Raum und Zeit in der Relativitätstheorie
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Raum und Zeit in der Relativitätstheorie
Inhaltsverzeichnis
0. Das mathematische Rüstzeug
a) Matrizenrechnung
b) Koordinatentransformationen
1. Die benötigten relativistischen Formeln
a) Einleitung
b) Die Transformationsformeln
b1) Die Unabhängigkeit der Transformationsformeln von I0
c) Konstante Geschwindigkeiten
c1) Übersetzungen von In nach Im
c2) Die Zeit- und Längendilatationsformel nach Einstein
c3) Eine besondere Grenze: RKFOnm=0
c4) Ein seltener Spezialfall: RKFOnm<0
d) Die Physik der speziellen Relativitätstheorie
d1) Die Verwechslung von Eichungen und physikalischen Eigenschaften
d2) Die Eigenschaften von á(v0n) und â(v0n)
d3) Die Abhängigkeit der Transformationsformeln von I0
d4) Die Schwierigkeiten zur Bestimmung von á(v0n) und â(v0n)
d5) Die experimentelle Ermittlung von á(v0n) und â(v0n)
d6) Die absolute Höchstgeschwindigkeit
d7) Wenn das Licht nicht durchs Vakuum geht
d7.1) Experimente mit Licht, das nicht durchs Vakuum geht
e) Ableitungen
e1) Die korrekte Ableitung
e2) Ein Vergleich mit Satz 7
e3) Transformation der Beschleunigung
f) Die Masse
f1) Die 4 Arten des Zusammenstoßes
f2) Die Herleitung des Impulserhaltungssatzes
f3) 2 Interpretationen
f4) Die 2. Interpretation auf dem Prüfstand
g) Ein Korrekturvorschlag
g1) Die Messung der Masse in In
g2) Grenzübergänge
g3) Ein relativistischer Impuls
g4) Gibt es eine allgemeine Impulserhaltung?
g5) Gibt es einen allgemeinen Schwerpunkterhaltungssatz in In
g6) Man muß eine Entscheidung treffen
g7) Eichungen und physikalische Eigenschaften
g8) Die mathematische Struktur der Impulserhaltung
h) Die Energie
h1) Potentielle und kinetische Energie in der Mechanik
i) Kann der Impulserhaltungssatz und der Schwerpunkterhaltungssatz auf die Himmelsmechanik
übertragen werden?
i1) Relativistische Inertialsysteme
j) Die Lichtwelle
j1) Die Beschreibung der Lichtwelle in In
j2) Die Überlagerung von Lichtwellen in In
j3) Kollisionen mit Licht
k) Die Geometrie der Relativitätstheorie
k1) Die Übersetzungen von Richtungen, Längen und Winkeln. Der allgemeine Fall.
4
4
6
9
9
9
19
19
20
24
26
27
28
28
29
30
31
32
32
33
36
38
38
40
40
42
42
43
45
47
52
52
54
55
55
56
58
60
61
63
63
65
74
75
75
85
86
89
89
k2) Das Scenario: Ein Raumschiff fliegt im Kreis
k3) Die Berechnungen in Im
k4) Die Übersetzungen von Richtungen, Längen und Winkeln.
k5) Die Auswertung der Formeln
l) Kräfte in der Relativitätstheorie
l1) Der relativistische Druck
l2) Kräftevergleich
m) Die Galilei-Lorentz-Transformation
m1) Richtungsunabhängige Beschreibung
m2) Allgemeine physikalische Parameter
2. Experimente
a) Das Experiment von Hafele und Keating
Literaturverzeichnis
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95
98
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126
131
131
139
0 Das mathematische Rüstzeug
Damit auch interessierte wissenschaftliche Laien verstehen können, was ich mache, werde ich die
wichtigsten mathematischen Gebilde, die ich hier benutze, erklären. Wer mit Matrizen rechnen kann, wer
sich mit Koordinatensystemen auskennt, der kann diesen Abschnitt einfach überspringen.
a) Matrizenrechnung
Reelle m×n-Matrizen (sprich: m kreuz n Matrizen) sind rechteckige Zahlenfelder mit m Zeilen und n
Spalten, in denen reelle Zahlen stehen. Es gilt dabei: m und n sind ganze Zahlen größer als 0. Ist A eine
Matrix, dann ist Aij die reelle Zahl, die in der i. Zeile und der j. Spalte steht. 2 Matrizen haben besondere
Namen. Eine 1×n-Matrix wird Zeilenvektor genannt und eine m×1 Matrix wird Spaltenvektor genannt.
Mit solchen Zahlenfeldern kann man auch rechnen. Es gibt dort im wesentlichen 3 verschiedene
Rechenoperationen:
1. Addition und Subtraktion von Matrizen.
A und B seien reelle m×n-Matrizen, C=A+B=B+A und D=A–B=–B+A die reellen m×n-Matrizen, die
durch Addition bzw. Subtraktion entstehen.
Es gilt dann: Cij=Aij+Bij und Dij=Aij–Bij.
Es folgt ein Rechenbeispiel:
3 a 0 1 a 2 3 1 a a 0 2 4 2 a
2
2 4 x 3 4 y 23 44 x y 5
8
x y
3 a 0
2 4
x
1 a
2
3 4
y
3 1 a a
02
23 44
x y
2
0
2
1 0 x y
2. Multiplikation einer reellen m×n-Matrix mit einer reellen Zahl.
A sei eine reelle m×n-Matrix, x eine reelle Zahl. B=xA=Ax die reelle m×n-Matrix, die durch
Multiplikation entsteht.
Es gilt dann: Bij=xAij.
Es folgt ein Rechenbeispiel:
3 a 0 5 3 5 a 5 0 15 5 a
0
5
2 4 x 5 2 5 4 5 x 10 20 5 x
3. Multiplikation einer reellen m×n-Matrix mit einer reellen n×o-Matrix.
Hierbei ist wichtig, daß die Anzahl der Spalten der 1. Matrix mit der Anzahl der Zeilen der 2. Matrix
übereinstimmen. Die Matrizen dürfen nicht vertauscht werden! Das Ergebnis ist dann eine reelle m×oMatrix.
Sei A eine reelle m×n-Matrix, B eine reelle n×o-Matrix, und C=AB die reelle m×o-Matrix, die durch
Matrixmultiplikation entsteht.
n
Es gilt dann: C ij Aik Bkj .
k 1
Es folgt ein Rechenbeispiel:
3 a 0
2 4
1 a 3 0 x
1 2 0 0 1
x
2 2 3 1 0
3 1 a 1 0 2 3 a a 2 0 2 3 3 a 0 0 3 3 0 a 0 0 1 3 x a 1 0 0
2 1 4 1 x 2 2 a 4 2 x 2 2 3 4 0 x 3 2 0 4 0 x 1 2 x 4 1 x 0
3a
5a
9
0 3 x a
3 x 2
2 a 4 x
2 x 3
x 2 x 4
Rechengesetze mit Matrizen:
(A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC), AB+AC=A(B+C), AC+BC=(A+B)C
Es gibt einige besondere Matrizen:
In sei eine reelle n×n-Matrix mit der Eigenschaft Inij=1 wenn i=j ist und Inij=0, wenn i≠j ist. Diese
Matrizen werden Einheitsmatrizen genannt da sie folgende Eigenschaften haben:
Sei A eine m×n-Matrix, dann gilt: InA=AIm=A.
Wichtige Matrizen sind quadratische Matrizen. Dort gilt m=n.
Wenn A eine reelle n×n-Matrix ist, dann gibt es eine inverse Matrix zu A, die A–1 genannt wird, wenn die
Determinante von A ≠0 ist. Es gilt dann: AA–1=A–1A=In. Deshalb ist es wichtig, daß man weiß, wie die
Determinante von A (= Det(A)) berechnet wird.
Die Determinante kann leider nicht direkt ausgerechnet werden. Sie wird entweder nach einer Zeile oder
nach einer Spalte entwickelt. Nach welcher Zeile oder nach welcher Spalte eine Determinante entwickelt
wird, ist dabei beliebig.
Ist A eine reelle n×n-Matrix und A≠i,≠j die reelle (n–1)×(n–1)-Matrix, die entsteht, wenn ich aus der
Matrix A die i. Zeile und die j. Spalte entferne, dann sieht ein Entwickungsschritt so aus:
Entwicklung nach der i. Zeile:
n
ik
det A 1
Aik det A i , k
k 1
Entwicklung nach der j. Spalte:
n
det A 1
j k
Akj det A k , j
k 1
Egal, ob ich nach der i. Zeile oder nach der j. Spalte entwickle, im nächsten Schritt wird die Anzahl der
Zeilen und Spalten der Matrix um 1 kleiner. Dies mache ich so lange, bis ich nur noch reelle 2×2Matrizen zur Verfügung habe. Dann kann man die Determinante direkt berechnen.
Ist B eine reelle 2×2-Matrix, dann gilt:
det B B11 B22 B12 B21
Ich möchte die Determinantenrechnung anhand eines Beispiels vorführen:
1 0 1 2
0 0 2 2
A
1 1 0 2
2 1 0 3
2 1
det A 1
2 3
1
22
0 det A1, 2 1
2 4
1 det A3, 2 1
0 det A 2, 2
1 det A 4 , 2
1 1 2
1 1 2
det 0 2 2 det 0 2 2
2 0 3
1 0 2
2 2
1 2
1 2
11
11 2 0 det
11 3 2 det
1 1 det
2 2
0 3
0 3
2 2
1 2
1 2
11
11 2 0 det
11 3 1 det
1 1 det
2 2
0 2
0 2
2 2
2 2
1 2
det
det
det
2 2
0 3
0 2
2 3 0 2 2 2 0 2 1 2 2 2 6 4 2 0
Die hier wäre also das Beispiel einer Matrix, die keine inverse Matrix besitzt. Wie man sieht, kann man
sich viele Rechenschritte ersparen, wenn man von vorneherein nach der Zeile oder Spalte entwickelt, die
die meisten Nullen besitzt.
Es gibt auch transponierte Matrizen. Es gilt dann: ATij=Aji für alle i und für alle j.
Es gibt noch 2 weitere Rechenregeln:
1. Ist A eine reelle m×n-Matrix und B eine reelle n×o-Matrix, dann ist C=AB eine reelle m×o-Matrix
und es gilt:
CT=(AB)T=BTAT.
2. Sind A und B invertierbare reelle n×n-Matrizen, dann ist C=AB eine invertierbare reelle n×n-Matrix
und es gilt:
C–1=(AB) –1=B–1A–1.
Es gibt noch 2 wichtige Berechnungsmethoden mit Vektoren.
Das Skalarprodukt:
A ist eine 1n-Matrix und B eine n1 Matrix. Dann wird das Skalarprodukt so definiert:
AT , B A B
Das Skalarprodukt liefert immer eine Zahl.
Man kann mit Hilfe des Skalarprodukts die Länge von Vektoren bestimmen:
B B, B
Man kann mit dem Skalarprodukt den cos eines Winkels berechnen:
AT , B
T
cosA , B
AB
Das Kreuzprodukt:
A und B sind 31 Matrizen. Dann wird das Kreuzprodukt – häufig auch Vektorprodukt genannt – so
definiert:
A2 B3 A3 B2
A B A3 B1 A1 B3
A1 B2 A2 B1
Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor der genau senkrecht auf A und B steht. Zeigen beide Vektoren in
die gleiche Richtung, dann kommt der 0-Vektor heraus. Werden die Vektoren vertauscht, dann wied das
Vorzeichen des Rechenergebnisses umgedreht.
b) Koordinatentransformationen
Will man die Welt beschreiben, dann muß man in der Welt etwas messen können. Unser 3-dimensionaler
Raum hat 3 voneinander unabhängige Richtungen. Nimmt man noch die Zeit dazu, so erhält man 4.
Damit die Beschreibung sinnvoll wird, braucht man Koordinatensysteme. In einem solchen
Koordinatensystem wählt man sich einen Ursprung, das ist der Ort, auf den sich alle Maße beziehen. Das
2. was man braucht ist eine Basis.
Die Basis wird als Spaltenvektor geschrieben. Ein Beispiel:
Im Koordinatensystem K1 wird die Basis B1 verwendet, die aus den Koordinaten x1, y1, z1 und t1 besteht
und im Koordinatensystem K2 wird die Basis B2 verwendet, die aus den Koordinaten x2, y2, z2 und t2
besteht, dann kann eine Koordinatentransformation beschrieben werden als eine Matrixmultiplikation mit
der Matrix T12. T12 ist eine invertierbare 4×4-Matrix, bei der kein Matrixelement unendlich ist. Die
Übersetzung sieht dann so aus:
x2
x1
y2
y1
2
12
B 2 T 1 T 12 B1
z
z
2
t
t1
Einige wichtige Koordinatentransformationsmatrizen sind Drehmatrizen. Im 3-Dimensionalen Raum gibt
es 3 mögliche Drehmatrizen:
1
0
0
cos 0 sin
cos sin 0
Dx 0
cos
sin , D y
0
1
0
, Dz sin cos 0
0 sin cos
sin 0 cos
Für die inverse Drehmatrix muß nur ö durch –ö ersetzt werden:
cos cos , sin sin
1
0
0
1
0
0
Dx Dx 0
cos
0
1
sin 0 cos sin
0 sin cos 0 sin
1
cos
0
2
0
0
1 0 0
0
2
cos sin
cos sin sin cos 0 1 0 ,
sin 2 cos2
0 sin cos cos sin
0 0 1
cos 0 sin cos 0 sin
Dy Dy
0
1
0 0
1
0
sin 0 cos sin 0 cos
cos2 sin 2
0 cos sin sin cos 1 0 0
0
1
0
0 1 0,
2
2
sin cos cos sin 0
sin cos
0 0 1
cos sin 0 cos sin 0
Dz Dz sin cos 0 sin cos 0
0
0
1
0
0
1
cos2 sin 2
cos sin sin cos 0 1 0 0
sin cos cos sin
sin 2 cos2
00 1 0
0
0
1 0 0 1
1
T
1
T
1
T
Dx Dx Dx , Dy Dy Dy , Dz Dz Dz
Die allgemeine Drehmatrix ist dann eine Multiplikation dieser 3 Matrizen:
D,, Dx Dy Dz
cos
0 sin
0
Dx
1
0
0
0
cos
0
sin
sin 0
sin cos 0
sin 0 cos
1
cos
0
0
1
cos cos
cos sin
sin
sin
cos
0
0 sin cos sin cos sin sin cos
cos cos
cos sin sin sin cos
cos sin
sin
cos cos sin sin sin
sin cos
sin sin cos sin cos sin cos cos sin sin cos cos
Wie man sehen kann, kann die allgemeine Drehmatrix sehr kompliziert aussehen. In der Speziellen
Relativitätstheorie kann man das Koordinatensystem im allgemeinen so günstig wählen, daß man nur eine
Drehmatrix benötigt.
In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit miteinander verknüpft. Das geschieht, in dem eine 4.
Dimension zu den räumlichen Dimensionen hinzugefügt wird. Die räumlichen Drehmatrizen sehen dann
so aus:
1
0
0
0
cos 0 sin 0
cos sin 0 0
0 cos sin 0
0
1
0
0
sin cos 0 0
Dx
, D y
, Dz
0 sin cos 0
sin 0 cos 0
0
0
1 0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0 1
Auch hier gelten die gleichen Regeln für inverse Matrizen:
1
1
1
T
T
T
D x D x D x , D y D y D y , D z D z D z
1. Die benötigten relativistischen Formeln
a) Einleitung
Die wichtigsten Formeln sind die Lorentz-Transformationsformeln. Mit ihnen können Übersetzungen
zwischen verschiedenen Inertialsystemen vorgenommen werden. Die Lorentz-Transformationsformeln
sollen unabhängig vom Inertialsystem immer zu den gleichen Transformationsformeln führen. Ich habe
allerdings in der mir zur Verfügung gestandenen deutschen Literatur keinen Beweis gefunden, daß die
Transformationsformeln wirklich unabhängig von den Inertialsystemen sind. Wenn man das nicht finden
kann, muß der Beweis nachgetragen werden. Ich werde hier deshalb den Beweis führen, daß die LorentzTransformationsformeln wirklich unabhängig vom Inertialsystem sind.
Aus den Lorentz-Transformationsformeln wurden die Zeit- und Längendilatationsformeln berechnet. Sie
wurden auf jeden Fall richtig berechnet, haben allerdings einen Nachteil. Wenn ein Experiment
durchgeführt wird, in dem sich Objekte oder Uhren bewegen, die in verschiedenen Inertialsystemen
ausgemessen werden, dann sind die Übersetzungen nur dann genau, wenn die Uhren oder die Objekte in
einem der beiden Inertialsystem in Ruhe sind. Das sind ganz seltene Ausnahmefälle. Deshalb habe ich
eine allgemeingültige Formel für eine einfache Übersetzung von physikalischen Meßdaten entwickelt, die
die Bewegung der Objekte innerhalb eines Inertialsystems berücksichtigt.
Ich habe auch die Ableitungsregeln überprüft. Diese Ableitungsregeln müssen schließlich zum gleichen
Ergebnis führen wie die Übersetzungen aller Geschwindigkeiten von einem Inertialsystem in ein anderes.
b) Die Transformationsformeln
Definition 1: I0 ist ein Inertialsystem, in dem absolute Gleichzeitigkeit herrscht. Dadurch wird es zu
einem System in der objektiven Realität. Es ist außerdem das Inertialsystem, in dem der
Äther ruht.
X0 bezeichnet einen Punkt relativ zu einer Basis von I0 mit den Komponenten x0, y0, z0 und
t0. Die Koordinatenachsen der Basis stehen senkrecht aufeinander und sind so normiert,
daß sich die Längen bei einer räumlichen Drehung der Koordinatenachsen nicht verändern.
Außerdem soll gelten: Wenn sich ein Objekt dreht, aber nicht die Koordinatenachsen, dann
sollen die Längen der Objekte ebenfalls erhalten bleiben.
c bezeichnet die Lichtgeschwindigkeit in I0. Die Lichtgeschwindigkeit ist innerhalb des
zulässigen Definitionsbereichs überall und in allen Richtungen gleich.
Bevor man anfängt eine Theorie aufzubauen, benötigt man eine Grundlage für die Berechnungen. Diese
Grundlage ist I0 mit einer Basis. Damit man die Relativitätstheorie aufbauen kann, muß man erst ein
Inertialsystem I0 finden, welches die Eigenschaften besitzt, die in Definition 1 beschrieben werden. Es ist
durchaus möglich, daß diese Eigenschaften nicht im ganzen Universum gültig sind, sondern nur in einem
Teilbereich. Dann ist die Theorie auch nur in diesem Teilbereich zulässig. Wenn sich beispielsweise
herausstellen sollte, daß die Lichtgeschwindigkeit vom Gravitationsfeld abhängt, dann gilt die Theorie
nur dann, wenn sich das Gravitationsfeld im Definitionsbereich nur so schwach ändert, daß man bis auf
die Meßungenauigkeit keinerlei Veränderung der Lichtgeschwindigkeit feststellen kann.
Definition 2: In bezeichnet ein Inertialsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. v0n
ist der Betrag der Geschwindigkeit, unabhängig von der Richtung, in der sich das
Inertialsystem bewegt.
Xn bezeichnet einen Punkt relativ zu einer Basis von In mit den Komponenten xn, yn, zn und
tn .
Nach der speziellen Relativitätstheorie Einsteins werden folgende Transformationsformeln benutzt:
xn
x0 v 0n t 0
0n 2
1
v
c2
t0
,
yn y0 , zn z0 , t n
v 0n
x0
c2
0n 2
1
v
c2
Diese Transformationsformeln können als Matrixmultiplikation betrachtet werden:
1
0n 2
1
xn
Xn
yn
zn
tn
v 0n
0 0
v
0n 2
1
c2
v
c2
0
1 0
0
0
v0n
c2
0 1
0
0n 2
1
y0
T 0n X 0
z0
t0
0n 2
1
c2
1
0 0
v
x0
v
c2
Da in den Formeln sehr häufig die Geschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit geteilt wird, benutze
ich eine Abkürzung:
Definition 3: vR ist die Geschwindigkeit relativ zur Lichtgeschwindigkeit des Koordinatensystems und
v
wird so berechnet: vR
c
Diese Gestalt benutze ich jetzt um das 1. Axiom zu formulieren:
Axiom 1: In sei ein Inertialsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. Es muß
gelten: |v0n|<c. Dann kann bei einer geeigneten Wahl der Basen in I0 und In folgende
Koordinatentransformation durchgeführt werden:
1
w0n
0
2
X n T 0 n X 0 , w 0 n 1 v R0 n , T 0 n
0 0
1 0
0
v 0n
c 2 w0 n
v 0n
w0n
0
0 1
0 0
0
1
w0n
Ein Axiom ist eine Behauptung, die nicht bewiesen wird. Ein Axiomensystem bildet die Grundlage einer
mathematischen Theorie. Findet man irgendwann etwas, was die Regeln des Axiomensystems erfüllt,
dann gilt automatisch die ganze Theorie, die sich aus diesen Axiomen herleiten läßt.
Dieses Axiom ist mit Absicht so formuliert worden, daß die Transformationsformeln von I0 abhängig
gemacht worden sind. Es wurde schließlich zu recht von den Kritikern darauf hingewiesen, daß die
Transformationsformeln nicht allgemeingültig bewiesen wurden. Dadurch werden die allgemeinen
Transformationsformeln nicht automatisch falsch. Man muß diesen Beweis nachträglich durchführen.
Funktioniert das, dann sind die allgemeinen Transformationsformeln korrekt. Funktioniert es nicht, dann
findet man wenigstens eine allgemeingültige Regel für beliebige Koordinatentransformationen. Deshalb
werde ich die Allgemeinen Transformationsformeln Schritt für Schritt aufbauen.
Satz 1: In ist ein Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. Es gilt dabei:
|v0n|<c. Dann hat die Lichtgeschwindigkeit in In ebenfalls den Wert c.
Beweis
Für die Lichtgeschwindigkeit gilt in I0 folgende Regel:
c t0
0 2
x0
xn
yn
zn
tn
0 2
T
0 2
x y z
0n
y0
z0
t0
1
w0 n
0
0
v0n
c 2 w0 n
0 2
t0
0 2
0 2
x y z
c
0 0
1 0
0 1
0 0
v0 n
w0 n
0
0
1
w0 n
x 0 vR0 n
x0
y0
0 2
z0
2
y0 z0
c
2
x
0 2
0 2
0 2
x y z
w0 n
y0
z0
2
2
x0 y 0 z 0
c w0 n
2
vR0 n x 0
Jetzt kann ich die selbe Überlegung in In anstellen:
c t n
n 2
n 2
n 2
x y z
0 2
x 0 v 0n
R
n 2
c
n 2
n 2
x y z
tn
0 2
c
x
0 2
c
0 2
0 2
0 2
0 2
0 2
0 2
0 2
0 2
0 2
x y z
0n
R
0 2
0 2
0
0n
0n 2
R
0 2
0 2
0 2
0n 2
x y z v x y z y z w
x y z v x
2 x 0 v R0 n
0 2
0 2
0n 2
cw
0 2
2
0 2
x y z
y z
w
x y z v x
2 x 0 v R0 n
0 2
0 2
0 2
0 2
0n
R
0 2
0
0n 2
R
0 2
x y z v x
x y z v x
0 2
0 2
0 2
0n
R
0
c
2
0 2
0 2
0 2
v R0 n x 0
0 2
0 2
0 2
v R0 n x 0
x y z
x y z
c
Ende des Beweises.
Dieses Ergebnis aus Satz 1 bedeutet, daß ich mit Hilfe der Transformationsformeln erreicht habe, daß sich
das Licht in jedem Inertialsystem in allen Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet. Die
Transformationsformeln aus Satz 1 erlauben also die Synchronisation der Uhren mit der Methode von
Einstein.
Satz 2: In ist ein Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. Es gilt dabei: |v0n|<c.
Dann sieht die Koordinatentransformation von In nach I0 auf Grund der Regeln von Axiom 1 bei
einer geeigneten Wahl der Basen in I0 und In so aus:
X 0 T n 0 X n , w n 0 w 0 n , v n 0 v 0 n , T n 0
1
w n0
0
0
v n0
c 2 wn0
0 0
1 0
0 1
0 0
v n0
wn0
0
0
1
wn0
Beweis
Es gilt:
2
2
v n 0 v 0 n w n 0 1 v Rn 0 1 v R0 n w 0 n
2
1 0 0 0
1 v R0 n
0 0
0n 2
R
1 v
0 1 0 0
0
0 0 1 0
0
0n
v
v 0n
0 0 0 1
2
c 2 w 0 n
1 0
0 1
0 0
v 0n v 0n
0n 2
w
0
0
2
1 v R0 n
2
1 v R0 n
1 v R0 n v Rn 0
w0n wn0
0
0
v 0n v n0
c 2 w0 n w n 0
v n0 v 0n
1
w0 n w n 0
w0n
1 0
0
0
0 1
0
0
v R0 n v Rn 0 1
v 0n
0 0
c 2 w0n
w0 n w n 0
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
v 0n
1
w0 n
wn0
0
0
0
0
1
v n0
w0 n
c 2 wn0
0 0
1 0
0 1
0 0
v n0
wn0
0
0
1
wn0
1
T 0 n T 0 n T 0 n T n 0
Diese Ergebnisse kann ich benutzen um die umgekehrte Koordinatentransformation durchzuführen:
X 0 T n 0 X n T n 0 T 0n X 0 T 0n
1
T 0n X 0 X 0
Ende des Beweises.
Die Koordinatentransformationen sollen unabhängig von I0 in allen Richtungen durchgeführt werden
können. Das funktioniert nur dann, wenn auch räumliche Drehungen innerhalb eines Inertialsystems
zulässige Koordinatentransformationen sind. Bei diesen räumlichen Drehungen bleibt die relative
Gleichzeitigkeit erhalten. Eine solche Matrix muß folgende Gestalt haben:
D4 dim
DRäumlich
0
0
0
0 0 0 1
DRäumlich ist eine 3×3-Matrix mit der Determinante =1 und alle Zeilen- und Spaltenvektoren haben die
Länge 1. Solche Drehmatrizen können aus 3 einzelnen Drehmatrizen zusammengesetzt werden, bei der
die Drehung um eine der Koordinatenachsen durchgeführt wird. Ich benutze in meiner Untersuchung
folgende Drehmatrizen:
Definition 4: Ich definiere folgende Drehmatrizen:
1
0
0
0
D x n
cos n
0 sin n 0
0 cos n sin n 0
0
1
0
0
, D y n
,
n
n
n
n
0 sin cos 0
sin 0 cos 0
0
0
0
1
0
0
0
1
n
n
cos sin 0 0
Dz n
sin n cos n 0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
In den meisten Fällen werde ich nur Dz benutzen, da in meiner Untersuchung in den meisten Fällen das
Koordinatensystem so geschickt gewählt werden kann, daß sich die Objekte und Inertialsysteme nur in
der x-y-Ebene bewegen.
Satz 3: In ist ein Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. Es gilt dabei: |v0n|<c.
In I0 bewegt sich ein Objekt mit der Geschwindigkeit vO0, vO0≥0. Bei einer geeigneten Wahl der
Basen in I0 und In bewegt sich das Objekt in I0 in der x-y-Ebene. Der Winkel zwischen der
Bewegungsrichtung von In und dem Objekt beträgt ö0. Dann würden in In auf Grund der Regeln
von Axiom 1 folgende Werte gemessen werden:
0
0
a cos 0 v OR
v R0 n , b sin 0 w 0 n v OR
, w
0
0
0
OR
v R0 n
2
0n 2
2
0
OR
w 1 v ,
cos n
a
b
, sin n ,
w
w
w
vO0
O 0 Dz 0
0
1 cos v
0
t 0
Dz n O n
c t 0
0n
0
w
0
1 cos 0 vOR
v R0 n
c
1
Beweis
Wenn sich In in I0 in Richtung der x-Koordinate bewegt, dann führt eine Koordinatentransformation mit
der Drehmatrix Dz(ö0) dazu, daß sich das Objekt O in x-Richtung mit der Geschwindigkeit vO0 bewegt.
Deshalb kann man O in I0 so beschreiben:
vO0
O 0 Dz 0 Dz 0 O 0 Dz 0
0
0
t0
1
Jetzt kann ich eine Koordinatentransformation von I0 nach In durchführen. Es gilt dann folgendes:
v O0
O 0 D z 0
cos 0 sin 0 0 0
0
sin 0
t0
0
0
1
cos 0
0
0
0
0
v OR
0
cos 0 vOR
0
0
sin 0 vOR
0 0
c t0
ct0
0
0
1 0
1
1
0 1
c
c
O n T 0n O 0
1
w0n
0
0
v 0n
c 2 w 0n
0 0
1 0
0 1
0 0
v 0n
w 0n
0
0
1
w 0n
0
cos 0 v OR
0
sin 0 v OR
0
1
c
0
cos 0 vOR
v R0 n
c t0
0
0
v R0 n , b sin 0 w 0 n v OR
, d
a cos 0 v OR
0
sin 0 w 0 n vOR
0
a
b
c t
0n e
0
0
w
0
0n
1 cos v OR v R
d
c
0
0
1 cos 0 vOR
v R0 n
ct0
, e 0n
c
w
Für die Bestimmung der Drehmatrix ist nicht der exakte Wert von On wichtig, sondern nur seine
Richtung:
a
R On
b
0
d
Wenn ich in In eine Drehung um den Winkel ön durchführe, dann zeigt die Geschwindigkeit in die xRichtung des Koordinatensystems. Ich bestimme deshalb die Drehmatrix Dz(ön) nach folgendem Prinzip:
Dz n
cos n
sin n 0 0
sin
cos
n
n
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
.
a
, Dz n
0
b
.
.
.
.
0 sin n a cos n b sin n a 1 sin 2 n b sin 2 n a 2 1 sin 2 n b 2
sin n
b2
b
a b2
a2 b2
cos n 1
2
b2
a2
a
2
2
a b
a b2
a2 b2
2
In den Spaltenvektoren taucht ein paar mal „.“ auf. Das soll nur andeuten, daß es egal ist, was dort steht.
