Einführung in Theorie und Numerik partieller Differenzialgleichungen

Einführung in Theorie und Numerik partieller
Differenzialgleichungen
Wintersemester 2016/17
Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Prof. Dr. S. Bartels
Dipl.-Math. A. Papathanassopoulos
Übungsblatt 8
Aufgabe 1. (i) Sei A ∈ Rn×n , b ∈ Rn , c ∈ R, und f ∈ C(U ). Die Funktion u ∈ C 2 (U ) erfülle
n
n
X
X
aij ∂zi ∂zj u(z) +
bj ∂zj u(z) + c u(z) = f (z)
i,j=1
j=1
⊥
für alle z ∈ U . Nehmen Sie an, dass A = Q ΛQ diagonalisierbar ist und definieren Sie
u
e(ξ) = u(Qξ). Bestimmen Sie die partielle Differenzialgleichung die von u
e erfüllt wird.
(ii) Bestimmen Sie den Typ folgender partieller Differenzialgleichungen:
∂t u + ∆u = f
∂x21 u − 3∂x1 ∂x2 u + ∂x22 u = 0
∂t u − ∂x21 u + ∂x2 u = f
in (0, T ) × Ω ⊂ R≥0 × Rd ,
in Ω ⊂ R2 ,
in (0, T ) × Ω ⊂ R≥0 × R2 .
Aufgabe 2. Für u ∈ C 2 ([0, 1]2 ) und Gitterpunkte xj,m = (j, m)∆x, 0 ≤ j, m ≤ J, mit
∆x = 1/J, definieren wir den Interpolanten von u durch
2
Ih u = u(xj,m ) 0≤j,m≤J ∈ R(J+1) .
2
Zeigen Sie, dass mit der Norm kV k∞ = max0≤j,m≤J |Vj,m | auf R(J+1) , für ∆x → 0 gilt, dass
kIh uk∞ → kukC([0,1]2 ) .
Aufgabe 3. Sei Ω = (0, L) die eindimensionale Darstellung eines Flussabschnitts, in dem
Wasser mit der konstanten Geschwindigkeit a > 0 fließt. Wir betrachten nun die Konzentration
u(t, x) eines Schadstoffs, der zum Zeitpunkt t = 0 in den Fluss gelangt und sich durch Diffusion
und Transport ausbreitet.
(i) Leiten Sie eine partielle Differenzialgleichung her, die diesen Vorgang beschreibt. Verwenden
Sie dazu das Fick’sche Gesetz q = −c∇u, wobei c der (hier konstante) Diffusionskoeffizient des
Schadstoffs in Wasser sei und benutzen Sie den Satz von Gauß.
(ii) Es sei L = 1 m die Länge des Flussabschnitts, a = 12 m/s die Geschwindigkeit des Wassers
a
und c = 4 · 10−10 m2 /s der Diffusionskoeffizient von Blei. Überprüfen Sie, dass u(t, x) = (e c −
ax
a
e c )/(e c −1) eine stationäre Lösung zu den Randbedingungen u(t, 0) = 1, u(t, 1) = 0 beschreibt
und interpretieren Sie diesen Sachverhalt für die gegebenen Werte.
Aufgabe 4. Für Ω ⊂ R2 und u ∈ C 2 (Ω), sei u
e(r, φ) = u(r cos φ, r sin φ).
(i) Zeigen Sie, dass
∇u(r cos φ, r sin φ) = [∂r u
e(r, φ), r−1 ∂φ u
e(r, φ)]
und
∆u(r cos φ, r sin φ) = ∂r2 u
e(r, φ) + r−1 u
e(r, φ) + r−2 ∂φ2 u
e(r, φ).
⊥
(ii) Verifizieren Sie, dass die Funktion u(x) =
1
2π
log |x| harmonisch ist.
Abgabe: Bis Montag, den 12. Dezember 2016, 14 Uhr, in den Briefkasten vor dem Cip-Pool
im zweiten Stock des RZ (Hermann-Herder-Str. 10).