig den.
für gerade“
verwendet,
bei
negativem
Vorzeichen
u
für
ungerade“.
”Das Orbital 1 g wurde also aus zwei 1s Orbitalen durch
” Überlagerung mit positivem
Vorzeichen gebildet. 1 g und 1s können im (Doppel)Kugelresonator nicht beobachtet werm =weil
1. Die
nachfolgenden
Abb.einheitlichen
zeigen verschiedene
den,
dieser
Zustand einem
Druck imMolekülkonfigurationen.
Resonator entspricht und die Luft
deshalb nicht schwingen kann (Resonanzfrequenz bei 0 Hz). Durch das Verwenden eines
Doppenkugelresonators kann aber 1 u sichtbar gemacht werden.
Energie E
1
u
1s
1s
1
g
Abbildung 5.10.2: Energieniveaus der 1 -Molekülorbitale relativ zu den 1s-Atomorbitalen
(qualitativ).
(a) 1s
(b) 1
g
bindend
(c) 1s
(d) 1
u
antibindend
Abbildung
5.10.1:
Atomare sind
1s-Orbitale
zweier
Atome mit
großem In
Abstand
Abbildung
5: Dargestellt
in (a) und
(c) atomare
1s-Orbitale.
(b) undund
(d) zugehöriüberlagern
Abbildung 5.10.2 zeigt qualitativ die Lage der Energieniveaus der 1 -Molekülorbitale des
sich
diese
Orbitale
zu
1
-Molekülorbitalen.
Die
Farben
zeigen
die
Vorzeichen
ge 1 -Molekülorbitale, die aus einer Überlagerung der atomaren 1s-Orbitale berechnet
Wasserstoffmoleküls relativ zu den 1s-Atomorbitalen des Wasserstoffatoms. Hat ein Modersteht
verschiedenen
Wellenfunktionen,
rot stehtblau
für „+“,
blau für(Abbildungen
„ “, links liegt
wurden. Die Farbe
für das Vorzeichen:
rot = positiv,
= negativ.
lekülorbital wiealso
beispielsweise
1 g eine hohevor,
Wahrscheinlichkeit,
eingerade
Elektron
zwischen
keine
Phasenverschiebung
rechts
beträgt
diese
⇡. Die
Bezeientnommen [Mat09].)
den beiden Atomkernen
zu
finden,
ist
der
Zustand
bindend.
Ist
die
Aufenthaltswahrchung „(anti-)bindend“ bedeutet, dass die Aufenthaltswahrscheinlichekeit eines
scheinlichkeit der
Elektronen
hingegen
gering/null,
derniedrig
Zustand
wie [5].
im
Elektrons
zwischen
den Atomkernen
hochistbzw.
ist. antibindend
Entnommen aus
Abbildung
5.10.1
illustriert
das
Entstehen
von
Molekülorbitalen.
Die
neuen
Orbitale
werFall von 1 u .
den mit einem griechischen Buchstaben benannt, der sich aus der magnetischen Quantenzahl m der ursprünglichen Atomorbitale ableitet. m = 0 bedeutet, dass das neue Orbital
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 3. Mai 2012 um 9:41 Uhr
(a) 2pz (m = 0)
(b) 2
g
bindend
(c) 2pz (m = 0)
(d) 2
u
antibindend
Abbildung
Atomare 2pz Kombinationsmöglichkeiten
-Orbitale zweier Atome mitbei
großem
Abstand
und zugehöriAbbildung5.10.3:
6: Unterschiedliche
atomaren
2pz -Orbitalen.
Entnommen aus
[5].
ge 2 -Molekülorbitale.
(Abbildungen
entnommen [Mat09].)
Die Abbildungen 5.10.3 und 5.10.4 zeigen die Molekülorbitale, die aus 2pz (m = 0), bzw.
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 3. Mai 2012 um 9:41 Uhr
12
2px und 2py (m
= Quantenmodelle
±1) entstehen. Auch
hier2 finden sich wieder bindende und antibinden5.10
— Teil
639
de Orbitale. Abbildung 5.10.5 zeigt qualitativ die Lage der Energieniveaus der 2 - und
1⇡-Molekülorbitale des Wasserstoffmoleküls relativ zu den 2p-Atomorbitalen des Wasser2pxdiese
und
2py (m =liegen
±1) entstehen.
wieder bindende und antibinden
2stoffatoms.
Physikalische
Grundlagen
2.3hier
Kugelresonator
& Wasserstoffatom/-molekül
Alle
Orbitale
energetischAuch
höher
alsfinden
die 1 sich
-Molekülorbitale.
de Orbitale. Abbildung 5.10.5 zeigt qualitativ die Lage der Energieniveaus der 2 - und
1⇡-Molekülorbitale des Wasserstoffmoleküls relativ zu den 2p-Atomorbitalen des Wasser
stoffatoms. Alle diese Orbitale liegen energetisch höher als die 1 -Molekülorbitale.
638
5. Versuche zur Atom- und Quantenphysik
(a) 2py (m ± 1)
(c) 2py (m ± 1)
(b) 1⇡g antibindend
(d) 1⇡u bindend
1s
u
2p
1s
1
g
1
u
2
g
2p
Energie E
Energie E
1
Energie E
mit bezeichnet wird, m = 1 führt zu einem ⇡-Orbital. Es wird eine Hauptquantenzahl
eingeführt, um Orbitale
gleicher
Symmetrie
aber
unterschiedlicher
Energie
zu unterscheiAbbildung
5.10.4:
Atomare 2p
zweier Atome
mit
großem
Abstand
und zugehöriAbbildung
7:
Unterschiedliche
Kombinationsmöglichkeiten
bei atomaren
2py -Orbitalen
(gleich
y -Orbitale
zwei
1s
Orbitalen
durch
Überlagerung
mit
positivem
den. Das Orbitalge1 1⇡-Molekülorbitale.
für aus
2p
-Orbitale).