Diese Werte spielen für die Berechnung keine Rolle. Da ich hier immer die Wurzel gezogen habe,
bedeutet das, daß es immer 2 Lösungen gibt. Deshalb mußte ich das „±“-Zeichen benutzen. Die Formel
muß auch dann richtig sein, wenn v0n=0 ist. In diesem Fall ist On=O0. Es muß dann folgendes gelten:
vR0 n 0 w0 n 1
b
sin n
2
a b
2
2
cos v v sin w
cos v v
cos v v sin w
0
0n 2
R
0
OR
0
0
a
cos n
0
sin 0 w0 n vOR
a b
2
0
0
OR
0
OR
v
0
0n
R
0n 2
R
0
OR
0n
2
0
sin 0 vOR
cos v sin v
cos v
cos v sin v
0
2
0
OR
0
2
0
0n
0
OR
v
2
0
OR
0
2
0
OR
0
2
0
OR
0
OR
sin 0 ,
cos 0
Diese Gleichungen werden nur dann für alle ön erfüllt, wenn ich das „+“ als Vorzeichen benutze:
a2 b2
0
0
2
0
2
0
OR
0
2
0
2
0
OR
0n 2
2
0
2
0
OR
0
0n 2
R
0
OR
0n
2
0
OR
cos v v sin w v
cos v 2 cos v v v 1 cos w v
cos v 1 w 2 cos v v 1 1 v w v
cos v v 2 cos v v 1 w w v
1 cos v v w 1 v w
b
a
sin
cos
w
w
n
0
OR
0
0n 2
R
0
2
0
OR
0n
R
0n 2
R
0n
R
0n 2
0
OR
0
OR
2
0n 2
0
0n 2
R
0n
R
0n 2
0n
R
0n 2
2
0
OR
0n 2
2
0
OR
2
0
OR
2
0
OR
n
Jetzt betrachte ich On in Bewegungsrichtung:
cos n
sin
n
Dz n O n
sin n
cos
n
0
0
0
0
a
w
b
0 0 b
e
w
1 0 0
0
d
0 1
0
0 0
a
b
a2 b2
w
0 0 a
w
w
0
a
b
b a a b
c t0
0 0 e
e
0n
0
w
w
0
w
0
1 cos 0 vOR
v R0 n
0 1 0
0
d
c
0 0 1
d
Ende des Beweises.
Satz 4: In ist ein Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt und Im ist ein
Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0m bewegt. Der Winkel zwischen den
Bewegungsrichtungen ist ö0. Es gilt dabei: |v0n|<c>|v0m|. Dann kann man auf Grund der Regeln
von Axiom 1 bei einer geeigneten Wahl der Basis in In und Im folgende
Koordinatentransformation benutzen:
i)
ii )
X m T nm X n
1
w nm
0
T nm
0
v nm
c 2 w nm
v nm
w nm
0
0 0
1 0
0 1
0
1
w nm
0 0
2
iii ) w nm w mn 1 v Rnm
0n 2
v Rnm 1
0m 2
w w
1 cos v v
0
0n
R
0m 2
R
v Rmn
Beweis
Für die Koordinatentransformation von In nach Im muß folgendes gelten:
X m T nm X n Dz m T 0 m Dz 0 T n 0 Dz n X n
T nm Dz m T 0 m Dz 0 T n 0 Dz n
Da die Berechnungen jetzt sehr umfangreich werden, mache ich jetzt erst mal eine Zwischenrechnung:
U nm T 0 m Dz 0 T n 0 T 0 m
1
w0m
0
0
v 0m
c 2 w0m
cos 0 sin 0 0 0
sin 0 cos 0 0 0
0
0
0
0
1 0
0 1
cos 0
v 0m
sin 0
n0
w
0m
w
sin 0
0
cos 0
wn0
0
0
0
1
n0
v
0
w0 m
c 2 wn0
0 0
1 0
0 1
0 0
cos 0 v Rn 0 v R0 m
w n 0 w0 m
sin 0
wn0
0
cos 0 v 0 m v n 0
c 2 w n0 w0m
sin 0
w0m
0
cos 0
0
0
1
v 0 m sin 0
0
c 2 w0m
1
wn0
0
0 0
1 0
0
v n0
c 2 wn0
0 1
0 0
v n0
wn0
0
0
1
wn0
v n 0 cos 0
wn0
v n 0 sin 0
wn0
0
1
wn0
0
0
1
0
cos 0 v R0 n v R0 m
v n 0 cos 0 v 0 m
w n 0 w0 m
w0n w0m
v n 0 sin 0
sin 0
n0
w
w0n
0
0
v Rn 0 v R0 m cos 0 1 v 0 n cos 0 v 0 m
w n 0 w0 m
c 2 w0 n w0 m
sin 0
w0 m
cos 0
0
v 0 m sin 0
c 2 w0 m
v 0 n cos 0 v 0 m
w0 n w0 m
v 0 n sin 0
0
w0n
1
0
1 v R0 n v R0 m cos 0
0
w0 n w0 m
0
Durch das Vertauschen der Indices n und m und das Ersetzen von ö0 durch –ö0 erhält man die
Transformationsformel von Im nach In:
cos 0 v R0 n v R0 m
w0n w0m
sin 0
w0m
0
v 0 m cos 0 v 0 n
c 2 w 0n w0m
sin 0
w0n
U mn
cos 0
0
v 0 n sin 0
c 2 w0n
v 0 m cos 0 v 0 n
w0 n w 0 m
0m
v sin 0
0
w0 m
1
0
1 v R0 n v R0 m cos 0
0
w0 n w 0 m
0
Die Drehmatrizen für Dz(în) und Dz(øm) müssen noch bestimmt werden. Für die Berechnung der
Drehmatrizen in In und Im benutze ich die Erkenntnisse aus Satz 3. Die Formeln, die ich dort entwickelt
hatte, sahen so aus:
0
0
v R0 n , b sin 0 w 0 n v OR
, w
a cos 0 vOR
0
0
0
OR
v R0 n
2
0n 2
2
0
OR
w 1 v ,
cos n
a
b
, sin n ,
w
w
w
vO0
O 0 Dz 0
0
1 cos v
0
t0
Dz n O n
0
0
1 cos 0 vOR
v R0 n
c
1
c t 0
w0n
Wenn sich das Objekt in Im befindet, dann wird die Transformationsformel von Im nach In benutzt. Ich
benutze also Umn. Dafür habe ich Dz(–ö0) benutzt. Deshalb muß ich Dz(ön) berechnen. Als Objekte
betrachte ich hier etwas, was in einem Inertialsystem ruht und sich daher mit einer Geschwindigkeit
bewegt, die kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist. Ich kann deshalb einen Parameter leicht verändern:
v O0 v 0 m
2
0
1 v OR
w0m
a n cos 0 v R0 m v R0 n , b n sin 0 w 0 n v R0 m , w n
0
0
1
0m
R
2
2
2
v R0 n w 0 n w 0 m , cos n
an
bn
, sin n n ,
n
w
w
w
v 0m
O 0 D z 0
0
1 cos v
t0
D z n O n
0
c t0
0
w0n
1 cos 0 v R0 m v R0 n
c
Es gilt also: Dz(în)=Dz(ön).
Durch das Vertauschen der Indices n und m und das Ersetzen von –ö0 durch ö0 erhält man die Formeln
für die umgekehrte Richtung:
a m cos 0 v R0 n v R0 m , b m sin 0 w 0 m v R0 n , w m
cos m cos m
am
,
w
b
sin sin
w
m
0
0
0m
R
v R0 n
2
0n 2
0m 2
w w
w n w,
m
m
,
w
v 0n
O 0 Dz 0
0
1 cos v
0
t0
Dz m O m
c t 0
0m
0
w
1 cos 0 v R0 m v R0 n
c
1
Jetzt berechne ich die Geschwindigkeit von Im in In und umgekehrt. Dazu betrachte ich einmal eine in In
bzw. Im ruhende Uhr und berechne die Geschwindigkeit dieser Uhr im jeweils anderen Inertialsystem:
0
X
m
D z
am
w
bm
w
0
0
U
m
bm
w
am
w
0
0
nm
cos sin
0 n sin m cos m
t
0
0
0
1
0
0
m
0 0
c am
0 0
c bm
0
0
0
1
0
v 0 n cos 0 v 0 m
0
w 0 n w0 m
0n
v
sin 0
0
tn
w0n
0
0
1 1 v R0 n v R0 m cos 0
w 0 n w0 m
1 0
1 v R0 n v R0 m cos 0
0 1
tn
w0n w 0m
2
2
n
0
t
w0 n w0m
c a m b m
w
tn
c b m a m a m b m
0n
w w0m
w
0
1 v R0 n v R0 m cos 0
2
cw
0
m
2
2
c 1 v R0 n v R0 m cos 0 w 0 n w 0 m
tn
0
0n
w w0 m
0
1 v R0 n v R0 m cos 0
1 v R0 n v R0 m cos 0
v Rmn
1 v
0n
R
2
2
2
2
2
v R0 m cos 0 w 0 n w 0 m c
w0 n w0m
1
0n
0m
0
1 v R v R cos c
1 vR0n vR0m cos 0 2
Wenn ich in der Formel überall m und n vertausche und ö0 durch –ö0 ersetze, dann sieht der Beweis für
die andere Richtung identisch aus. Es gilt also:
0n 2
v Rnm 1
0m 2
w w
1 v v cos
0n
R
0m
R
0
2
vRmn
Dieses Ergebnis ist unbefriedigend, denn es sollte gelten: vRnm=–vRmn. vRmn hat das falsche Vorzeichen.
Also muß ich die Matrix Dz(öm) nachkorrigieren. Wenn ich die Drehung des Koordinatensystems um
180° – entspricht einer Winkelveränderung von ð – vergrößere, dann wird die Koordinatenrichtung xm
genau umgedreht und das Vorzeichen von vRmn wird negativ:
cos sin 0 0 1 0 0 0
sin cos 0 0
0 1 0 0
Dz
0
0
1 0
0
0
1 0
0
0
0 1
0
0
0 1
Xm
1 0 0 0 c 1 v 0 n v 0 m cos 0 2 w0 n 2 w 0 m 2
R
R
0 1 0 0
tn
0
m
nm
n
Dz Dz U t
0m
0
0 0 1 0
w w0n
0
1
0 0 0 1
1 v 0 n v 0 m cos 0
0
0
R
2
c 1 v R0 n v R0 m cos 0 w
0n 2
w
0
0
R
0m 2
tn
w w0n
0m
1 v R0 n v R0 m cos 0
0n 2
v Rmn 1
0m 2
w w
1 v v cos
0n
R
0m
R
v Rnm
2
0
Es gilt also: Dz(m)= Dz()Dz(–öm).
Jetzt kann ich wnm und wmn bestimmen:
2
w nm 1 v Rnm
1 v Rnm
2
2
2
w 0n w 0m
w mn 1 1
1 v R0 n v R0 m cos 0
2
0n 2
0m 2
w w
1 v v cos
0n
R
0m
R
0
2
w 0n w 0m
1 v R0 n v R0 m cos 0
Damit ist Punkt iii) aus Satz 4 nachgewiesen worden.
Übrigens, anhand der Abkürzungen in den Drehmatrizen kann man vnm=–vmn und wnm=wmn auch anders
beschreiben:
w 0n w 0m
1 v v R0 m cos 0
v
v Rnm
w nm
n
mn
R
0n
R
mn
R
mn
0n
0
0n
R
nm
0n
R
0m
R
0
0n
R
0m
0m
R
0m 2
0n
R
0m
R
n 2
n 2
m 2
2
0
0n
R
0m
R
0
n
0m
R
2
0
0m
R
0n 2
0m 2
0
w w nm
w 0n w0m
0
nm
R
0n
0m
R
v , b sin w v ,
a b a b 1 v v
a cos v
w
0m
0n
R
0n 2
nm
R
0n
w w w 1 v v cos ,
1 v v cos w w
w w
v 1
1 v v cos
1 v v cos
v
w
w
, 1 v v cos
w
w w
v
w nm w mn
m 2
0n
R
a cos 0 v R0 n v R0 m , b m sin 0 w 0 m v R0 n ,
cos w w
m
0m
R
2
0
0n 2
0m 2
Jetzt muß ich nur noch Tnm berechnen. Dies geschieht in mehreren Teilschritten:
1
Dz Dz m
0
0
0
0
U nm
0n
R
0m
am
w
1 0 0 bm
0 1 0
w
0
0 0 1
0
0
0m
R
cos v v
w0 n w
sin 0
w0n
0
v 0 n cos 0 v 0 m
c 2 w0 n w0 m
0 0
0
sin
w0m
cos 0
0
v 0 m sin 0
c 2 w0m
bm
w
am
w
0
0
am
w
bm
0 0
w
1 0
0
0 0
0 1
bm
w
am
w
0
0
0
0 0
0 0,
1 0
0 1
cos 0 v R0 n v R0 m
v cos v
w 0 n w0 m
w0 n w 0 m
v 0 n sin 0
sin 0
0
0n
w
w0n
1
0
0
1 v R0 n v R0 m cos 0
a n v Rnm
0
w 0 n w0 m
c w w nm
0n
0
0
0m
sin 0
w0 m
0
cos 0
0
0
b n v Rnm
c w w nm
1
0
a m v Rnm c
w w nm
b m v Rnm c
w w nm ,
0
1
w nm
Als nächstes will ich Dz(ð)Dz(–öm)Unm berechnen. Dafür werden erst mal ein paar kleine
Nebenrechnungen durchgeführt:
Dz D z m U nm 1,1 w w 0n w0m
a m cos 0 v R0 n v R0 m b m w 0 m sin 0 cos 0 v R0 n v R0 m cos 0 v R0 n v R0 m sin 0 w 0 m v R0 n w 0 m sin 0
2
2
2
cos 2 0 v R0 n cos 0 v R0 n v R0 m cos 0 v R0 m v R0 n v R0 m v R0 n w0 m sin 2 0
2
2
v R0 n cos 2 0 sin 2 0 cos 0 v R0 m cos 0 v R0 n v R0 m 1 sin 2 0 v R0 n v R0 m
2
2
cos 0 v R0 m v R0 n cos 0 v R0 n v R0 m cos 2 0 v R0 n v R0 m a n cos 0 v R0 m v R0 n cos 0 v R0 n v R0 m
a n w 0n w 0m
,
w nm
Dz D z m U nm 1,2 w w 0n w 0m
a n 1 v R0 n v R0 m cos 0
a m w 0 n sin 0 b m w 0 n w 0 m cos 0 cos 0 v R0 n v R0 m w 0 n sin 0 sin 0 w 0 m v R0 n w 0 n w0 m cos 0
2
sin 0 w 0 n v R0 m cos 0 v R0 n 1 w 0 m
0n
n
b w w
w nm
0
0n
0m
R
2
cos 0 v R0 n v R0 m sin 0 w 0 n v R0 m 1 cos 0 v R0 n v R0 m
0m
,
D D U
m
z
sin w v
nm
1, 4
z
2
2
w 2 w nm
a m b m w 2 ,
v Rnm c
0n
0m
D D U w w w
b cos v v a w sin sin w v cos v v cos v
sin w cos v v v 1 v sin w v w b w w ,
D D U w w
b sin a w cos sin w v sin cos v v w cos
v sin cos v cos w a w ,
D D U w w b a a b 0
m
z
nm
2 ,1
z
0
m
0
0n
R
0m
0n
R
0
0m
0n 2
R
0m
R
0n
R
0
0
0m
0n
R
0m
R
0n 2
0m
R
0
0n
n
0n
R
v R0 m w 0 m sin 0
0m
0m
2, 2
0
0n
R
0m
m
2
0
0
2
0
0m
R
2
m
z
0
0n
R
nm
z
m
0m
m
0
m
z
0m
R
0m
0n
R
0m
n
m
2,4
v
0
0
0n
R
0m
R
0m
0
0m
nm
nm
z
0
0
nm
R
m
m
m
c
Jetzt kann ich Tnm berechnen:
X m T nm X n D z D z m U nm D z n X n
T nm D z D z m U nm D z n
an
w w nm
bn
w
0
a n v Rnm
c w w nm
1
w nm
0
0
v nm
c 2 w nm
bn
w w nm
an
w
0
b n v Rnm
c w w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
0
v nm
w nm
0
0
1
0
1
w nm
0
n 2
an
w
bn
w
0
0
bn
w
an
w
0
0
n 2
a b
0 0
2
nm
w w
bn an an bn
0 0
w2
0
1 0
2
2
a n b n v nm
0 1
c 2 w 2 w nm
an bn bn an
w 2 w nm
2
2
bn an
w2
0
a n b n b n a n v nm
c 2 w 2 w nm
0
v nm
w nm
0
0
1
0
1
w nm
0
v nm
w nm
0
0
1
w nm
Damit ist Punkt i) und Punkt ii) von Satz 4 bewiesen und der Beweis von Satz 1 ist vollständig.
Ende des Beweises.
Satz 5: Il, Im und In sind 3 beliebige Inertialsysteme. Im bewegt sich in Il mit der Geschwindigkeit vlm und
In bewegt sich in Il mit der Geschwindigkeit vln. Der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen
der Inertialsysteme Im und In in Il beträgt öl. Dann kann Tnm auch über den Umweg über Il
berechnet werden. Dafür werden folgende Matrizen mit ihren rechnerischen Zusammenhängen
benötigt:
T nm Dz m T lm Dz l T nl Dz n ,
T nm
1
w nm
0
v
w nm
0
0 0
1 0
0
v nm
c 2 w nm
0 1
ln 2
ln
R
0 1
2
l
, w nm w mn
, T nl
0
1
wlm
0 0
1
w nl
0
0
b
w
am
w
0
1 0
0
0 1
0 0
1 0
0
v nl
c 2 w nl
0 1
sin
D
0 0
,
ln
R
cos
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
l
l
z
0
1
w nl
w ln w lm
,
1 v v Rlm cos l
cos l
0 0,
v nl
w nl
0
0 0
m
a
w
bm
w
0
1 0
lm 2
lm
R
v lm
wlm
0
0 0
0
v lm
c 2 wlm
w w
1 v v cos
m
1
wlm
0
, T lm
0
1
w nm
0 0
vRnm v Rmn 1
Dz m
nm
sin l
l
0 0
, Dz n
an
w
bn
w
0
bn
w
an
w
0
1 0
0
0 1
0
cos w w
0 0
0 0,
a m cos l v Rln v Rlm , b m sin l wlm v Rln , a n cos l v Rlm v Rln , b n sin l w ln v Rlm ,
w
1 v
ln
R
v Rlm
l
2
ln 2
lm 2
Beweis
Im Beweis von Satz 4 habe ich die Matrizen für den Umweg über I0 schon entwickelt. Es waren folgende
Matrizen:
T nm Dz m T 0 m Dz 0 T n 0 Dz n , Dz m D z Dz m
T nm
1
w nm
0
v nm
w nm
0
0 0
1 0
0
v nm
c 2 w nm
0 1
0
1
w nm
0 0
0n 2
vRnm v Rmn 1
Dz m
0n
R
am
w
bm
w
0
0
0n
R
0n
R
0m
R
, T 0m
0m
R
bm
w
am
w
0
1 0
0
0 1
0m
R
0
0 0
1 v
v
v n0
wn0
0
0 0
1 0
0
v n0
c 2 wn0
0 1
0
0m
0 0
an
w
bn
w
0
bn
w
an
w
0
1 0
0
0 1
0 0
0
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
0n 2
0n
R
,
0
1
wn0
, Dz n
0
cos w w
2
1
wn0
0
w0 n w 0 m
,
1 v v R0 m cos 0
0n
R
cos
0
z
, T n0
sin 0
sin
D
0
0 0,
0
1
w0m
0 0
, w nm w mn
a cos v v , b sin w
w
0 1
cos 0
m
0
1 0
0m 2
2
v 0m
w0m
0
0 0
0
v0m
c 2 w0m
w w
1 v v cos
0
m
1
w0m
0
0
n
v , a cos v
0m
R
0n
R
0 0,
v , b sin w v R0 m ,
n
0
0 0
0n
0m 2
Die Matrix Tnm hat die gleiche Gestalt wie T0n, welches durch Axiom 1 festgelegt wurde. Man muß dort
nur die Indices 0 gegen n und n gegen m austauschen. Das bedeutet, daß ich die Entwicklung meiner
Transformationsformeln aus einem beliebigen Inertialsystem starten kann. Also auch in Il. Deshalb
brauche ich in den Formeln aus dem Beweis von Satz 4 nur die Indices 0 durch l zu ersetzen.
Ende des Beweises.
Satz 6: Für die Transformationsmatrizen und die Drehmatrizen gelten folgende Regeln:
D x T nm T nm D x ,
1 0
0
0 1
0
1
w nm
v nm
2
c w nm
D y T nm D y 0 0
2
2
0 0
0
1
0
0
v nm
, D z T nm D z
nm
w
2
2 0
1
0
w nm
0
1
w nm
0
v nm
c 2 w nm
0
0
1
0
0
v nm
w nm
0
1
w nm
Beweis
cos 0, sin 1
2
2
1
Dz T nm Dz
2
2 0
0
0
0 0
0
1 0
0
0 1
Dx T nm
0
0
0
0
1
1
0
0
cos
v nm
wnm
1 0
0
0 0
1
wnm
0
0
v nm
c 2 wnm
0 1
sin 0
1
v nm
wnm
1 0
0
0 0
0 1
0 0
0
1
wnm
0
1
wnm
0 0
0
1
nm
Dz w
0
2
v nm
c 2 wnm
0
0
1
Dy
wnm
2
v nm
2
c wnm
v nm
wnm
1 0
0
1
wnm
0
0
0
0
1
wnm
0 0
0
v nm
c 2 wnm
0
0
0 1
1
wnm
0
0 sin cos 0
0
0
0 0
0
v nm
c 2 wnm
0 0 1 0
0 1
Dy T nm Dy
2
2 1 0
0 0
v nm
wnm
1 0
0
1
wnm
0
0 1 0 0
0 1
0
1
wnm
0 0
1
0
0
cos
0
0
0
0
0
0
v nm
c 2 wnm
0
v nm 0
0
wnm 1
1
0
0
1
0
0
wnm
0 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
nm
0
v
nm
1
w
1
0
wnm
0
0
cos
sin
sin cos
0
0
0
1
nm
0 0 0 0
w
0
0 1 0 0
v nm
0 0 1 0 2
c wnm
1 0 0
0 1 0
1
1 0
0 1
0
0
v nm
0
wnm
1
0
1
0
wnm
0
0
1 0 0
1
0 0
0 0 0
wnm
v nm
0 0 1 0 0
2
c wnm
0
0
v nm
wnm
1
wnm
v nm
wnm
0
0
1
wnm
0
sin 0
0 sin cos 0
0
0
1
wnm
0
0 0
0
v nm
c 2 wnm
1 0
T nm Dx
1
Ende des Beweises.
Ich habe Axiom 1 so formuliert, daß sich das bewegte Inertialsystem immer in x-Richtung bewegt. Die
Transformationsformeln wurden nur für diesen Fall formuliert. Mit Hilfe von Satz 6 habe ich eine
Transformationsformel für jede Koordinatenachse.
b1) Die Unabhängigkeit der Transformationsformeln von I0
In Axiom 1 habe ich die Transformationsformeln relativ zu I0 definiert. Vielleicht ist es unmöglich I0 zu
finden. Dann muß man irgendein I1 festlegen und annehmen, daß es I0 ist. In I0 sind die
Transformationsformeln unabhängig von der Richtung, in der sich das Inertialsystem In bewegt. Mit Hilfe
von Satz 4 habe ich die Formeln konstruiert, die ich in I1 benutzen muß. Sie sehen so aus:
i)
ii )
X n T 1n X 1
1
w1n
0
T 1n
0
v 1n
c 2 w1n
0 0
1 0
0 1
0 0
2
iii ) w1n w n1 1 v 1Rn
v 1n
w1n
0
0
1
w1n
01 2
v 1Rn 1
0n 2
w w
1 cos v v
0
01
R
0n 2
R
v Rn1
T1n hängt ab von der Geschwindigkeit von In relativ zu I1, unabhängig von der Richtung.
c) Konstante Geschwindigkeiten
In diesem Abschnitt will ich untersuchen, wie die Meßdaten eines bewegten Objektes von einem
Inertialsystem in ein anderes übersetzt werden. Da in der Relativitätstheorie Einsteins die absolute
Gleichzeitigkeit durch eine relative Gleichzeitigkeit ersetzt wurde, kann man nicht mehr automatisch
voraussetzen, daß die Höchstgeschwindigkeit < ist. Schließlich könnte die Synchronisation der Uhren
so unglücklich gewählt werden, daß ein Objekt, welches an den Uhren vorbeifliegt, an jeder Uhr zur
gleichen Zeit vorbeifliegt. An dieser Stelle will ich nur die Phänomene untersuchen, die bei einer
Übersetzung entstehen können, egal, wie groß die tatsächliche Höchstgeschwindigkeit für physikalische
Objekte auch immer sein mag. Erst in Abschnitt d werde ich einige Überlegungen anstellen, um die
physikalischen Höchstgeschwindigkeiten in die Theorie einzubauen.
c1) Übersetzungen von In nach Im
Definition 5: In In bewegt sich ein Objekt mit der Geschwindigkeit VOn, |VOn|=vO. Das Inertialsystem
Im bewegt sich in In mit der Geschwindigkeit Vnm, |Vnm|=vnm<c. Dann definiere ich den
relativistischen Korrekturfaktor wie folgt:
n
RKFOnm 1 v Rnm vOR
cos n
Die Länge eines Objektes bezeichne ich als L(O). Für die Berechnung muß die Differenz
zweier Punkte des Objektes zum gleichen Zeitpunkt des Inertialsystems benutzt werden.
Ät bezeichnet die zeitliche Veränderung im Inertialsystem für ein bewegtes Objekt.
Äs bezeichnet die Entfernung im Inertialsystem, die ein Objekt in der Zeit Ät zurücklegt.
Die Geschwindigkeit V wird berechnet, in dem Äs durch Ät geteilt wird.
Bemerkung: Diesen relativistischen Korrekturfaktor kann man in der Mathematik auch anders berechnen:
n
RKFOnm 1 v Rnm vOR
cos n 1
m
V nm , VOn
c2
Satz 7: I bewegt sich in I mit der Geschwindigkeit Vnm, |Vnm|=vnm<c, in x-Richtung. In beiden
Inertialsystemen wird ein Objekt beobachtet, welches sich mit der Geschwindigkeit VOn,
|VOn|=vO, bewegt. Das Objekt ist von In aus betrachtet ein Zylinder mit dem Radius lr in der xy-Ebene und der Höhe lh. Die Basis des Inertialsystems wurde so gewählt, daß sich das Objekt in
der x-y-Ebene bewegt. Der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von Im und dem Objekt in
In beträgt ön. Für die Übersetzung der Meßdaten aus In nach Im gelten folgende Regeln:
OLn
n
cos n vOn
cos n
n
sin n
sin v
t
n
O
n
0
t n , OPn n , lr , l h
l
0
1
0
0
r
1
lh
0
0
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
OLm t n
0
RKFOnm
w nm
cos n
w nm
sin n
t n , OPm n , lr , lh
0
v Rnm cos n
c w nm
0
0
lr
1
lh ,
0
O n t n , n , lr , lh OLn t n OPn n , lr , lh , O m t n , n , l r , lh OLm t n OPm n , l r , l h
Darüber hinaus möchte ich wissen, wie sich der Radius und die Höhe des Zylinders verändern.
Für das bewegte Objekt will ich wissen, wie sich Ät, Äs und VO verändern:
t 2n t1n : L Orn O n t 2n , n , l r , l h O n t1n , n , 0, l h
v nm cos n
t 2n t1n R
l r : L Orm O m t 2n , n , l r , l h O m t1n , n , 0, l h
c RKFOnm
sin
L O
l
cos n
0
w nm cos n
n
n
r
r
m
r
LO
n
v
sin
n
OR
v Rnm sin n n
0
0
lr
RKFOnm
0
t 2n t1n : L Ohn O n t 2n , n , l r , l h O n t1n , n , l r , 0 , L Ohm O m t 2n , n , l r , l h O m t1n , n , l r , 0
0
L Ohn
0
1
l h L Ohm ,
0
t m
RKFOnm
t n ,
w nm
cos n vOn
s n
sin v
n
n
O
t n
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
s m
t n ,
0
n
Vn
s
t n
0
sin v
n
n
O
cos n vOn v nm
w nm
w nm
s m
sin n vOn
m
t
RKFOnm
0
cos n vOn
Vm
0
Beweis
1
w nm
0
OLm t n T nm OLn t n
0
v nm
c 2 w nm
OPm n , lr , lh T nm OPn n , lr , lh
0 0
1 0
0 1
0 0
cos n vOn v nm
cos n vOn v nm
v nm
cos n vOn
nm
nm
w
w nm
w
n
n
sin n vOn
0
sin vO
sin n vOn
t n
t n
tn
0
0
0
0
n
1
v Rnm cos n vOR
1
RKFOnm
1
nm
w
w nm
w nm
1
w nm
0
0
v nm
c 2 w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
v nm
w nm
0
0
1
w nm
cos n
cos n
0
0
w nm
n
0
0
sin n
sin
lr lh
lr lh
1
1
0
0
v Rnm cos n
0
0
0
c w nm
L Orn O n t 2n , n , l r , l h O n t1n , n , 0, l h
cos v
sin v
n
n
O
n
O
n
t 2n
0
n
0
sin
l
cos
0
n
0
1
r
cos v
sin v
n
lh
1
0
0
0
sin v
L O
t
n
O
n
O
n
n
r
n
1
0
cos
0
O t , , l ,
cos v v
LO
m
n
2
n
r
n
n
O
m
l h O t , , 0, l h
nm
cos
w nm
sin n
0
RKFOnm
w nm
0
RKFOnm
w nm
0
lr
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
0
0
v cos n
c w nm
nm
R
0
n
2
t1n
0
1
r
0
n
r
0
r
0
1
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
0
t 2n
h
l
n
nm
w
sin n vOn
n
sin n
n
O
n
cos
0
n
1
cos n
n
0
sin
l
n
n
t1n
1
0
0
1
m
r
t1n
cos n vOn
sin v
t
n
sin l
cos v
0
0
sin
0 l
cos n
1
n
t 2n t1n
n
O
n
O
n
lh
0
RKFOnm
w nm
0
t1n
cos n
w nm
sin n
0
0
v cos n
c w nm
nm
R
0
0
1
lh
0
t 2n t1n
cos n
w nm
sin n
0
v Rnm cos n
c w nm
lr
RKFOnm
v nm cos n
t 2n t1n R
lr
nm
w
c w nm
t 2n t1n
v Rnm cos n
lr
c RKFOnm
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
L Orm
0
RKFOnm
w nm
cos
n
v nm cos n
t1n R
l r t1n
nm
c RKFO
2
v
2
n
OR
v Rnm v Rnm cos n cos n
w nm RKFOnm
w nm
n
n
nm
n
sin vOR v R cos
sin n
lr
RKFOnm
0
v Rnm cos n v Rnm cos n
c w nm
c w nm
lr
0
v Rnm cos n
c w nm
n
v Rnm v Rnm RKFOnm cos n
2
1 v Rnm cos n
nm
nm
w RKFO
w nm
n
lr
n
n
nm
n
sin n vOR
v Rnm cos n sin n RKFOnm
sin
sin
v
v
cos n sin n cos n
lr
OR
R
nm
nm
RKF
RKFO
O
0
0
0
0
v
n
OR
cos
cos n
w nm
sin n
w nm cos n
v
sin
n
n
OR
v Rnm sin n n
0
lr
RKFOnm
0
L Ohn O n t 2n , n , l r , l h O n t1n , n , l r , 0
cos v
sin v
n
n
0
n
O
n
O
0
n
0
sin
l
cos
t 2n
n
0
1
r
1
cos v
sin v
n
n
lh
0
0
0
n
O
n
O
n
t 2n t1n
n
h
0
1
sin
l
n
t1n
0
n
1
0
0
cos v
t1n
0
0
1
0
0
cos n
1
sin v
L O
t
n
n
O
n
O
0
lh
1
0
lh
0
sin v
0
t
1
n
r
0
0
0
cos n vOn
1
n
O
n
2
t1n
0
1
0
lh
L Ohm O m t 2n , n , l r , l h O m t1n , n , l r , 0
cos v
n
n
O
v
nm
cos
w nm
sin n
nm
w
sin n vOn
0
RKFOnm
w nm
0
lr
0
v cos n
c w nm
nm
R
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
0
t 2n
0
RKFOnm
w nm
n
1
t1n
0
RKFOnm
w nm
0
0
0
0
v cos n
c w nm
nm
R
lr
t 2n t1n
0
1
lh
0
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
L Ohn
cos v
t sin v
n
0
t1n t1n
n
1
n
O
n
O
n
O Ln t 2n OLn
0
0
0
0
0
lh
1
1
0
RKFOnm
0
0
w nm
O n O n t 2n , n , l r , l h O n t1n , n , l r , l h OLn t 2n O Pn n , l r , l h OLn t1n OPn n , l r , l h
1
0
t 2n t1n
lh
cos n
w nm
sin n
n
n
n
O
n
O
n
n
O
n
O
cos v
cos v
cos v
sin n v
sin n v
sin n v
t 2n
0
n
O
n
O
lh
0
1
t1n
1
t 2n t1n
0
0
1
t n
1
n
n
O
n
O
cos v
sin v
sin n v t n
cos n vOn
n
n
2
n
1
t t t , s
n
n
n
O
t
n
0
m
m
n
2
cos v
n
m
n
1
n
n
O
nm
0
s n
V n
t
n
cos v v
v
n
nm
m
L
n
2
n
L
m
1
O t O t
n
2
n
t n
n
O
m
P
0
cos v v
n
n
O
m
L
nm
n
nm
w
sin n vOn
w
sin n vOn
n
2
t
0
RKFOnm
wnm
0
RKFOnm
w nm
n
1
n
O
m
P
cos v
O O t , , lr , lh O t , , l r , l h O t O , l r , l h O t O n , l r , l h
n
m
L
sin v
cos n vOn
nm
n
nm
w
sin n vOn
n
1
t
0
RKFOnm
w nm
n
O
v nm
nm
n
2
n
1
t t
w
sin n vOn
0
RKFOnm
w nm
cos n vOn v nm
w nm
t n , s m
t n
sin n vOn
t m
nm
O
nm
RKF
w
0
cos n vOn v nm
w nm
t n
sin n vOn
0
m
Vm
s
t m
RKFOnm
t n
w nm
cos n vOn v nm
w nm
w nm
sin n vOn
RKFOnm
0
Ende des Beweises.
