Integralrechnung Reihe 19 S1 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Integralrechnung – Tandembogen und Irrgarten II/A Irmgard Letzner, Berlin T H C I S N A R O V Klasse: 10–12 (G8) Dauer: 5 Stunden Inhalt: Eigenschaften des bestimmten Integrals (Summenregel, Faktorregel, Intervalladditivität, Vertauschen der Grenzen) und Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen Ihr Plus: Arbeitsentlastung durch Selbstkontrolle Behandeln Sie das Thema „Integral“ in für die Schüler motivierender Weise. Lassen Sie Ihre Schüler die Eigenschaften des bestimmten Integrals und den Flächeninhalt zwischen zwei Kurven entdecken – und zwar in einem Gruppenpuzzle (M 1, M 5). 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 S2 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Didaktisch–methodische Hinweise II/A Die Eigenschaften des bestimmten Integrals Die Lernenden entdecken die Eigenschaften des bestimmten Integrals an Beispielen (M 1). Die Funktionen sind bewusst einfach gewählt, damit der Zeitaufwand nicht zu groß wird. Jede Gruppe bearbeitet eine Regel (Gruppe A: Summenregel, Gruppe B: Faktorregel, Gruppe C: Intervalladditivität, Gruppe D: Vertauschen der Grenzen). Anschließend vermittelt ein Experte aus jeder Gruppe seine Ergebnisse den Mitgliedern der anderen Gruppen. Wenn die Schüler „ihre“ Regel auf einem Folienstreifen notieren, kann im Anschluss an die Gruppenarbeit leicht eine Zusammenstellung der Regeln auf einem OH-Projektor erfolgen. Sie als Lehrkraft ergänzen die Regeln durch deren Namen. Eine Kontrolle, ob die Schüler die Regeln verinnerlicht haben, erfolgt über die Aufgaben des Tandembogens (M 2) bzw. auch über unser Material: à 71 Raabits Mathematik, Juni 2012, IV/B, Einzelmaterial 85, M 12 T H C Der Irrgarten (M 3, M 4) beinhaltet weitere Eigenschaften des Integrals. Hier ist die Selbstkontrolle dadurch gegeben, dass die Schüler nur dann vom Eingang zum Ausgang des Irrgartens finden, wenn sie alle Fragen richtig beantwortet haben. I S N Der Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen Die Entwicklung eines Verfahrens zur Bestimmung des Flächeninhalts zwischen den Graphen zweier Funktionen erfolgt in Gruppen mit unterschiedlichen Funktionen (M 5). Abschluss ist eine Präsentation der Ergebnisse durch einzelne Schüler mit Unterstützung der übrigen Gruppenmitglieder. A R O Folgende Fälle werden behandelt: A. Die beiden Graphen schneiden einander auf der x-Achse. V B. Die Fläche liegt vollständig oberhalb der x-Achse. C. Die Fläche liegt vollständig unterhalb der x-Achse. D. Allgemeiner Fall: Die Fläche liegt sowohl oberhalb als auch unterhalb der x-Achse. Da die Fälle unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad haben, bietet sich eine Differenzierung nach Leistungsstärke an. Unabhängig von der Wahl der Methode sollte im Anschluss eine Übersicht entwickelt werden, z. B. in Form einer Tabelle (Vorlage: siehe Lösungs- und Erläuterungsteil, Lösungsseite 4). Im Plenum arbeiten Sie dann Gemeinsamkeiten bzw. Unterschiede zwischen den Fällen A bis D