HM1 WS 2004/05 Blatt 7 - Höhere Mathematik an der TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
WS 2004/05
Blatt 7
Prof. Dr. G. Kemper
Dr. F. Himstedt
Höhere Mathematik 1 für Informatiker
Hausaufgaben (Abgabetermin: Donnerstag 9.12.2004, 8:30 Uhr)
H 26 Freitag, der 13.
(ca. 3 Punkte)
Ziel dieser Aufgabe ist es zu beweisen, dass es in jedem Jahr in den Monaten März bis
Oktober mindestens einen Freitag, den 13., gibt. Gehen Sie hierzu folgendermaßen vor:
Die Tage eines Jahres seien vom 1. Januar bis zum 31. Dezember von 1 bis 365 durchnummeriert (bzw. von 1 bis 366 in einem Schaltjahr). Es sei xJan die Nummer des 13. Januar,
xFeb die Nummer des 13. Februar, xMärz die Nummer des 13. März etc. Also zum Beispiel
xJan = 13, xFeb = 13 + 31 = 44, etc.
Es seien xMärz , xApril , . . . , xOkt die Restklassen von xMärz , xApril , . . . , xOkt modulo 7.
(a) Bestimmen Sie xMärz , xApril , . . . , xOkt für den Fall eines Schaltjahres und für den Fall
eines Nicht–Schaltjahres.
(b) Folgern Sie aus dem Ergebnis von (a), dass es in jedem Jahr in den Monaten März
bis Oktober mindestens einen Freitag, den 13., gibt.
Hinweis: Zu (b) ist nur eine sehr kurze Begründung nötig.
H 27 Berechnung von Wurzeln
(ca. 4 Punkte)
(a) Wir definieren x0 , x1 , x2 , . . . ∈ Q rekursiv durch
x0 := 2
,
xn2 + 3
xn+1 :=
.
2xn
Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
xn > 0 und 0 < xn2 − 3 ≤
1
n
42 −1
.
Geben Sie x0 , x1 , x2 , x3 und x4 auf 6 Nachkommastellen genau an.
(b) Wir definieren x0 , x1 , x2 , . . . ∈ Q rekursiv durch
x0 :=
3
2
,
xn+1 :=
2xn3 + 3
.
3xn2
Geben Sie x0 , x1 , x2 , x3 und x4 auf 6 Nachkommastellen genau an. Auf mindestens
wieviele Nachkommastellen
stimmt x j ( j = 0, . . . , 4) mit der Dezimalbruchentwick√
3
lung von 3 überein?
Hinweis: Für die Rechnungen in dieser Aufgabe dürfen Sie einen Taschenrechner oder
Computer benutzen.
bitte wenden
H 28 Infimum und Supremum
(ca. 7 Punkte)
Es sei A eine geordnete Menge. Untersuchen Sie, welche der folgenden Teilmengen B von
A nach unten bzw. nach oben beschränkt sind und welche ein Infimum bzw. ein Supremum
besitzen. Bestimmen Sie ggfs. das Infimum bzw. Supremum. Beweise brauchen Sie nicht
anzugeben.
(a) A := {1, 2, 3, 4, 5, 6} geordnet mit der Teilbarkeitsrelation (d.h. x ≤ y :⇐⇒ x | y),
B := {2, 3, 4},
(b) A := N geordnet mit der Teilbarkeitsrelation (d.h. x ≤ y :⇐⇒ x | y),
B := {5, 15, 20},
(c) A := Z geordnet mit der üblichen (totalen) Ordnung,
B := 2Z := {2m | m ∈ Z},
(d) A := Q
mit der üblichen
geordnet
(totalen) Ordnung,
1
n
B := (−1) 1 − n | n ∈ N>0 ,
(e) A := Q geordnet mit der üblichen (totalen) Ordnung,
B := {x ∈ Q | x2 < 7},
(f) A := R geordnet mit der üblichen (totalen) Ordnung,
B := {x ∈ R | x2 < 7},
(g) A := R
mit der üblichen
(totalen) Ordnung,
1geordnet
1
B := n + m | n, m ∈ N>0 ,
(h) A := R
(totalen) Ordnung,
geordnet mit1der üblichen
B := x ∈ R\{1} | 1−x < 1 + 2x ,
H 29 Komplexe Zahlen
(ca. 6 Punkte)
(a) Rechnen Sie nach, dass für alle x, y, z ∈ C gilt:
(i) x · (y + z) = x · y + x · z, (ii) (x · y) · z = x · (y · z).
Hinweis: Sie können benutzen, dass R ein Körper ist.
(b) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + bi mit a, b ∈ R:
(i) i4 ,
(vi)
(ii) i41 ,
1+i
√
2
4
,
(vii)
(iii)
2
i,
(iv)
2−i
2+3i ,
(v)
3−2i
1+4i ,
1+i 10
.
1−i
(c) Schreiben Sie f (z) in der Form √
a + bi mit a, b ∈ R:
−1+i 3
3
(i) f := X − 1, z :=
,
2
6
5
4
3
(ii) f := X + X + X + √
X + X 2 + X + 1, z := i,
2
(iii) f := X + 5, z := i 5.
Aktuelle Informationen zu Vorlesung und Übungen finden Sie unter:
http://www-hm.ma.tum.de/ws0405/in1/ .