Bemerkung: Wegen der Übersetzungsformeln von Ät kann man folgendes ableiten:
t m
RKFOnm
RKFOnm RKFOmn
t n
t m
nm
w
w nm
w mn
nm 2
RKFOmn
w
RKFOnm
1
RKFOnm RKFOmn
nm 2
w
2
1 v Rnm
RKFOnm
2
1
m
vOR
cos m
1 v Rnm
RKFOnm
RKFOnm 1 v Rnm
mn
vR
RKFOnm v Rmn
2
nm 2
R
v
n
v Rnm vOR
cos n
v n cos n v Rnm
OR
nm
nm
RKFO v R
RKFOnm
t n
c2) Die Zeit- und Längendilatationsformel nach Einstein
In der Einsteinschen Relativitätstheorie gibt es 2 besondere Formeln:
1 Eine Zeitdilatationsformel:
Hier wird eine Uhr in den Koordinatenursprung von In gestellt und anschließend nachgesehen, wie sich
die Geschwindigkeit verändert, wenn ich die Zeitdifferenzen dieser Uhr mit den Uhren in Im
vergleiche.
2 Eine Längendilatationsformel:
Hier wird ein Objekt in den Koordinatenursprung von In gestellt und anschließend nachgesehen, wie
sich die Längen des Objektes parallel und senkrecht zur Bewegungsrichtung von Im in In verändern,
wenn ich die Meßdaten miteinander vergleiche.
Zur Berechnung der Zeit- und Längendilatationsformeln kann ich die Formeln aus Satz 7 verwenden:
n
n
vOR
0 RKFOnm 1 vOR
v Rnm cos n 1 0 vRnm cos n 1
L Orn
LOhn
t m
cos n
sin n
0
0
0
0
1
0
lr
L Orm
wnm cos n
n
sin n vOR
v Rnm sin n n
0
0
lr
RKFOnm
wnm cos n
wnm cos n
sin n 0 vRnm sin n n lr
sin n
lr
1
0
0
0
0
lh LOhm ,
n
1 vOR
1 0 v Rnm cos n
RKFOnm
vRnm cos n
1
n
n
t n nm t n
t
t
nm
nm
nm
w
w
w
w
Ein Komponentenvergleich von L(Or) aus In und Im zeigt, daß sich die Längen senkrecht zur
Bewegungsrichtung nicht verändern und parallel zur Bewegungsrichtung gilt folgende Formel:
2
lv 1 v R l0
lv ist die Länge des Objektes, welches sich in einem Inertialsystem in Bewegungsrichtung mit der
Geschwindigkeit v bewegt. Also ist l0 die Länge des Objektes, wenn es sich in dem anderen
Inertialsystem in Ruhe befindet.
Nach dem gleichen Muster wie bei der Längendilatationsformel kann man die Zeitdilatationsformel mit
Hilfe von Ät definieren:
2
t 0 1 v R tv
Welche praktische Relevanz haben die Zeit- und Längendilatationsformeln? Die Komplexität der
Übersetzungen zeigt eigentlich nur eins. Es gibt eine physikalische Begründung für diese Zeit- und
Längendilatationsformeln. Wenn ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert, so daß es von einem
Inertialsystem in ein anderes wechselt, dann sind die Ruhemaße des Objektes in beiden Inertialsystemen
gleich. In diesem Fall würde die Längendilatationsformel die Veränderungen der Maße bezeichnen, wenn
ein Objekt von einem Inertialsystem in ein anderes Inertialsystem wechselt. Dadurch würden auch die
Maße einer Lichtuhr gleich bleiben, so daß sich die Zeiten nach der Zeitdilatationsformel verändern.
Leider ist diese Überlegung ein Vorurteil. In Abschnitt d wird dies genauer erläutert.
Haben die Zeit- und Längendilatationsformel eine praktische Relevanz für die Meßdaten bei der
Übersetzung von beobachteten Objekten? Man muß hier beachten, daß die Längendilatationsformel
richtungsabhängig ist. In dem Fall müßte folgendes gelten:
sin
l ,
0
w nm cos n
~
L Orm
n
0
r
0
~
L Ohm l h ,
1
0
0
w nm cos n vOn
t n
~
t m nm , ~
sm
w
sin v
sin n vOn
w nm cos n vOn
n
0
n
O
t
n
sm
~
~
V m ~m
t
0
t n
t n
w nm
w nm cos n vOn
nm
w
sin n vOn
0
Bekommt man das gleiche Ergebnis mit den Exakten Formeln aus Satz 7 heraus? Das will ich jetzt
überprüfen:
Lx Orm
w nm cos n l r
~
w nm cos n lr Lx Orm ,
n
cos n
1 v Rnm vOR
sin 1vv
n
n
OR
nm
R
L y Orm
n
n
l
v cos l
sin 1 v v cos l
~
sin l L O ,
cos
1 v v cos
nm
R
nm
R
r
n
OR
n
OR
n
n
nm
R
r
n
nm
R
n
OR
n
n
r
n
OR
r
n
y
m
r
m
h
h
n
nm
R
m
w
s xm
sin sin v
1 v v
~
L O l L O ,
t 1 v v cos t
t
m
h
n
v Rnm sin n n lr
v Rnm sin n cos n cos n sin n
sin n vOR
n
n
n
vOR cos
1 v Rnm vOR
cos n
z
n
OR
nm
n
w
n
nm
~
t m,
2
nm 2
w cos v
n
n
O
2
cos v
cos n vOn v nm
cos n vOn v Rnm cos n vOn
1 v Rnm
t n
t n
nm
nm
w
w
n
w
n
O
nm
t n
t n w nm cos n vOn t n ~
s xm
w
s my sin n vOn t n ~
s ym
cos v
2
2
cos v v v v cos cos v w 1 v v v cos w
1 v v cos
1 v v cos
1 v v cos w cos v w cos v V~
1 v v cos
sin v w
~
sin v w V
1 v v cos
n
n
v nm
cos n cos 2 n vOR
w nm
cos n vOn v nm v nm 1 v Rnm vOR
nm
n
n
nm
n
n
1 v R vOR cos
1 v R vOR cos
n
Vxm
n
nm
R
nm
n
OR
nm
R
n
nm
R
n
OR
nm
R
2
n
n
OR
n
n
OR
n
n 2
OR
nm 2
nm 2
R
n
nm 2
n
n
O
n
OR
n
O
n
O
nm
R
V ym
nm
nm 2
n
O
n
n
n
O
nm
R
nm
R
n
OR
n
OR
n
n
nm 2
cos n vOn
m
x
nm
n
n
n
O
nm
m
y
Nur in 2 Fällen bekommt man mit Hilfe der Längendilatationsformel das korrekte Ergebnis heraus:
~
Lz Ohm L Ohm , s ym ~
s ym
Die Maße des Objektes senkrecht zur der Ebene, die durch die Bewegungsrichtung des Objektes und die
Bewegungsrichtung von Im in In aufgespannt wird und der Entfernungsanteil senkrecht zur
Bewegungsrichtung von In in Im wurden mit Hilfe der Längendilatationsformel korrekt übersetzt. Alle
anderen Werte können mit Hilfe der Zeit- und Längendilatationsformeln nicht korrekt übersetzt werden.
Die Zeit- und Längendilatationsformeln funktionieren nur in den Spezialfällen, in denen aus den
Ungleichungen Gleichungen werden. Das gilt natürlich in 2 trivialen Spezialfällen. Wenn die
Geschwindigkeit des Objektes in In =0 ist, dann bekomme ich die Zeit- und Längendilatationsformeln. Ist
die Geschwindigkeit des Inertialsystems Im in In =0, dann ist Im=In. Dann gelten die Zeit- und
Längendilatationsformeln automatisch. Deshalb interessiere ich mich nur für die speziellen Winkel ön, in
denen aus den Ungleichungen Gleichungen werden. Ich brauche deshalb nur bei den oben entwickelten
Ungleichungen an der Stelle des Ungleichheitszeichens ein Gleichheitszeichen einzusetzen und alle ön
suchen, für die diese Gleichung erfüllt ist:
~
Lx Orm Lx Orm
w nm cos n l r
w nm cos n l r
n
1 v Rnm vOR
cos n
0 v v cos 0 cos ,
sin v v sin cos cos sin l sin sin v v cos l
~
L O L O
1 v v cos
1 v v cos
0 v v sin cos 0 sin ,
t 1 v v cos t
~
t t
0 v v cos 0 cos ,
n
m
r
y
n
OR
nm
R
n
nm
R
w
n
n
n
n
OR
n
n
n
n
n
nm
R
n
OR
r
n
OR
n
m
s xm ~
s xm
nm
R
nm
R
n
m
n
OR
m
r
y
nm
R
n
nm
R
n
OR
n
r
n
n
n
OR
nm
n
n
w
nm
R
nm
n
OR
2
n
n
cos n vOn v nm
cos n vOn v Rnm cos n vOn
t n
t n
nm
w
w nm
n
1 v Rnm vOR
cos n
1
cos n ,
n
v Rnm vOR
~
V xm V xm
n
1 v Rnm vOR
cos cos v w
2
n
2
n
OR
n
nm 2
0 cos 2 n
v Rnm
n
OR
v
cos n
~
V ym V ym
0 cos n
nm 2
R
2
nm
R
v
v
1
2 v w
4 v w v w
sin v w
sin v w
0 v v
1 v v cos
v Rnm
nm 2
n
OR
n
2
nm
R
n
O
n
OR
nm 4
2
n
OR
nm 2
n
n
n
O
nm
nm
R
cos n
v
n
OR
1
2
n
OR
nm 2
0
v w
4 w
v 4 3 v
2 v w
2 v w
cos 0 cos ,
w
nm 2
R
nm 2
nm
R
nm 2
n
OR
nm
n
OR
nm 2
2
n
n
cos n cos 2 n vOR
w nm
cos n vOn v nm
cos n vOn v nm v nm 1 v Rnm vOR
nm
n
n
nm
n
n
1 v R vOR cos
1 v R vOR cos
n
OR
n
nm 2
R
nm 2
,
n
n ,
2
2
Einige Formeln kann man übersetzen, wenn sich das Objekt senkrecht zur Bewegungsrichtung von Im in
In bewegt. In 2 Fällen wird immer noch eine Ungleichung erzeugt:
~
~
L O m L x Orm , t m ~
t m , V ym V ym ,
0 cos n x rm
~
~
m
m
s xm , V xm V xm
L y Or L y Or , s x ~
~
m
m
L O L y Or ,
0 sin n y rm
~ m
~
~
~m
m
m
s xm , V xm V xm , V ym V ym
L x Or L x Or , t t , s x ~
Die Zeit- und Längendilatationsformeln funktionieren nur in ganz seltenen Spezialfällen. In allen anderen
Fällen führen diese Formeln in die Irre. Deshalb würde ich sie als falsche Formeln bezeichnen.
c3) Eine besondere Grenze: RKFOnm=0
Ich möchte jetzt die Formelergebnisse aus Satz 7 untersuchen, wenn der relativistische Korrekturfaktor
=0 ist:
n
1
vOR nm
v R cos n
1
nm
v R n
v
cos
n
OR
1
cos n
n
nm
v
OR v R
nm
O
RKF
0 1 v
n
OR
v
nm
R
n
cos
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
O Lm t n
0
RKFOnm
w nm
cos n vOn v nm
w nm
n
n
sin
vOn
t
t n , OPm n , l r , l h
0
0
cos n
w nm
sin n
0
v cos n
c w nm
nm
R
0
0
lr
1
lh ,
0
Hier ist eine interessante Beobachtung zu machen. Jeder Punkt des Objekts kommt in Im an jedem Ort zur
gleichen Zeit vorbei. Betrachtet man die Punkte in der x-y-Ebene, dann kann man erkennen, daß 2
unterschiedliche Orte entlang der x-Achse an den Uhren zu unterschiedlichen Zeiten vorbeikommen! Aus
diesem Grund können in Im keine Längenbestimmungen vorgenommen werden. Jetzt berechne ich die
übrigen berechenbaren Formelergebnisse:
t m
RKFOnm
w nm
cos n vOn v nm
w nm
0
t n nm t n 0, s m
t n
sin n vOn
w
0
Natürlich kann Vm nicht berechnet werden, da man den zurückgelegten Weg durch die Zeit teilen müßte.
Es ist aber verboten, durch 0 zu teilen.
Unter welchen Bedingungen kann diese Grenzgeschwindigkeit erreicht werden? Das ist sehr einfach,
denn es gilt:
c2
v nm cos n
vOn
Da alle Geschwindigkeiten in der Formel 0 sind, muß der |ön|90° sein, also ein spitzer Winkel. Ist der
Winkel zu groß, dann wird der cos <0. Unter diesen Bedingungen kann die Gleichung nicht erfüllt
werden. Wenn der Wert unter dem Bruchstrich =0 ist, dann gibt es keine endliche Geschwindigkeit, bei
der die Grenzgeschwindigkeit erreicht wird. Also muß ImIn sein und |ön|<90° sein.
c4) Ein seltener Spezialfall: RKFOnm<0
Ich möchte jetzt die Formelergebnisse aus Satz 7 untersuchen, wenn der relativistische Korrekturfaktor
<0 ist:
sin v
t
n
n
O
n
O
cos v
n
OLn
n
0
tn
OLm t n
0
RKFOnm
w nm
1
cos n
w nm
sin n
sin
L O
l
1
tn ,
w nm
lh
sin
w nm cos n
n
0
0
RKFOnm
0
cos n
n
r
0
lr
0
v cos n
c w nm
nm
R
tn
0
OPm n , l r , l h
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
cos n vOn v nm
w nm
sin n vOn
r
L Orm
v
sin
n
n
OR
v
nm
R
0
0
w nm cos n
n
n
v
sin
lr
RKFOnm
0
n
n
OR
v Rnm sin n n
0
lr
RKFOnm
0
0
L Ohn
0
1
l h L Ohm ,
0
t m
s n
RKFOnm
RKFOnm
t n
t n ,
nm
w
w nm
cos n vOn v nm
cos n vOn
w nm
sin v
n
n
O
t n
s m
0
Vn
s
t n
t n ,
0
sin v
n
n
sin n vOn
n
O
n
O
cos v
n
0
Vm
cos n vOn v nm
cos n vOn v nm
w nm
w nm
w nm
w nm
s m
n
n
sin n vOn
sin
v
m
O
RKFOnm
t
RKFOnm
0
0
Weil RKFOnm<0 ist, dreht sich bei der Flugbahn das Vorzeichen für den Zeitablauf um. Das bedeutet, daß
die Zeit in In und Im in unterschiedlichen Richtungen wahrgenommen wird. Dadurch wird auch das
Vorzeichen der Geschwindigkeit umgedreht. Außerdem werden die Längen des Objektes umgedreht.
Stellen Sie sich vor, sie könnten mit einem Superbogen einen Pfeil mit einer Geschwindigkeit abschießen,
so daß RKFOnm<0 ist. Dieser Pfeil wird auf eine Wand abgeschossen und bleibt anschließend in der Wand
stecken. Dann würde folgendes beobachtet werden:
Während der Bogen gespannt wird, ist der Pfeil nur am Bogen zu sehen. Dann läßt der Schütze die Sehne
des Bogens los und der Pfeil wird immer schneller. Kurz bevor der Pfeil die Grenzgeschwindigkeit
erreicht RKFOnm=0, entsteht in der Wand die Pfeilspitze und bewegt sich mit der Grenzgeschwindigkeit
in 2 Richtungen. An dieser Stelle wird der Pfeil durch die Wand gebremst und deshalb bewegt sich die
Spitze in die Wand hinein. Bevor der Pfeil gestoppt wurde, hatte er eine höhere Geschwindigkeit und
wurde deshalb so ausgemessen, als ob er zum Bogen fliegt. Also gehen die Spitzen in der Wahrnehmung
auseinander und es entstehen 2 Pfeile. Der eine bleibt in der Wand stecken und der andere fliegt zum
Bogen und erreicht ihn in dem Moment, in dem der von der Sehne beschleunigte Pfeil die
Grenzgeschwindigkeit erreicht. Beide Enden des Pfeils fliegen aufeinander zu und dazwischen
verschwindet der Pfeil.
d) Die Physik der speziellen Relativitätstheorie
d1) Die Verwechslung von Eichungen und physikalischen Eigenschaften
Hier möchte ich, daß Sie im Denken wieder ganz von vorne anfangen. In der Physik müssen immer
wieder Eichungen vorgenommen werden. Es wurde beispielsweise ein Urmeter konstruiert, damit die
Länge 1 m immer eindeutig festgelegt ist. Für jeden physikalischen Wert der nicht aus anderen
physikalisch geeichten Werten abgeleitet werden kann, muß eine Eichung vorgenommen werden. Wenn
man die Länge und die Zeit eicht, kann man daraus die Geschwindigkeit berechnen. Man kann aber auch
anders vorgehen. Das Urmeter kann durch verschiedene physikalische Umweltbedingungen beeinträchtigt
werden. Vielleicht ist es nicht schlau, wenn die Länge geeicht wird. Das genaueste Meßinstrument,
welches wir kennen, ist Licht. Deshalb kann man die Lichtgeschwindigkeit als Eichparameter benutzen.
Zur Eichung der Zeit könnte man die Atomuhr benutzen, denn sie ist das genaueste Zeit-Meßinstrument,
welches wir kennen. Um Längen oder Entfernungen zu messen, schicken wir jetzt einen Lichtstrahl von
einem Ort zum anderen und von dort wieder zurück. Dies geht, wenn man am 2. Ort einen Spiegel hat.
Aus der Zeit, die das Licht benötigt hat, um wieder den Ausgangspunkt zu erreichen, berechnen wir mit
Hilfe der Lichtgeschwindigkeit die Entfernung zwischen den beiden Orten.
Es muß einem klar sein, daß es hier um eine Eichung, aber nicht um physikalische Eigenschaften geht.
Eine solche Eichung muß in jedem Inertialsystem vorgenommen werden. Die erste Voraussetzung ist
einfach. Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich. Das ist kein physikalischer
Zusammenhang, sondern eine Eichung für das benutzte Inertialsystem. Man hätte eine beliebige Wahl
treffen können. Es gibt in den anderen Inertialsystemen noch eine 2. Eichung. Die Entfernung senkrecht
zur Bewegungsrichtung ist in allen Inertialsystemen gleich. Diese Eichung ist etwas eigenartig. Denn es
bedeutet, daß es ein Inertialsystem geben muß, in dem die 2. Eichung über die Zeit erfolgt und in allen
anderen Inertialsystemen erfolgt die Eichung über eine Anpassung des Raumes.
Eichungen müssen immer vorgenommen werden, deshalb kann man an den Eichungen keine
physikalischen Gesetze ablesen. Was muß man tun? Man muß ein Objekt hernehmen und in einen
Inertialsystem ausmessen. Anschließend beschleunigt man das Objekt so lange, bis es sich in einem
anderen Inertialsystem in Ruhe befindet. Dort wird es noch mal ausgemessen. Wenn sich die Meßdaten
dabei nicht verändern, dann beschreibt die Eichung eine physikalische Eigenschaft. In allen anderen
Fällen muß die physikalische Eigenschaft erst ermittelt werden.
Einstein hat diesen Untersuchungsprozeß unterschlagen, in dem er das Einsteinsche Relativitätsprinzip
eingeführt hat:
Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an. Er hat aus den Eichungen eine
physikalische Realität gemacht. Solange man nur Messungen durchführt, spielt das Relativitätsprinzip in
Inertialsystemen für räumliche und zeitliche Messungen inklusive aller Kombinationen wie
beispielsweise Geschwindigkeit und Beschleunigung keine Rolle, denn die Inertialsysteme sind
voneinander isoliert.
Wie müßte man eine Eichung vornehmen, die die Physik der Objekte berücksichtigt? Am besten wäre
eine möglichst einfache Koordinatentransformation. Ich habe dafür folgende Matrix gewählt:
P n v
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0 v
Die Matrix Pn soll die Physikalischen Veränderungen der Materie in In durch die
Geschwindigkeitsänderung darstellen. Natürlich muß auch Pn geeicht werden. Die Eichung wird in I0
vorgenommen. Deshalb muß P0 das neutrale Element für die Matrixmultiplikation sein. Es gilt also:
P 0 0
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0 0
1
0 0 0 0
0 1 0 0
0 1, 0 1
0 0 1 0
0 0 0 1
n
Ich brauche für P 2 unabhängige Funktionen um einmal die räumlichen und einmal die zeitlichen
Koordinaten zu verändern. In dem ich á(v) vor die Matrix schreibe, werden alle Koordinaten mit der
gleichen Zahl multipliziert. Geschwindigkeiten bleiben dabei erhalten. Also auch die
Lichtgeschwindigkeit. Die Lichtgeschwindigkeit wird nur verändert durch â(v). á(v) und â(v) hängen
von der Geschwindigkeit ab mit der sich In relativ zu I0 bewegt. Deshalb gilt:
v v 0 n , v v 0 n
Da die Lichtgeschwindigkeit vom Inertialsystem abhängen kann, muß ich sie neu bezeichnen:
Definition 6: Die Lichtgeschwindigkeit in In wird bezeichnet als cn.
Die Koordinatentransformation sieht jetzt so aus:
X m P m T nm P n
1
Xn
Beachten Sie: Die Transformationsformeln haben noch nichts mit Physik zu tun. Die Formeln kann ich
immer frei wählen. Es sind Übersetzungsformeln von verschiedenen Meßsystemen. Deshalb ist jede
Formel richtig und die Übersetzung funktioniert immer. Will man Physik einführen, dann muß man
wissen, was mit physikalischen Objekten passiert. Dafür braucht man ein neues Axiom:
Axiom 2: Wenn ich ein physikalisches Objekt, welches sich in I0 in Ruhe befindet, in I0 ausmesse und
anschließend so lange beschleunige, bis es sich in In in Ruhe befindet, welches sich mit der
Geschwindigkeit v0n in I0 bewegt, |v0n|<c0, dann gibt es ein eindeutig definiertes á(v0n) und
â(v0n), so daß eine Ausmessung des Objektes in In ergibt, daß die Meßergebnisse dieselben
sind, die in I0 gemessen worden sind.
Kommentar: Wenn das Michelson-Experiment unabhängig von I0 niemals eine Frequenzverschiebung
anzeigt, dann gibt es 2 Freiheitsgrade, in denen sich ein physikalisches Objekt verändern
kann. Das Axiom 2 beschreibt, welche Relativitätstheorie aus physikalischen Gründen die
am besten passende Relativitätstheorie ist.
Das Axiom 2 ist wichtig, wenn man eine allgemeine Relativitätstheorie konstruieren will, denn dann
müssen die Meßinstrumente in beschleunigten Systemen funktionieren.
d2) Die Eigenschaften von á(v0n) und â(v0n)
Satz 8: In ist ein Meßsystem, welches sich in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt. Es gilt dabei:
|v0n|<c0. Dann hat die Lichtgeschwindigkeit in In folgenden Wert:
cn
c0
v 0n
Beweis
Für die Lichtgeschwindigkeit gilt ohne Pn in In folgende Regel:
c 0 t1n
n 2
1
n 2
1
n 2
1
x y z
n 2
1
c
x 2n
x1n
1 0 0
0
x1n
n
2
n
2
n
2
n
1
n
1
n
1
0 1 0
0
n
1
n
1
n
1
y
Pn
y
z
z
t
t
v 0n
0 0 1
0
0 0 0 v 0n
n 2
1
0
n 2
1
x y z
t1n
y
z
t
x1n
v 0n
y1n
z1n
v 0 n t1n
Jetzt kann ich die selbe Überlegung mit der Berechnung von Pn anstellen:
n 2
2
n 2
2
n 2
2
n 2
2
n 2
2
n
2
n 2
2
x y z
cn t2n
x y z
cn
t
n 2
1
0n
n 2
1
0n
n
1
0n
n 2
1
0n
v x v y v z
v v t
0n
2
2
2
v 0n x1n y1n z1n
c0
0n
0n
n
v v t1
v 0n
Ende des Beweises.
Satz 9: Die inverse Matrix von Pn sieht so aus: P n 1
1 0 0
0
0 1 0
0
1
v 0n 0 0 1
0 0 0
0
1
v 0n
Beweis
1 0 0
P n P
n 1
0 1 0
v 0 n
0 0 1
0
1 0 0
0
0
0
0 1 0
0
1
v 0 n 0 0 1
0 0 0
0 0 0 v 0 n
0n
0
1
v 0 n
1 0 0
0
0 1 0
0
v
v 0 n 0 0 1
0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1 0
v 0 n
v 0 n 0 0 0 1
Ende des Beweises.
Eine Kombination von 3 Matrizen ist im allgemeinen unpraktisch. Deshalb kombiniere ich die 3
Matrizen:
Satz 10:
PTP nm
v 0 m
v 0 n
1
w nm
0
0 0
1 0
0
v Rnm
c m w nm
0 1
0 0
v Rnm c n
w nm
0
0
cn
c m w nm
Beweis
1
w nm
0
1
PTP nm P m T nm P n P m
0 2
Pm
1
w nm
0
0
v Rnm
c 0 w nm
0 0
1 0
1 0
0
v nm
c
0 0
0 1
0
1
w nm
0 0
w nm
v Rnm c 0
w nm
0
0 1
v nm
w nm
0
0 0
0
1
w nm
1 0 0
0
0 1 0
1
v 0 n 0 0 1
0 0 0
0
1
w nm
1
0
0m
v
0 0 1
0
v 0 n
0
v Rnm
0 0 0 v 0 m
c 0 w nm
1 0 0
0 1 0
1
nm
w
0m
0
v
v 0 n
0
v Rnm
c m w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
1
P n P m
0
0
0 0
1 0
0 1
0 0
1
w nm
0
0
v Rnm
c 0 w nm
0 0
1 0
v Rnm c 0
w nm
0
0 1
0 0
1
w nm
0
1
m
0 v 0 n P
0
1
v Rnm
0n
v
c 0 w nm
0
1
w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
v Rnm c n
1
nm
w
w nm
0
0
v 0 m
v 0 n
0
0
v 0 m v Rnm
cn
c 0 w nm
c 0 w nm
1
P n
v Rnm c 0
w nm v 0 n
0
0
1
v 0 n w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
v Rnm c n
w nm
0
0
v 0 m c n
c 0 w nm
v Rnm c n
w nm
0
0
cn
c m w nm
Ende des Beweises.
Bei dieser Darstellung ist â(v0n) und â(v0m) vollständig verschwunden. Stattdessen taucht cn und cm in der
Formel auf.
d3) Die Abhängigkeit der Transformationsformeln von I0
In Axiom 1 habe ich die Transformationsformeln relativ zu I0 definiert. Vielleicht ist es unmöglich I0 zu
finden. Dann muß man irgendein I1 festlegen und annehmen, daß es I0 ist. In I0 sind die Einsteinschen
Transformationsformeln unabhängig von der Richtung, in der sich das Inertialsystem In bewegt. Mit Hilfe
von Satz 4 und Satz 10 habe ich die Formeln konstruiert, die ich in I1 benutzen muß. Sie sehen so aus:
i)
ii)
X n PTP1n X 1 ,
1
0
w1n
0
1
T 1n
0
0
v 1n
0
c 2 w1n
1
PTP1n P n T 1n P1
0
0
1
0
v 1n
w1n
0
0
1
w1n
, P n v 0 n
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0 v 0 n
01 2
2
iii) w1n w n1 1 v1Rn
v1Rn 1
0n 2
w w
1 cos v v
0
0n 2
R
01
R
v Rn1
(P1)–1 ist unabhängig von allen Geschwindigkeiten. T1n hängt ab von der Geschwindigkeit von In relativ
zu I1, unabhängig von der Richtung. Bei Pn sieht das anders aus. Das liegt an der Definition von á(v0n)
und â(v0n). Wenn I1 von I0 verschieden ist, dann betrachte ich 2 verschiedene Inertialsysteme In und Im die
sich beide mit der gleichen Geschwindigkeit in unterschiedlichen Richtungen in I1 bewegen.