Entnommen
aus
[5].
g wurde also
(Abbildungen
entnommen
[Mat09].)
x
(a) 2py (m ± 1)
(b) 1⇡g antibindend
(c) 2py (m ± 1)
(d) 1⇡u bindend
Vorzeichen gebildet. 1 g und 1s können im (Doppel)Kugelresonator nicht beobachtet wer5.10.4:
Atomare
2py -Orbitale
zweier und
Atome
großem Abstand und zugehöri
den, weil dieser Zustand einemAbbildung
einheitlichen
Druck
im Resonator
entspricht
diemit
Luft
Die unterschiedlichen
Energien der
atomaren
Orbitale
sowie der
resultierenden
Mole1⇡-Molekülorbitale.
entnommen
[Mat09].)
deshalb nicht schwingen
kannge(Resonanzfrequenz
bei(Abbildungen
0 Hz). Durch
das
Verwenden
eines
2 u
külorbitale
zeigt
Abb.
Doppenkugelresonators
kann
aber
1 u8.sichtbar gemacht werden.
2p
2
u
1
g
2p
1
u
Abbildung 5.10.5: Energieniveaus der 2 -Molekülorbitale und
1⇡-Molekülorbitale relativ
1 g
2 g
zu den 2p-Atomorbitalen (qualitativ).
Abbildung 5.10.2:
Energieniveaus
der 1 -Molekülorbitale
relativ der
zu
1s-Atomorbitalen
Abbildung
5.10.5: Energieniveaus
2einzelnen
-Molekülorbitale
und 1⇡-Molekülorbitale
relativ
Abbildung
8: Qualitative
Darstellung
der Energien
derden
Orbitale sowie
der entstequalitativ).
zu
den
2p-Atomorbitalen
(qualitativ).
henden Molekülorbitale. Entnommen aus [5].
Der Rohrresonator mit Iris(blenden)
Abbildung 5.10.2Die
zeigt
qualitativ die Lage der Energieniveaus der 1 -Molekülorbitale des
Dispersionsrelation
Wasserstoffmoleküls relativ zuDer
den Rohrresonator
1s-Atomorbitalenmit
desIris(blenden)
Wasserstoffatoms. Hat ein MoBereits
vom
ersten
Versuchstag
ist
bekannt,
dass die
ekülorbital wie beispielsweise 1 g eine hohe Wahrscheinlichkeit,
ein Resonanzfrequenzen
Elektron zwischen fn im Rohrresonator ohne
Zwischenringe
Die
Dispersionsrelation
den beiden Atomkernen
zu finden,
ist der über
Zustand bindend. Ist die Aufenthaltswahrcheinlichkeit der Elektronen Bereits
hingegen
gering/null,
ist
antibindend
im
c der Zustand
vom
ersten
Versuchstag
ist
bekannt,
dass diewie
Resonanzfrequenzen
fn im Rohrre
f
n
=
1,
2,
.
.
.
,
1
n = n
Fall von 1 u .
2L
sonator ohne Zwischenringe über
fn = n
c
2L
n = 1, 2, . . . , 1
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion: kompiliert am 3. Mai 2012 um 9:41 Uhr
Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz — zum internen Gebrauch bestimmt
Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge?
Dieser Abschnitt: Revision: 129 , Date: 2012-04-20 17:15:28 +0200 (Fr, 20 Apr 2012)
Gesamtversion:
kompiliert am 3. Mai 2012 um 9:41 Uhr
13
(a) 2pz (m = 0)
(b) 2
g
bindend
(c) 2pz (m = 0)
(d) 2
u
antibindend
3 Versuchsdurchführung
3 Versuchsdurchführung
3.1 Aufbau
Der Versuch bestand aus einem kompakten TeachSpin Quantum-Analogs-Controller,
einer Metallschiene mit einsetztbaren Rohrresonatoren sowie einem doppelten TeachSpin Kugelresonator. Die Stellung von Mikrophon und Lautsprecher ließ sich beim Kugelresonator um den Winkel ↵ verdrehen. Die Bestandteile sind in Abbildung 9 dargestellt. Als Signalquelle ließ sich wahlweise ein Sinusgenerator oder ein PC anschließen.
Zwischen die Rohrresonatoren und die beiden Kugelresonatoren ließen sich zudem verschiedene Irisblenden einbauen. Zur Messung stand ein Mehrkanal-Oszilloskop bereit.
In den meisten Versuchsteilen wurden die Signale jedoch mit dem PC erzeugt und auch
analysiert. Hierzu verwendeten wir das Programm SpectrumSLC. Ein schematischer Versuchsaufbau ist in Abbildung 10 zu finden.
ä
Abbildung 9: Die verwendeten Versuchskomponenten der Firma TeachSpin. Entnommen aus
[1], selbstständig verändert.
14
3 Versuchsdurchführung
3.2 Ablauf

  
 
 
  

      

















 








  










  









 
Abbildung 10: Schmatische Darstellung des Versuchsaufbaus. Entnommen aus [4].
3.2 Ablauf
Der Versuch lässt sich allgemein in fünf grobe Abschnitte unterteilen, denen zumeist ein
leicht veränderter Aufbau zu Grunde liegt.
