Integralrechnung – Tandembogen und Irrgarten

Integralrechnung
Reihe 19
S1
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Integralrechnung – Tandembogen und Irrgarten
II/A
Irmgard Letzner, Berlin
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
Klasse:
10–12 (G8)
Dauer:
5 Stunden
Inhalt:
Eigenschaften des bestimmten Integrals
(Summenregel, Faktorregel, Intervalladditivität, Vertauschen der Grenzen)
und Flächeninhalt zwischen den Graphen
zweier Funktionen
Ihr Plus: Arbeitsentlastung durch Selbstkontrolle
Behandeln Sie das Thema „Integral“ in für die Schüler motivierender Weise. Lassen
Sie Ihre Schüler die Eigenschaften des bestimmten Integrals und den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven entdecken – und zwar in einem Gruppenpuzzle (M 1, M 5).
82 RAAbits Mathematik März 2015
Integralrechnung
Reihe 19
S2
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Didaktisch–methodische Hinweise
II/A
Die Eigenschaften des bestimmten Integrals
Die Lernenden entdecken die Eigenschaften des bestimmten Integrals an Beispielen
(M 1). Die Funktionen sind bewusst einfach gewählt, damit der Zeitaufwand nicht zu groß
wird. Jede Gruppe bearbeitet eine Regel (Gruppe A: Summenregel, Gruppe B: Faktorregel, Gruppe C: Intervalladditivität, Gruppe D: Vertauschen der Grenzen). Anschließend
vermittelt ein Experte aus jeder Gruppe seine Ergebnisse den Mitgliedern der anderen
Gruppen.
Wenn die Schüler „ihre“ Regel auf einem Folienstreifen notieren, kann im Anschluss
an die Gruppenarbeit leicht eine Zusammenstellung der Regeln auf einem OH-Projektor
erfolgen. Sie als Lehrkraft ergänzen die Regeln durch deren Namen.
Eine Kontrolle, ob die Schüler die Regeln verinnerlicht haben, erfolgt über die Aufgaben
des Tandembogens (M 2) bzw. auch über unser Material:
à 71 Raabits Mathematik, Juni 2012, IV/B, Einzelmaterial 85, M 12
T
H
C
Der Irrgarten (M 3, M 4) beinhaltet weitere Eigenschaften des Integrals. Hier ist die
Selbstkontrolle dadurch gegeben, dass die Schüler nur dann vom Eingang zum Ausgang
des Irrgartens finden, wenn sie alle Fragen richtig beantwortet haben.
I
S
N
Der Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen
Die Entwicklung eines Verfahrens zur Bestimmung des Flächeninhalts zwischen den
Graphen zweier Funktionen erfolgt in Gruppen mit unterschiedlichen Funktionen (M 5).
Abschluss ist eine Präsentation der Ergebnisse durch einzelne Schüler mit Unterstützung der übrigen Gruppenmitglieder.
A
R
O
Folgende Fälle werden behandelt:
A. Die beiden Graphen schneiden einander auf der x-Achse.
V
B. Die Fläche liegt vollständig oberhalb der x-Achse.
C. Die Fläche liegt vollständig unterhalb der x-Achse.
D. Allgemeiner Fall: Die Fläche liegt sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse.
Da die Fälle unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad haben, bietet sich eine Differenzierung nach Leistungsstärke an.
Unabhängig von der Wahl der Methode sollte im Anschluss eine Übersicht entwickelt werden, z. B. in Form einer Tabelle (Vorlage: siehe Lösungs- und Erläuterungsteil,
Lösungsseite 4). Im Plenum arbeiten Sie dann Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede zwischen den Fällen A bis D heraus.
Der allgemeine Fall D, bei dem Teile der Fläche oberhalb und Teile der Fläche unterhalb
der x-Achse liegen und bei dem die Schnittpunkte nicht auf der Achse liegen, wird im
Unterrichtsgespräch hergeleitet, weil nicht zu erwarten ist, dass (viele) Schüler die Idee
der Verschiebung in y-Richtung selbstständig entwickeln. Durch den Impuls der Rückführung auf einen der bekannten Fälle können Sie Ihre Schüler auf den Weg bringen.
Nutzen Sie das Material mit einem Computer-Algebra-System. Es wird die Integration
erleichtert, aber die Verfahrensweise zur Bestimmung von Flächeninhalten zwischen den
Graphen zweier Funktionen muss dennoch entwickelt werden.
82 RAAbits Mathematik März 2015
Integralrechnung
Reihe 19
S4
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
Auf einen Blick
II/A
Material
M 1
Thema
Stunde
1.
Die Eigenschaften des bestimmten Integrals
Integrale berechnen, gleichzeitig Regeln für das bestimmte
Integral herausarbeiten und die jeweiligen Ergebnisse
präsentieren
Regeln:
– Summenregel
– Faktorregel
– Intervalladditivität
– Vertauchen der Grenzen
M 2
Die Vereinfachung von Integralen üben – Tandembogen
2.
T
H
C
Integrale vereinfachen und sich gegenseitig kontrollieren
M3
Richtig/falsch? – Finden Sie den Weg durch den Irrgarten!
3.
Aussagen über Integrale überprüfen und die Lösung selbstständig mithilfe eines Irrgartens kontrollieren
M4
(SW-Fo)
I
S
N
Der Irrgarten
Schwarz-Weiß-Folienvorlage zur Kontrolle der Lösung M 3
A
R
O
M5
Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen
4.
Die von zwei Graphen eingeschlossene Fläche berechnen
M6
(LEK)
V
Sind Sie it? – Testen Sie Ihr Wissen!
5.
Integrale berechnen und den eigenen Lernerfolg kontrollieren
Minimalplan
Behandeln Sie nur die Eigenschaften des bestimmten Integrals (M 1, M 2). Den Irrgarten
bearbeiten Ihre Schüler als Hausaufgabe.
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Integralrechnung
Reihe 19
M1
Material
S1
Verlauf
LEK
Lösungen
Die Eigenschaften des bestimmtem Integrals