Um dieses Gedankenexperiment zu vereinfachen, wähle ich für Im das Inertialsystem I0 und für In das
Inertialsystem welches sich in I1 in entgegengesetzter Richtung bewegt. Es gilt dann folgendes:
v10 v1n , v 00 1, v 0 n unbekannt, v 00 1, v 0 n unbekannt
0
0i
0i
In I sind á(v ) und â(v ) unabhängig von der Richtung in der sich Ii in I0 bewegt. In I1 kann das nur dann
erfüllt werden, wenn á(v0n)=â(v0n)=1 ist. Da I1 beliebig gewählt wurde, bedeutet das, daß die Formeln der
Speziellen Relativitätstheorie nur dann unabhängig von I0 sein können, wenn für alle Inertialsysteme In
gilt: á(v0n)=â(v0n)=1. Dann ist Pn=I4 für jede beliebige Wahl von n. Die Transformationsformeln mit
dieser Eigenschaft sind die Transformationsformeln, die Einstein aufgestellt hat.
d4) Die Schwierigkeiten zur Bestimmung von á(v0n) und â(v0n)
In der Speziellen Relativitätstheorie Einsteins sind á(v0n)=â(v0n)=1 festgelegt. á(v0n) und â(v0n) könnten
aber auch anders aussehen. Ich könnte beispielsweise á(v0n) so wählen, daß die Längen in I0 in
Bewegungsrichtung und nicht senkrecht dazu erhalten bleiben. Es gilt dabei:
X n PTP 0 n X 0 v 0 n
1
w0 n
0
0 0
1 0
0
v R0 n
c n w0 n
v R0 n c 0
w0 n
0
0 1
0 0
0
c0
c n w0n
y0
z0
t0
x 0 v R0 n c 0 t 0
w0n
0n
v y0
v 0 n
x0
v 0 n z 0
c 0 t 0 v R0 n x 0
v 0 n
c n w 0n
Nach der Längendilatationsformel – Siehe {c2} – gilt:
w0 n 1 v R0 n
2
l0
ln
w v 0n
0n
Ich wähle also für á(v0n) folgendes:
v 0 n
1
w0 n
Ich will das ganze sogar noch mehr verallgemeinern:
1
1 1
v 0 n a 1 a 0 n a 1 0 n 0 n
w
w
w
a ist dabei ein freier Parameter, der experimentell bestimmt werden soll. Das sind noch nicht einmal alle
plausiblen Möglichkeiten, á(v0n) festzulegen.
Für die Bestimmung von â(v0n) gehe ich ähnlich vor. Ich könnte â(v0n) so wählen, daß die Uhren in allen
Inertialsystemen gleich schnell sind. Auch das kann ich mit Hilfe der Zeitdilatationsformel eichen:
t0
w0n
t n
v v 0 n
0n
v 0 n
w0 n
v 0 n
w0n
1 1
a 1 0 n 0 n
w
w
Auch in diesem Fall kann ich das ganze noch etwas verallgemeinern:
v 0 n
1 1
b a 1 0 n 0 n w 0 n w 0 n
w
w
b
1 1
1 1
a 1 0 n 0 n
a 1 0 n 0 n
w w
w w
1 b w 0 n
a und b sind experimentell zu bestimmende Größen. Auch hier sind nicht alle denkbaren sinnvollen
Möglichkeiten, wie â(v0n) aussehen könnte berücksichtigt worden.
Bisher sind nur Versuche zur Lichtgeschwindigkeitsbestimmung durchgeführt worden. Das heißt,
c=cnâ(v0n) könnten abgeschätzt werden. Das ist zu wenig um a und b ermitteln zu können. Das ist dann
ein offenes Problem!
Man kann auch anders an die Sache herangehen. Die beiden Formeln werden umformuliert:
1 1
v a 1 0 n 0 n
w w
0n
1
0n
0n
w 0 n v w 1
0n
1
w 1
1 0n
w
v 0 n
a
v 0 n b
1 b w 0 n
v
0n
w0n w0n
b 1
0n
0n
v v
1 1
1
1
v 0 n v 0 n b v 0 n w 0 n w 0 n b a 1 0 n 0 n w 0 n w 0 n b a 1 0 n b 0 n w 0 n w0 n
w
w
w
w
á(v0n)â(v0n) gibt jetzt die physikalische Geschwindigkeitsänderung der Zeitkoordinate an. Also sagt das
Ergebnis dieser Formel etwas über die Laufzeitgeschwindigkeiten von bewegten Lichtuhren aus.
Man hat Untersuchungen zur Messung der Lichtgeschwindigkeit durchgeführt. In [27] stehen viele
verschiedene Untersuchungen zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit. Die Bestimmungen haben alle
eine gewisse Ungenauigkeit.
d5) Die experimentelle Ermittlung von á(v0n) und â(v0n)
Natürlich muß á(v0n) und â(v0n) experimentell ermittelt werden. Das geht ganz einfach. Man mißt ein
Objekt aus, welches sich in einem Meßsystem in Ruhe befindet. Anschließend wird das Objekt
beschleunigt, bis es sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit relativ zum Meßsystem bewegt. Es muß
sich zu diesem Zeitpunkt in einem Inertialsystem befinden. Dieses Objekt wird ausgemessen im ruhenden
Meßsystem. Weil sich das Objekt zum Zeitpunkt der Messung im bewegten Meßsystem in Ruhe befindet,
hat es nach Axiom 2 die selben Maße, die vorher im ruhenden Meßsystem gemessen wurden. Jetzt
braucht man nur noch die Längen und die Zeit ineinander umzurechnen. Mit ihrer Hilfe wird á(v0n) und
â(v0n) bestimmt.
Wenn die 1. Schwachstelle der Relativitätstheorie eine Rolle spielt, dann wurde beim MichelsonExperiment nur eine Drehung in I0 durchgeführt. Das Axiom 2 muß deshalb nicht richtig sein. Wenn bei
Messungen herauskommt, daß für unterschiedliche Koordinatenrichtungen á(v0n) verschieden ist, dann
würde das Axiom 2 widerlegt werden.
Die physikalische Ermittlung von á(v0n) und â(v0n) würde gleichzeitig prüfen, ob das MichelsonExperiment korrekt durchgeführt wurde.
d6) Die absolute Höchstgeschwindigkeit
Es gibt noch eine wichtige Frage, die beantwortet werden muß. Welche Geschwindigkeiten können in der
Realität vorkommen? Es gibt ein Inertialsystem, in dem absolute Gleichzeitigkeit herrscht. Dieses
Inertialsystem habe ich I0 genannt. In diesem Inertialsystem können alle Handlungen beurteilt werden.
Alle anderen Inertialsysteme sind nur Meßsysteme. Deshalb kann die Höchstgeschwindigkeit nur in I0
festgelegt werden. Aber wie soll man die Höchstgeschwindigkeit festlegen? Eins ist sicher. Unendliche
Geschwindigkeiten können in diesem System nicht existieren. Einstein hat behauptet, daß die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum nicht überschritten werden kann. Inzwischen hat man aber bei
verschiedenen Experimenten festgestellt, daß Wellen auch die 1,7 bis 4,7 fache Lichtgeschwindigkeit
erreichen können, wenn die Wellen zumindest teilweise durch feste Materie gehen müssen. Dies habe ich
im „Spektrum der Wissenschaft“ gelesen und in einer Dokumentation im Fernsehen. Das stellt die
Überlegungen Einsteins natürlich in Frage. Wir sollten immer davon ausgehen, daß die Wissenschaft ein
Entwicklungsprozeß ist. Wir wissen noch nicht, was wir in der Zukunft entdecken werden.
Für elektrische und magnetische Kraftfelder haben wir meßtechnisch ermittelt, daß sich die Wirkungen
mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten. Alle Antriebe, die auf irgendeine Weise elektrische oder
magnetische Kräfte benutzen, dürften deshalb die Höchstgeschwindigkeit der Kraftfeldausbreitung nicht
überschreiten.
Aber es gibt ein Problem. Was ist in der Materie vorhanden, was die Lichtausbreitung auf die 1,7-fache
Lichtgeschwindigkeit beschleunigen kann? Gibt es irgendwelche Kraftfelder in der Nähe der Atome,
welche die Lichtgeschwindigkeit vergrößern können? Wir kennen auch noch andere Kraftfelder als die
elektrischen und magnetischen Kraftfelder. Die könnten ganz andere Ausbreitungsgeschwindigkeiten
haben. Was ist mit den Schwerkraftfeldern? Bis heute ist die Wirkungsgeschwindigkeit von
Schwerkraftfeldern nicht gemessen oder berechnet worden.
Für die Berechnung der Flugbahnen der Planeten um die Sonne wurde früher die Himmelsmechanik
benutzt. Die Formeln wurden dabei so konstruiert, daß sich die Wirkung von Schwerkraftfeldern mit -er
Geschwindigkeit ausbreitet. Diese Formeln liefern so präzise Werte, daß man bisher nur einen einzigen
Fehler entdeckt hat. Die gemessene Periheldrehung des Merkurs stimmt nicht mit der theoretischen
Berechnung überein. Innerhalb von 100 Erdenjahren gibt es eine Abweichung von ca. 45
Winkelsekunden. Die Relativitätstheorie Einsteins liefert für dieses Phänomen zwar eine Antwort, doch
es wurde mit relativistischen Formeln nicht überprüft, wie sich die Periheldrehung des Merkurs verändert,
wenn man die Einflüsse der Planeten untereinander betrachtet. Das einzige, was berechnet wurde, ist der
Einfluß der Sonne auf den Merkur.
Obwohl die Berechnung für eine unendliche Geschwindigkeit fast absolut präzise ist, kann man die
Ergebnisse nicht benutzen, um die tatsächliche Wirkungsgeschwindigkeit von Schwerkraftfeldern
festlegen zu können. Es könnte die Lichtgeschwindigkeit sein, vielleicht ist es sogar nur die halbe
Lichtgeschwindigkeit. Es könnte aber auch die milliardenfache Lichtgeschwindigkeit sein. So lange nicht
berechnet wurde, wie sich die Flugbahnen bei verschiedenen Wirkungsgeschwindigkeiten von
Schwerkraftfeldern unterscheiden, muß man wegen der hohen Präzision der Formeln aus der
Himmelsmechanik annehmen, daß sie in der Nähe von liegen könnte. Dann könnte aber ein Antrieb,
der Schwerkraftfelder benutzt, zu einer Überschreitung der Lichtgeschwindigkeit führen.
In der Physik gibt es deshalb ein Problem. Die maximal erreichbare Höchstgeschwindigkeit muß immer
als unbekannt angenommen werden. Man könnte sie beschreiben als vMax mit der Eigenschaft
c v Max .
In Abschnitt c habe ich den relativistischen Korrekturfaktor definiert. Ist der relativistische
Korrekturfaktor <0, dann wird ein Objekt in einem bewegten Inertialsystem in der falschen Zeitrichtung
wahrgenommen. Ich will deshalb überprüfen, in welchen Inertialsystemen die falsche Zeitrichtung
wahrgenommen werden kann und in welchen Inertialsystemen die Zeitrichtung immer in der richtigen
Richtung wahrgenommen wird. Es muß immer folgendes gelten:
vO0 v Max
0
cos 0 1
RKFO0 n 1 v R0 n vOR
v 0 n vMax
c2
v 0n
c2
v Max
RKFO0 n 1
v 0 n v Max
c 2 vMax
1
0
2
c
v Max c 2
Man kann also die Inertialsysteme beschreiben, bei denen alle Vorgänge in der richtigen Reihenfolge
wahrgenommen werden. Wenn die 1. Schwachstelle der Relativitätstheorie keine Rolle spielt, dann
bewegt sich die Erde mit ca. 30 km/s um die Sonne. Unser Sonnensystem bewegt sich mit ca. 20 km/s um
das Milchstraßenzentrum. Die Höchstgeschwindigkeit der Erde liegt dann bei ca. 50 km/s. das ist ca. 1/6000
der Lichtgeschwindigkeit. Also muß vMax mindestens die 6000-fache Lichtgeschwindigkeit haben. Damit
die Kausalität in wenigen ausgezeichneten Richtungen falsch gemessen wird.
Wenn beispielsweise Schwerkraftfelder den Äther bilden würden, dann wäre I0 ein Meßsystem, welches
sich in Erdbodennähe in Ruhe befindet. Dann wird die Kausalität immer korrekt gemessen.
d7) Wenn das Licht nicht durchs Vakuum geht
Wenn das Licht nicht durchs Vakuum geht, sondern durch Gas, Wasser oder Glas, oder irgendeinen
anderen Stoff, der im Inertialsystem I0 ruht, dann gibt es in Abhängigkeit von der Materie
unterschiedliche Lichtgeschwindigkeiten. Aber das Licht soll sich trotzdem in allen Richtungen mit der
gleichen Geschwindigkeit bewegen. Dann kann man folgendes Experiment durchführen:
Licht geht in I0 durchs Vakuum und hat dabei die Geschwindigkeit c, trifft dann auf eine Barriere die in I0
ruht und durchdringt die Barriere mit der Geschwindigkeit c(B) und danach bewegt es sich mit der
Geschwindigkeit c durchs Vakuum. Die Barriere ist so beschaffen, daß das Licht seine Richtung nicht
ändert.
Aber wie sieht die Situation aus, wenn sich die Barriere bewegt? Darüber kann man eigentlich keine
Aussage machen. Aber in der Relativitätstheorie gibt es das Relativitätsprinzip. Es ist eigentlich ein
Axiom, da es nicht aus den Axiomen 1 und 2 hergeleitet werden kann:
Axiom 3: Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an.
Wenn ich dieses Axiom verwende, dann kann ich in jedem Inertialsystem die gleiche Überlegung
anstellen:
Licht geht in In durchs Vakuum und hat dabei die Geschwindigkeit c, trifft dann auf eine Barriere die in In
ruht und durchdringt die Barriere mit der Geschwindigkeit cn(B) und danach bewegt es sich mit der
Geschwindigkeit c durchs Vakuum. Die Barriere ist so beschaffen, daß das Licht seine Richtung nicht
ändert. n(B) ist in allen Richtungen gleich und hängt nur vom Inertialsystem ab.
Jetzt kann ich die Geschwindigkeit des Lichts innerhalb einer Barriere berechnen, wenn sich die Barriere
in I0 mit der Geschwindigkeit v0n bewegt und der Winkel zwischen der Bewegungsrichtung des Lichts im
Vakuum mit der Bewegungsrichtung der Barriere =0 ist. Wenn sich die Barriere in x-Richtung bewegt,
Dann hat das Licht die Geschwindigkeit:
cos 0
V sin 0 c RKFc0 n 1 cos 0 v R0 n
0
c
0
Mit Hilfe von Satz 7 kann die Geschwindigkeit des Lichtes im Vakuum in In berechnet werden. Die
Geschwindigkeit des Lichtes innerhalb der Barriere ergibt sich dann, indem man die Geschwindigkeit des
Lichts im Vakuum mit n(B) multipliziert. Ich erhalte also folgende Ergebnisse:
cos 0 vR0 n
w0 n
c w0 n
n
sin 0
Vc
RKFc0 n
0
cos 0 v R0 n
w0 n
c n B w0 n
sin 0
RKFc0 n
0
Vcn n B
cos 0 vR0 n c n B w 0 n n 0
v
w0 n
RKFc0 n
cos 0 v R0 n n B v Rn 0 RKFc0 n cos 0 v R0 n n B v R0 n
1
1
c2
RKFc0 n
RKFc0 n
RKFcn0 n B
Jetzt kann ich mit Hilfe von Satz 7 die Geschwindigkeit des Lichts innerhalb der Barriere in I0 berechnen:
RKFc0 n
cos 0 v R0 n
v n0
0n
w
c n B w 0 n
n0
w
c n B w 0 n
wn0
sin 0
0n
RKFc
RKFcn0 n B
0
Vc0 n B
RKF 0 n
cos 0 vR0 n 1 n c
B
0n 2
w
sin 0
0
v R0 n RKFc0 n cos 0 v R0 n n B
sin 0 n B w 0 n
n
c
0n 2
B w
RKFc0 n cos 0 v R0 n n B v R0 n
2
c
0
RKFc0 n v R0 n cos 0 v R0 n n B
Wenn es 2 Inertialsysteme In und Im gäbe, bei denen gilt n(B)m(B), dann gäbe es auch ein
Inertialsystem Io, in dem sich In und Im mit der gleichen Geschwindigkeit in entgegengesetzten
Richtungen bewegt. Dann würde die Lichtgeschwindigkeit innerhalb der Barriere von der Richtung
abhängen, in der sich die Barriere bewegt, wenn sich 0 nicht ändert. Das wäre aber ein Widerspruch zu
Axiom 3. Axiom 3 ist aber der Ausgangspunkt für die Berechnung, also muß gelten: n(B)=(B) in allen
Inertialsystemen. Die Lichtgeschwindigkeit innerhalb der Barriere kann also so beschrieben werden:
v R0 n RKFc0 n cos 0 v R0 n B
2
c
sin 0 B w 0 n
Vc0 B
0
RKFc0 n vR0 n cos 0 v R0 n B
Wenn die Lichtgeschwindigkeit innerhalb der Barriere mit der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
übereinstimmt, dann ist (B)=1 und es gilt:
2
cos 0 1 v R0 n
v R0 n RKFc0 n cos 0 v R0 n B
v R0 n 1 v R0 n cos 0 cos 0 v R0 n
2
2
2
sin 0 w 0 n c
c
sin 0 B w 0 n
c
sin 0 w 0 n
0
V
0
c B
0
RKFc0 n v R0 n cos 0 v R0 n B
1 v
0n
R
cos 0 cos 0 v R0 n v R0 n
sin c V
cos
0
0
0
1 v R0 n
2
0
c
0
Das war natürlich zu erwarten. Diese Berechnung ist gewissermaßen ein kleiner Sicherheitscheck, ob man
sich auch nicht verrechnet hat.
Ich betrachte mir jetzt die 2 Spezialfälle, in den das Licht sich im Vakuum parallel zur x-Achse bewegt.
In diesem fall ist sin(0)=0. Es gilt also:
1
1
Vc0 Fall1 0 c, Vc0 Fall 2 0 c
0
0n
R
0
0n
R
0n
R
0n 2
v 1 v 1 v
0 B w
Vc0 B Fall1
B
c
0
0n
R
0n
R
0n
R
1 v v 1 v B
v R0 n B
1 v R0 n B
c
0
v R0 n 1 v R0 n 1 v R0 n B
2
c
0 B w 0 n
Vc0 B Fall 2
0
0n
R
0n
R
0n
R
1 v v 1 v B
0
v R0 n B
1 v R0 n B
c
0
0
Hat die Barriere eine geringere Geschwindigkeit als die Geschwindigkeit des Lichts innerhalb der
Barriere in In, dann ist B v R0 n . Das Vorzeichen der Geschwindigkeit des Lichts innerhalb der
Barriere wird dann von (B) festgelegt.
Hat die Barriere eine geringere Geschwindigkeit als die Geschwindigkeit des Lichts innerhalb der
Barriere in In, dann ist B v R0 n . Das Licht innerhalb der Barriere bewegt sich dann immer in die
gleiche Richtung wie die Barriere.
Was passiert, wenn es eine Barriere gibt, in der sich das Licht mit einer Geschwindigkeit bewegt, die
größer als die Lichtgeschwindigkeit ist? Dann gibt es im Fall 2 eine Möglichkeit, daß auch das
Vorzeichen bei der Geschwindigkeit des Lichts innerhalb der Barriere gewechselt werden kann. Es muß
nur gelten: v R0 n B 1 . Da (B)>1 ist, kann v R0 n 1 sein. Die Barriere muß die Lichtgeschwindigkeit
nicht überschreiten.
Im 2. Fall bewegt sich das Licht innerhalb der Barriere in die entgegengesetzte Richtung wie das Licht im
Vakuum, obwohl sich die Barriere langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Da die Formel für
v R0 n B 1 eine Polstelle hat, kann die Geschwindigkeit beliebig nahe bei unendlich liegen. Hier wird
die Kausalität in der falschen Reihenfolge wahrgenommen. Das Licht kommt zuerst aus der Barriere
heraus, bevor das Licht in die Barriere eingedrungen ist.
Ich betrachte die Berechnung aber in I0. Dort ist die relative Gleichzeitigkeit mit der absoluten
Gleichzeitigkeit identisch und ich habe ein Signal in die absolute Vergangenheit geschickt. Dieser Fall
muß daher als physikalisch unmöglich behandelt werden.
In der deutschen Ausgabe von Spektrum der Wissenschaft von Oktober 1993 wurde auf der Seite 41 der
Artikel „Schneller als Licht?“ geschrieben. Dort wird ein Experiment beschrieben, bei der das Licht durch
eine Barriere gegangen ist mit der 1,7-fachen Lichtgeschwindigkeit des Vakuums.
Wenn es nur eine Abweichung von 0,001% der Lichtgeschwindigkeit wäre, dann könnte man noch in
betracht ziehen, daß es sich um einen Meßfehler handelt. Da die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums aber
um 70% überschritten wurde, kann man dies nicht mehr durch einen Meßfehler rechtfertigen.
Um die Jahrtausendwende habe ich im Fernsehen eine Dokumentation gesehen, ich weiß leider nicht
mehr den Titel. In dieser Dokumentation wurden Wellen durch eine 8 cm lange Röhre geschickt, in der
die Wellen zu wenig Platz hatten und daher teilweise in die Materie eindringen mußten. Bei diesen
Experimenten wurde innerhalb der Röhren eine bis zu 4,7-fache Lichtgeschwindigkeit des Vakuums
gemessen.
Also gibt es Überlichtgeschwindigkeit. Also existiert der unmögliche Fall?
Die Voraussetzung für die Berechnung war das 3. Axiom. Also muß das 3. Axiom falsch sein. Ich kann
es nicht nur ablehnen, wenn ich es mit einer Barriere zu tun habe, in der die Lichtgeschwindigkeit
überschritten wird, sondern ich muß es für alle Barrieren ablehnen, weil die Physik des Lichts nicht davon
abhängen kann, welche Barriere benutzt wird. Das 3. Axiom ist nur eine Hypothese, wie die Physik
aussehen könnte.
d7.1) Experimente mit Licht, das nicht durchs Vakuum geht
Was ist mit den Experimenten, die die Relativitätstheorie bestätigen?
Dazu habe ich in der Literatur fast keine gefunden. Die, die ich gefunden habe, sehen so aus:
Der Versuch von Fizeau
Durch ein Rohr wird eine Flüssigkeit oder ein Gas mit einer bestimmten
Geschwindigkeit hindurchgeleitet. Von einer Lichtquelle wird Licht ausgesendet,
welches mittels eines halbdurchlässigen Spiegels aufgespaltet wird. Mittels
verschiedener Spiegel werden die beiden Anteile des Lichts entlang eines Rechtecks
einmal im Uhrzeigersinn und einmal im Gegenuhrzeigersinn weitergeleitet.
Unterwegs wird es aber durch das Rohr geleitet. Kommt das Licht wieder an den
halbdurchlässigen Spiegel, dann dringt ein Teil hindurch und ein Teil wird
reflektiert. Auf der Platte bildet sich dann ein Interferenzmuster.
Dieses Experiment wurde erdacht um festzustellen, in welchem Maße das Licht von der Materie mitgenommen
wird. Was passiert, wenn man im Rohr die Flußrichtung des Gases oder der Flüssigkeit umdreht?
Das Ergebnis des Experiments hängt von folgenden Parametern ab:
2l: Die Länge des Lichtweges im Rohr.
v: Die Geschwindigkeit des Gases bzw. der Flüssigkeit.
n: c/n ist die Lichtgeschwindigkeit in der Flüssigkeit bzw. im Gas. n ist immer eine physikalische Eigenschaft der
Flüssigkeit bzw. des Gases.
f: Der Mitführungskoeffizient. Es gilt 0f1. fv soll die Geschwindigkeit des Lichtes in der Flüssigkeit oder
dem Gas sein wenn sich dieses mit der Geschwindigkeit v bewegt. Dies soll durch das Experiment ermittelt
werden.
ë: Die Wellenlänge des benutzen Lichtes.
ä: Interferenzstreifenverschiebung: Das eigentliche Meßergebnis des Versuchs. Ich benutze die
Interferenzstreifenverschiebung zwischen den Geschwindigkeiten 0 und v.
Die Zeit, die der Lichtstrahl im Rohr verbringt, wird in Flußrichtung kleiner, wenn f>0 ist und in
Gegenflußrichtung größer. Die Zeit berechnet sich nach folgenden Formeln:
t1
2l
2l
, t2
c
c
f v
f v
n
n
c
c
f v f v
4l f v
4 l n2 f v 4 l n2 f v
n
n
t t 1 t 2
2l
2
2
, c» n f v
2
c
c
c n2 f 2 v2
c2
c
c
f v
f v
f 2 v2
f 2 v2
2
2
n
n
n
n
2l
2l
Ät läßt sich aber noch anders bestimmen:
t
c
Jetzt kann ich eine Formel für f in Abhängigkeit von der gemessenen Interferenzmusterverschiebung
ermitteln:
4 l n2 f v
t 2
c
c n2 f 2 v2
c2 n2 f 2 v2 4 l n2 f v c
c2
4 l c
f 2 2 0
v
n v
2
2
2
2
2
c
2 l c
4l c
2l c
f
2
1
1
v
2 v 2 n 2 v 2 v
4 l 2 n2
n2 v2 f 2 4 l n2 f v c c2 0
f2
Da f≥0 sein muß, folgt daraus:
f
2 l c
2 2
1
1
v
4 l 2 n2
Wenn ë2ä2«4l2n2 ist, kann ich die Wurzel abschätzen:
f
2l c
2 l c
2 l c
c
2 2
2 2
2 2
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
v
4l n
v
8
l
n
v
8
l
n
4
l
v n2
Fizeau hat allerdings die Vermutung aufgestellt, daß f sich nach einer bestimmten Formel verhält:
f 1
1
n2
In diesem Fall gilt:
4 l n 2 f v 4 l n 2 1 v
4 l n 2 1 v
t
2
2
c
c
c
c
Welche Versuche wurden durchgeführt?
Verschiedene Werte für n aus der Literatur:
Wasser: 4/3 oder 1,33 [1],[8]
Luft:
1,000294 [4]
In der Literatur habe ich folgende Parameter und Messungsergebnisse für den Versuch gefunden:
Literatur l in m v
in ë in m
n
äMessung äTheorie fMessung fTheorie
m/s
[1]
1,5
7
0,23
0,203 0,49
0,435
5,310-7 1,33
(von Wasser)
[8]
1,5
7
-7
5,310
1,33
0,23
0,203
0,49
0,435
(von Wasser)
Die Luft bewirkt so gut wie nichts, um etwas überprüfen zu können, Für das Wasser gab es nur 1
Ergebnis ohne Variation. Die Länge war immer gleich, die Geschwindigkeit des Wassers war immer
gleich. Das ist ein bischen dürftig für den experimentellen Beweis. Vor allem wenn man sich das
betrachtet. Die Ziffern zwischen Theorie und Messung sind fast identisch, so daß der Unterschied durch
einen Schreibfehler entstehen könnte. Es gibt aber keine andere Vergleichsmessung, um das überprüfen
zu können.
km
5,3 10 7 0,23
30 5,3 0,23
36,57
265000
s
f Messung
0,4922
m
4 1,5 7 1,7689 74,2938 123823
4 1,5m 7 1,7689
s
2
1 n 1 1,7689 1 0,7689
f Theorie 1 2 2
0,4347
n
n
1,7689
1,7689
c
Messung
4 l v n2
300000
Der Mitführungskoeffizient ist also nicht sehr genau. Die Abweichung ist größer als 10%. Das gilt
sowohl für die Messung von als auch für f.
Dies ist keine exakte Bestätigung. Woran liegt das?
1
Die theoretische Bestimmung für f könnte falsch sein.
2
Der Versuchsaufbau könnte irgendwelche unbekannten Fehlerquellen enthalten.
Natürlich ist es möglich, daß beide Effekte gleichzeitig auftreten können.
Der Versuchsaufbau hat tatsächlich eine Schwachstelle, die zu einem vielleicht sogar großen Meßfehler
führen kann:
Es gibt 4 Stellen an denen die Flüssigkeiten und Gase ihre Flussrichtung
ändern. Dadurch könnte der Lichtstrahl leicht abgelenkt werden. Die
Lichtstrahlen in den verschiedenen Richtungen weichen dann vom
theoretischen Weg ab, wobei der eine Lichtstrahl nach innen und der andere nach außen abgelenkt wird.
Glücklicherweise treffen sie am Schluß wieder auf den theoretischen Weg. Wenn die Spiegel aber keinen
exakten 45° Winkel bilden, dann kann es passieren, daß für diese beiden Lichtstrahlen die Wege
unterschiedlich lang werden. Da die Interferenzerscheinung auf der Platte entsteht, weil sich das Licht
nicht nur exakt auf dem Lichtstrahl bewegt sondern wie ein Lichtbündel leicht streut und deshalb auf dem
Weg unterschiedliche Wege zurücklegt die schließlich auf der Aufnahmeplatte zu einem
Interferenzmuster führen, ist die Chance sehr groß, daß es eine in der Theorie nicht berücksichtigte
Interferenzverschiebung gibt. Damit die Meßergebnisse zuverlässig ausgewertet werden können, muß
daher der Einfluß dieser Fehlerquelle zuerst untersucht werden:
Wenn ich eine Flüssigkeit oder ein Gas senkrecht zu den Lichtstrahlen leite
und ich messe eine Frequenzverschiebung, dann liefert diese Verschiebung
die Fehlerquelle für das eigentliche Experiment.
Die Beschreibung des Experiments habe ich in folgenden im Anhang
beschriebenen Büchern gefunden: [1],[2],[8],[9],[12],[13],[15],[18]
e) Ableitungen
Das 4-dimensionale Raum-Zeit-Kontinuum Einsteins orientiert sich an der Messung von räumlichen und
zeitlichen Daten. Die Transformationsformeln sind dabei die Übersetzungsformeln zwischen
verschiedenen Inertialsystemen. In der Physik reicht es aber nicht, nur räumliche und zeitliche Daten zu
messen. Es werden auch Geschwindigkeiten und Beschleunigungen gebraucht. Mit Hilfe von Satz 7
können auch Geschwindigkeiten von einem Inertialsystem in ein anderes umgerechnet werden. Und wie
berechnet man Beschleunigungen?
In der Physik können die Geschwindigkeiten und die Beschleunigungen mit Hilfe von Ableitungsformeln
berechnet werden. Es gilt dort:
dst
dvt d 2 s t
vt
, at
dt
dt
dt 2
s(t) ist dabei ein reiner 3-dimensionaler Ortsvektor. Dieser Ortsvektor kann so bestimmt werden:
O xn t n
On
O yn t n
O zn t n
tn
Oxn t n
s n t n O yn t n
Ozn t n
Mit Hilfe der Transformationsformeln findet eine Übersetzung von In nach Im statt:
O m T nm O n
1
w nm
0
0
v nm
c 2 w nm
0 0
1 0
0 1
0 0
v nm
w nm
0
0
1
w nm
t
t
O t
n
O
n
O
n
x
n
y
n
z
tn
n
Oxn t n v nm t n
w nm
O yn t n
Ozn t n
v nm
t n 2 Oxn t n
c
w nm
sm t n
Oxn t n v nm t n
w nm
O yn t n
Ozn t n
Hier entsteht ein Problem. sm hängt von tn ab und nicht von tm. Deshalb ist die Ableitung in Im etwas
problematisch:
v m t n
ds m t n
dt m
e1) Die korrekte Ableitung
Auf Grund der Transformationsformeln kann ich nicht nach tm ableiten, sondern nur nach tn. Ich werde 4
Varianten theoretisch auswerten.