Vorversuch: Transferfunktion
Bevor wir mit den eigentlichen Messungen begonnen haben, widmeten wir uns zunächste
der Transferfunktion. Diese beschreibt den empirischen Befund, dass bei verschiedenen
Frequenzen das Ausgangssignal am Mikrophon nicht konstant ist. Um diesen Zusammenhang zu untersuchen, brachten wir Mikrophon und Lautsprecher in geringen Abstand
zueinander in Stellung und vermaßen das Spektrum.
15
3 Versuchsdurchführung
3.2 Ablauf
3.2.1 Rohrresonator
In diesem ersten Versuchsteil verwendeten wir einen Rohrresonator der Länge
L = 600 mm. Das Signal wurde zunächst mit dem Sinusgenerator erzeugt und mittels Oszilloskop aufgenommen. Durch Veränderung der Sinusfrequenz bestimmten wir
so die ersten zehn Resonanzfrequenzen des Systems. Daraufhin wechselten wir zum PC
als Signal- und Aufnahmegerät und nahmen ein Spektrum auf, welches die ersten zehn
Resonanzfrequenzen beinhaltete.
3.2.2 Kugelresonator ohne Zwischenring
In diesem Abschnitt tauschten wir den Kugelresonator mit dem Rohrresonator. Dieser
wurde mit dem PC verbunden. Wir nahmen daraufhin für vier verschiedene Winkel ↵
jeweils ein Spektrum von 100 10000 Hz auf. Dabei lagen Lautsprecher und Mikrophon
unter ↵ = 180 ° exakt gegenüber. Anschließend bestimmten wir die Polarschnitte von
drei verschiedenen Resonanzfrequenzen. Da die Polarschnitt bei direkter Messung des
Peaks recht unförmig wurden, maßen wir auf einer der beiden Flanken.
3.2.3 Kugelresonator mit Zwischenring
Für diesen Versuchsteil erweiterten wir unseren Kugelresonator um einen Zwischenring
mit einer Dicke von 9 mm. Wir maßen zuerst ein Spektrum im Bereich von 1200 bis
7000 Hz mit hoher Frequenzauflösung. Danach untersuchten wir erneut zwei Resonanzen bei 2100 und 2300 Hz, indem wir die Polarschnitte aufzeichneten. Zum Abschluss
betrachteten wir noch die Abhängigkeit der Resonanzen bei ↵ = 180 ° in Bezug auf die
Dicke des Zwischenrings. Hier nahmen wir 4 verschiedene Spektren auf.
3.2.4 Rohrresonator mit Irisblenden
In diesem Versuchsabschnitt verwendeten wir erneut den Rohrresonator sowie einzelne Irisblenden, welche sich zwischen die Rohrresonatorsegmente einbauen ließen. Zuerst
nahmen wir ein Spekrum für ein Rohrsegment der Länge 75 mm auf. Daraufhin erweiterten wir den Aufbau um eine Irisblende (Durchmesser 10 mm) und ein weiteres Rohrstück
16
4 Auswertung
und maßen erneut das Spektrum. Dies wiederholten wir auch noch mit einem dritten
Rohrstück.
Als nächstes bauten wir ein Rohr maximaler Länge zusammmen, wobei die Segmente
je mit einer Blende getrennt wurden. Für verschiedene Blendengrößen (10 mm, 13 mm,
16 mm) vermaßen wir das Spektrum. Zum Abschluss wechselten wir noch zu den kleineren Rohrsegmenten (50 mm), wobei wir das Rohr mit den 16 mm-Blenden bestückten.
3.2.5 Doppelkugelresonator
Diesem letzten Versuchsteil lag ein doppelter Kugelresonator zugrunde, welcher modellhaft für das einfach ionisierte Wasserstoffmolekül steht. Auch hier ließ sich als Bindeglied
eine Irisblende zwischen die beiden Kugeln einbauen. Zunächst vermaßen die Spektren
für alle vier vorhandenen Irisblenden und ↵ = 180 °.
Als nächstes bestimmten wir mittels Oszilloskop die Phasenverschiebung zwischen Lautsprechersignal und Mikrophonsignal, dabei wurde das Mikrophon einmal in der oberen
Kugel und einmal in der unteren Kugel positioniert.
Zuletzt nahmen wir noch einmal ein Spektrum für den einfachen Kugelresonator auf
(ebenfalls für ↵ = 180 °), um dieses dann mit dem entsprechenden Doppelkugelresonator vergleichen zu können. Hierbei verwendeten wir die Irisblende mit dem größten
Durchmesser. Zudem maßen wir das Spektrum des doppelten Kugelkondensators mit
↵ = 0 °.
4 Auswertung
Um diesen Versuch auszuwerten, werden wir uns nacheinander den verschiedenen Versuchsteilen widmen, die Ergebnisse in aufbereiteter Form darstellen und interpretieren.
17
4 Auswertung
4.1 Rohrresonator
4.1 Rohrresonator
In diesem Abschnitt möchten wir die Schallgeschwindigkeit im Rohrresonator bestimmen. Hierzu tragen wir die ermittelten Resonanzfrequenzen ⌫R über ihre jeweilige Ornung n auf (Abbildung 11). Die einzelnen Werte sind dem Messprotokoll zu entnehmen,
den Fehler haben wir jeweils auf ±20 Hz abgeschätzt. Der lineare Zusammenhang ist klar
erkennbar, weswegen wir eine lineare Regression nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate durchführen. Wir bestimmen also die Konstanten (Steigung und y-Achsenabschnitt)
der folgenden Gleichung:
y = Ax + B.
Mit dem Programm QtiPlot erhalten wir:
A = 292, 75 ± 1, 97 Hz,
B = 20, 66 ± 12, 24 Hz.
Abbildung 11: Die mittels Oszilloskop bestimmten Resonanzfrequenzen mit linearem Fit. Erstellt mit QtiPlot.
