Übungsblatt 10

Universität Tübingen
Mathematisches Institut
Prof. Dr. Andreas Prohl
Tübingen, den 11. 01. 2010
10. Übungsblatt zur Numerischen Mathematik I
Aufgabe 35:
(1) In der Vorlesung wurde die abgeschlossene Newton-Cotes-Formel für n = 2, h := (b − a)/n berechnet. Zeigen Sie das die abgeschlossene Newton-Cotes-Formel für n = 4 die folgende Milne-Regel
ist:
b−a
I (4) (f ) =
{7f (a) + 32f (a + h) + 12f ((a + b)/2) + 32f (b − h) + 7f (b)}
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(2) Eine Funktion f : R → R sei an gegebenen Stützstellen x0 , ..., x4 gegeben durch die Punkte
(1.8, 3.12014), (2.0, 4.42569), (2.2, 6.04241), (2.4, 8.03014), (2.6, 10.46675). Approximieren Sie
den Integralwert
Z 2.6
f (x)dx
1.8
mit der Milneregel und der summierten Trapezregel.
Aufgabe 36:
Gegeben sei eine stetige Funktion f : R → R (z.B. ein Polynom), so dass das uneigentliche Integral
Z ∞
2
e−x f (x)dx
−∞
existiert. Dieses Integral soll durch eine Gauß-Quadraturformel approximiert werden. Die Orthogonalpo2
lynome zur Gewichtsfunktion ω(x) = e−x über R sind die Hermite-Polynome Hk , die durch
dk −x2
e , k = 0, 1, 2, . . .
dxk
gegeben sind. Daher heißt die entsprechende Quadraturformel Hermite-Gauß-Quadraturformel.
Hk (x) = (−1)k ex
2
Bestimmen Sie die ersten zwei Hermite-Gauß-Quadraturformeln.
Aufgabe 37:
Gegeben sei eine interpolatorische Quadraturformel (n ≥ 1)
Z
Xn
In (f ) =
αj f (xj ) ≈
j=0
1
f (x)dx
−1
mit fest vorgeschriebenen (Rand-) Knoten x0 = −1, xn = 1. Die inneren Knoten x1 , . . . , xn−1 (falls
n ≥ 2) sollen so bestimmt werden, dass die Quadraturformel möglichst hohen Exaktheitsgrad besitzt.
(1) Weisen Sie nach, dass der Exaktheitsgrad maximal 2n − 1 ist.
(2) Zeigen Sie, dass der Exaktheitsgrad 2n − 1 beträgt, wenn das Knotenpolynom
κn (x) := (x − x0 ) · · · (x − xn )
durch
κn (x) = Cn (Pn+1 (x) − Pn−1 (x))
gegeben ist, wobei 0 6= Cn ∈ R eine geeignete Normierungskonstante ist und Pk für das k-te
Legendre-Polynom steht.
Besprechung der Aufgaben in der Übungsstunde am 18. 01. 2010.