1. Variante: Die naheliegendste Lösung wäre, wenn die Ableitung nach der Kettenregel erfolgen würde.
Es würde dann folgendes gelten:
v m t n
ds m t n ds m t n dt n
m
dt m
dt n
dt
Bei dtn geht es um infitesimal kleine Zeitabstände in In. Also sind es Zeitdifferenzen. Berücksichtigt man,
daß in der Relativitätstheorie Raum und Zeit miteinander verflochten sind, dann kann man auch für
infitesimal kleine Raum- und Zeitabstände die Übersetzungen mit Hilfe der Transformationsformeln
beschreiben:
dx
n
dx
n
dX n
m
m
dy
dy
, dX m m
dz n
dz
dt n
dX m T nm dX n
dt m
1
w nm
0
0
v nm
c 2 w nm
1
w mn
0
dX n T mn dX m
0
v mn
c 2 w mn
0 0
1 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 1
0 0
dx n v nm dt n
w nm
dx
dx m
n
dy
dy n
dy m
n
n
m,
dz
dz
dz
0
v nm
1
dt n 2 dx n
dt n
dt m
c
nm
w
w nm
m
dx v mn dt m
v mn
m
w mn
dx
dx n
m
w mn
dy
m
dy
dy n
0
m
m
dz
dz
dz n
0
v mn
m
m
m
1
dt 2 dx
dt
dt n
c
mn
w
w mn
v nm
w nm
0
n
Jetzt kann ich die Formel auswerten:
dt m
v m t n
ds m t n dt n ds m t n
m
dt n
dt
dt n
v mn
dx m
dt m v mn dx m
v mn
c2
2 m
1 2 v xm t m
m n
m n
mn
m
ds t dt
ds m t n RKFOmn
w
c
dt ds t
c
m
n
mn
n
mn
dt
dt
w
dt
w
dt n
w mn
Diese Lösung hat aber einen Nachteil. Die Kettenregel kann ich auch 2 mal anwenden:
dt n
ds m t n
ds m t n dt n ds m t n dt m dt n
m
n m vm t n
m
dt
dt n
dt
dt m
dt
dt
v nm n n
1 2 vx t
RKFOmn
RKFOnm RKFOmn
c
vm t n
vm tn
2
nm
nm
w
w
w nm
vm t n
v nm
dx n
dt n v nm dx n
c2
2 n
mn
mn
nm
n
RKFO
w
c
dt RKFO
v m t n dt
n
mn
nm
nm
dt
w
w
w
1
RKFOnm RKFOmn
nm 2
w
Liefert die Kettenregel die richtige Lösung? Wegen der Bemerkung zu Satz 7 gilt die Nebenbedingung
automatisch.
Ich versuche jetzt eine 2. Variante. Ich benutze die Regel der Ableitung nach der Umkehrabbildung. In
diesem Fall sieht die Vorgehensweise anders aus:
ds m t n ds m t n dt n
dt m dt n
m , 1 n m
m
n
dt
dt
dt
dt
dt
dt n
w nm
w nm
w nm
1
1
m
n
m
nm
nm
n
nm
dt
dt
v
dt
v
dx
v
RKFOnm
dt n 2 dx n
2 n 1 2 v xn t n
n
n
dt
c
dt
c
dt
c
w nm
dt n
m n
n
m n
m n
nm
ds t dt
ds t 1
ds t w
v m t n
m
m
dt n
dt
dt n
dt
dt n
RKFOnm
n
dt
v m t n
Als 3. Variante kann man auch einen anderen Denkansatz benutzen:
vm t n
ds m t n
dt m
ds m t n
dt n
ds m t n
ds m t n
ds m t n
dt n
ds m t n
w nm
wnm
wnm
n
nm
nm
n
nm
n
v
v
dt
v
dt
dt
v nm dx n
2 n
dt n 2 dx n dt n 2 dx n
dt n 2 dx n
n
c
c
c
dt
c
dt
wnm
w nm
ds m t n
w nm
nm
n
v
dt
RKFOnm
1 2 v xn t n
c
Dieser Denkansatz kommt zu der gleichen Lösung wie die 2. Variante.
Variante 4: Ich möchte das Problem noch mal aus einem anderen Blickwinkel betrachten:
vm t n
vm t n
vm t n
vm t n
vm t n
ds m t n
dt m
ds m t n
ds m t n
w nm
nm
v
v nm
n
n
n
n
dt 2 dx
dt 2 dx
c
c
nm
w
v nm
dt n 2 dx n ds m t n w nm
c
v nm
dt n ds m t n w nm v m t n 2 dx n
c
ds m t n
v nm dx n ds m t n
v nm
nm
m n
w v t 2 n
w nm v m t n 2 v xn t n
n
n
dt
c
dt
dt
c
v nm n n ds m t n
nm
1 2 v x t
w
c
dt n
ds m t n
w nm
ds m t n
w nm
n
nm
n
dt
v
dt
RKFOnm
1 2 v xn t n
c
vm t n
Ich habe 2 verschiedene Lösungen gefunden.
Variante 1:
v m t n
ds m t n RKFOmn
dt n
w mn
Variante 2, 3 und 4:
v m t n
ds m t n w nm
dt n
RKFOnm
Bei Variante 1 habe ich eine korrekte Nebenbedingung gefunden:
1
RKFOnm RKFOmn
RKFOmn
w nm
nm
RKFO
w mn
nm 2
w
Unter diesen Bedingungen liefern alle Varianten die gleiche Lösung. Das bedeutet aber auch, daß ich 2
verschiedene Möglichkeiten für die Berechnung der Ableitung habe.
e2) Ein Vergleich mit Satz 7
Jetzt kann ich vm(tn) berechnen:
n
x
m
ds t
dt n
n
n
nm
n
O t v t
w nm
d
n
O yn t n
dt
Ozn t n
dOxn t n
dt n
v nm n
n
dt
dt
w nm
dO yn t n
dt n
dOzn t n
dt n
v xn t n v nm
w nm
v ny t n
v
n
z
t
vm t n
n
v xn t n v nm
v xn t n v nm
nm
w
w nm
RKFOmn
w nm
n n
vy t
v yn t n
nm
RKFO
w mn
v zn t n
v zn t n
Jetzt vergleiche ich dieses Ergebnis mit dem Ergebnis aus Satz 7:
t sin v
cos n vOn
vn
n
n
n
O
t
t
v xn t n
v ny
0
v
n
z
n
n
vm t n
v xn t n v nm
cos n vOn v nm
nm
w
w nm
w nm
w nm
n
n
v ny t n
sin vO
nm
RKFO
RKFOnm
v zn t n
0
Wie man sieht, liefert Satz 7 das gleiche Ergebnis wie die Varianten 2, 3 und 4. Die Geschwindigkeit ist
allerdings ungünstig formuliert worden. Deshalb werde ich die Formel ein wenig verändern:
v xn t n v nm
w nm
v m t n
v yn t n
v zn t n
v xn t n v nm
w nm
1
v yn t n w nm
RKFOnm t n
RKFOnm t n
n n
nm
v z t w
Jetzt kann man anhand der Formel erkennen, daß die Geschwindigkeit nur dann nicht definiert ist, wenn
der relativistische Korrekturfaktor =0 ist.
Die Entwicklungsergebnisse formuliere ich jetzt in Form einen Satzes:
Satz 11: Ein Objekt bewegt sich in In und wird dort ausgemessen. In Im sollen die Geschwindigkeiten aus
den in In gemessenen Daten berechnet werden. Die Übersetzungen der Geschwindigkeiten sehen
dann so aus:
On
n
x
n
y
n
z
t
O t
O tn
O
Oxn t n v nm t n
w nm
O yn t n
n
n
Om
tn
t
t
Oxn t n
s n t n O yn
O
v
n
t
n
n
z
t
,
O n
v
t n 2 Oxn t n
c
w nm
Oxn t n v nm t n
w nm
O yn t n
,
n
z
nm
n
sm t n
n
ds n t n
dt n
Ozn t n
v
m
t
n
v xn t n v nm
ds m t n dt n
1
m v yn t n w nm
,
nm n
dt n
dt
RKF
t
O
v zn t n w nm
RKFOmn t n
1
dt n
w nm
m
m
nm n
dt
dt
RKFO t
w mn
n
dt
Beweis
Siehe Konstruktion.
Ende des Beweises.
e3) Transformation der Beschleunigung
In Kapitel Abschnitt e1 habe ich die Ableitungsregeln erklärt. Jetzt möchte ich damit die Übersetzungen
der Beschleunigung berechnen:
Satz 12: Ein Objekt bewegt sich in In und wird dort ausgemessen. In Im sollen die Beschleunigungen aus
den in In gemessenen Daten berechnet werden. Die Übersetzungen der Beschleunigungen sehen
dann so aus:
a xn t n w nm
0
v nm
wnm 2
n n
nm n
n n
n n
a t a y t RKFO t v y t 2 a x t
3
c
n n
RKFOnm t n
nm n
n n
a
t
RKF
t
v
t
z
O
z
m
Beweis
n
v xn t n v nm
1
dv m t n dv m t n dt n
d n n
w nm
nm
a t
m n v y t w
m
n
nm n
dt
dt
dt
dt n n
RKFO t RKFOnm t n
v z t w nm
m
n
d
n
dt
v xn t n v nm
v yn t n w nm
n n
nm
v z t w
v xn t n v nm
1
d
v yn t n w nm n
nm n
dt
RKFO t
v zn t n w nm
1
w nm
nm
n
RKF t RKF nm t n
O
O
d
n v xn t n v nm
n n
nm
d
dt n n
nm
n
v x t v
RKF
t
O
n
dv y t
1
w nm
nm
n n
nm
dt
w
v y t w
n
nm n
2
nm
n
dt
RKFO t
RKFO t RKFOnm t n
n n
v zn t n w nm
dv
t
z
w nm
dt n
n n
dv x t
d v nm
1 2 v xn t n
v xn t n v nm
n
dt n
dt
c
w nm
a ny t n w nm v ny t n w nm
RKFOnm t n
n n
RKFOnm t n 2
nm
v zn t n w nm
a z t w
n n
nm
nm
a n t n
a n t n
v xn t n v nm v dv x t
v xn t n v nm v a n t n
x
x
nm
x
2
2
n
w
w nm
dt
a ny t n w nm v ny t n w nm c
a yn t n w nm v ny t n w nm c
2
nm
n
nm
n
n n
n n
RKFO t RKFOnm t n
RKFO t RKFOnm t n 2
nm
nm
v zn t n w nm
v zn t n w nm
a z t w
a z t w
Ich versuche jetzt die x-Komponente etwas zu vereinfachen:
a xm t n
v nm
a xn t n
2
n n
n n
nm
c
ax t vx t v
RKFOnm t n
w
RKF t
2
nm
nm
1 1 v xn t n v v
2
c
c2
1
nm n
RKFO t
nm
nm
O
n
2
2
nm
nm
v xn t n v v
2
c
c2
1
nm n
RKFO t
nm
n n
w ax t
RKF nm t n 2
O
nm 2
v nm
1 v
1 v xn t n 2
2
nm
n n
c
c w nm a xn t n
w a x t 1
RKF nm t n 2
nm n 2
RKFOnm t n
RKFO t
O
2
3
w nm RKFOnm t n w nm a xn t n
w nm a xn t n
1
3
RKF nm t n 2
RKFOnm t n
RKFOnm t n
O
am t n
nm
a t
v
v t v
a xn t n
2
n
nm
n
nm
c
ay t w v t w
n n
RKFOnm t n
nm
v t n w nm
az t w
n
x
n
n
n
x
n
y
n
z
n
nm
w nm
RKF nm t n
O
0
a xn t n w nm
2
v nm
w nm
n n
nm n
n n
n n
a y t RKFO t v y t 2 a x t
c
n n
RKFOnm t n
nm n
v zn t n
a z t RKFO t
2
a n t n w nm 2
x
v nm
0
RKFOnm t n
a xn t n
2
n n
nm
n n
nm
c
ay t w
vy t w
RKFOnm t n
a zn t n w nm
v zn t n w nm
w nm
nm n
RKFO t
2
3
Ende des Beweises.
Wie man sieht, ist die Übersetzung für die Beschleunigung ziemlich kompliziert! Sie wurde so
dargestellt, daß man deutlich sehen kann, daß sie nur dann nicht definiert ist, wenn der relativistische
Korrekturfaktor =0 ist.
f) Die Masse
Die Masse ist ein wichtiger zentraler Begriff in der Physik. Die Masse kann allerdings nicht mit Hilfe von
zeitlichen und räumlichen Messungen definiert werden. Will man die Masse in die Relativitätstheorie mit
einbeziehen, dann braucht man neue, zusätzliche Informationen. Doch welche soll man verwenden?
Hier einige Möglichkeiten:
1 Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen die gleiche Form an und als Ausgangspunkt für
die Berechnungen wird der Impulserhaltungssatz aus der klassischen Physik verwendet. Ein Objekt,
das sich in einem Inertialsystem in Ruhe befindet, hat in einem anderen Inertialsystem, wenn es sich
dort in Ruhe befindet, die gleiche Masse. Das ist die Ausgangssituation der Relativitätstheorie.
2 In einem Inertialsystem, in dem keine Richtung einer anderen gegenüber bevorzugt behandelt wird,
soll gelten: Wenn 2 Objekte gleicher Masse aus entgegengesetzten Richtungen mit gleicher
Geschwindigkeit aufeinanderstoßen, dann muß das Objekt, das daraus entsteht sich in diesem
Inertialsystem anschließend in Ruhe befinden. Für Objekte mit gleicher Geschwindigkeit gilt, daß
nach dem Zusammenfügen 2er Objekte zu einem einzelnen Objekt die Masse des neuen Objektes die
Summe der Massen der beiden ursprünglichen Objekte ist.
Es gibt natürlich noch viele andere Möglichkeiten, um Regeln für die Definition der Masse zu erfinden,
die dann für den Aufbau der Theorie verwendet werden können. Jede Definition kann zu einer
unterschiedlichen Theorie führen. Wenn man aber nicht aufpaßt, dann können die Ausgangsbedingungen
schlecht gewählt sein. Obwohl die Formeln in sich widerspruchsfrei sind, kann es passieren, daß
Experimente definiert werden, die physikalisch unmöglich sind.
f1) Die 4 Arten des Zusammenstoßes
Wenn man mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes die Masse definieren will, dann gibt es viele
verschiedene Möglichkeiten. Ich verwende hier den Zusammenstoß 2er Objekte. Dabei gibt es 4 mögliche
Reaktionsmöglichkeiten:
1 Der unelastische Stoß
2 Objekte stoßen zusammen und bleiben danach aneinander haften und bilden dadurch ein neues
gemeinsames Objekt.
2 Der elastische Stoß
2 Objekte prallen zusammen und gehen danach wieder auseinander. Die Objekte bestehen aus
Materialien, bei denen die Beanspruchung während des Stoßes so gering ist, daß die
Elastizitätsgrenzen nicht überschritten werden. Die während der Berührung gespeicherte Energie wird
wieder vollständig in Bewegung umgesetzt.
3 Der teilelastische Stoß
2 Objekte stoßen zusammen, so daß mindestens bei einem Objekt die Elastizitätsgrenze überschritten
wird. In diesem Fall wird beim Zusammenstoß ein Teil der Energie für eine dauerhafte Verformung
dieses Objektes verwendet und der Rest wird nach dem Stoß wieder in Bewegung umgesetzt.
4 Die Zertrümmerung
2 Objekte stoßen zusammen, dabei sind die Kräfte so groß, daß mindestens 1 Objekt in mindestens 2
Teile aufgestalten wird.
Eigentlich müßte eine mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes entstehende Theorie über die Masse alle 4
Varianten korrekt beschreiben. Nur dann kann die Theorie funktionieren. Deshalb ist es sinnvoll, wenn
man eine Strategie verwenden kann, in der man nur einen der Fälle untersuchen muß, so daß alle anderen
auf diesen Fall zurückgeführt werden können. Der einfachste davon ist der unelastische Stoß.
Den elastischen Stoß kann man im Prinzip auf 2 unelastische Stöße zurückführen, indem man vor dem
Stoß die Zeit in der richtigen Reihenfolge betrachtet und nach dem Stoß in der umgekehrten Reihenfolge.
So, als ob das Objekt nach dem Stoß aufgesprengt wird. Damit man so etwas machen kann, muß man sich
daran erinnern, welches die ursprünglichen Teile waren. Dafür kann man einen kleinen Trick einführen.
Das eine Objekt könnte aus Gold bestehen und das andere aus Silber. Mit Hilfe einer Materialanalyse
kann ich bestimmen, wie hoch der Goldanteil und der Silberanteil eines Objektes nach einem
unelastischen Stoß ist. Wenn man die Umkehr in der Berechnung durchführt, dann muß das eine Objekt
komplett aus Gold und das andere komplett aus Silber sein. Dann kann ich den elastischen Stoß auf 2
unelastische Stöße zurückführen.
Beim teilelastischen Stoß ist die Explosion, die das Objekt wieder auseinander bringt nur kleiner.
Bei der Zertrümmerung kann ich die Aufteilung behandeln wie die Explosion, nur wird dort entweder nur
das Silber, oder nur das Gold aufgeteilt. Der Rest wird behandelt wie bei einem Teilelastischen Stoß.
Man kann übrigens jede beliebige Anzahl von Objekten zusammenstoßen lassen. Rein rechnerisch läßt
sich ein 3-facher Stoß auf 2 2-fache Stöße zurückführen. Und alles, was man vorwärts rechnen kann, kann
man natürlich auch rückwärts rechnen.
Aus diesen Gründen kann man alle möglichen Zusammenstöße auf unelastische Stöße zurückführen, die
aus 2 Objekten mit unterschiedlichen Materialien bestehen.
f2) Die Herleitung des Impulserhaltungssatzes
Der theoretischer Ausgangspunkt Einsteins sah so aus: „Alle Naturgesetze nehmen in allen
Inertialsystemen die gleiche Form an und der Impulserhaltungssatz gilt in allen Inertialsystemen.“ Der
Impuls wird dabei beschrieben als p=mv. Da v durch die Transformationsformeln der Speziellen
Relativitätstheorie festgelegt ist und p durch den Impulserhaltungssatz definiert werden kann, müssen alle
möglichen Fehler, die auftauchen könnten, mit der Masse kombiniert werden.
Für die Untersuchung wurde ein beliebiges Inertialsystem In hergenommen, in dem ein ganz spezielles
Experiment ausgewertet wurde.
Experiment 1: Ich nehme 2 Objekte, die die gleiche Masse haben und sich mit einer konstanten
Geschwindigkeit bewegen bis sie zusammenstoßen. Nach dem Zusammenstoß bleiben sie
aneinander haften und bilden dadurch eine neues Objekt, das aus den ursprünglichen
Objekten zusammengesetzt ist.
Einstein ging es um eine formelmäßige Berechnung. Die Basis des Inertialsystems In wurde so gewählt,
daß sich die Objekte in x-Richtung aus entgegengesetzten Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit
aufeinander zu bewegten. Beide Objekte haben in diesem Inertialsystem die gleiche Masse, so daß das
zusammengesetzte Objekt nach dem Zusammenstoß in In in Ruhe ist.
Dieses Experiment wird aber nicht in In ausgewertet, sondern in Im. Im ist ein Inertialsystem, in dem sich
eine der beiden Objekte vor dem Stoß in Ruhe befindet. Die Bewegungsdaten der Objekte können in In so
beschrieben werden:
v nm
O1n
0
0
v nm
v nm
t n , s1n 0 t n , m1n m, O2n
0
1
t n , s 2n
0
v nm
n
n
3
n
3
n
1
n
1
n
2
n
2
v nm
n
m 0 t m s m s m s m 0 t m
0
0
t n , m2n m, O3n
0
1
0
n
3
0
0
v nm
0
0
0
0
0
0
t n , s3n 0 t n
1
0
0
t n m 0 t n
m3n beliebig
0
Wenn man sich nur um die Impulsbilanz kümmert, dann kann man hier m3n nicht bestimmen, da man
sonst durch 0 teilen müßte. Mit Hilfe von Satz 7 übersetze ich die Objekte nach Im:
O1m
v nm v nm
w nm
0
0
RKFOnm
1
w
O2m
0
0
RKF
w
tn
1
v nm v nm
w nm
0
0
RKFOnm
2
0
0
0
tm
s1m 0 t m ,
0
1
2 v nm
2 v nm
nm
RKFO2
RKFOnm
2
RKFOnm
n
n
2
0
0
t
t
tm
nm
w
0
0
1
nm
0 v nm
w nm
0
0
RKFOnm
3
w
tn
0
nm
O1
nm
nm
w
O3m
0
1
v nm
RKFOnm
3
m
s3
t m
0
0
1
v nm
2 v nm
2 v nm
nm
nm
0
RKFO3
RKFO2
RKFOnm
2
m
m
m
m
n
m
m
m
n
m
m
m
m
m3
t m3 s3 m1 s1 m2 s 2 m1 0 t m2
t m2
tm
0
0
0
0
0
1
v nm
v nm
nm
RKFO3
RKFOnm
3
RKFOnm
n
n
3
0
0
t
t
tm
nm
w
0
0
nm
2 v nm
RKFOnm
2
m
s2
0
tm,
m3m
0
1
2
m2m
nm
RKFOnm
RKF
O2
3
m3m m2m
0
0
v nm v xn3
v nm 0
2 1
2 1
2
c
c2
m2m 2
m2m nm n m2m nm nm
2
v vx 2
v v
v nm
1
1
1
2
2
2
c
c
c
nm
O3
2 RKF
RKFOnm
2
Auch in diesem Fall fällt eine Masse weg. m1m ist beliebig. Jetzt brauche ich noch eine Massenbeziehung,
da es in beiden Inertialsystemen eine Masse gibt, die mit 0 multipliziert wird. Dafür betrachte ich mir das
Inertialsystem Io, welches sich in Im mit der Geschwindigkeit vmo in y-Richtung bewegt. Mit Hilfe von
Satz 7 kann ich die Objekte in Io beschreiben. Ich muß dabei nur berücksichtigen, daß eine Veränderung
in y-Richtung stattfindet. Das wirkt sich beim relativistischen Korrekturfaktor aus und bei der xRichtung:
1
RKFOmo
1
1 v
v mo v y O1m
c
2
mo
c
0
2
1, RKFOmo
1
2
0
0
0
0 v mo
mo
mo
mo
v
v
1
O1o w
tm
mo t m
to
0
0
0
w
1
1
1
w mo
1 v
v mo v y O2m
c
2
mo
c
0
2
1, RKFOmo
1
3
0
o
1
s v mo t o ,
0
2 v nm
2 v nm wmo
2 v nm w mo
RKFOnm
nm
2
RKFO2
RKFOnm
2
0 v mo
1
o
m
m
mo
O2
t
v
mo t
v mo
to
mo
w
w
0
0
0
1
1
1
w mo
v nm
v nm w mo
v nm w mo
RKFOnm
nm
3
RKFO3
RKFOnm
3
0 v mo
1
o
m
m
mo
O3
t
v
mo t
v mo
to
mo
w
w
0
0
0
1
1
1
w mo
2 v nm w mo
RKFOnm
2
o
s2
v mo
to ,
0
v nm w mo
RKFOnm
3
o
s3
v mo
to
0
1 v
v mo v y O3m
c
2
mo
c
0
2
1
Jetzt überprüfe ich die Impulserhaltung:
v nm w mo
2 v nm w mo
nm
0
RKFO3
RKFOnm
2
o
mo
o
o
o
o
o
o
o
o
mo
o
o
m3
v
t m3 s3 m1 s1 m2 s2 m1 v t m2
v mo
to
0
0
m3o v mo t o m1o v mo t o m2o v mo t o
nm
m3o
v w
RKFOnm
3
mo
m3o m1o m2o
nm
t o m1o 0 t o m2o
2 v w
RKFOnm
2
mo
t o m2o
0
2 v nm w mo o
t
RKFOnm
2
m3o m2o
2 RKFOnm
3
RKFOnm
2
Das Verhältnis der Massen ist unabhängig von vmo. Deshalb kann ich den Limesübergang von vmo nach
vmm machen. Deshalb muß folgendes gelten:
2
v nm
2 1
c2
n
m
m1 m2
2
v nm
1
c2
m
2
m 2
m1n m2m m3m
nm 2
1
v
n
c2
v nm
1
mm
c2
2
v nm
1
c2
2
2
In I sind die Massen m1 und m2 gleich groß und die Objekte bewegen sich mit der gleichen
Geschwindigkeit. In Im befindet sich das Objekt mit der Masse m1 in Ruhe und das Objekt mit der Masse
m2 bewegt sich. Deshalb kann die eine Masse als Ruhemasse in Im und die andere als bewegte Masse in
Im bezeichnet werden. Um die bewegte Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit beschreiben zu
können, muß ich die Geschwindigkeit der Masse m1 in die Formel einbauen:
2 v nm
2 v mn
nm
RKFO2
RKFOnm
2
m
m
0
t
0
t m v 2m t m
s2
0
2 v mn
v
RKFOnm
2
m
v2
0
0
0
0
v
0
2 v mn
RKFOnm
2
2 v mn
2 v mn
2 v mn
,
nm
n
2
nm
mn 2
v vx2
v
v
1
1
1
c2
c2
c2
Jetzt muß ich erst mal eine Nebenrechnung durchführen:
nm 2
1 v
c2
2
nm 2
1 v
c2
2
nm 2
4 v
c2
1
1
nm 2
v
c
2
nm 2
v
c2
2
2
v nm
v nm
4 2
4 2
1
c
c
1
2
nm
nm 2
4
v
1 v
2
v
c 2
2
2
1
v2
c2
Dieses Ergebnis kann ich jetzt benutzen, um die allgemeine Massenformel zu beschreiben:
mn 2
1
m0 m1m m2m
v
c2
mn 2
1
v
mv 1
v2
c2
c2
Damit habe ich formelmäßig das Massengesetz von Einstein nachgewiesen.
f3) 2 Interpretationen
Bei der Herleitung habe ich nur die Übersetzung mit Hilfe der Lorentz-Transformationsformeln
verwendet. Aus diesem Grund kann man das Massengesetz als ein Übersetzungsergebnis betrachten. In
dem Fall ist m(0) die Masse, die man in dem Inertialsystem verwenden muß, in dem das Objekt während
des Experiments ruht und m(v) die Masse des Objekts in dem Inertialsystem, in dem sich das Objekt
bewegt.
Wenn man unter diesen Bedingungen einen unelastischen Stoß beschreibt, dann befinden sich die beiden
Objekte vor dem Zusammenstoß und das Objekt nach dem Zusammenstoß in 3 verschiedenen
Inertialsystemen. Man muß die Berechnung bei der Übersetzung des unelastischen Stoßes von einem
Inertialsystem in ein anderes für jedes Objekt über ein anderes Inertialsystem durchführen.
Bevor ich die Übersetzungen 2er Massen berechne, möchte ich noch ein nützliches Hilfsmittel für die
Berechnung beweisen:
Satz 13: Ein Objekt bewegt sich in In mit der Geschwindigkeit vn. In Im hat dieses Objekt die
Geschwindigkeit vm. Dann gilt:
n 2
v
1
c2
m 2
1
v
RKFOnm
w nm
c2
Beweis
Ich betrachte die Zeit in 3 Inertialsystemen. In In, Im und Io. In Io befindet sich das Objekt in Ruhe. Nach
Satz 7 gilt für die Übersetzung der Zeit folgende Regel:
RKFOnm
t n
w nm
t m
Ich kann auch die Übersetzung über Io durchführen:
2
2
t m
om
O
om
RKF
w
t o
om
O
om
RKF
w
no
O
no
RKF
w
v n
vm 0
v n
1
1
c 2 t n
c2
c 2 t n
t n
v m 2 1 v n 2
v m 2
1 2
1 2
2
c
c
c
1
n 2
1
v
c2
m 2
1
v
RKFOnm
w nm
c2
Ende des Beweises.
Bei einer Übersetzung von In nach Im werden die Massen in Im so berechnet:
Satz 14: Ein Objekt bewegt sich in In mit der Geschwindigkeit Vn und hat die Masse mn. In In gilt
Impulserhaltung. In Im gilt ebenfalls Impulserhaltung, wenn ich die Masse mit folgender Formel
übersetze:
mm
RKFOnm
mn
w nm
Beweis
Ich möchte den allgemeinen elastischen Stoß beschreiben und anschließend eine Übersetzung von einem
beliebigen Inertialsystem in ein beliebiges anderes Inertialsystem durchführen. Ohne Beschränkung der
Allgemeinheit kann ich den Ort und den Zeitpunkt des Zusammenstoßes an einen beliebigen Punkt legen.
Ich wähle dazu den Koordinatenursprung. Wenn ich den Impulserhaltungssatz allgemein formuliere, dann
kann ich mein Koordinatensystem immer so definieren, daß sich Im in In immer in x-Richtung mit der
Geschwindigkeit vnm bewegt. Es gilt dann folgendes:
vixn
Oin
viyn
n
iz
v
vixn
t n , Vi n viyn , m3n V3n m1n V1n m2n V2n , m3n m1n m2n
vizn
1
Oim
vixn v nm
wnm
viyn
vizn
RKFOnm
i
wnm
vixn v nm
vixn v nm
nm
RKFOi
RKFOnm
i
nm
w
w nm
nm
n
n
RKF
v
v
Oi
t n iy RKFOnm
t n iy RKFOnm t m
nm
i
i
w
w nm
w nm
n
n
viz
viz
RKFOnm
RKFOnm
i
i
1
1
1
RKFOnm
i
v nm vixn
c2
vixn v nm
vixn v nm
RKFOnm
i
w nm
w nm
w nm
Vi m viyn
viyn
nm
RKFOi
RKFOnm
i
vizn
nm
w
n
viz
RKFOnm
i
v3nx v nm
v3nx v nm
m3n v3nx m3n v nm
m1n v1nx m2n v 2nx m1n m2n v nm
w nm
w nm
w nm
w nm
w nm
n
n
n
n
n
n
n
n
viyn
m
v
m
v
m
v
3
3
1
1 y m2 v 2 y
iy
iy
RKFOnm
n
n
n
n
n
n
n
3
viz
viz
m3 viz
m1 v1 z m2 v2nz
m3m V3m m3n
nm
O3
RKF
w nm
m1n v1nx m1n v nm m2n v 2nx m2n v nm
v1nx v nm
v 2nx v nm
nm
nm
nm
w
w
w
w nm
n
n
n
n
n
n
n
m1 v1 y
m2 v 2 y
m1 v1 y
m2 v2n y
m1n v1nz
m1n
RKFOnm
1
w nm
m2n v 2nz
v1nz
v2nz
v1nx v nm
v 2nx v nm
w nm
w nm
RKFOnm
w nm
w nm
n
2
v1ny
m
v 2n y
m1m V1m m2m V2m
2
nm
nm
RKFO1
w
RKFOnm
n
n
2
v1 z
v2 z
Ende des Beweises.