Da die Länge des Rohres jeweils ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenläge
darstellen muss, sind wir in der Lage, durch Umstellen von Gl. (1) die Schallgeschwin-
18
4 Auswertung
4.1 Rohrresonator
digkeit im Rohr zu berechnen. Da die Steigung A gerade dem Quotienten ⌫/n entspricht,
erhalten wir (der Index „os“ steht für Oszilloskop):
cos = 2L
⌫
= 2L · A.
n
Für den zugehörigen Fehler gilt:
cos =
@cos
@A
A = 2L A.
Für die Schallgeschwindigkeit errechnen wir damit einen Wert von:
cos = 351, 30 ± 2, 36
m
.
s
Nun wollen wir die Schallgeschwindigkeit noch über das mit dem PC aufgenommene
Spektrum bestimmen. Dazu lesen wir die Resonanzfrequenzen aus Schaubild 12 ab.
Diese sind in Tabelle 2 aufgelistet.
Abbildung 12: Das aufgenommene Spektrum des Rohrresonators im Bereich 0
19
3200 Hz.
4 Auswertung
4.1 Rohrresonator
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
⌫R [Hz]
306
590
876
1166
1452
1740
2024
2329
2617
2908
Tabelle 2: Die ersten zehn ausgelesenen Resonanzfrequenzen.
Auch diese Resonanzfrequenzen tragen wir in einem Schaubild (Abbildung 13) über
deren Ordnung auf und führen eine lineare Regression durch. Wir erhalten somit:
A = 289, 29 ± 0, 66 Hz,
B = 9, 66 ± 4, 07 Hz.
Die über die Steigung A berechnete Schallgeschwindigkeit cPC ist zusammen mit dem
Literaturwert clit und cos in Tabelle 3 angeführt. Da die Schallgeschwindigkeit in Luft
temperaturabhängig ist und wir die exakte Temperatur am Versuchstag nicht gemessen
haben, verwenden wir den Literaturwert für 25 °C aus [2].
Abbildung 13: Die mittels PC bestimmten Resonanzfrequenzen mit linearem Fit. Erstellt mit
QtiPlot.
20
4 Auswertung
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
Oszilloskop
PC
Literatur
c [m/s] c [m/s]
351,30 2,36
347,15 0,79
346,39 -
Tabelle 3: Die beiden Berechneten Schallgeschwindigkeiten im Vergleich zum Literaturwert bei
25 Grad Celsius.
Der Vergleich der drei Werte zeigt deutlich, dass der mit dem PC bestimmte Wert eindeutig besser ist. Er ist mit einem geringeren Fehler behaftet und liegt im Tolerenzbereich
zum Literaturwert. Man muss jedoch auch beachten, dass der Literaturwert sicherlich
nicht exakt ist. Da wir keine Temperatur gemessen haben, haben wir die Temperatur
lediglich auf 25 °C geschätzt. Aufgrund der Tatsache, dass unsere beiden gemessenen
Werte über dem Literaturwert liegen, könnte dies ein Indiz für eine zu geringe angenommene Temperatur sein. Der mittels Oszilloskop bestimmte Wert ist mit einem größeren
Fehler behaftet, liegt aber dennoch weiter weg vom Literaturwert. Die Ungenauigkeiten
wurden hier breits während des Versuchs deutlich, da die Resonanzfrequenzen teilweise
nur schwer genau bestimmbar waren.
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
Da unser Kugelresonator kugelsymmetrisch aufgebaut ist, verändern wir durch die Drehung der beiden Kugelhälften um den Winkel ↵ den Polarwinkel #. Eine Auswahl von
Spektren mit unterschiedlichen Drehwinkeln ist in Abbildung 14 dargestellt. Man kann
erkennen, dass die Resonanzfrequenzen gleich bleiben und die Amplitude bei ↵ = 180 °
am größten ist. Dies ist nicht verwunderlich, da wir ein kugelsymmetrisches System
vorliegen haben und sich Mikrophon und Lautsprecher bei ↵ = 180 ° genau gegenüber
liegen.
21
4 Auswertung
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
(a) ↵ = 0 Grad
(b) ↵ = 65 Grad
(c) ↵ = 120 Grad
(d) ↵ = 180 Grad
Abbildung 14: Spektren mit unterschiedlichen Drehwinkeln ↵. Erstellt mit QtiPlot.
Als nächstes betrachten wir die aufgenommenen Polarschnitte. Die untersuchten Resonanzen liegen dabei ungefähr bei ⌫ = 2300 Hz, ⌫ = 3700Hz und ⌫ = 5000 Hz. Mit Hilfe
des Programms PlotYLM lassen sich theoretische Polarschnitte erstellen und mit den
gemessenen vergleichen. Auf diese Weise lassen sich die Nebenquantenzahlen l und m
bestimmen. Zudem können wir mit dem Programm die jeweilige Kugenflächenfunktion
berechnen lassen. Die Ergebnisse sind in Abbildung 15 bis 17 dargeboten.
22
4 Auswertung
(a) gemessener Polarschnitt
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
(b) theoretischer Polarschnitt
(c) Kugelflächenfunktion
Abbildung 15: Polarschnitt für die Resonanzfrequenz ⌫ = 2300 Hz. Durch Vergleich mit der
Theorie erhalten wir l = 1 und m = 0.
(a) gemessener Polarschnitt
(b) theoretischer Polarschnitt
(c) Kugelflächenfunktion
Abbildung 16: Polarschnitt für die Resonanzfrequenz ⌫ = 3800 Hz. Durch Vergleich mit der
Theorie erhalten wir l = 2 und m = 0.