heraus. Der allgemeine Fall D, bei dem Teile der Fläche oberhalb und Teile der Fläche unterhalb der x-Achse liegen und bei dem die Schnittpunkte nicht auf der Achse liegen, wird im Unterrichtsgespräch hergeleitet, weil nicht zu erwarten ist, dass (viele) Schüler die Idee der Verschiebung in y-Richtung selbstständig entwickeln. Durch den Impuls der Rückführung auf einen der bekannten Fälle können Sie Ihre Schüler auf den Weg bringen. Nutzen Sie das Material mit einem Computer-Algebra-System. Es wird die Integration erleichtert, aber die Verfahrensweise zur Bestimmung von Flächeninhalten zwischen den Graphen zweier Funktionen muss dennoch entwickelt werden. 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 S4 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen Auf einen Blick II/A Material M 1 Thema Stunde 1. Die Eigenschaften des bestimmten Integrals Integrale berechnen, gleichzeitig Regeln für das bestimmte Integral herausarbeiten und die jeweiligen Ergebnisse präsentieren Regeln: – Summenregel – Faktorregel – Intervalladditivität – Vertauchen der Grenzen M 2 Die Vereinfachung von Integralen üben – Tandembogen 2. T H C Integrale vereinfachen und sich gegenseitig kontrollieren M3 Richtig/falsch? – Finden Sie den Weg durch den Irrgarten! 3. Aussagen über Integrale überprüfen und die Lösung selbstständig mithilfe eines Irrgartens kontrollieren M4 (SW-Fo) I S N Der Irrgarten Schwarz-Weiß-Folienvorlage zur Kontrolle der Lösung M 3 A R O M5 Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen 4. Die von zwei Graphen eingeschlossene Fläche berechnen M6 (LEK) V Sind Sie it? – Testen Sie Ihr Wissen! 5. Integrale berechnen und den eigenen Lernerfolg kontrollieren Minimalplan Behandeln Sie nur die Eigenschaften des bestimmten Integrals (M 1, M 2). Den Irrgarten bearbeiten Ihre Schüler als Hausaufgabe. 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 M1 Material S1 Verlauf LEK Lösungen Die Eigenschaften des bestimmtem Integrals Gruppe A Gruppe B Berechnen Sie die folgenden Integrale. Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse. Berechnen Sie die folgenden Integrale. Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse. 2 2 a) ∫ x2 dx, 2 ∫ x 3 dx, 2 2 3 ∫ ( x +x ) dx 0 0 0 2 2 2 2 1 ∫ x 2 dx, 1 3 3 c) ∫ 2x2 dx, ∫ 0 ∫ (3x+x ) dx 0 ∫ 5∫ x dx 1 I S N 3 5x dx, 0 1 3 c) ∫ 2x 3 dx, (2x 2 + 5x) dx 0 2 Was fällt Ihnen auf? 3 2∫ x 3 dx 2 Was fällt Ihnen auf? A R O Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form einer allgemeinen Regel aufzuschreiben. Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form einer allgemeinen Regel aufzuschreiben. Gruppe C Gruppe D Berechnen Sie die folgenden Integrale. Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse. Berechnen Sie die folgenden Integrale. Vergleichen Sie die jeweiligen Ergebnisse. V 3 a) ∫ x2 dx, 4 ∫ 0 3 2 5 b) ∫ 3x dx, ∫ 1 2 1 3 c) ∫ x 3 dx, 0 ∫ 1 4 x2 dx, ∫ 3 0 5 3x dx, ∫ ∫ 1 3 2 2 3 3 0 x2 dx ∫ 5x dx 4 2 c) ∫ 2x 3 dx, x 3 dx ∫ 4 b) ∫ 5x dx, 3x dx 1 x 3 dx, 1 a) ∫ x2 dx, x 2 dx 2 ∫ 2x 3 dx 3 Was fällt Ihnen auf? Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form einer allgemeinen Regel aufzuschreiben. Versuchen Sie, Ihr Ergebnis in Form einer allgemeinen Regel aufzuschreiben. Was fällt Ihnen auf? II/A T H C 3∫ x 2 dx 2 b) ∫ 5x dx, 2 1 2 a) ∫ 3x2 dx, 0 b) ∫ 3x dx, Glossar 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 Material S2 Verlauf LEK Glossar Lösungen M 2 Die Vereinfachung von Integralen üben – Tandembogen SR. = Summenregel, FR.= Faktorregel, IA.= Intervalladditivität, V.d.G.= Vertauschen der Grenzen −10 −10 ∫ (2x g) 10 −10 ∫ (2x 2 − x) dx + 2 + x) dx = 4 ∫ x2 dx (SR. + FR.) 10 10 2 = ∫ (2x 4 + x) dx (SR.) 5 1 2 7. 6. e) ∫ x5 dx − ∫ x5 dx = 2∫ x5 dx (V.d.G.) 5. d) ∫ (x + 5 ) dx − ∫ (x + 5) dx = ∫ (x + 5) (V.d.G. + IA.) 4 −2 3 4 4. 3. 2 −2 1 ∫ (x + 2x) dx = − 2x2 + 3) dx = 2 −1 2. −1 ∫ (2x 3 − 4x) dx + ∫ (x2 + 4x) dx = 5 a) ∫ (8x2 + 32x − 16) dx = 8 ∫ (x 2 + 4x − 2) dx (FR.) 2 2 5 5 3 1 2 2 4 b) ∫ (2x2 − 3x) dx + ∫ (2x2 − 3x) dx = 0 (V.d.G.) 2 4 ∫ (2x + 7x ) dx − ∫ (5x 4 3 c) ∫ (5x 4 − x2 + 13) dx − ∫ (4x 4 − x 2 + 14) dx −2 − 24x 3 ) dx = 5 5 5 5 4 3 = ∫ (x 4 − 1) dx (S.R.) 5 ∫ (12x 4 6 3 −2 1 3 1. ∫x 5 Hier sind die Lösungen Ihres Partners: 5 4 dx + ∫ x 4 dx = 3 Vereinfachen Sie die Integrale: −1 3. ∫ (x2 − 2x2 + 3) dx = 0 (Grenzen gleich, I − Länge = 0) 5 5 4. ∫ (2x + 7x2 ) dx − ∫ (5x2 + 2x) dx = 2∫ x 2 dx (SR. + FR.) 4 4 4 1 ∫ (2x −2 2 2 + x) dx = −10 −2 6. ∫ (x 3 − x2 ) dx + ∫ (x 3 − x2 ) dx = 2 ∫ (x 3 − x 2 ) dx (trivial) −3 2 − x) dx + 5 −1 1 10 2 3 2. ∫ (2x 3 − 4x) dx + ∫ (x2 + 4x) dx = ∫ (2x 3 + x2 ) dx (SR.) −2 f) ∫ (x 4 − 3x2 + 3x) dx + ∫ (x 4 + 3x 2 − 2x) dx = ∫ (2x 3 5. ∫ (12x5 − 24x 3 ) dx = 12∫ (x5 − 2x 3 ) dx (FR.) 3 2 5 5 4 5 −10 5 4 6 e) ∫ x5 dx − ∫ x5 dx = g) 3 5 2 10 5 4 d) ∫ (x + 5) dx − ∫ (x + 5) dx = 5 6 3 − x2 ) dx + ∫ (x 3 − x2 ) dx = 3 4 2 3 4 c) ∫ (5x 4 − x2 + 13) dx − ∫ (4x 4 − x 2 + 14) dx = 3 3 −3 ∫ (x 5 3 5 1. ∫ x 4 dx + ∫ x 4 dx = ∫ x 4 dx − ∫ x 4 dx = 0 (V. d. G.) −1 2 4 Hier sind die Lösungen Ihres Partners: 5 b) ∫ (2x2 − 3x) dx + ∫ (2x2 − 3x) dx = 3 2 1 −3 2 −2 5 3 2 5 1 −2 3 3 + 5) dx − ∫ (x 3 + 5) dx = 2 a) ∫ (8x2 + 32x − 16) dx = 2 2 2 ∫ (x Vereinfachen Sie die Integrale: V 5 T H C I S N A R O 2 f) ∫ (x 4 − 3x2 + 3x) dx + ∫ (x 4 + 3x 2 − 2x) dx II/A −3 1 −3 2 7. ∫ (x 3 + 5) dx − ∫ (x 3 + 5) dx = 2∫ (x 3 + 5) dx (V.d.G.) 1 2 1 SR. = Summenregel, FR.= Faktorregel, IA.= Intervalladditivität, V.d.G.= Vertauschen der Grenzen 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 Material S3 Verlauf M3 LEK Glossar Lösungen Richtig/falsch? – Finden Sie den Weg durch den Irrgarten! II/A Aufgabe Beginnen Sie am Eingang des Irrgartens (bei den beiden Füßen). Entscheiden Sie bei den einzelnen Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Bei einer richtigen Aussage folgen Sie dem durchgezogenen Pfeil, bei einer falschen Aussage dem gestrichelten Pfeil. Wenn all Ihre Entscheidungen richtig waren, gelangen Sie auf diese Weise zum Ausgang, ansonsten müssen Sie noch einmal von vorn beginnen. Aussagen b 1. Es gilt: a ∫ f(x)dx = − ∫ f(x)dx . a b 2. Es gilt: c c ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx . a b a I S N b 3. ∫ f(x)dx T H C b gibt die Maßzahl des Inhalts der Fläche zwischen Graph f und der x-Achse a im Intervall [a;b] an. A R O b 4. Es gilt: 5. Es gilt: V c a a a b b b ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx = ∫ (f + g)(x) dx . a 6. Es gilt: c ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx . a ∫x n a n+1 dx = x + c für alle n ∈ z, c = const. n+1 b 7. Aus ∫ f(x)dx = 0 mit a ≠ b folgt: f(x) = 0 für alle x ∈ r. a b 8. b ∫ f(x)dx = ∫ g(x)dx gilt nur für f(x) = g(x) für alle x ∈ r. a a 9. Der Wert eines Integrals kann negativ sein. 10. Die Funktion F mit F(x) = von f mit f(x) = k + x. k 2 x2 + + c (k ∈ r, c = const.) ist Stammfunktion 2 2 11. Für jede Stammfunktion F einer Funktion f gilt: F‘(x) = f(x). 12. Die Funktion F mit F(x) = 2x ist keine Stammfunktion zu f mit f(x) = x 2. a 13. Es gilt: ∫ f(x)dx = 0 . a 14. Gibt es eine Stammfunktion zu f, so ist diese eindeutig bestimmt. 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 Verlauf M4 Material S4 LEK Glossar Lösungen Der Irrgarten II/A T H C I S N A R O V So geht’s Beginnen Sie am Eingang (bei den beiden Füßen). Entscheiden Sie bei den einzelnen Aussagen, ob sie richtig oder falsch sind. Bei einer richtigen Aussage folgen Sie dem durchgezogenen Pfeil, bei einer falschen Aussage dem gestrichelten Pfeil. Wenn all Ihre Entscheidungen richtig waren, gelangen Sie auf diese Weise zum Ausgang, ansonsten müssen Sie noch einmal von vorn beginnen. 82 RAAbits Mathematik März 2015 Integralrechnung Reihe 19 Verlauf Material LEK Glossar Lösungen S1 Lösungen und W Tipps zum Einsatz II/A M1 Die Eigenschaften des bestimmten Integrals Laminieren Sie die Seite, schneiden Sie die Lösungskarten mit dem Schneidegerät aus und legen Sie die Karten auf der Fensterbank für Ihre Schüler zur Selbstkontrolle aus. Durch Vergleich der jeweiligen Ergebnisse erarbeiten die Gruppen folgende Regeln: Gruppe A Summenregel: Gruppe B Faktorregel: b b b b a a a a ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx=∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ (f + g)(x) dx b b ∫ k ⋅ f(x) dx = k ⋅ ∫ f(x) dx, a k∈ r Gruppe C b Intervalladditivität: c c ∫ f(x) dx + ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx a b a I S N Gruppe D b Vertauschen der Grenzen: a ∫ f(x) dx = − ∫ f(x) dx a T H C a b V A R O Lösungen (M 1) Lösungen Gruppe A 2 2 8 8 1 a) ∫ x2 dx = x 3 = − 0 = ; 3 3 3 0 0 2 ∫ 0 2 1 x dx = x 4 = 4 − 0 = 4; 4 0 3 2 2 2 2 8 20 1 3 1 4 2 3 2 3 ∫0 ( x +x ) dx = 3 x + 4 x 0 = 3 + 4 − 0 = ∫0 x dx + ∫0 x dx = 3 2 2 3 3 9 3 b) ∫ 3x dx = x2 = ⋅ 4 − ⋅ 1 = = 4,5; 2 2 2 1 2 1 2 ∫ 1 2 8 1 7 1 x2 dx = x 3 = − = ; 3 1 3 3 3 2 2 3⋅4 8 3 1 9 7 3 2 1 3 ∫1 (3 x + x ) dx = 2 x + 3 x 1 = 2 + 3 − 2 − 3 = 2 + 3 = 2 3 3 2 2 c) ∫ 2x2 dx = x 3 = ⋅ 27 − 0 = 18; 3 0 3 0 3 ∫ 0 3 3 ∫ 0 2 2 ∫ 3x dx + ∫ x2 dx = 1 1 41 6 3 5 45 5 5x dx = x 2 = ⋅ 9 − 0 = = 22,5; 2 2 0 2 3 3 5 2 5 2 (2x2 + 5x) dx = x 3 + x2 = ⋅ 27 + ⋅ 9 − 0 = 18 + 22,5 = ∫ 2x 2 dx + ∫ 5x dx = 40,5 2 0 3 2 3 0 0 82 RAAbits Mathematik März 2015