Die Formel aus Satz 14 ist nicht identisch mit der Formel über die Ruhemasse und die bewegte Masse.
Aber man kann das ganze ja auch so schreiben:
n 2
mn 1
mo
mm
m 2
1
v
c2
m 2
v
1
c2
mn
v
RKFOnm
w nm
c2
Wenn man aber davon ausgeht, daß die Ruhemasse in allen Inertialsystemen gleich ist, dann kommt man
zu einer anderen Interpretation:
n 2
m
mm vm
m 0
m 2
1
v
c2
mn 1
n
m 0
m 2
1
v
c2
v
c2
m 2
1
v
mn
RKFOnm
w nm
c2
Die 1. Interpretation entsteht durch die Herleitung. Innerhalb des Inertialsystems I0 könnte immer noch
die klassische Physik gelten und mit Hilfe der Übersetzungen aus der 1. Interpretation bekäme man die
Impulserhaltungssätze in den anderen Inertialsystemen.
Die 2. Interpretation ist eine Erfindung einer neuen Physik. Diese Formel ist unabhängig vom
Inertialsystem. Eine solche Physik muß experimentell überprüft werden, wenn man keine Möglichkeit
findet, daß diese Interpretation mit irgendeinem anderen physikalischen Gesetz in einen unauflösbaren
Konflikt gerät.
Das heißt: Die Bestätigung kann nur experimentell erfolgen, die Widerlegung könnte eventuell
theoretisch möglich sein.
f4) Die 2. Interpretation auf dem Prüfstand
Mit Hilfe des unelastischen Stoßes kann die 2. Interpretation nicht überprüft werden, wenn keine
zusätzlichen Informationen zur Verfügung stehen. Diese zusätzliche Information erhalte ich mit Hilfe der
Materialzusammensetzung. Wenn ich ein Inertialsystem habe, in dem Objekte aus entgegengesetzten
Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit aufeinander stoßen und das Objekt bewegt sich nach dem
Zusammenstoß mit der Geschwindigkeit 0, dann sind beide Massen gleich groß. Wenn das eine Objekt
beispielsweise aus Gold besteht und das andere aus Silber, dann muß eine Materialanalyse des Objektes
nach dem Zusammenstoß ergeben, daß das Objekt zu 50% aus Gold und zu 50% aus Silber besteht.
Wenn ich die Materialanalyse in einem beliebigen anderen Inertialsystem durchführen würde, dann müßte
ich ebenfalls eine Zusammensetzung von 50% Gold und 50% Silber erhalten. Eine
Geschwindigkeitsänderung kann niemals die Zusammensetzung verändern.
Ich habe in Abschnitt f2) das Experiment 1 definiert. Ich führe dieses Experiment in I0 durch. Für dieses
Experiment gilt Impulserhaltung. Also sind die Massen gleich groß. Außerdem hat das Objekt nach der
Kollision die Zusammensetzung 50% Gold und 50% Silber.
Jetzt betrachte ich mir das Ergebnis im Inertialsystem In, welches sich mit der Geschwindigkeit v0n in eine
Richtung bewegt, die senkrecht zur Bewegungsrichtung der 2 Objekte vor dem Stoß liegt. In dem Fall
kann ich folgende Übersetzungen durchführen:
O10
0
0
v0
v0
0
t 0 , O20
0
0
1
t 0 , m10 m20 m O30
1
O1n
O2n
O3n
0
t 0 , m30 2 m
1
0n
RKFO01n 1
0
v 0
v 0
v 0n 0
1, RKFO02n 1
1, RKFO03n 1
1
2
2
c
c
c2
v 0n
w0 n
v0
0
RKFO01n
w0 n
v 0n
w0 n
v0
0n
t0
v0n
v0n
0
0
v w
0n
v w0n n
1
t0
t ,
0n
w
0
0
1
0
RKFO02n
w0 n
v 0n
w0 n
0
v 0 w0 n
m10
m10
m
w0 n w 0 n
RKFO02n
v 0 w0n n
m0
m
1
0
n
m20 02n 0 n
t
t
m
,
2
nm
0n
w
w
w
w
0
0
1
v 0n
0
RKFO03n
w
0n
v 0n
1
t0
RKFO01n
1
v0n
t0
m1n
v 0n
0
0
0
1
t0
w nm
tn ,
0
1
m3n
RKFO03n
w
0n
m30
m30 2 m
0n
w0 n
w
1
w0 n
v 0n
0
n
1
v 0n
0n
0
n
2
0n
n
1
V v w , V v w , V
0
0n 2
v 0n
v 1 2
c
0
v
0
2
Vn , Vn
2
3
v 0n
0 , V3n v 0 n
0
Auch in diesem Inertialsystem haben beide Objekte die gleiche Masse und die gleiche Geschwindigkeit
vor dem Stoß. Nach dem Stoß besteht das Objekt zu 50% aus Gold und zu 50% aus Silber.
Ich kann die Bewegung der Objekte noch etwas anders beschreiben:
v 0n
0
O1n
v w
0
sin V
cos n V1n
0n
n
tn
0
1
n
2
O
v w
0
sin V
cos n V2n
0n
n
t
n
O3n
1
0n
0
0
1
n
2
0
1
v
t n ,
1
v 0n
0
n
1
n
cos n V1n
n
t
sin n V1n
0
t n ,
1
n
1
cos V
tn
0
0
tn
1
Ich habe jetzt eine Berechnung, bei der der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen der Objekte
=2n ist. Die Geschwindigkeit ist gleich groß und die Massen sind gleich. Nach der Kollision bewegt
sich das Objekt in die Richtung der Winkelhalbierenden.
Diese Eigenschaften benutze ich, um Experiment 2 zu definieren:
Experiment 2: In I0 bewegen sich 4 Objekte mit der gleichen Geschwindigkeit aufeinander zu und
kollidieren in einem unelastischen Stoß. Alle 4 Objekte bewegen sich in der x-y-Ebene
und der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen 2er benachbarter Objekte ist =0.
Alle 4 Objekte bestehen aus 4 verschiedenen Materialien.
Was ich jetzt vorführe funktioniert für jeden Winkel 0<90°. Aber um die Berechnungen zu vereinfachen,
nehme ich einen Spezialfall: 0=60°.
Die 4 Objekte werden so beschrieben:
Oi0
v 0 sin i 60
v 0 cosi 60
0
t 0 , i 0, 1, 2, 3,
1
Die Reihenfolge der Zusammenstöße:
Variante 1 : O0 O1 O01 , O2 O3 O23 , O01 O23 O0123
Variante 2 : O1 O2 O12 , O0 O3 O03 , O12 O03 O0123
Man kann die Zusammenstöße graphisch so beschreiben:
Variante 1
Variante 2
Variante 1:
Die Objekte O0 und O1 haben die gleichen Massen und die gleiche Geschwindigkeit wie die Objekte O2
und O3. Sie liegen unmittelbar nebeneinander. Deshalb ist der Winkel zwischen den
Bewegungsrichtungen genau 60°. Beide Fälle liefern das gleiche Rechenergebnis. Der Winkel zwischen
den Bewegungsrichtungen von O01 und O23 ist dann 120°.
Für die Berechnung drehe ich die Koordinaten in eine geeignete Position:
cos30 v 0
cos30 v 0
cos30 v 0
0
0
sin 30 v
sin 30 v
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Oi
t , Oj
0
t , mi m j m Oij
0
1
1
0
t , mij 2 m
1
Jetzt beschreibe ich die Flugbahnen in dem Inertialsystem, in dem Oij ruht:
2
v 0 n cos30 v 0 w 0 n RKFO0 n RKFO0 n RKFO0 n
i
v
Oin
0n
j
ij
0n
v
w0n
sin 30 v 0
0
RKFO0i n
0
sin 30 v 0
sin 30 v
t0
t0
tn ,
w0n
0
0
w0n
1
w0n
v v 0n
w0n
sin 30 v 0
0
0
min
RKFO0i n
w0n
mi0 w 0 n m
0n
O nj
0
RKFO0jn
w0n
v v 0n
w0n
0
0
sin 30 v 0
RKFO0jn
sin 30 v
t0
t0
t n , m nj
m 0j w 0 n m
w0n
0
w0n
0
w0n
1
0
0
0n
Oijn
0
RKFO0ijn
0
t0
0
0
t n ,
mijn
RKFO0ijn
w0n
mij0 w 0 n 2 m
1
w0n
Die Massen und die Geschwindigkeiten der Objekte vor dem Stoß sind gleich und die Massenverteilung
ist für beide 50%. Ich beschreibe jetzt die Flugbahnen der Objekte nach dem Stoß in I0:
3
sin 30
2
0
v cos30 0
3
3
0
0
0
v01
v 0 cos30 v 0
, O010 01
t v0
cos30 t , m01 2 m
2
0
2
0
1
1
0
sin 30
v01
v0
3
sin 150
2
0
v cos150 0
3
3
0
0
0
0
v 23
v 0 cos30 v 0
, O23
23
t v0
cos150 t , m23 2 m
2
0
2
0
1
1
v0
0
sin 150
v 23
Für den Zusammenstoß dieser beiden Objekte kann ich wieder die gleichen Überlegungen anstellen, nur
daß die Geschwindigkeit die Masse und der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen unterschiedlich
sind. Es gilt also:
3
3
3
cos60 v 0
cos60 v 0
2
2
2
3 0
3 0
0
Oi0 sin 60 v 0
t , O 0j sin 60 v 0
t , mi0 m 0j 2 m Oij0
t 0 , mij0 4 m
2
2
0
0
0
1
1
1
cos60 v 0
Jetzt beschreibe ich die Flugbahnen in dem Inertialsystem, in dem Oij ruht:
v 0 n cos30 v 0
3
2
0n 2
w
v0n v 0n
w0 n
RKFO0i n RKFO0jn RKFO0ijn
0
3
3
sin 30 v 0
0
3
0
RKFO0i n
sin
30
v
2
n
0
0
Oi sin 30 v 2 t
tn,
min
mi0 w 0 n 2 m
2 t
0n
0n
w
w
0
0
0
RKFO0i n
w0 n
1
w0 n
v0n v 0n
0
0
w0 n
3
3
sin 30 v 0
3
0
RKFO0jn
sin 30 v 0
2
n
0
0
n
n
sin
30
v
Oj
t
t
t
,
m
m 0j w 0 n 2 m
2
j
0n
2
w0n
w
0
0
0
RKFO0jn
w0 n
1
w0 n
v 0n v 0n
0
w0n
RKFO0ijn
0
0
Oijn
t0 tn ,
mijn
mij0 w 0 n 4 m
0
0
w0n
RKFO0ijn
1
0
w0n
Das Objekt besteht jetzt aus 4 gleich Objekten und die Massenverteilung ist die, daß von jedem Objekt
25% der einzelnen verwendeten Materialien vorhanden sind.
Die entgültigen Flugbahnen sehen so aus:
0
3
v0123
sin 90
v0
4
v 0 cos90 0
3
3
0
v 0 v 0 cos60
v0
, O 0 0123
t
t 0 , m0 4 m
0123
2
4
0123
0123
0
0
1
1
Variante 2:
Die ersten beiden Kollisionen sind einfach zu berechnen. Die Kollision von O1 und O2 wurde schon in
Variante 2 berechnet. Die Kollision von O0 und O3 sind noch einfacher, da sich O03 in I0 nicht bewegt,
denn die Objekte kommen aus entgegengesetzten Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit und
haben die gleiche Masse. Deshalb kann ich die Flugbahnen von O12 und O04 direkt hinschreiben:
0
3
v01
sin 90
v0
2
0
v cos90 0
3
0
v 0 v 0 cos30 v 0
, O 0 01
t
t 0 , m0 2 m
12
2
12
12
0
0
1
1
0
0
0
v03
0, O03
0
0
0
t 0 , m03
2m
1
Ich habe hier die Situation, daß sich die Objekte nicht mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Das eine
Objekt ruht und das andere bewegt sich. Die prozentuale Massenverteilung kenne ich bereits aus Variante
1. Ich brauche also nur noch die Berechnung für die Übersetzung durchzuführen. Die Kollision in I0 sieht
so aus:
3
2
v0
0
O120
0
t 0 , O030
0
0
0
v0
0
0
t 0 , m120 m03
2 m O0123
0
0
t 0 , m0123
4m
0
1
1
3
4
1
Jetzt führe ich die Übersetzung in das Inertialsystem durch, in dem das Objekt nach der Kollision ruht:
v0
0n
O12
RKF
1
v0
O12n
3
4
w0n
0
O
3
3
3
v0
v0
2
4
4
w0n
RKFO012n
0
t0
t n ,
0
0
0
RKFO012n
1
w0n
0 v0
n
03
2
2
9
9
3 0
3
3
3 0
3
v0
v0
v0
v0
v
0
v
0n
8 , RKF 0 n 1
16
4
2 1
4
4
4
1, RKFO0123 1
1
w0n
O03
c2
c2
c2
c2
c2
v0
t0
0
RKFO003n
w0n
v v 0n
w0n
0
m12n
RKFO012n
w
0n
m120
2
RKFO012n 2 m
w0n
3
4
RKFO003n
t n ,
0
n
m03
RKFO003n
w0n
0
m03
RKFO003n 2 m
w0n
0
1
0n
n
O0123
0
n
RKFO00123
0
t 0
0
0
t n,
n
m0123
n
RKFO00123
w
0n
0
m0123
n
RKFO00123
4m
w0n
1
w0n
Natürlich kann ich jetzt den Impulserhaltungssatz überprüfen. Da die y- und die z-Komponente in allen 3
Fällen =0 ist, brauche ich die Überprüfung nur für die x-Komponente durchzuführen. Es gilt also:
n
0123
m
n
0123
v
n
RKFO00123
4m
w0 n
3
3
0
0n
v0
RKFO003n 2 m v 4
2m 0
3
3 RKFO12 2 m
0
n
n
4
0 0 0n v
v
m12n v12n m03
v03
0n
0n
0n
0n
w
4
4
w
RKF
w
RKF
O12
O03
Der Impulserhaltungssatz funktioniert wie erwartet. Aber beide Objekte haben unterschiedliche Massen
in In:
v 0 2 9
1
2m
c 2 8
RKFO012n 2 m
RKFO003n 2 m 2 m
n
n
m12
,
m
0n
03
w0 n
w0n
w0n
w
Trotzdem muß bei der Materialanalyse 25% von jedem verwendeten Material zusammenkommen. Wenn
O0 aus Gold besteht, O1 aus Silber, O2 aus Platin und O3 aus Kupfer, dann muß O0123 zu 25% aus Gold,
zu 25% aus Silber, zu 25% aus Platin und zu 25% aus Kupfer bestehen, wenn man die Berechnung nach
Variante 1 durchführt. Bei Variante 2 gilt das nicht mehr.
Natürlich gibt es ein anderes Inertialsystem, in dem O12 und O03 aus entgegengesetzten Richtungen mit
der gleichen Geschwindigkeit zusammenstoßen. In diesem Inertialsystem bleibt das Objekt nach der
Kollision nicht in Ruhe. Also sind die Massen in diesem Inertialsystem unterschiedlich groß. Damit sich
das Objekt nach der Kollision in diesem Inertialsystem in Ruhe befindet, müßte die Masse des einen
Objektes verkleinert oder die andere vergrößert werden. Dadurch würde sich die Objektzusammensetzung
verändern. In diesem Inertialsystem wären die Massen gleich und die Geschwindigkeiten der Objekte
gleich. Aber die Zusammensetzung des Objektes in seine Bestandteile wäre nicht zu 50% aus Silber und
Platin und zu 50% aus Gold und Kupfer.
In diesem Inertialsystem könnte folgender elastischer Stoß beschrieben werden:
Dieses Experiment soll in allen Inertialsystemen einen elastischen Stoß beschreiben. Dies gilt, wenn
sowohl die Massen als auch die Geschwindigkeiten vor und nach dem Stoß gleich sind. Die
Materialverteilung zeigt aber, daß dies nicht allgemeingültig sein kann. Weil die Materialverteilung im
unelastischen Stoß in Bewegungsrichtung des Inertialsystems nicht mit der Materialverteilung senkrecht
zur Bewegungsrichtung des Inertialsystems übereinstimmt, sieht die Realität in einem bewegten
Inertialsystem eher so aus:
Mit Hilfe des Elastischen Stoßes kann man in das Inertialsystem wechseln, in dem ein Objekt vor dem
Zusammenstoß ruht. Nach dem Zusammenstoß bewegt sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit 0.
Diese Geschwindigkeitsveränderung kann verwendet werden für die 2. Interpretation der Massenformel.
Aber die Zusammensetzung des unelastischen Stoßes in die verschiedenen Materialien zeigt, daß dieser
relativistische elastische Stoß kein elastischer Stoß sein kann. Die Materialanalyse muß sogar
richtungsabhängige Größen liefern. Das bedeutet. Eine real existierende Massenformel muß in jedem
Inertialsystem richtungsabhängig sein und von der Geschwindigkeit des Inertialsystems abhängen.
g) Ein Korrekturvorschlag
Wenn ein physikalischer Zusammenhang nicht mehr funktioniert, dann muß eine Korrektur durchgeführt
werden. Vielleicht wird das den Anhängern der Relativitätstheorie gar nicht gefallen, aber dann sollten sie
einen funktionierenden Gegenvorschlag machen.
Ich verwende hier den Begriff der austauschbaren Gleichheit. 2 Objekte sind dann gleich, wenn ich sie
vor einem Experiment austauschen könnte, ohne das sich das Ergebnis des Experiments verändert.
g1) Die Messung der Masse in In
Ich möchte Ihnen zeigen, wie die Masse eines Objektes in In wirklich berechnet werden kann. Dazu
betrachte ich 2 austauschbar gleiche Massen und führe Experiment 1 aus Abschnitt f2) in I0 in einer
beliebigen Richtung in der x-y-Ebene durch und beobachte diesen Zusammenstoß in In, welches sich
entlang der x-Koordinatenachse bewegt.
Experiment 1, beschrieben in I0:
v 0 cos 0
0
1
O
t
v 0 sin 0
0
v 0 cos 0
0
0
1
,
V v
0
2
O
v
sin
t
sin ,
0
0
0
0
2
, V v 0 sin 0 , RKFO02n 1 v 0 cos 0 v 0 n
0
0
1
0
v 0 cos 0
0
0
O120
RKFO01n 1 v 0 cos 0 v 0 n
0
1
v 0 cos 0
0
0
0
t0 ,
V120 0 ,
RKFO012n 1 0 v 0 n 1
0
1
Experiment 1, beschrieben in In. Für die Übersetzung benutze ich Satz 7:
v 0 cos 0 v 0 n
w0 n
v 0 sin 0
O1n
0
RKFO01n
t 0 , O2n
w0 n
v cos 0 v 0 n
RKFO01n
v 0 sin 0 w 0 n
,
V1n
RKFO01n
0
0
v 0 cos 0 v 0 n
w0n
v 0 sin 0
0
RKFO02n
t 0 , O12n
0
RKFO012n
t0,
w0 n
w0n
v cos 0 v 0 n
RKFO02n
v 0 sin 0 w 0 n
,
V2n
RKFO02n
0
0
v 0n
w0 n
0
v 0n
n
12
V
0
0
Ich suche jetzt eine Formel, wie ich die Kollision der 2 Kugeln in In beschreiben kann. Da der
Impulserhaltungssatz nicht gilt, muß ich einen Trick einführen, um aus einer Ungleichung eine Gleichung
machen zu können. Da ich nur austauschbar gleiche Massen benutzt habe, kann ich die Masse als
Eichmasse benutzen. Nach der Kollision besteht das neu entstandene Objekt aus 2 Eichmassen. Ich
überprüfe jetzt, ob ich Gleichheit erzeugen kann, in dem ich jeden Impuls mit einem Faktor multipliziere,
so als ob ich auf Grund der Flugbahnen eine Massenbestimmung durchführen wollte. Es müßte dann
folgendes gelten:
2 M En f12n V12n M En f1n V1n f 2n V2n
2 f12n V12n f1n V1n f 2n V2n
Jetzt berechne ich den zusätzlichen Faktor. Dies geschieht mit Hilfe eines Komponentenvergleichs:
v
n
12
2 f
0n
0
0
v 0 cos 0 v 0 n
v 0 cos 0 v 0 n
0n
RKFO1
RKFO02n
v 0 cos 0 v 0 n
v 0 cos 0 v 0 n
n
n
0
0
0n
0
0
0n
v
sin
w
v
sin
w
f
f
1
2
f1n
f 2n
v 0 sin 0 w 0 n
v 0 sin 0 w 0 n
RKFO01n
RKFO02n
RKFO01n
RKFO02n
0
0
0
0
v
0n
0
0
v 0 cos 0 v 0 n
v 0 cos 0 v 0 n
n
f1n
f
1
1
v 0 sin 0 w 0 n 2 n
v 0 sin 0 w 0 n
2 f12n RKFO01n
2 f12 RKFO02n
0
0
0
f1n
fn
v 0 sin 0 w0 n
fn
1
fn
1 0
v 0 sin 0 w0 n
2 n
1 n
2 n
v sin 0 w 0 n
n
0n
0n
0
n
0n
2 f12 RKFO
2 f12
RKFO1
2 f12
RKFO2
2
f
RKF
12
O2
1
Hier gibt es 2 Fälle, die man beachten muß. Die Gleichung ist erfüllt, wenn eine von 2 Bedingungen
erfüllt ist: f1n RKFO02n f 2n RKFO01n oder sin 0 0 . Ich muß also beide Fälle gesondert betrachten:
Fall 1: f1n RKFO02n f 2n RKFO01n
f1n f 2n
RKFO01n
RKFO02n
v 0n
RKFO01n v 0 cos 0 v 0 n
f1n
v 0 cos 0 v 0 n
f 2n
f 2n
f 2n
v 0 cos 0 v 0 n
v 0 cos 0 v 0 n
RKFO01n
RKFO02n
RKFO01n
RKFO02n
2 f12n
2 f12n
2 f12n RKFO02n
2 f12n
f 2n
fn
v 0 cos 0 v 0 n v 0 cos 0 v 0 n
2 v 0n
2 n
0n
n
2 f12
RKFO2
2 f12 RKFO02n
f RKFO02n f12n
n
2
f1n f 2n
RKFO01n
1 v R0 n v R0 cos 0
n
0n
RKF
f
RKFO01n f1n 2
O2
12
RKFO02n
RKFO02n
f1n
RKFO01n ,
f12n
Für 0
0
2
f 2n
RKFO02n
f12n
vereinfacht sich das Ergebnis:
2
cos 0 0
RKFO02n RKFO01n 1
f1n
fn
2n 1
n
f12 f12
Fall 2: sin 0 0
Es muß einen stetigen Übergang von Fall 1 zu Fall 2 geben. Deshalb kann ich eine Limes-Berechnung
durchführen:
sin 0 0 cos 0 1
f1n
lim RKFO01n lim
1 vR0n vR0 cos 0 1 vR0n vR0 ,
cos 0 1
f12n cos 0 1
f 2n
lim RKFO02n lim
1 vR0n vR0 cos 0 1 vR0n vR0
cos 0 1
f12n cos 0 1
Ich habe hier ein „“-Zeichen eingeführt. Da ich bei einem Vorzeichenwechsel nur f1n und f2n vertausche,
kann ich eine Wahl treffen. Ich wähle das „+“-Zeichen. Also gilt dann folgendes:
f1n
1 v R0 n v R0 ,
f12n
f 2n
1 v R0 n v R0
f12n
Die Definition von fn ist immer noch etwas ungünstig, weil ich durch fn12 teilen muß. Der relativistische
Korrekturfaktor wird aber nur für O1 und O2 benötigt. Aber wenn man sich den relativistischen
Korrekturfaktor für O12 etwas genauer betrachtet, dann gilt folgendes:
RKFO012n 1
RKFO01n
f1n
RKFO01n
,
n
f12
RKFO012n
RKFO02n
f 2n
RKFO02n
n
f12
RKFO012n
Jetzt kann ich die allgemeine Lösung für fn formulieren:
f n const RKFO0 n
Die Konstante const ist ein Eichparameter.
g2) Grenzübergänge
Die Ergebnisse aus Abschnitt g1) möchte ich jetzt in 2 speziellen Inertialsystemen auswerten. Einmal in
I0 und einmal in Im. Im ist dabei ein Inertialsystem, in dem ich das Experiment 1 parallel zur
Bewegungsrichtung von I0 in Im durchführe.
Betrachten Sie sich noch einmal die Formelergebnisse aus Abschnitt a:
2 f12n V12n f1n V1n f 2n V2n
2 V12n
f1n
RKFO01n 1 v R0 n v R0 cos 0 ,
f12n
f1n
fn
V1n 2n V2n
n
f12
f12
f 2n
RKFO02n 1 v R0 n v R0 cos 0
f12n
Ich möchte jetzt das f für I0 berechnen. Da diese Formeln in allen Parametern stetig sind, kann ich einen
Grenzübergang nach I0 berechnen:
1 cos 0 1 1 vR0 n vR0
f1n
f 2n
0n
0
0n
0
1
v
v
,
1
v
v
1 vR0 n v R0
R
R
R
R
f12n
f12n
f1n f10
n 0 lim
1 1 0 vR0 lim
1 vR0 n vR0 lim
1 vR0 n v R0 1 0 v R0 1,
0n
0n
0n
v R 0
v R 0 f
12 f12 vR 0
f 2n f 20
n 0 lim
1 1 0 vR0 lim
1 vR0 n vR0 lim
1 vR0 n v R0 1 0 v R0 1
0n
0n
v R 0
v R 0 f
v R0 n 0
f
12
12
Dieses Ergebnis bedeutet, daß sich die Masse in I0 nicht verändert, da f1 und f2 die Faktoren beschreiben,
die die Masse verändern könnten!
Wenn man das Experiment 1 in Im senkrecht zur Bewegungsrichtung von I0 in Im durchführen würde, wie
würde dann das Ergebnis nach der Kollision aussehen? Einstein hat einfach festgelegt, daß sich das
daraus entstandene Objekt nach der Kollision in Im in Ruhe befindet. Das würde bedeuten, daß ich in In
die gleichen Regeln aufstellen könnte wie in Abschnitt g1):
2 f12n V12n f1n V1n f 2n V2n
f1n
1 v Rmn v Rm cos m ,
f12n
2 V12n
f1n
fn
V1n 2n V2n
n
f12
f12
f 2n
1 v Rmn v Rm cos m
f12n
Jetzt wähle ich In so aus, daß cos(öm)=0 ist. Dann gilt in In folgende Regel:
f1n f 2n
1
f12n f12n
Ich habe aber in Abschnitt g1) festgestellt, daß folgende Regel gilt:
f1n
1 v R0 n v R0 cos 0 ,
f12n
f 2n
1 v R0 n v R0 cos 0
f12n
Die beiden Formeln können nur dann gleichzeitig funktionieren, wenn auch cos(ö0)=0 ist. Das geht aber
nur dann, wenn I0=Im ist.
Falls jemand der Meinung sein sollte, daß meine Schlußfolgerung nicht korrekt ist, dann würde das
bedeuten, daß die Masse in In nicht nur von der Geschwindigkeit und von der Richtung, sondern auch
noch vom durchgeführten Experiment abhängen würde. Die Masse wäre dann eine völlig unsinnige
Größe, die physikalisch nicht greifbar ist. Also habe ich einen weiteren Widerspruch zur
Massendefinition der Speziellen Relativitätstheorie Einsteins gefunden.
g3) Ein relativistischer Impuls
fn wurde so definiert, daß das Experiment 1 für Impulserhaltung sorgt. Wenn ich also relativistische
Impulserhaltung haben will, dann muß ich fn in die Formel für den Impuls einbauen. Die Formel würde
dann so aussehen:
Rp n p n f n m VOn RKFO0 n
In dieser Formel taucht const nicht auf. Ich habe diesen Wert einfach auf 1 gesetzt. Das hat einen
besonderen Grund. In I0 ist der relativistische Korrekturfaktor immer =1. Außerdem kann ich I0 zur
Eichung des gesamten Systems benutzen. Die einfachste Eichung ist dann immer die 1. Wenn ich const=1
in allen Inertialsystemen wähle, dann bekomme ich eine direkte Übersetzung von I0 nach In..
g4) Gibt es eine allgemeine Impulserhaltung?
Ich habe f so definiert, daß für Experiment 1 in allen Inertialsystemen Impulserhaltung gilt. Klappt das
auch bei beliebigen Zusammenstößen? Um das herauszufinden, brauche ich ein Inertialsystem, in dem ich
Impulserhaltung festlege. I0 ist dafür besonders gut geeignet, denn es gilt:
0
0
RKFO00 1 vOR
v R00 1 vOR
0 1
Impulserhaltung kann dann nur auf eine Art existieren:
Rp120 m12 VO0 RKFO00 m12 VO0 m1 m2 VO0 m1 VO0 m2 VO0 m1 VO0 RKFO00 m2 VO0 RKFO00 Rp10 Rp20
Wenn ich in einem beliebigen anderen Inertialsystem In ebenfalls die Impulserhaltung berechnen will,
dann muß das gleiche Ergebnis herauskommen als wenn ich zuerst eine Übersetzung nach I0 durchführe,
dort die Impulserhaltung berechne und anschließend das Ergebnis nach In zurück übersetze.