23
4 Auswertung
(a) gemessener Polarschnitt
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
(b) theoretischer Polarschnitt
(c) Kugelflächenfunktion
Abbildung 17: Polarschnitt für die Resonanzfrequenz ⌫ = 5000 Hz. Durch Vergleich mit der
Theorie erhalten wir l = 3 und m = 0.
Da wir nun die Nebenquantenzahlen wissen, können wir auch das passende Legendre-Polynom angeben. Um die gemessenen Werte direkt mit dem Polynom, beziehungsweise einer dem Polynom proportionalen Funktion fitten zu können, normieren wir der
Übersicht wegen unsere Werte auf 1. Die Schaubilder sind in Abbildung 18 dargestellt.
24
4 Auswertung
4.2 Kugelresonator ohne Zwischenringe
(a) ⌫ = 2300 Hz
(b) ⌫ = 3700 Hz
(c) ⌫ = 5000 Hz
Abbildung 18: (a) ist mit einer Funktion proportional zum Betrag von P10 = cos(↵)
gefittet, (b) mit einer Funktion proportional zum Betrag
P20
=
1/2 · (3 cos2 (↵)
1)
und
(c)
mit
ner
Funktion
proportional
zum
Betrag
P30 = 1/2 · (5 cos3 (↵) 3 cos(↵)). Erstellt mit QtiPlot.
von
eivon
Die Charakterisierung der Polarschnitte und die Bestimmung der Nebenquantenzahlen
war jeweils eindeutig lösbar. Die aufgenommenen Polarschnitte weisen zwar einige Kanten auf, welche von den Moden mit m 6= 0 herrühren, dennoch ist der Zusammenhang
zwischen Experiment und Theorie hier deutlich. Die mit den Legendre-Polynomen gefitteten Messwerte zeigen ebenfalls die erwartete qualitative Übereinstimmung, obgleich
die Werte für ⌫ = 5000 Hz doch etwas vom Polynom abweichen.
25
4 Auswertung
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
Durch das Einbauen der beiden Zwischenringe haben wir die Kugelsymmetrie gebrochen. Die Symmetrieachse verschob sich hin zu einer Vertikalen durch den Resonator.
Dadurch wird auch die Entartung der einzelnen l-Zustände teilweise aufgehoben. Der
gemessene Winkel ↵ bezieht sich deswegen in diesem Abschnitt auf den Azimutwinkel
'. Da jetzt Symmetrie zur Vertikalen vorliegt, kann in diesem Aufbau der Polarwinkel
# nicht untersucht bzw. verändert werden.
Das Spektrum ohne Ring und das Spektrum mit dem 9 mm-Ring sind in Abbildung 19
dargestellt.
Abbildung 19: Das aufgenommene Spektrum des Kugelresonators im Bereich von 1200 und
7000 Hz einmal ohne und einmal mit Zwischenring. Erstellt mit QtiPlot.
Betrachten wir die beiden Spektren, so fällt auf, dass die Zugabe des Rings die Resonanzen nach links verschiebt. Zusätzlich wird jeder Peak in mehrere Unterpeaks aufgespalten und die einzelnen Peaks verlieren für größere Frequenzen an Intensität. Nun
werden die drei niedrigsten Resonanzen genauer betrachtet. Bereits im vorigen Versuchsteil haben wir festgestellt, dass der erste Peak der Nebenquantenzahl l = 1 zuzuordnen
ist. Für m kommen nun zwei Möglichkeiten in Betracht: m = 0 oder m = ±1 (in Bezug
auf |m| herrscht immer noch Entartung). Dies lässt sich im Spektrum mit Ring beobachten. Da durch die Symmetriebrechung die Entartung der l-Zustände teilweise aufgehoben
26
4 Auswertung
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
wurde, liegen nun zwei Zustände mit einem geringen Energieunterschied vor. Gleiches
gilt für die folgenden Resonanzen. Jeweils nimmt die Peakanzahl um eins zu. Manchmal
liegen die Peaks jedoch so dicht beieinander, dass lediglich eine Kante auf der Flanke den
Nebenpeak andeutet. Für die zweite Resonanz bzw. Resonanzansammlung gilt demnach
l = 2 und für die dritte l = 3.
Für die ersten beiden Resonanzen im Spektrum mit Ring (2100 und 2300 Hz) haben wir
die Azimutalschnitte aufgenommen und in Abbildung 20 und 21 dargestellt. Der Vergleich mit den theoretischen Schnitten bestätigt uns erneut die angedachten Quantenzahlen. Zur Erstellung der theoretischen Bilder verwendeten wir wieder das Programm
PlotYLM, wobei wir hier lediglich den Realteil betrachten, da der Imaginärteil nicht
messbar ist.
(a) gemessen
(b) theoretisch
Abbildung 20: Der gemessene und theoretischer Azimutalschnitt bei 2100 Hz. Hier gilt l = 1
und m = 0.
27
4 Auswertung
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
(a) gemessen
(b) theoretisch
Abbildung 21: Der gemessene und theoretischer Azimutalschnitt bei 2300 Hz. Hier gilt l = 1
und m = 1.
Die Messwerte, welche den Azimutalschnitten zugrunde liegen, werden nun noch mit
einer Funktion proportional zu |cos(m')| gefittet. Dies verdeutlich den Zusammenhang
p / |Re(Ylm (#, '))|. Da unser Programm jedoch nicht direkt den Winkel ' gespeichert
hat, müssen wir noch folgende Umrechnung (siehe Abschnitt 5, Frage 2) durchführen:
' = arccos(2 cos # + 1).
Zudem normieren wir die Amplituden wieder auf eins. Die so erhaltenden Schaubilder
sind in Abbildung 22 abgebildet. Es zeigt sich erneut eine qualitative Übereinstimmung
mit den theoretisch erwarteten Werten, da sich unsere Messwerte mit der entsprechenden
Funktion relativ gut approximieren lassen (in Schaubild (a) ist die veränderte Amplitudenskala zu beachten).
