Unendlich-dimensionale Analysis,¨Ubung 2

A
Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. H. Glöckner
WS 02/03
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
31. 10. 2002
Unendlich-dimensionale Analysis, Übung 2
In Aufgaben 1–4 sei K ∈ {R, C}.
Aufgabe 1. Zeige per Induktion über k ∈ N die folgende Aussage:
Es seien E und F topologische K-Vektorräume, U ⊆ E eine nicht-leere offene Teilmenge,
f, g : U → F Funktionen der Klasse C k und λ ∈ K. Dann ist auch
f + λg : U → F
von der Klasse C k .
[Die Menge C k (U, F ) der C k -Funktionen von U nach F bilden also einen Untervektorraum von F U ].
Aufgabe 2. Zeige (ohne den Beweis im Skript nachzulesen !) die in der Vorlesung noch
nicht bewiesene Teilaussage von Lemma 3.9, durch Induktion über k ∈ N:
Es seien E und F topologische K-Vektorräume und f : U → F eine Abbildung auf einer
nicht-leeren offenen Teilmenge U von E. Ist f von der Klasse C 1 und f [1] : U [1] → F von
der Klasse C k , so ist f von der Klasse C k+1 und es gilt
f [k+1] = (f [1] )[k] .
Aufgabe 3. Zeige per Induktion über k ∈ N:
Es sei f : U → F eine Abbildung von einer offenen Teilmenge U eines topologischen
K-Vektorraums E in einen topologischen K-Vektorraum F , deren Bild in einem folgenabgeschlossenen Untervektorraum F0 ⊆ F enthalten ist.1 Dann gilt: Ist f von der Klasse C k
als Abbildung nach F , so ist f auch von der Klasse C k als Abbildung nach F0 (das heißt,
die Ko-Einschränkung g := f |F0 : U → F0 , g(x) := f (x) ist von der Klasse C k ).2
[Die Umkehrung gilt auch, siehe Vorlesung].
Aufgabe 4. Zeige durch Induktion über k ∈ N:
Es sei E ein topologischer K-Vektorraum, (Fi )i∈I eine Familie topologischer K-Vektorräume,
U ⊆ E eine nicht-leere offene Teilmenge und
Y
f = (fi )i∈I : U →
Fi
i∈I
eine Abbildung, mit Koordinatenfunktionen fi : U → Fi für i ∈ I. Dann gilt: Sind die
Koordinatenfunktionen fi von der Klasse C k ist für alle i ∈ I, so ist f von der Klasse C k .
[Die Umkehrung gilt auch, siehe Vorlesung].
1
Das heißt für jede in F konvergente Folge (yn )n∈N in F0 , mit Grenzwert y in F gilt y ∈ F0 .
Hierbei versehen wir F0 mit der von F induzierten Topologie, d.h. eine Teilmenge V ⊆ F0 ist per
Definition offen genau dann, wenn V = W ∩ F0 für eine offene Teilmenge W ⊆ F .
2
Weitere Aufgaben
Die weiteren Aufgaben dienen nur der Illustration und werden in der Vorlesung nicht benutzt. Es macht
also nichts, wenn die Zeit eventuell nicht dafür reicht.
Q
Aufgabe 5. Wir betrachten den Raum RN := n∈N R aller reellwertigen Folgen mit der
Produkttopologie und den Untervektorraum
N
B := (xn )n∈N ∈ R : sup |xn | < ∞
n∈N
der beschränkten Folgen, versehen mit der induzierten Topologie.
(a) Zeige, dass die Funktion f : R → RN , f (t) := (sin nt)n∈N von der Klasse C 1 ist. Was
ist f 0 (t) := df (t, 1) für t ∈ R ?
(b) Zeige, dass das Bild von f in B enthalten ist, aber f als Funktion von R nach B
nicht von der Klasse C 1 ist (d.h. die Ko-Einschränkung
g := f |B : R → B,
g(t) := f (t)
ist nicht C 1 ).
Aufgabe 6. Im topologischen Vektorraum RR :=
logie, betrachten wir den Untervektorraum
Q
t∈R
R, versehen mit der Produkttopo-
F := {(xt )t∈R : xt 6= 0 für höchstens abzählbar viele t ∈ R } ,
versehen mit der induzierten Topologie. Zeige, dass F in RR folgenabgeschlossen ist. Zeige,
dass F in RR dicht ist3 und zeige, dass F in RR nicht abgeschlossen ist.
3
Das heißt: jede nicht-leere offene Teilmenge U von RR hat nicht-leeren Schnitt mit F , oder gleichwertig:
RR ist der Abschluss von F .