Ich wähle mein Koordinatensystem so, daß sich In in I0 in x-Richtung bewegt. In I0 haben die Massen m1
und m2 folgende Geschwindigkeiten:
12
12
12
12
1
2
1
1
2
2
vx01
0
O1
vx02
0
y1
0
z1
0
O2
V v , V v
v
m1 v x01 m2 v x02
m1 v y01 m2 v y0 2
v
0
y2
0
z2
0
O12
V
v x01
vx02
m1 v z01 m2 v z02
m1
m2
m1
m2
0
0
0
VO1
VO2
v y1
v y0 2
m1 m2
m1 m2
m1 m2
m1 m2
m1 m2
v z01
v z02
Auf Grund der Wahl meines Koordinatensystems gilt folgendes:
v0n
V
0n
0
0n
RKFO01n 1 vRx
1 vR
0
0
0n
RKFO02n 1 vRx
2 vR
RKFO012n 1
m v
1
0
Rx1
0
0
0n
m2 vRx
2 vR
m1 m2
Jetzt berechne ich die Geschwindigkeiten in In. Für die Berechnung verwende ich Satz 11:
m1 v x01 m2 v x02 m1 m2 v 0 n
vx01 v 0 n
VOn1 v y01 w0 n
vz01 w0 n
1
RKFO01n
v x02 v 0 n
, VOn2 v y0 2 w0 n
v z02 w0 n
m v
m v
1
1
RKFO02n
1
VOn12
0
y1
0
z1
m2 v 0y 2 w 0 n
m2 v z02
w
0n
1
RKFO012n
m1 m2
Jetzt überprüfe ich, ob der Impulserhaltungssatz auch in In funktioniert:
v x01 v 0 n
n
1
n
2
0n
O1
n
O1
Rp Rp m1 V RKF
0n
O2
n
O2
m2 V RKF
0
y1
0
z1
m1 v w
0n
v w0n
v x01 v 0 n
v x02 v 0 n
m1 v x01 m2 v x02 m1 m2 v 0 n
m1 v 0y1 w 0 n m2 v 0y 2 w 0 n
0
z1
v w
0n
0
z2
v w
v x02 v 0 n
1
1
0n
RKFO1 m2 v 0y 2 w 0 n
RKFO02n
0n
RKFO01n
RKF
O2
v z02 w0 n
0n
m v
m v
1
1
0
y1
0
z1
m2 v 0y 2 w 0 n
m2 v
0
z2
w
m1 m2 RKFO012n VOn12 m12 VOn12 RKFO012n Rp12n
0n
Also funktioniert der Impulserhaltungssatz. Beschreibt dieser Impulserhaltungssatz die physikalische
Realität? Der mathematische Beweis sagt nur aus:
Wenn ein Impulserhaltungssatz existiert, dann hat er diese Form. Erst physikalische Messungen können
überprüfen, ob der Impulserhaltungssatz gilt oder nicht. Schließlich könnte es – wer weiß aus welchen
Gründen – eine Physik geben, die ohne Impulserhaltung auskommt.
g5) Gibt es einen allgemeinen Schwerpunkterhaltungssatz in In
Vielleicht kann man genau so wie beim Impulserhaltungssatz einen zusätzlichen Parameter in die Formel
einbauen, so daß man einen Schwerpunkterhaltungssatz erhält. Einen solchen Schwerpunkterhaltungssatz
will ich konstruieren. Damit die Beschreibung so allgemein wie möglich ist, betrachte ich einen
beliebigen 2-fachen Stoß in I0. Der Zusammenstoß findet am Punkt O0(0) statt. Zur Bestimmung der
Flugbahn nach dem Zusammenstoß verwende ich den Impulserhaltungssatz. Die Beschreibung der
Flugbahn sieht dann so aus:
Ox0
O 0 0
O y0
Oz0
Ox0
t0 0:
Ox0
s10 t 0 O y0 V10 t 0 , s20 t 0 O y0 V20 t 0 ,
Oz0
0
Oz0
Ox0
t 0 0 : s120 t 0 O y0 V120 t 0
Oz0
Jetzt übersetze ich die Flugbahnen für In. Dazu muß ich den Punkt der Kollision übersetzen. Dafür
verwende ich Satz 11:
Ox0 v 0 n 0
w0 n
O y0
O n 0
Ox0
w0 n
Oy0
Oz0
Oz0
0n
v
0n
0
v Ox0
0 2 Ox
c
c 2 w0 n
w0 n
tn 0 :
s1n t n
Ox0
Ox0
w0 n
w0 n
v 0 n Ox0
v 0 n Ox0
n n
,
O y0 V1n t n 2
,
s
t
O y0 V2n t n 2
2
0n
c w
c w 0 n
0
0
Oz
Oz
Ox0
w0 n
v 0 n Ox0
t n 0 : s12n t 0 O y0 V12n t n 2
c w 0 n
0
O
z
Jetzt berechne ich den Schwerpunkt In. Dazu füge ich in In einen zusätzlichen Multiplikator ein:
n
t 0
tn 0
n
Sp t
m1
Ox0
w0n
v 0 n Ox0
O y0 V1n t n 2
c w0n
O0
z
n
f1 m2
m1 m2
m s n t n f1n m2 s2n t 0 f 2n
1 1
m1 m2
Ox0
0n
m f n m2 f 2n w 0
m V n f1n m2 V2n f 2n n v 0 n O x0
1 1
Oy 1 1
t 2
m1 m2
m1 m2
c w0n
0
Oz
m
Sp t n
1
m2 s12n t n f12n
m1 m2
0
0
n
s12 t f12
Ox0
w0 n
v 0 n O x0
O y0 V12n t n 2
c w0n
Oz0
Ox0
w0 n
m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
O y0 f12n
m1 m2
Oz0
v 0 n O x0
t n 2
c w0n
Ox0
0n
w
v 0 n O x0
0
n n
f 2n
O y V2 t 2
0n
c
w
Oz0
f12n
f12n
0n
RKFO12
Wenn es Schwerpunkterhaltung gibt, dann muß die Formel vor und nach dem Stoß das gleiche Ergebnis
liefern. Wählt man tn=0, dann bedeutet das, daß die konstanten Terme gleich sind. Selbst dann, wenn sie
auf eine unterschiedliche Art und Weise beschrieben werden. Deshalb betrachte ich mir zuerst den von tn
abhängenden Teil der Formel:
tn 0
Sp t n
Ox0
0n
m f n m2 f 2n w 0
m V n f1n m2 V2n f 2n n v 0 n Ox0
1 1
Oy 1 1
t 2
m1 m2
m1 m2
c w 0 n
Oz0
Ox0
w0 n
m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
O y0 f12n
m1 m2
Oz0
v 0 n Ox0
f12n
t n 2
0n
c w RKFO012n
n
0n
n
0n
m1 V1n f1n m2 V2n f 2n n m1 V1 RKFO1 m2 V2 RKFO2
f12n
t
tn
m1 m2
m1 m2
RKFO012n
f1n 2
m1 V1n f1n m2 V2n f 2n m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
RKFO01n 2
f12n
f12n
m1 V1n f1n RKFO01n
m2 V2n RKFO02n
f 2n
0n
0n
RKFO12
RKFO12
Beachten Sie, daß in der letzten Gleichung 3 Gleichungen enthalten sind, da V1n und V2n 3-dimensionale
Geschwindigkeitsvektoren sind. Da sich I0 in In in x-Richtung bewegt, hängt der relativistische
Korrekturfaktor weder von der y- noch von der z-Komponente ab. Wenn dort beliebige Werte zugelassen
werden, kann eine Gleichung nur dann erzeugt werden, wenn die Multiplikatoren in der Klammer =0
sind. Es muß also gelten:
0 f 1n RKFO01n
f 12n
f12n
RKFO02n
f 2n
0n
RKFO12
RKFO012n
f12n
f1n
f 2n
0n
0n
RKFO12 RKFO1
RKFO02n
Bis auf einen konstanten Faktor kann ich daher folgende Wahl treffen:
f1n RKFO01n ,
f 2n RKFO02n ,
f12n RKFO012n
n
t 0
Sp t n
O x0
0n
m f n m2 f 2n w 0
m V n f1n m2 V2n f 2n n v 0 n O x0
1 1
Oy 1 1
t 2
m1 m2
m1 m2
c w 0 n
O z0
m1 RKFO01n m2 RKFO02n
m1 m2
Ox0
w 0 n m V n RKF 0 n m V n RKF 0 n
1
1
O1
2
2
O2
O y0
m
m
1
2
Oz0
v 0 n O x0
t n 2
c w0n
tn 0
Sp t n
Ox0
w0 n
m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
O y0 f12n
m1 m2
Oz0
v 0 n O x0
t n 2
c w0n
Ox0
w0 n
m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
O y0 RKFO012n
m1 m2
Oz0
Ox0
w0 n
m1 V1n RKFO01n m2 V2n RKFO02n
O y0 RKFO012n
m1 m2
Oz0
f12n
0n
RKFO12
v 0 n O x0
t n 2
c w0n
0n
RKFO12
0n
RKFO12
v 0 n O x0
t n 2
c w0n
0
x
0n
O
Ox0
0n
w
m1 RKFO01n m2 RKFO02n w 0
Oy
Oy0 RKFO012n
m1 m2
Oz0
Oz0
0n
O12
m1 m2 RKF
0
0n
0
0n
0
0
0n
m1 RKFO01n m2 RKFO02n m1 1 v Rx
m2 1 v Rx
m1 m2 m1 v Rx
1 vR
2 vR
1 m 2 v Rx 2 v R
m v
m1 m2 1 1
0
Rx1
m2 v
m1 m2
0
Rx 2
v
0n
R
m1 m2 RKFO01n 2
Also kann man durch die Einführung eines zusätzlichen Parameters künstlich Schwerpunkterhaltung
erzwingen. Dieses Ergebnis gilt natürlich für alle Inertialsysteme, also auch für I0. Dort ist der
Relativistische Korrekturfaktor =1 und es gilt dort der altbekannte Schwerpunkterhaltungssatz.
g6) Man muß eine Entscheidung treffen
Ich habe mit Hilfe des relativistischen Korrekturfaktors eine allgemeinen Impulserhaltung und einen
allgemeinen Schwerpunkterhaltungssatz in In erzwungen. Ist das eine gute Idee? Die Physiker haben im
Laufe der Zeit ein komplexes, fein aufeinander abgestimmtes, physikalisches Regelwerk erzeugt. Als man
den Impuls und den Schwerpunkt definiert hat, hat man sich etwas dabei gedacht. Daß auf Grund von
physikalischen Überlegungen zusätzliche Gesetzmäßigkeiten herauskamen wie z. B. der
Impulserhaltungssatz und der Schwerpunkterhaltungssatz, ist ein Glücksfall für die Berechnung, muß
aber keine Voraussetzung für eine physikalische Theorie sein. Man kann die Theorie so aufbauen, daß
man den Impuls und den Schwerpunkt mit Hilfe des relativistischen Korrekturfaktors in der
Relativitätstheorie neu definiert, dann darf man den Impulserhaltungssatz und den
Schwerpunkterhaltungssatz weiter benutzen. Man kann aber auch den Impuls und den Schwerpunkt so
lassen, wie er war. Dann gibt es zwar keine Impulserhaltung, Aber es gibt eine Berechnungsvorschrift,
wie sich der Impuls nach einem physikalischen Ereignis verändert. Es gibt auch keine
Schwerpunkterhaltung, aber eine Berechnungsvorschrift, wie sich der Schwerpunkt nach einem
physikalischen Ereignis verändert.
Anstatt den Impuls zu verändern, kann man auch etwas anderes machen. Man kann die Masse neu
definieren, so wie das Einstein gemacht hat. Natürlich darf man nicht die Einsteinsche Massenformel
nehmen, denn diese hat sich als falsch erwiesen. Wenn man das macht, muß man aber neue merkwürdige
Eigenschaften der Masse in Kauf nehmen:
1 Die Messung der Masse ist abhängig vom Inertialsystem, in dem die Messung vorgenommen wird.
2 Die Masse ist nicht nur Geschwindigkeits- sondern auch Richtungsabhängig und wird daher zu einer
3-dimensionalen Größe.
3 In I0 ist die Masse immer unabhängig von der Richtung und von der Geschwindigkeit gleich groß.
Man kann für den Schwerpunkt den Ort und für den Impuls die Geschwindigkeit mit Hilfe des
relativistischen Korrekturfaktors neu definieren. Aus welchen Grund sollte man gerade diese Werte mit
dem relativistischen Korrekturfaktor kombinieren? Das möchte ich an einem Beispiel erläutern. Ich werde
dazu den Schwerpunkterhaltungssatz in In falsch berechnen in dem ich die relativistische Gleichzeitigkeit
vernachlässige. In I0 herrscht immer absolute Gleichzeitigkeit und dort gilt folgendes:
Ox0 v x01 t 0
O10 t 0
0
y
0
z
0
y1
0
z1
0
O v t
O v t
Ox0 v x02 t 0
0
, O20 t 0
0
t
0
Ox v x01 t 0
0
y
0
z
0
y2
0
z2
0
O v t
O v t
, O120 t 0
0
s20 t 0 O y0 v 0y 2 t 0 ,
0
z
0
z
O v t
0
0
z2
O v t
O y0 v 0y12 t 0
Oz0 v z012 t 0
,
t0
Ox0 v x012 t 0
t
0
Ox v x02 t 0
s10 t 0 O y0 v 0y1 t 0 ,
0
z1
Ox0 v x012 t 0
0
s120 t 0 O y0 v 0y12 t 0
0
Oz0 v z012 t 0
Die Massen m1, m2 und m3 wurden so definiert, daß Schwerpunkterhaltung in I0 gilt.
In Satz 11 habe ich die Formel für die direkte Übersetzung von si0(t0) von I0 nach In schon berechnet:
Ox0 vx01 v 0 n t 0
Ox0 vx02 v 0 n t 0
Ox0 v x012 v 0 n t 0
0n
0n
w
w
w0 n
, s2n t 0
, s12n t 0
s1n t 0
Oy0 v 0y1 t 0
Oy0 v 0y 2 t 0
O y0 v 0y12 t 0
Oz0 vz01 t 0
Oz0 v z02 t 0
Oz0 v z012 t 0
Durch die direkte Übersetzung wird nicht auf die Zeitachse geachtet. Das t0 müßte erst durch die
zeitlichen Daten in In aufeinander abgestimmt werden. Da ich mit diesem Fehler rechnen will, überprüfe
ich jetzt den Schwerpunkterhaltungssatz in In:
I 0 : Sp t 0
m1 s10 t 0 m2 s 20 t 0
m s0 t 0
12 12
Sp t 0
m1 m2
m12
O x0 v x01 v 0 n t 0
O x0 v x02 v 0 n t 0
w0 n
w0n
m1
O y0 v y01 t 0
O y0 v 0y 2 t 0
m2
O z0 v z01 t 0
O z0 v z02 t 0
In :
Sp t 0
m1 s1n t 0 m2 s2n t 0
m1 m2
O x0 v x012 v 0 n t 0
w0n
m12
O y0 v 0y12 t 0
m1 m 2
O z0 v z012 t 0
Sp t 0
m12
Da der Schwerpunkterhaltungssatz für jede Komponente berechnet werden kann, kann ich mir 2
Berechnungen ersparen denn in der y- und der z-Komponente stehen in I0 und in In der gleiche Wert.
Deshalb brauche ich die Berechnung nur für die x-Komponente durchführen:
I 0 : Sp t 0
0
n
I :
Sp t
m1 sx01 t 0 m2 s x02 t 0
m Ox0 v x01 t 0 m2 Ox0 v x02 t 0
m Ox0 v x012 t 0
m s0 t 0
1
12
12 x12
Sp t 0
m1 m2
m1 m2
m12
m12
Ox0 v x01 v 0 n t 0
O 0 v x02 v 0 n t 0
m2 x
0
n
m s t m2 s t
w
w0n
1
m1 m2
m1 m2
m1 Ox0 v x01 t 0 m2 Ox0 v x02 t 0 m1 m2 v 0 n t 0 m12 O x0 v x012 t 0 m12 v 0 n t 0
w0 n m1 m2
w 0 n m12
n
x1
0
m12
n
x2
m1
0
Ox0 v x012 v 0 n t 0
m sn t0
w0 n
12 x12
Sp t 0
m12
m12
Wie man sieht, funktioniert der Schwerpunkterhaltungssatz, wenn man die relative Gleichzeitigkeit
vernachlässigt. Das bedeutet, daß der relativistische Korrekturfaktor die Fehler der relativen
Gleichzeitigkeit ausgleicht. Deshalb braucht man den relativistischen Korrekturfaktor um einen
Schwerpunkterhaltungssatz zu erzeugen.
Wie sieht das beim Impulserhaltungssatz aus? Betrachten Sie sich dazu noch einmal eine Erkenntnis aus
Satz 7:
t m
RKFOnm
t n
w nm
Auf Grund der relativen Gleichzeitigkeit, wird bei der Übersetzung für ein bewegtes Objekt eine
geschwindigkeitsabhängige Zeitkorrektur vorgenommen. Die Geschwindigkeit wird berechnet als
zurückgelegter Weg geteilt durch die benötigte Zeit. Wie wirkt sich dieser Fehler in der zeitlichen
Darstellung auf die Berechnung des Impulses aus? Ich werde den Impulserhaltungssatz jetzt etwas anders
darstellen:
tOn
RKFO0 n
t O0
w0 n
RKFO0 n w0 n
t On
t O0
Rp1n Rp2n m1 VOn1 RKFO01n m2 VOn2 RKFO02n m12 VOn12 RKFO012n Rp12n
Rp1n Rp2n m1 VOn1 w0 n
tOn1
tO01
m2 VOn2 w0 n
t On2
t O0 2
m12 VOn12 w 0 n
t On12
t O012
Rp12n
t On
t On
t On
Rp1n Rp2n
Rp n
m1 VOn1 01 m2 VOn2 0 2 m12 VOn12 012 012n
0n
w
t O1
t O2
t O12 w
Für die Impulserhaltung ist w0n ein neutraler Wert. Ob ich den Faktor benutze oder nicht, spielt keine
Rolle. Anders sieht es mit der Zeit aus. Weil die Übersetzung der Zeit auf Grund der unterschiedlichen
relativen Gleichzeitigkeit für bewegte Objekte unterschiedlich ist, kann ich die zeitliche Übersetzung
nicht aus der Formel entfernen. Also ist RKFO0n ein Korrekturfaktor, der die zeitlichen Fehler ausgleicht.
Dadurch ist dieser Faktor weder ein Massen-, noch ein Geschwindigkeitseffekt, sondern ein
Gleichzeitigkeitseffekt. Er sollte also weder mit der Masse, noch mit der Geschwindigkeit kombiniert
werden, sondern als zusätzlicher Multiplikator in die Formel aufgenommen werden.
Die Physiker müssen sich jetzt entscheiden. Welche physikalischen Gesetze sollen erhalten bleiben und
welche müssen verändert werden. Jede Strategie führt zu unterschiedlichen physikalischen Systemen.
Aber alle physikalischen Systeme sind richtig!
g7) Eichungen und physikalische Eigenschaften
In Abschnitt d1) habe ich schon auf die Verwechslung von Eichungen und physikalischen Eigenschaften
hingewiesen. Einige Fehler der speziellen Relativitätstheorie fallen deshalb nicht auf, weil in jedem
Inertialsystem eine Eichung vorgenommen werden muß.
Natürlich muß auch eine Eichung für alle physikalischen Parameter vorgenommen werden, die sich nicht
aus Raum und Zeit zusammensetzen lassen. Bei der Masse habe ich die Eichung übernommen, aber um
einen Impulserhaltungssatz und einen Schwerpunkterhaltungssatz zu bekommen mußte ich den
relativistischen Korrekturfaktor einführen. Immer dann, wenn ich eine Zahl erfunden habe, fand eine
Eichung statt. Dabei habe ich immer nach einer Zahl gesucht, die so einfach wie möglich ist. Der
physikalische Zusammenhang entstand durch die Übersetzung von einem Inertialsystem in ein anderes.
Einstein hat so etwas ähnliches gemacht mit seiner Massenformel. Es ist eine Eichung, aber kein
physikalischer Zusammenhang.
Wie funktioniert das?
Betrachten Sie sich einmal den relativistischen Korrekturfaktor für ein Objekt, welches in In ruht:
RKFO0 n 1
V 0n , V 0n
0n 2
1
c2
v w
c
0n 2
2
Ich habe die Eichung so vorgenommen, daß folgendes gilt:
0
0n
V ,
0
0
RKFO0 n V n 0 1
c
2
1
Da der relativistische Korrekturfaktor in I0 immer =0 ist, habe ich die Eichung so vorgenommen, daß ich
eine direkte Übersetzung bekomme. Ich hätte die Eichung aber auch so vornehmen können, daß der
relativistische Korrekturfaktor für ein in In ruhendes Objekt =1 ist. Dann sähe der relativistische
Korrekturfaktor so aus:
1
RKFO0 n
V 0 n , VO0
c2
0n 2
w
Auch in diesem Fall würde der korrigierte Impulserhaltungssatz und der korrigierte
Schwerpunkterhaltungssatz funktionieren, da beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Konstanten
multipliziert werden. Wenn man eine allgemeine Relativitätstheorie konstruieren will, muß man darauf
achten, daß die Eichung nicht mit einer physikalischen Eigenschaft verwechselt wird. Die korrekten
Eichparameter müssen deshalb möglicherweise nachträglich korrigiert werden. Sonst könnte es passieren,
daß die allgemeine Relativitätstheorie nicht funktioniert!
g8) Die mathematische Struktur der Impulserhaltung
In Abschnitt g2) habe ich gezeigt, daß in I0 der klassische Impulserhaltungssatz gilt, bei dem sich die
Masse nicht ändert, wenn ein Objekt innerhalb eines Inertialsystems seine Geschwindigkeit ändert. War
das Zufall oder hatte das einen besonderen Grund.
Deshalb habe ich mir überlegt, daß ich einmal die allgemeine Struktur eines Impulserhaltungssatzes
berechne. An dieser Formel kann man dann erkennen wie viele mathematische Möglichkeiten bestehen,
einen Impulserhaltungssatz zu konstruieren. Dabei setze ich folgende Sachen voraus:
1. Die Masse ist Geschwindigkeitsabhängig, aber nicht Richtungsabhängig.
2. Der Impuls wird berechnet als p=mv.
3. Ich habe 2 Objekte, die sich bewegen und die Eigenschaft haben, daß die Summe ihrer Impulse =0 ist.
4. Beide Objekte werden so beschleunigt, daß zu jedem Zeitpunkt Impulserhaltung gilt.
5. Ich betrachte die Situation nur in diesem Inertialsystem und sonst nirgends.
Es gilt dann folgende Formel:
m v v
m 0 f v1 v2
m 0
v f v2
0 p1 p 2 m1 v1 v1 m2 v 2 v 2 0 1 1 2 1
, f 0 1 C 1 2
m2 v 2 v1 m2 0 f v2 v1
m2 0
v1 f v1
Die Formel hängt immer noch von 2 Geschwindigkeiten ab. Aber ich kann die eine Geschwindigkeit mit
Hilfe einer anderen unbekannten Formel aus der anderen Geschwindigkeit berechnen:
v g v f v g v
g v f v g v
v1 v, v2 v g v C
v f v
f v
C ist eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Formel nach v =0. Es gilt also:
g v f v g v f v f v g v g v f v f v g v d v g v
dC
0
dv
dv
f v 2
d
v g v g v f v g v f v f v g v
dv
f v g v
g v f v
f v g v
f v g v
Hier steht überall über dem Bruchstrich die Ableitung der Formel unter dem Bruchstrich. Also kann ich
auf beiden Seiten über dv integrieren. Es gilt also:
d
f v g v v g v
f v g v
f v
g v
dv
dv
dv
dv
dv ln f v g v ln f v ln g v C1
f v g v
f
v
g
v
f
v
g v
Der Logarithmus ist unpraktisch, aber mit Hilfe der Exponentialfunktion kann ich ihn entfernen:
f v g v e ln f v g v e ln f v ln g v C1
e ln f v e C1 f v e C1
g v
e ln g v
C
g v
g v f v e C1
f v g v
e C1
f v
f v
g v
Impulserhaltung bedeutet, daß zu jedem Zeitpunkt die Summe der Impulse =0 sein muß. Also kann ich
die Impulse nach der Zeit differenzieren:
d
d
d
d
0 p1 p 2 m1 v1 m2 v2 m1 0 f v1 v1 m2 0 f v2 v2 m1 0 f v v m2 0 f v g v v g v
dt
dt
dt
dt
d
d
d
f v C
m
0
d
m1 0 f v m2 0
g v v m1 0 m2 0 1 f v v m1 0 m1 0 f v v 0 f v v 0
dt
g v
m2 0
dt
dt
dt
Diese Berechnung bringt einen nicht weiter. Beim der Impulserhaltung beim unelastischen Stoß gibt es 2
Bedingungen, die eingehalten werden müssen:
P1 P2 P3 , m1 m2 m3
Hier werden nicht die Ruhemassen addiert, sondern die bewegten Massen. Wenn ich das als
Nebenbedingung bei der Impulserhaltung verwende, dann müßten die Ergebnisse so aussehen:
m1 0 m2 0 m1 v1 m2 v 2 m1 0 f v1 m2 0 f v2 m1 0 f v m2 0 f v g v
m 0
m 0
f v C
f v
C 1 1 1 1 f v f v g v C f v f v g v C f v
C f v
m2 0
m2 0
g v
g v
f v
1
1 f v
C
g v
1 f v g v
d 1 d
f v
f v g v f v g v
f v
0 1 f v
f v 1
v g v 2
dv C dv
g v
g
g v 2
f v
g v
g v
g v 1 g v g v
g v g v
g v 1 g v
g v g v
f v
g
v
1
g
v
g
v
1
g
v
g
v
1
g
v
g
v
1
g
v
1
g v g v
1
2
g v
1
g v
g v
f v
g v
g v
g v
dv
dv
dv
dv
f v
1
g
v
g
v
1
g
v
g v
ln f v ln1 g v lng v C 2
f v e ln f v e ln 1 g v ln g v C 1 g v g v e C
Für v=0 gilt f(v)=1 Deshalb gilt:
g v 1 g v
1
1
f 0
1
f 0
1
g 0 C eC
f v
1 f 0
C
g 0
g 0
1 g 0 g 0 1 C C
1 C C
Nach der Massenbilanz gilt:
2
2
2
1
f v g v 1 g v g v 1 g v g v g v g v 1 g v 2 g v 1 g v 1
1 f v
C
g v
1 C C
1 C C g v 1 C C 1 C C
1 C C
1 C C
2
2
2
1
2
g v 1 1 C C 1 1 C 1 1 C 1
C
Diese Formel muß auch stimmen für v=0:
C g 0 1 C 1
Das funktioniert nur, wenn ich das „–“ verwende. Es gilt also:
g v 1 g v C 1 C 1
g v 1 C 1 C f v
1 C C
1 C C
Wenn ich die Nebenbedingung aus dem unelastischen Stoß für die Massenbilanz verwende, dann sind die
Massen unabhängig von der Geschwindigkeit. Die Massenregel garantiert einen Impulserhaltungssatz, bei
dem sich die Massen nicht verändern, wenn ein Objekt die Geschwindigkeit ändert. Die Übersetzung von
einem Inertialsystem in ein anderes sorgt dafür, daß sich die Masse verändert, wenn das Inertialsystem
gewechselt wird.
h) Die Energie
Ich habe mich lange Zeit vor der Untersuchung der Energie gedrückt. Das lag an einer teilweise
schwammigen Beschreibung der Energieerhaltung. So können nach der klassischen Theorie verschiedene
Energieformen in andere umgewandelt werden. Deshalb war es beim unelastischen Stoß nicht notwendig,
daß es eine kinetische Energieerhaltung gibt. Aber in der Relativitätstheorie ist durch die Einführung der
relativistischen Masse eine kinetische Energieerhaltung entstanden. Da der relativistische
Impulserhaltungssatz korrigiert werden mußte, kann die kinetische Energieerhaltung nicht mehr
aufrechterhalten werden, denn in I0 gilt die klassische Impulserhaltung. Um zu verstehen, wie die Energie
funktioniert, werde ich deshalb in diesem Abschnitt die verschiedenen Energieformen betrachten
h1) Potentielle und kinetische Energie in der Mechanik
In dem Buch „Physik – Gleichungen und Tabellen“ von Dietmar Mende und Günter Simon habe ich auf
Seite 74 folgende Formeln gefunden:
E p FG h m g h
Potentielle Energie (Energie der Lage):
1
k y2
2
1
p2
Ek m v 2 , E k
2
2m
Potentielle Energie einer gespannten Feder:
Ep
Kinetische Energie (Energie der Bewegung):
Energieerhaltung der Mechanik:
In einem abgeschlossenen System ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant, d. h.,
wenn nur konservative Kräfte wirken, ist nur die Umwandlung einer Energieform in die andere möglich.
E E p Ek
Begriffserklärung:
Symbol
m
v
E
Bedeutung
Einheit
Symbol
Masse
kg
FG
Geschwindigkeit
Energie
m
/s
J
k
h
Bedeutung
Gewicht
Federkonstante
Höhe
Einheit
Symbol
N
y
N
/m
m
g
p
Bedeutung
Verlängerung der
gespannten Feder
Fallbeschleunigung
Impuls
Einheit
m
m
/s
Ns=kgm/s
2
Wie kommt man zu diesen Formeln? Hinter dem Begriff Energie stand in Klammern: „Arbeitsfähigkeit“.
Also lohnt es sich, die Definition der Arbeit zu betrachten. Dabei ist zu beachten, daß als Arbeit nur die
Überwindung der Schwerkraft betrachtet wird. Wenn sich ein Objekt nicht senkrecht nach oben oder nach
unten bewegt, dann wird nur der Anteil der Bewegung betrachtet, der eine Höhe überwindet. Die Arbeit
wird dann so berechnet:
B
B
B
B
W F ds cos m g ds cos m g s cos A m g s cos A m g h E p
A
A
Diese Formel gilt aber nur für ein konstantes Schwerkraftfeld. Also nur für kleine Höhenunterschiede.
Man kann diese Sachen auch allgemeiner berechnen:
s
s
s
E F ds m a ds m
s0
s0
s0
v
1
1
d 2s
ds
ds
1
ds m d
m v dv m v 2 m v 2 m v02 E k E p
2
2
2
dt 2
dt
dt
v0
v0
v0
v
v
In der Relativitätstheorie ist diese Lösung nicht zufriedenstellend, da die Kraft als die Ableitung des
Impulses nach der Zeit betrachtet wird. Deshalb brauche ich eine andere Berechnung:
s
p
p
p
p
p2
p2
dp
ds
p
p2
ds dp v dp dp
0 Ek E p
dt
dt
m
2 m p 2 m 2m
s0
p0
p0
p0
s
E F ds
s0
0
Damit habe ich 3 der 4 Formeln als Ergebnis einer Integralrechnung konstruieren können. Nur die Formel
der potentiellen Energie einer gespannten Feder ist das Ergebnis von Meßversuchen.