28
4 Auswertung
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
(a) ⌫ = 2100 Hz
(b) ⌫ = 2300 Hz
Abbildung 22: Die Messwerte der Azimutalschnitte mit Fit. (a) und (b) sind dabei jeweils mit
einer Funkton proportional zum Betrag von cos(m') gefittet worden. Erstellt
mit QtiPlot.
Zum Abschluss dieses Abschnittes betrachten wir noch die aufgenommenen Spektren
mit verschiedenen Zwischenringen. Unser Fokus liegt dabei auf der ersten bzw. den
ersten Resonanzen. Wir wählen daher den Ausschnit 1200 bis 3000 Hz. Diese sind in
Abbildung 23 zusammengestellt. Mit Hilfe des Programms SpectrumSLC lassen sich die
Resonanzpeaks auch fitten und gewährleisten damit ein besseres Auslesen. Auffällig ist,
dass der Abstand der beiden aufgespaltenen Peaks mit der Schichtdicke zunimmt. Der
Abstand der Peaks lässt sich aus den entsprechenden Schaubildern ablesen und über die
Schichtdicke in einem Diagramm auftragen. Dieses ist in Abbildung 24 dargestellt. Die
Werte deuten auf einen linearen Zusammenhang hin, weswegen wir eine lineare Regression durchführen. Da wir die expliziten Daten nicht für weitere Rechnungen benötigen,
verzichten wir in diesem Fall auf deren Angabe.
29
4 Auswertung
4.3 Kugelresonator mit Zwischenring
(a) Dicke 0 mm
(b) Dicke 3 mm
(c) Dicke 6 mm
(d) Dicke 9 mm
Abbildung 23: Spektren mit unterschiedlich dicken Zwischenringen und Fit. Erstellt mit
QtiPlot.
30
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
Abbildung 24: Die ausgelesenen Resonanzfrequenzdifferenzen aufgetragen über der entsprechenden Schichtdicke. Erstellt mit QtiPlot.
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
Zunächst untersuchen wir den Zusammenhang von Resonanzfrequenz ⌫n und Wellenzahl
kn , welche wir mittels Gl. (4) berechnen können. Unter Verwendung von den Daten aus
Tabelle 2 können wir somit den linearen Zusammenhang der beiden Größen bestätigen.
Die Frequenzen aufgetragen über der Wellenzahlen mit linearem Fit sind in Abbildung
25 dargeboten.
31
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
Abbildung 25: Die Resonanzfrequenzen aufgetragen über dem jeweiligen Wellenvektor mit linearer Regression. Erstellt mit QtiPlot.
Als nächstes betrachten wir das Spektrum eines Rohres maximaler Länge. Das Spektrum des Rohres, welches aus den 8 großen Segmenten zusammengesetzt und mit den
16 mm-Irisblenden versehen wurde, ist in Abbildung 26 abgebildet. Hier sehen wir deutlich die erwartete Bandstruktur. Da jedes Segment 75 mm lang ist und die Irisblenden
eine Dicke von 5 mm besitzen, erhalten wir für die Gesamtlänge des Rohrresonators
L = 8 · 0, 075 m + 7 · 0, 005 m = 0, 635 m.
32
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
Abbildung 26: Das aufgenommene Spektrum für die maximale Rohrlänge mit den 8 großen
Segmenten und 16 mm-Blenden dazwischen.
Aus dem Spektrum lassen sich nun wiederum die Resonanzfrequenzen herauslesen und
mit den zugehörigen Wellenzahlen plotten. Wir erhalten so ein Bild der Dispersionsrelation ⌫n (kn ), welche in Abbildung 27 visualisiert ist. Es wird ersichtlich, dass es an den
Stellen der Bandlücken zu Sprüngen kommt, welche die Linearität aufheben. Für größere
Frequenzen werden die jeweiligen Anstiege zudem geringer.
33
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
Abbildung 27: Die Dispersionsrelation für ein Rohr maximaler Länge. Erstellt mit QtiPlot.
Die Veränderung des Spektrums für verschiedene Irisgrößen ist in Abbildung 28 zusammengefasst. Dabei wurde weiterhin das Rohr mit den 8 großen Rohrsegmenten verwendet.
34
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
(a) Durchmesser 10 mm
(b) Durchmesser 13 mm
(c) Durchmesser 16 mm
Abbildung 28: Die Spektren für ein Rohr maximaler Länge mit verschiedenen Irisdurchmessern.
Der Vergleich der Spektren zeigt, dass mit steigendem Irisdurchmesser die Bandlücken
kleiner werden. Auch werden die Peakgruppen in die Breite gezogen, was eine leichtere
Messung der einzelnen Peaks mit sich bringt. Als nächstes untersuchen wir den den
Einfluss der Segmentlänge auf das Spektrum. Dieses ist für die beiden Segmentlängen
mit den 16 mm-Irisblenden in Abbildung 29 aufgeführt.
35
4 Auswertung
4.4 Rohrresonator mit Irisblenden
(a) Segmentlänge 75 mm
(b) Segmentlänge 50 mm
Abbildung 29: Die Spektren für ein Rohr maximaler Länge mit verschiedenen Segmentlängen
und Irisdurchmesser von 16 mm.
Der Vergleich der beiden Spektren zeigt, dass sich mit größeren Segmentlängen auch
die Anzahl der Bänder erhöht. Für kleinere Segmente liegen die einzelnen Bänder weiter
voneinander entfernt. Nun möchten wir schließlich noch den Einfluss der Anzahl der
Rohrstücke betrachten. Hierzu haben wir die Spektren für 1, 2, 3 und 8 große Rohrstücke
aufgenommen (jeweils mit den 10 mm Blenden) und in Abbildung 30 dargestellt.