Gruppe A
Gruppe B
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse.
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse.
2
2
a) ∫ x2 dx,
2
∫
x 3 dx,
2
2
3
∫ ( x +x ) dx
0
0
0
2
2
2
2
1
∫
x 2 dx,
1
3
3
c) ∫ 2x2 dx,
∫
0
∫ (3x+x ) dx
0
∫
5∫ x dx
1
I
S
N
3
5x dx,
0
1
3
c) ∫ 2x 3 dx,
(2x 2 + 5x) dx
0
2
Was fällt Ihnen auf?
3
2∫ x 3 dx
2
Was fällt Ihnen auf?
A
R
O
Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form
einer allgemeinen Regel aufzuschreiben.
Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form
einer allgemeinen Regel aufzuschreiben.
Gruppe C
Gruppe D
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse.
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse.

V
3
a) ∫ x2 dx,
4
∫
0
3
2
5
b) ∫ 3x dx,
∫
1
2
1
3
c) ∫ x 3 dx,
0
∫
1
4
x2 dx,
∫
3
0
5
3x dx,
∫
∫
1
3
2
2
3
3
0
x2 dx
∫
5x dx
4
2
c) ∫ 2x 3 dx,
x 3 dx
∫
4
b) ∫ 5x dx,
3x dx
1
x 3 dx,
1
a) ∫ x2 dx,
x 2 dx
2
∫
2x 3 dx
3
Was fällt Ihnen auf?
Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form
einer allgemeinen Regel aufzuschreiben.
Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form
einer allgemeinen Regel aufzuschreiben.

Was fällt Ihnen auf?

II/A
T
H
C
3∫ x 2 dx
2
b) ∫ 5x dx,
2
1
2
a) ∫ 3x2 dx,
0
b) ∫ 3x dx,

Glossar
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Integralrechnung
Reihe 19
Material
S2
Verlauf
LEK
Glossar
Lösungen
M 2 Die Vereinfachung von Integralen üben – Tandembogen


SR. = Summenregel, FR.= Faktorregel, IA.= Intervalladditivität, V.d.G.= Vertauschen der Grenzen
−10
−10
∫ (2x
g)
10
−10
∫ (2x
2
− x) dx +
2
+ x) dx = 4 ∫ x2 dx (SR. + FR.)
10
10
2
= ∫ (2x 4 + x) dx (SR.)
5
1
2
7.
6.
e) ∫ x5 dx − ∫ x5 dx = 2∫ x5 dx (V.d.G.)
5.
d) ∫ (x + 5 ) dx − ∫ (x + 5) dx = ∫ (x + 5) (V.d.G. + IA.)
4
−2
3
4
4.
3.
2
−2
1
∫ (x
+ 2x) dx =
− 2x2 + 3) dx =
2
−1
2.
−1
∫ (2x
3
− 4x) dx + ∫ (x2 + 4x) dx =
5
a) ∫ (8x2 + 32x − 16) dx = 8 ∫ (x 2 + 4x − 2) dx (FR.)
2
2
5
5
3
1
2
2
4
b) ∫ (2x2 − 3x) dx + ∫ (2x2 − 3x) dx = 0 (V.d.G.)
2
4
∫ (2x + 7x ) dx − ∫ (5x
4
3
c) ∫ (5x 4 − x2 + 13) dx − ∫ (4x 4 − x 2 + 14) dx
−2
− 24x 3 ) dx =
5
5
5
5
4
3
= ∫ (x 4 − 1) dx (S.R.)
5
∫ (12x
4
6
3
−2
1
3
1.
∫x
5
Hier sind die Lösungen Ihres Partners:
5
4
dx + ∫ x 4 dx =
3
Vereinfachen Sie die Integrale:

−1
3. ∫ (x2 − 2x2 + 3) dx = 0 (Grenzen gleich, I − Länge = 0)
5
5
4. ∫ (2x + 7x2 ) dx − ∫ (5x2 + 2x) dx = 2∫ x 2 dx (SR. + FR.)
4
4
4
1
∫ (2x
−2
2
2
+ x) dx =
−10
−2
6. ∫ (x 3 − x2 ) dx + ∫ (x 3 − x2 ) dx = 2 ∫ (x 3 − x 2 ) dx (trivial)
−3
2
− x) dx +
5
−1
1
10
2
3
2. ∫ (2x 3 − 4x) dx + ∫ (x2 + 4x) dx = ∫ (2x 3 + x2 ) dx (SR.)
−2
f) ∫ (x 4 − 3x2 + 3x) dx + ∫ (x 4 + 3x 2 − 2x) dx =
∫ (2x
3
5. ∫ (12x5 − 24x 3 ) dx = 12∫ (x5 − 2x 3 ) dx (FR.)
3
2
5
5
4
5
−10
5
4
6
e) ∫ x5 dx − ∫ x5 dx =
g)
3
5
2
10
5
4
d) ∫ (x + 5) dx − ∫ (x + 5) dx =
5
6
3
− x2 ) dx + ∫ (x 3 − x2 ) dx =
3
4
2
3
4
c) ∫ (5x 4 − x2 + 13) dx − ∫ (4x 4 − x 2 + 14) dx =
3
3
−3
∫ (x
5
3
5
1. ∫ x 4 dx + ∫ x 4 dx = ∫ x 4 dx − ∫ x 4 dx = 0 (V. d. G.)
−1
2
4
Hier sind die Lösungen Ihres Partners:
5
b) ∫ (2x2 − 3x) dx + ∫ (2x2 − 3x) dx =
3
2
1
−3
2
−2
5
3
2
5
1
−2
3
3
+ 5) dx − ∫ (x 3 + 5) dx =
2
a) ∫ (8x2 + 32x − 16) dx =
2
2
2
∫ (x
Vereinfachen Sie die Integrale:
V
5
T
H
C
I
S
N
A
R
O
2
f) ∫ (x 4 − 3x2 + 3x) dx + ∫ (x 4 + 3x 2 − 2x) dx
II/A
−3
1
−3
2
7. ∫ (x 3 + 5) dx − ∫ (x 3 + 5) dx = 2∫ (x 3 + 5) dx (V.d.G.)
1
2
1
SR. = Summenregel, FR.= Faktorregel, IA.= Intervalladditivität, V.d.G.= Vertauschen der Grenzen
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Integralrechnung
Reihe 19
Material
S3
Verlauf
M3
LEK
Glossar
Lösungen
Richtig/falsch? –
Finden Sie den Weg durch den Irrgarten!
II/A
Aufgabe
Beginnen Sie am Eingang des Irrgartens (bei den beiden Füßen).
Entscheiden Sie bei den einzelnen Aussagen, ob sie richtig oder
falsch sind.
Bei einer richtigen Aussage folgen Sie dem durchgezogenen Pfeil,
bei einer falschen Aussage dem gestrichelten Pfeil. Wenn all Ihre
Entscheidungen richtig waren, gelangen Sie auf diese Weise zum
Ausgang, ansonsten müssen Sie noch einmal von vorn beginnen.
Aussagen
b
1. Es gilt:
a
∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx .
a
b
2. Es gilt:
c
c
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx .
a
b
a
I
S
N
b
3.
∫ f(x)dx
T
H
C
b
gibt die Maßzahl des Inhalts der Fläche zwischen Graph f und der x-Achse
a
im Intervall [a;b] an.
A
R
O
b
4. Es gilt:
5. Es gilt:
V
c
a
a
a
b
b
b
∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = ∫ (f + g)(x) dx .
a
6. Es gilt:
c
∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx .
a
∫x
n
a
n+1
dx =
x
+ c für alle n ∈ z, c = const.
n+1
b
7. Aus
∫ f(x)dx = 0
mit a ≠ b folgt: f(x) = 0 für alle x ∈ r.
a
b
8.
b
∫ f(x)dx = ∫ g(x)dx gilt nur für f(x) = g(x) für alle x ∈ r.
a
a
9. Der Wert eines Integrals kann negativ sein.
10. Die Funktion F mit F(x) =
von f mit f(x) = k + x.
k 2 x2
+
+ c (k ∈ r, c = const.) ist Stammfunktion
2
2
11. Für jede Stammfunktion F einer Funktion f gilt: F‘(x) = f(x).
12. Die Funktion F mit F(x) = 2x ist keine Stammfunktion zu f mit f(x) = x 2.
a
13. Es gilt:
∫ f(x)dx = 0 .
a
14. Gibt es eine Stammfunktion zu f, so ist diese eindeutig bestimmt.
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Integralrechnung
Reihe 19
Verlauf
M4
Material
S4
LEK
Glossar
Lösungen
Der Irrgarten
II/A
T
H
C
I
S
N
A
R
O
V
So geht’s
Beginnen Sie am Eingang (bei den beiden Füßen). Entscheiden Sie bei den
einzelnen Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind.
Bei einer richtigen Aussage folgen Sie dem durchgezogenen Pfeil, bei einer
falschen Aussage dem gestrichelten Pfeil. Wenn all Ihre Entscheidungen
richtig waren, gelangen Sie auf diese Weise zum Ausgang, ansonsten müssen Sie noch einmal von vorn beginnen.
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Integralrechnung
Reihe 19
Verlauf
Material
LEK
Glossar
Lösungen
S1
Lösungen und W Tipps zum Einsatz
II/A
M1
Die Eigenschaften des bestimmten Integrals
Laminieren Sie die Seite, schneiden Sie die Lösungskarten mit dem Schneidegerät
aus und legen Sie die Karten auf der Fensterbank für Ihre Schüler zur Selbstkontrolle
aus. Durch Vergleich der jeweiligen Ergebnisse erarbeiten die Gruppen folgende Regeln:


Gruppe A
Summenregel:
Gruppe B
Faktorregel:
b
b
b
b
a
a
a
a
∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx=∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ (f + g)(x) dx
b
b
∫ k ⋅ f(x) dx = k ⋅ ∫ f(x) dx,
a
k∈ r
Gruppe C
b
Intervalladditivität:
c
c
∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx
a
b
a
I
S
N
Gruppe D
b
Vertauschen der Grenzen:
a
∫ f(x) dx = − ∫ f(x) dx
a

T
H
C
a
b

V

A
R
O
Lösungen (M 1)
Lösungen Gruppe A
2
2
8
8
1 
a) ∫ x2 dx =  x 3  = − 0 = ;
3
3
3


0
0
2
∫
0
2
1 
x dx =  x 4  = 4 − 0 = 4;
4  0
3
2
2
2
2
8
20
1 3 1 4
2
3
2
3
∫0 ( x +x ) dx =  3 x + 4 x  0 = 3 + 4 − 0 = ∫0 x dx + ∫0 x dx = 3
2
2
3
3
9
3 
b) ∫ 3x dx =  x2  = ⋅ 4 − ⋅ 1 = = 4,5;
2
2
2 1 2
1
2
∫
1
2
8 1 7
1 
x2 dx =  x 3  = − = ;
3 1 3 3 3
2
2
3⋅4 8 3 1 9 7
3 2 1 3 
∫1 (3 x + x ) dx =  2 x + 3 x  1 = 2 + 3 − 2 − 3 = 2 + 3 =
2
3
3
2
2 
c) ∫ 2x2 dx =  x 3  = ⋅ 27 − 0 = 18;
3  0 3
0
3
∫
0
3
3
∫
0
2
2
∫
3x dx + ∫ x2 dx =
1
1
41
6
3
5
45
5 
5x dx =  x 2  = ⋅ 9 − 0 =
= 22,5;
2
2  0 2
3
3
5  2
5
2
(2x2 + 5x) dx =  x 3 + x2  = ⋅ 27 + ⋅ 9 − 0 = 18 + 22,5 = ∫ 2x 2 dx + ∫ 5x dx = 40,5
2 0 3
2
3
0
0

82 RAAbits Mathematik März 2015