36
4 Auswertung
4.5 Doppelkugelresonator
(a) 1 Segment
(b) 2 Segmente
(c) 3 Segmente
(d) 8 Segmente
Abbildung 30: Spektren mit einer unterschiedlichen Anzahl an Rohrsegmenten.
Der Vergleich der Spektren macht deutlich, dass die Segmentanzahl direkten Einfluss
auf die Anzahl der Peaks in einem Band hat. Genauer gesagt entspricht die Anzahl der
Segmente exakt der Anzahl an Peaks in einem Band.
4.5 Doppelkugelresonator
Die Spektren für die verschiedenen Irisblenden zwischen den beiden Kugelresonatoren
sind zusammengefasst in Abbildung 31 zu sehen. Die unterschiedlichen Irisblenden be-
37
4 Auswertung
4.5 Doppelkugelresonator
schreiben den Kopplungsgrad der beiden Resonatoren und stehen damit auch für ein
Molekülorbital. Es zeigt sich, dass mit der Zunahme der Irisgröße der Peak nach rechts
wandert und an Intensität zunimmt. Zudem ist eine breite rechte Flanke des zweiten
Peaks von rechts erkennbar, was auf die Transverfunktion hindeutet. Diese hatte wir
bereits im Vorversuch bei ca. 400 Hz lokalisiert.
Abbildung 31: Das aufgenommene Spektrum für verschiedene Irisblenden. Der größte Peak
gehört dabei zur Blende mit dem größten Durchmesser usw.
Um zu entscheiden, ob es sich bei der sichtbaren Resonanz um das bindende oder
antibindende Orbital handelt, betrachten wir die mittels Oszilloskop aufgenommenen
Signalverzögerungen. Aus den aufgenommenen Delay-Werten D für die Konfigurationen
mit Mikrophon im oberen und unteren Resonator lassen sich Phasenverschiebungen
berechnen. Diese erhalten wir mit folgender Formel samt Fehler:
= (Doben + Dunten ) · 2⇡⌫,
= ( Doben + Dunten ) · 2⇡⌫.
Da das Oszilloskop für den Delay-Wert lediglich einen Bereich angegeben hat, in welchem
der wahre Wert liegt, bilden wir jeweils den Mittelwert aus Maximalwert und Minimal-
38
4 Auswertung
4.5 Doppelkugelresonator
wert. Als Fehler verwenden wir die Standardabweichung. Die Ergebnisse für
Tabelle 4 niedergeschrieben.
⌫ [Hz]
445,3
382,3
304,9
198,4
MW Doben [µs]
150
270
605
3500
STABW [µs]
42,43
84,85
91,92
141,42
MW Dunten [µs]
920
1195
1155
3780
STABW [µs]
56,57
35,36
106,07
169,71
[⇡]
0,95
1,12
1,07
2,89
sind in
0,09
0,09
0,12
0,12
[⇡]
Tabelle 4: Die berechneten Phasenverschiebungen
Die Ergebnisse zeigen, dass es sich bei den Phasenverschiebungen von oberer und
unterer Kugel um näherungsweise ganzzahlige, ungerade Vielfache von ⇡ handelt. Dies
weist auf ein antibindendes Orbital hin. Diese Erkenntnis war auch theoretisch zu erwarten, da das g -Orbital im Kugelresonator nicht beobachtet werden kann. Der Zustand
entspricht einem konstanten Druck, wodurch eine Schwingung im Resonator verhindert
wird (Resonanzfrequenz bei 0 Hz).
Abbildung 32 zeigt die 2 - und ⇡-Orbitale. Im Spektrum für ↵ = 0 ° sind vier Resonanzfreqenzen zu erkennen. Für ↵ = 180 ° sind es lediglich drei. Die Peaks lassen sich
nun mit Hilfe der Energieniveaus aus Abbildung 8 den einzelnen Orbitalen zuordnen.
Die Zuordnung ist ebenfalls in Abbildung 32 dargestellt.
Abbildung 32: Die Spektren der 2 - und ⇡-Orbitale. Erstellt mit QtiPlot.
Eine Begründung des Ausfalls des ⇡g -Orbitals im Fall von ↵ = 180 ° fällt uns schwer.
Aus quantenmechanischer bzw. akkustischer Sicht finden wir keinen Grund dafür, da
39
5 Fragen und Aufgaben
4.6 Fehlerdiskussion
bei diesem keine konstante Druckverteilung vorliegt. Deshalb gehen wir davon aus, dass
dieses Orbital nicht aufgelöst werden konnte.
4.6 Fehlerdiskussion
Zusammenfassend kann der komplette Versuch als gelungen angesehen werden. Der kompakte Versuchsaufbau lieferte stets die Ergebnisse, welche theoretisch nach der Quantenmechanik zu erwarten waren. Man muss jedoch nochmals erwähnen, dass es sich bei
dem Versuch nicht um ein Quantenexperiment an sich gehandelt hat, sondern quantenmechanische Zusammenhänge lediglich modellhaft untersucht wurden.
Durch die Kompaktheit des Aufbaus und der genauen Messung via PC und Oszilloskop
sind die Fehlerquellen stark reduziert worden. Allerdings hatten Störgeräusche und Erschütterungen Einfluss auf die Messergebnisse. Zumeist wurden größere Einflüsse aber
bereits frühzeitig erkannt und die Messung wiederholt.
5 Fragen und Aufgaben
1. Leiten Sie eine Formel her, welche die Resonanzfrequenzen des Rohrresonators in
Abhängigkeit der Ordnungszahl ausdrückt.
S. Gl.(5).
2. Wenn der Kugelresonator ohne Zwischenringe verwendet wird, entsprechen die
Winkel # und ' der Kugelflächenfunktionen nicht den Winkeln, die man üblicherweise für ein Koordinatensystem verwendet. In einem üblichen Koordinatensystem
wäre die z-Achse vertikal ausgerichtet und nicht unter einem Winkel von 45°. Der
Winkel ↵ ist der Azimutwinkel eines solchen üblichen Koordinatensystems. Leiten
Sie mit Hilfe einer Skizze her, wie der Winkel ↵ mit dem Winkel # zusammenhängt.
40
5 Fragen und Aufgaben
In Abbildung 33 ist die Geometrie im Kugelresonator dargelegt. Wir wählen dabei
ein Koordinatensystem mit dem Nullpunkt im Mittelpunkt einer Einheitskugel.
Zudem führen wir zwei Vektoren ein, welche zum Lautsprecher (L) und zum Mikrophon (M ) zeigen, die jeweils auf der Kugel liegen. Für die Vektoren erhalten
wir
0
1
0
1
cos ↵ · sin ⇡4
sin 3⇡
4
B
C
B
C
M = @ sin ↵ · sin ⇡4 A , L = @ 0 A ,
cos ⇡4
cos 3⇡
4
wobei wir annehmen, dass sich L in der x-z-Ebene befindet. Den Winkel # zwischen
M und L erhalten wir mittels Skalarprodukt (es gilt |M | = |L| = 1).
1
cos # = L · M = (cos ↵
2
1)
Für den Zusammenhang zwischen ' und # erhalten wir somit
' = ↵ = arccos (2 cos # + 1) .
z
L
y
x
M
Abbildung 33: Skizze zur Geometrie im Kugelresonator. Erstellt mit Pages (Mac OS).
3. Bevor Sie die Zwischenringe für den Kugelresonator verwenden, sind die Moden
der verschiedenen m zum gleichen l bezüglich der Frequenz entartet. Dennoch beobachten Sie hauptsächlich eine Mode. Um welche Mode handelt es sich und warum
41
Abbildungsverzeichnis
wird diese im Gegensatz den anderen zu gleichem l bevorzugt angeregt? Erklären
Sie in diesem Zusammenhang die Abweichungen zwischen gemessener und berechneter Formen der Polarschnitte der stehenden Wellen im Kugelresonator.
Die Kugelflächenfunktion mit m = 0 hat stets ein Maximum an ihren Polen.
Im Kugelresonator ist die Achse der Funktion um 45 ° gedreht, sodass die Maxima direkt am Mikrophon und Lautsprecher anliegen. Da der Lautsprecher das zu
untersuchende Signal erzeugt, kann hier die Kugelflächenfunktion nicht verschwinden. Dies führt dazu, dass hauptsächlich die Mode mit m = 0 angeregt wird. Die
kantige Form der Polarschnitte entsteht, weil nicht nur die Mode mit m = 0 angeregt wird und so auch andere Moden geringfügig mit einwirken.
4. Welchem Effekt in der Quantenphysik entspricht die beim Kugelresonator mit Zwischenringen beobachtete Aufspaltung? Was ist gleich, was unterschiedlich?
Es handelt sich um den Zeeman-Effekt, vgl. Abschnitt 2.3.2.
6 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Stehende Schallwellen . . . . . . . . . . .
Stehende Schallwellen in einem Rohr . .
Stehende Teilchenwellen im Potentialtopf
Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . .
Wasserstoffmolekülkonfigurationen 1 . .
Wasserstoffmolekülkonfigurationen 2 . .
Wasserstoffmolekülkonfigurationen 3 . .
42
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
6
10
12
12
13
Tabellenverzeichnis
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Tabellenverzeichnis
Orbitalenergien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Versuchskomponenten . . . . . . . . . . . . . .
Versuchsaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resonanzfrequenzen Oszilloskop . . . . . . . . .
Spektrum Rohrresonator . . . . . . . . . . . . .
Resonanzfrequenzen PC . . . . . . . . . . . . .
Spektren für Drehwinkel . . . . . . . . . . . . .
Polarschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarschnitt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Legendre-Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spektrum Kugelresonator . . . . . . . . . . . .
Azimutalschnitt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Azimutalschnitt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Legendre-Fit 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spektren für verschiedene Schichtdicken . . . . .
Resonanzfrequenzdifferenzen . . . . . . . . . . .
Resonanzfrequenz und Wellenvektor . . . . . . .
Spektrum mit max. Rohrlänge . . . . . . . . . .
Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene Irisgrößen . . . . . . . . . . . . . .
Verschiedene Segmentlängen . . . . . . . . . . .
Spektren für verschiedene Anzahl Rohrsegmente
Spektrum verschiedene Irisblenden . . . . . . .
2 - und ⇡-Orbitale . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze Frage 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
14
15
18
19
20
22
23
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
20
21
39
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
Legendre-Polynome . . . . . . .
Resonanzfrequenzen . . . . . . . .
Vergleich Schallgeschwindigkeiten
Phasenverschiebungen . . . . . .
.
.
.
.
43
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Literatur
Literatur
Literatur
[1] Quantenmodelle. http://www.teachspin.com/instruments/quantum. Entnommen
am 22.06.12.
[2] Schallgeschwindigkeit. http://de.wikipedia.org/wiki/Schallgeschwindigkeit.
Entnommen am 22.06.12.
[3] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 1 - Mechanik und Wärme. SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, 5. Auflage, 2008.
[4] Runge, Bernd-Uwe: Quantenmodelle. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 06.05.2012.
[5] Runge, Bernd-Uwe: Quantenmodelle - Teil 2. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 06.05.2012.
44