In allen 3 Fällen mußte ich ein Integral einer Formel berechnen, in der die Masse ein Multiplikator war,
über das integriert werden mußte. Diese Ergebnisse können also nur dann richtig sein, wenn die Masse
eine Konstante ist. Wenn die Masse von der Geschwindigkeit abhängen würde, dann könnte das Integral
zwar nicht elementar gelöst werden, aber man könnte eine Formel für die Fehler berechnen:
B
B
B
E p m g ds cos m g s cos A s
A
A
v
v
~
B
dm
g ds cos m g h s dm g cos
~
ds
A
v
m
1 dm 2
1
1
1
1
E m v dv m v 2
v dv m v 2 m v02 dm v 2
dv
2
2
2
2
2
v0
v0
v0
m0
p
m
p2
p02
p
p2
dm
p2
p2
p m dp 2 m p 2 m 2 dp dp 2 m 2 m m 2 m 2 dm
p
0
0
0
p
E
p
0
Wenn die Masse von der Geschwindigkeit abhängt, dann werden die Formeln kompliziert. Beshalb
betrachte ich das Problem jetzt aus einem anderen Blickwinkel. In der Relativitätstheorie wurde die
Formel E=mc2 hergeleitet. In diesem Fall ist die Masse ein konstantes Vielfaches der Energie. Wenn ich
das Verwende kann ich die Integrale neu berechnen. Das geht aber nicht bei der potentiellen Energie, da
diese umgewandelt werden kann. Es gibt also 2 Lösungsansätze:
1. Fall: Integral über die Geschwindigkeit:
2
v
2
2
v
v
v
v
v0
2
2
d
E
a ebv a e bv 2 b v E m v dv v dv a e 2 A a e 2 A a e 2 A
dv
A
v0
v0
E A m,
v0
Sowohl Masse als auch Energie haben als minimale Geschwindigkeit v=0. Also wähle ich v0=0. Dann
gilt:
2
2
2
2
2
v
v0
0
v
v
v
a
v0 0 E a e 2 A a e 2 A a e 2 A e 2 A a e 2 A e m e 2 A e
A
Die Ruhemasse und die Ruheenergie erhält man, wenn v=0 ist:
2
2
0
0
a
a
E0 a e 2 A e a e e 0, m0 e 2 A e e e 0
A
A
Eine solche Definition der Masse wäre unsinnig!
2. Fall: Integral über den Impuls:
E A m,
p
E
d
b p
2b p
a b p2
dp
a b p2
2 a b p2
p
p
pA
dp
E
p0
m dp
p0
p
a A p
2
2
p0
2
a A p 2 a A p02 a A m v a A m0 v0
Sowohl Masse als auch Energie haben als minimale Geschwindigkeit v=0. Also wähle ich v0=0. Dann
gilt:
v0 0
2
2
2
E a A m v a A m0 v0 a A m 2 v 2 a A m0 0 a
E2 a
E2 2
v
A
E
a
v2
1
A
E2 2
v
A
a
v2
1
A
m
A
Die Ruhemasse und die Ruheenergie erhält man, wenn v=0 ist:
a
02
1
a
A a
E0
a , m0
A
A
02
1
A
Wenn man unter diesen Bedingungen A=c2 wählt, dann erhält man für die Masse und die Energie die
bekannten Formeln:
a
v2
1
E0
a
A m0 , E m c 2
E
, m
2
A
v2
v
v2
1
1 2
1 2
A
c
c
Die Untersuchung des Impulserhaltungssatzes hat aber gezeigt, daß sich die Masse in I0 nicht verändert.
Also kann die Energie kein vielfaches der Masse sein. Energie und Masse müssen sich dann
unterschiedlich verhalten.
i) Kann der Impulserhaltungssatz und der Schwerpunkterhaltungssatz auf die Himmelsmechanik
übertragen werden?
Ich möchte jetzt einige physikalische Begriffe aus der Zeit vor der Relativitätstheorie betrachten. Den
Schwerpunkt, den Impuls und die Kräfte. Die zugehörigen Formeln sehen so aus:
m
m
Schwerpunkt : Spt mi mi si t
i 1
i 1
m
m
Impuls :
pGesamt t mi vi t pi t
Kraft :
FGesamt t mi ai t Fi t
i 1
m
i 1
m
i 1
i 1
In dieser Formelstruktur kann man eine Ableitungsregel erkennen:
m
m
m
d m
m
d
d
Spt mi mi si t mi si t mi vi t pi t pGesamt t ,
dt
dt
i 1
i 1
i 1
dt i 1
i 1
m
m
m
m
d
pGesamt t d mi vi t mi d vi t mi ai t Fi t FGesamt t
dt
dt i 1
dt
i 1
i 1
i 1
Aus diesem Grund kann man folgende Zusammenhänge feststellen. Wenn in einem ungestörten System
die Summe aller Kräfte =0 ist, dann ist der Gesamtimpuls konstant und der Schwerpunkt befindet sich in
einem Inertialsystem. Weil die Massen konstant sind, ist es egal, ob ich den Schwerpunkt und den
Gesamtimpuls differenziere oder ob ich die Positionen oder die Geschwindigkeit der Objekte
differenziere.
In Abschnitt g habe ich einen relativistischen Impulserhaltungssatz und einen relativistischen
Schwerpunkterhaltungssatz konstruiert. Jetzt will ich überprüfen, ob diese relativistischen Sätze
allgemeingültig funktionieren. Ich habe dort folgende Erhaltungssätze herausbekommen:
m
m
Schwerpunkt : Sp n t n RKFSp0 n0 t n mi mi sin t n RKFs00 n t n
i 1
i
i 1
m
Impuls :
Es gilt :
pGesamt t n RKFSp0 n0 t n mi vin t n RKFs00 n t n
RKFOnn0 RKFO00n
w
i
i 1
0n 2
Schwerpunkt :
Sp n t n w 0 n
RKFSpn 0n t n
Impuls :
pGesamt
2
0n 2
n
m m s t w
RKF t
t w m v t w
RKF t
RKF t
m
i
i 1
n0
sin
i 1
0n 2
n
m
i
n0
Sp n
n
i
m
i
n
i
n
n
m
m
m sn t n
Sp n t n
mi i ni0 n
n0
n
RKFSp n t
i 1
i 1 RKFs n t
t m v t
p
RKF t
RKF t
i
0n 2
n
n0
sin
i 1
n
n
Gesamt
n0
Sp n
n
i
n0
sin
m
i
n
i 1
n
n
Hier gibt es allerdings eine Schwierigkeit. Was ist RKFSpn 0n t n ? Beim unelastischen Stoß befand sich eine
Masse nach dem Zusammenstoß im Schwerpunkt. In diesem Fall ist keine Masse vorhanden. Der
Schwerpunkt ist nur eine theoretische Größe, die nicht übersetzt werden kann. Warum? Der Schwerpunkt
wird nur für Objekte zum gleichen Zeitpunkt berechnet. Beim unelastischen Stoß fand eine
Beschleunigung nur beim Abstand =0 statt. In diesem Fall ist für beide Objekte vor dem Ereignis die
Zeitkoordinate in allen Inertialsystemen identisch. In der Himmelsmechanik haben wir es mit
Fernwirkungen und Rückkopplungseffekt zu tun. Was in einem Inertialsystem gleichzeitig stattfindet
findet in anderen Inertialsystemen zu unterschiedlichen Zeiten statt. Also ist der Begriff RKFSpn 0n t n nicht
definiert. Hier muß man die Definition ohne diesen Begriff durchführen. Ich werde deshalb folgende
Schreibweise benutzen:
Spn t n Sp n t n RKFSp0 n0 t n , Sp n t n
m
Spt n
,
RKFSpn 0n t n
n
pn t n pGesamt
t n RKFSp0n0 t n ,
m
m
Schwerpunkt : Sp n t n mi mi sin t n RKFs00 n t n ,
i 1
Impuls :
n
p t
n
i
i 1
Es gilt :
n
0n
si0
i 1
i 1
n
pGesamt
t n
n0
RKFSp n t n
mi sin t n
RKFsnn 0 t n
i
m v n t n
p n t n i ni0 n
i 1 RKFs n t
m
n
m v t RKF t ,
n
i
m
Sp n t n mi
i
i 1
m
p n t n
i
2
Sp n t n Sp n t n RKFSp0 n0 t n RKFSpn 0n t n Sp n t n w 0n ,
2
pn t n p n t n RKFSp0 n0 t n RKFSpn 0n t n p n t n w 0n
Jetzt werde ich den Schwerpunkt und den Impuls nach der Zeit in In ableiten:
d
d
m dt s t RKF t s t dt RKF t
RKF t
d m m sn tn
d n n m
Sp t mi n i ni0 n
n
dt
i 1
dt i 1 RKFsin t
m
n
n
i
n
n0
sin
n
i
n
i
n0
sin
i 1
n
n
n0
sin
n
n
2
m
i 1
mi vin t n
RKFsnn 0 t n
i
m
d
d
n0 n
n0 n
n RKFs n t
RKFs n t
m mi s t
m
i
i
m sn t n
n
n
dt
dt n
t
i ni0 n ,
p
n0 n
n0 n 2
RKFs n t
RKFs n t
i 1
i 1
RKFs n t
i
i
n
i
d
d n n
Sp t mi n Sp n t n w 0n
dt n
i 1
dt
n
i
m
m w
2
0n 2
i
i 1
d n n m
Sp t mi ,
dt n
i 1
d
d
m dt v t RKF t v t dt RKF t
RKF t
d
d m m vn t n
pn t n n i ni0 n
n
dt
dt i 1 RKFs n t
i
m
n
i
n
n
n0
sin
i
n
n
i
n0
sin
i 1
n
n
n0
sin
n
n
2
m
i 1
mi ain t n
RKFsnn 0 t n
i
d
d
n n
n RKFsnn 0 t n
RKFsnn 0 t n
m mi vi t
m
m
i
i
mi ain t n
m vn tn
dt
dt n
i ni0 n ,
n
n
2
0
n
0
n
RKFs n t
RKFs n t
i 1
i 1 RKFs n t
i 1
RKFsnn 0 t n
i
i
i
d
d
pn t n n p n t n w 0n
dt n
dt
2
0n 2
w
i
d
p n t n ,
dt n
Der relativistische Korrekturfaktor sorgt dafür, daß die Ableitungen sehr kompliziert werden. Deshalb
betrachte ich ein paar Spezialfälle:
1. Fall: Alle Objekte bewegen sich mit einer konstanten Geschwindigkeit.
In diesem Fall gilt folgendes:
d
RKFsnn 0 t n 0, ain t n 0
i
dt n
d n n m
1)
Sp t mi p n t n
dt n
i 1
2)
d n n m
Sp t mi pn t n
dt n
i 1
m
2
m an tn
d
pn t n w 0n i ni0 n 0
0
n
dt
i 1 RKFs n t
m
m an tn
d
p n t n i ni0 n
n
dt
i 1 RKFs n t
i
i
In diesem Fall ist der Impuls konstant und der Schwerpunkt befindet sich in einem Inertialsystem.
2. Fall: In=I0.
In diesem Fall gilt folgendes:
2
d
RKFs00
t 0 0, w 00 1,
0
i
dt n
m
d
d 0 0 m
Sp t mi 0 Sp 0 t 0 mi p 0 t 0 p0 t 0
0
dt
d
t
i 1
i 1
m
m
mi ai0 t 0
d
d
0 0
0
0
p t 0 p t
mi ai0 t 0
0
00 0
dt
dt
i 1 RKFs 0 t
i 1
RKFs000 t 0 1,
i
1)
2)
i
In der 2. Formel kann man die Kraft wiederfinden:
0
FGesamt
t0
m
m
d
d
0
pGesamt
t 0 0 p 0 t 0 mi ai0 t 0 Fi 0 t 0
0
dt
dt
i 1
i 1
Das bedeutet: In dem Inertialsystem, in dem absolute Gleichzeitigkeit herrscht, ist der
Impulserhaltungssatz die Ableitung des Schwerpunkterhaltungssatzes. Sind die Summe aller Kräfte =0,
dann ist der Gesamtimpuls konstant und der Schwerpunkt befindet sich in einem Inertialsystem. Das sind
aber genau die Erkenntnisse der Physik aus der Zeit vor der Relativitätstheorie.
Wenn InI0 ist, dann kann man nicht mehr davon ausgehen, daß Impulserhaltung oder
Schwerpunkterhaltung eingerichtet werden kann. Dies möchte ich an einem einfachen Beispiel erläutern:
Ich betrachte 2 Himmelskörper, die die gleiche Masse haben und den Schwerpunkt in einer exakten
Kreisbahn umkreisen. Der Schwerpunkt bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit in xRichtung. Anschließend übersetze ich diesen Fall in das Inertialsystem, in dem der Schwerpunkt der
beiden Himmelskörper ruhen würde, wenn der Schwerpunkt in I0 berechnet wird. In diesem
Inertialsystem bestimme ich in ein paar Spezialfällen den Gesamtimpuls und den Schwerpunkt.
Für die Orte der Massen gibt es folgende Zusammenhänge:
SP 0 t 0 SP 0 0
t0
0
SP 0 t10 SP 0 t 00 SP 0 0 v SP
t0 t0
t t 00
0
1
0
S10 t 0 SP 0 t 0 s10 t 0 SP 0 0 v SP
t 0 t 0 s10 t 0
S
0
2
t SP t s t SP 0 v t t
0
0
0
0
2
0
0
0
SP
0
0
s
0
2
t
0
Ich kann den Nullpunkt des Inertialsystems natürlich so festlegen, daß SP0(0)=0 ist. Es gilt dann:
0
0
S10 t 0 vSP
t 0 t 0 s10 t 0 , S 20 t 0 vSP
t 0 t 0 s 20 t 0
Um die Bahn des Schwerpunktes beschreiben zu können, braucht man zu 2 verschiedenen Zeitpunkten t0
und t1 die Position des Schwerpunktes. Den Schwerpunkt kann man natürlich berechnen:
SP 0 t 0
S10 t 0 m S 20 t 0 m S10 t 0 S 20 t 0
SP 0 t 0 s10 t 0 SP 0 t 0 s20 t 0
s 0 t 0 s20 t 0
SP 0 t 0 1
2m
2
2
2
Das bedeutet, folgende Nebenbedingung wird automatisch erfüllt:
s10 t 0 s20 t 0
0 s 20 t 0 s10 t 0
2
Das bedeutet, daß der Ort des 2. Körpers durch den Ort des 1. Körpers festgelegt ist. Die Geschwindigkeit
und die Beschleunigung der 2 Körper kann mit Hilfe von Ableitungen beschrieben werden:
dS10 t 0
dt 0
dS 0 t 0
V20 t 0 2 0
dt
dV 0 t 0
a10 t 0 1 0
dt
dV20 t 0
0 0
a2 t
dt 0
V10 t 0
d 0
0
v10 t 0
vSP t 0 s10 t 0 v SP
dt 0
d s10 t 0
d 0
0
0
0 vSP
t 0 s20 t 0 v SP
vSP
v10 t 0
dt
dt
dv 0 t 0
1 0
dt
dv20 t 0
d v10 t 0
a10 t 0
0
dt
dt 0
Also kann auch die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des 2. Körpers durch die Geschwindigkeit
und die Beschleunigung des 1. Körpers definiert werden. Das heißt, in den Berechnungen brauche ich nur
den 1. Körper zu beachten.
In einem kräftefreien System ist die einzige Möglichkeit eine Beschleunigung zu bewirken die
Massenanziehung. Es muß also gelten:
a10 t 0
S 0 t 0 S10 t 0
s 0 t 0 s10 t 0
s 0 t 0 s10 t 0
m
m
20 0
0 0
20 0
m 2
3
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
S t S t , S 2 t S1 t S 2 t S1 t
s 2 t s1 t , s 2 t s1 t s 2 t s1 t
s 20 t 0 s10 t 0
0
2
0
0
s10 t 0 s10 t 0
0
1
t s t
2 s10 t 0
0
1
0
m s t
4
2 s t
s
s t
S t S t
s t s t
s t s t
m
m
t
m
S t S t , S t S t S t S t
s t s t , s t s t s t s t
s t s t
2 s t m s t
s t s t
m
m
a t
4
2 s t
s t s t
s t
m
a 20
0
1
0
0
1
0
3
m
0
0
1
0
0
2
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0 3
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
3
0
0
1
0
2
0
2
0
0
0
0
1
0
1
0 3
3
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
1
0
0
0
2
0
2
0
0
0
1
0
1
0
0
0
2
0
2
0
0 3
0
0 3
1
Das Differentialgleichungssystem sieht jetzt so aus:
v10 t 0
ds10 t 0
dv10 t 0
m s10 t 0
0 0
,
a
t
1
4
dt 0
dt 0
s10 t 0
3
Da sich beide Körper in einer exakten Kreisbahn um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen, kann man
s10(t0) auch anders schreiben:
d sin 10 t 0
dt 0
d cos 10 t 0
r
dt 0
0
0
1
0
1
t r cos t
sin t
0
1
s
0
0
0
0
1
0
v t
0
cos 10 t 0
d 0 t 0
1
dr
* sin 10 t 0
dt 0
0
0
dt
0
1
a t
0
1
0
0
a t
m s10 t 0
4
s10 t 0
0
dt 0
3
m
4r2
0
3
0
1
cos 10 t 0
2 0 0
d10 t 0
d
t
r
0 0
1
*
sin
t
r
1
2
0
dt 0
dt
0
m r sin 10 t 0 , cos 10 t 0
4
r sin 10 t 0 , cos 10 t 0
0 0
1
0 0
1
cos t
r d t * sin t
dv 0 t 0
1 0
dt
ds 0 t 0
1 0
dt
0
1
2
sin 10 t 0
* cos t ,
0
1
0
0
0
0
1
0
sin t , cos t
sin t cos t
2
0
1
0
2
0
1
0
3
sin 10 t 0
m
cos 10 t 0
4r2
0
Da die Vektoren
sin 10 t 0
cos t
0
1
0
cos 10 t 0
und
sin 10 t 0
0
0
senkrecht aufeinander stehen, ist die Beschleunigung aufgeteilt in eine Richtung zum Schwerpunkt
(=Radialbeschleunigung) und eine Richtung senkrecht zum Schwerpunkt (=Tangentialbeschleunigung).
Beide Gleichungen für die Beschleunigung müssen erfüllt werden. Ein Koeffizientenvergleich liefert
dann 2 Regeln die erfüllt werden müssen:
2
d 0 t 0
d 210 t 0
m
r 1 0 , 0 r
2
4r
dt 0 2
dt
Die eine der beiden Gleichungen ist recht einfach:
0r
d 210 t 0
dt
0 2
10 t 0 c0 c1 t 0
Dieses Ergebnis setze ich in die 2. Gleichung ein:
d 0 t 0
m
r 1 0
2
4r
dt
2
2
r c1
c1
m
4r3
c0 wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Ich wähle c0=0. Das Differentialgleichungssystem
sieht jetzt so aus:
s10 t 0
v10 t 0
a10 t 0
sin
r cos
m 0
t
4 r3
m 0
t ,
4 r3
0
cos
m
r
* sin
3
4 r
sin
m
* cos
4 r2
m 0
t
cos
4 r3
m 0
m
t
* sin
3
4 r
4r
0
m 0
t
4 r3
m 0
t ,
4 r3
0
s20 t 0
m 0
t
4 r3
m 0
t ,
4 r3
0
v20 t 0
a 20 t 0
sin
r cos
m 0
t
4r3
m 0
t ,
4r3
0
cos
m
* sin
4r
sin
m
* cos
4r2
m 0
t
4r3
m 0
t ,
4 r3
0
m 0
t
4r3
m 0
t
4r3
0
Jetzt werde ich die Ortsdaten mit Hilfe der Lorentztransformation in In darstellen. Ich wähle mein
Koordinatensystem so, daß sich die Planetenbahnen in der x-y-Ebene befinden. Der Schwerpunkt in I0
bewegt sich dabei in x-Richtung:
m 0
m 0
0
0
v SP
v SP
t 0 r sin
t
t 0 r sin
t
3
3
r
4
4r
m 0
m 0
0
0
S1
, S2
r cos
t
r cos
t
3
3
4r
4r
0
0
t0
S1n T 0 n S10
1
w0n
0
0
0
v SP
2
c w0 n
t0
0 0
1 0
0 1
0 0
0
v SP
0n
w
0
0
1
w0n
m 0
0
t 0 r sin
t
v SP
3
4r
m 0
t
r cos
3
4r
0
t0
m 0 0
0
t 0 r sin
t v SP t 0
v SP
3
4r
w0n
m 0
t
r cos
3
4r
0
0
0
m 0 v SP
v SP
t 0 r sin
t 2 t 0
3
4r
c
w0n
m 0
m 0
t
r sin
t
r sin
3
3
4
r
4r
w0 n
w0n
m 0
m 0
t
r cos
t
r cos
3
3
4
r
4r
0
0
2
m 0
m 0
2
v0
v0
v0
t t 0 w 0 n r SP2 sin
t
t 0 1 SP2 r SP2 sin
3
3
4
c
c
r
c
4r
w0n
w0 n
S 2n T 0 n S 20
1
w0n
0
0
0
v SP
c 2 w0 n
0 0
1 0
0 1
0 0
0
v SP
w0n
0
0
1
w0n
m 0
0
t 0 r sin
t
v SP
3
4r
m 0
r cos
t
3
4r
0
t0
m 0 0
0
t 0 r sin
t v SP t 0
v SP
3
4
r
w0n
m 0
r cos
t
3
4r
0
0
0
m 0 v SP
0
v SP
t 0 r sin
t
3
c2 t
4
r
w0n
m 0
m 0
r sin
t
r sin
t
3
3
4
r
4r
w0n
w0n
m 0
m 0
r cos
t
r cos
t
3
3
4
r
4r
0
0
2
m 0
m 0
2
v0
v0
v0
t t 0 w 0 n r SP2 sin
t
t 0 1 SP2 r SP2 sin
3
3
4
c
c
r
c
4r
w0n
w0n
Für die Berechnung des Schwerpunktes brauche ich nur die Ortsdaten. Für den Impuls muß ich allerdings
noch die Geschwindigkeiten nach In übersetzen. Hierfür benutze ich Satz 11:
m 0
m
* cos
t
3
4r
4r
m 0
m
* sin
t
3
4r
4r
0
0
v SP
V10
m 0
m
* cos
t
3
4r
4r
m 0 0n
m
1
n
V1
* sin
t w
3
0n 0
4r
4
r
RKF
t ,
S
0
0
1
m 0
m 0
m
m
* cos
t
* cos
t
3
3
4r
4r
4r
4r
m 0
m
m
m
1
* sin
t
V2n
* sin
t 0 w 0 n
3
3
0n 0
4r
4
r
t ,
4
r
4
r
RKF
S
0
0
0
v SP
V20
0
2
RKFS00n t 0 1
0
1
V , V
c2
1
RKFS00n t 0 1
0
Sp
0
2
V , V
2
c2
0
Sp
0
v SP m * cos
4
r
1
c2
0
v SP m * cos
4r
1
c2
m 0 0
m 0
t v SP
v SP * cos
4r3
4
r
2
w 0 n
c2
m 0 0
m 0
t v SP
v SP * cos
3
4r
4r
2
w 0 n
c2
m 0
t
4r3
,
m 0
t
4r3
Wenn man den Gesamtimpuls oder den Schwerpunkt in In berechnen will, dann geht das nur wenn die
Ortsdaten zum gleichen Zeitpunkt bekannt sind. In diesem Fall muß folgendes gelten:
t10 w0 n
2
t1n
t10 w 0 n
r
0
m 0
vSP
sin
t1
2
3
c
4r
2
r
0
m 0
vSP
sin
t 2
2
3
c
4r
, t 2n
w0n
w0 n
m 0 0
m 0
2
2
v0
v0
r SP2 sin
t1 t 2 w 0 n r SP2 sin
t 2
3
3
c
r
c
4
4r
r
t10 t 20
t 20 w 0 n
, t1n t 2n
0
0
m 0
m 0
vSP
v SP
sin
t 2
t
r
sin
1
2
3
2
3
c
c
4r
4r
0n 2
w
0
v SP
c 2 sin m t 0 sin m t 0
2
4 r3 2
4r3 1
w0n
r
Die Lösung davon ist sehr kompliziert. Deshalb werde ich mir ein paar Spezialfälle betrachten:
m 0
m 0
Fall 1: sin
t 0 cos
t 1
3
3
4
r
4
r
In diesem Fall sehen die Ortsdaten In In so aus:
S1n
t 0 w0 n
m 0
m 0
t
r sin
t
r sin
3
3
4
r
4r
w0n
w0n
0
0
m 0
m 0
r
r
t
r cos
t
r cos
3
3
, S 2n
4
4
r
r
0
0
0
0
0
0n
0
t
w
t
w0n
0
0
m 0
m 0
2
vSP
v SP
0
0n 2
t w
r 2 sin
t
r 2 sin
t
3
3
c
c
4r
4r
w0n
w0n
m 0
m 0
m 0
v SP * cos
t
v SP
r
4
4 r3
4r
0n 0
0n 2
RKFS 0 t w
w
,
1
c2
c2
m 0
m 0
m 0
v SP * cos
t
v SP
r
4
4r3
4r
0n 0
0n 2
0n 2
RKFS 0 t w
w
,
2
c2
c2
m 0
m
t
* cos
3
m
4r
4r
4r
m 0 0n
m
1
1
t w
V1n
* sin
0
3
0n 0
0n 0
r
RKF
t
RKF
t ,
4r
4
S10
S10
0
0
0n 2
m 0
m
t
* cos
3
m
4r
4r
4r
m
m 0 0n
1
1
* sin
0
t w
3
0n 0
0n 0
4r
4
r
RKF
t
RKF
t
0
S2
S 20
0
0
V2n
Hier sind die Zeitkoordinaten für beide Objekte gleich. Ich berechne jetzt den Schwerpunkt in In:
r w0 n
0
0
2
Sp n t n
2
mS
n
i
RKFs00 n t 0
i
i 1
2m
0
m 0
v SP
r 4 r2
c
0
0
0n 2
r w
0
0n 2
r w
0
0
2
m 0
0
v SP
2
r w0n 4 r
2
c
0
2
m 0
0
v SP
0
r 4 r2
m 0
0
c
v SP
r
0
0
m r v SP
4
r
0
,
2
2
2
2c
c
0
0
m 0
v SP
4 r2
c
0
Sp n
0
SP
2
0n
Sp n t n
t m r v
w
2 c w
n
0n 2
2
,
0
Hier ist der Schwerpunkt eine eigenartige Größe. Der Schwerpunkt befindet sich nicht in der Mitte
zwischen den Massen, sondern ist in y-Richtung verschoben. Ich berechne jetzt den Gesamtimpuls in In:
2
pn t n m Vi n RKFs00 n
i
i 1
p n t n
pn t n
m
m
m m
0n 0
0n 0
4 r RKFS 0 t
4 r RKFS 0 t
4r
4r
1
2
m
t0 m
0
0
0
0
0n 0
0n 0
RKFS 0 t
RKFS 0 t
1
2
0
0
0
0
0
0,
0
0
0
w 0
0n 2
Der Gesamtimpuls ist =0.
m 0
m 0
Fall 2: cos
t 0 sin
t 1
3
3
4r
4r
n
In diesem Fall sehen die Ortsdaten in I so aus:
S1n
m 0
m 0
t
r sin
t
r sin
3
3
4 r
4 r
r
r
w0 n
w0 n
0
0
m 0
m 0
t
cos
r cos
r
t
n
0
0
3
3
, S2
4r
0
4 r
v SP
v0
0
0n 2
0
0n 2
r 2
r SP2
t w
t w
0
0
c
c
m 0
m 0
2
2
v0
v0
w0n
w0n
t 0 w 0 n r SP2 sin
r SP2 sin
t
t
3
3
c
c
4 r
4r
0
0n
t w
w0 n
w0 n
m 0
m 0
m 0
m 0
v SP * cos
t
v SP * cos
t
3
3
4 r
2
4 r
w 0 n 2 , RKF 0 n t 0 w 0 n 2 4 r
4r
w 0 n 2 ,
RKFS00n t 0 w 0 n
S 20
1
c2
c2
m 0
m 0
m
m
t
t
* cos
* cos
3
3
4 r
4r
4 r
4r
m 0
m 0
m 0 0n
m 0 0n
m
m
1
1
r
4
4r 1
n
n
t w
1 , V2
t w
V1
* sin
* sin
3
RKFS00n t 0
w0 n
RKFS00n t 0
w0n
4 r
4r
4 r3
4 r
1
2
0
0
0
0
In diesem Fall ist die Situation etwas problematischer, denn die Zeitkoordinaten unterscheiden sich
voneinander. Eine der beiden Massen muß in der Zeit versetzt werden. Das ist gerade das Problem. Um
wie viel muß die Masse versetzt werden? Ich werde erst mal den Impuls untersuchen, da der
Gesamtimpuls im 1. Fall =0 war, kann ich leichter überprüfen, ob ich durch eine Versetzung von einer
Masse ebenfalls einen Gesamtimpuls =0 erreichen kann. Weil ich nicht weiß, wie weit die Zeitversetzung
ist, berechne ich erst mal den Impuls einer einzelnen Masse zu einem beliebigen Zeitpunkt:
m 0
m 0
m
m
t
t
* cos
* cos
3
3
4r
4r
4r
4r
0n 0
m 0 0 n RKFS t
m 0 0n
m
m
n
0n 0
PS m V1 RKFS t m
t w
m
t w
* sin
* sin
3
3
4r
4r
RKFS0 n t 0
4r
4r
0
0
0
1
n
1
0
1
0
1
m 0
m 0
m
m
t
t
* cos
* cos
3
3
r
r
4r
4
4
4r
0n 0
m 0 0 n RKFS t
m 0 0n
m
m
n
0n 0
PS m V2 RKFS t m
t w
m
t w
* sin
* sin
3
3
4r
4r
RKFS0 n t 0
4 r
4r
0
0
0
2
n
2
0
2
0
2
Damit der Gesamtimpuls =0 ist, muß folgendes gelten:
0
PGesamt 0 PS n PS n
1
2
0
m 0
m 0
m
m
* cos
* cos
t
t
3
4r
4
r
4
4 r3
r
0
m 0 0n
m 0 0n
m
m
* sin
* sin
PS 0 PS m
t w m
t w
3
3
4r
4r
4r
4r
0
0
0
n
2
n
1
Das ist nur dann der Fall, wenn in I0 die gleichen Zeiten benutzt werden. Aus diesem Grund kann der
Impuls nicht konstant sein.
Wenn die Kraft die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist, dann sind die Summen der Kräfte in In 0
wenn n0 ist.
Der Schwerpunkt in In ist schwieriger zu Analysieren. Aber es gibt eine Sache die auffällt. Im 1. Fall war
der Schwerpunkt an der x-Koordinate =0. Ist der Schwerpunkt auch in diesem Fall an der x-Koordinate
=0? Um das beurteilen zu können, multipliziere ich die Ortskoordinate mit dem Relativistischen
Korrekturfaktor. Ich betrachte dabei nur die x-Koordinate:
s xn1 RKFs00 n
1
m 0
t1
r sin
4 r3
w0n
0
t1
0n
w
m 0
m 0
v SP * cos
t1
4
r
4r3
2
2
c
m 0
m 0
0
m r vSP
t1 cos
t1
* sin
3
4
r
4r3
m 0 0n
r sin
t1 w
3
2 w0n c 2
4r
Jetzt überprüfe ich, wann der Schwerpunkt in der x-Koordinate =0 ist:
Spnx t n
s xn1 RKFs00 n t10 s xn2 RKFS00n t 0
1
2
2
0 s xn1 RKFs00 n t10 s xn2 RKFs00 n t 0
1
m 0 0n
r sin
t1 w
3
4r
2
m 0
m 0
0
m r v SP
t1 cos
t1
* sin
3
3
4
r
4r
0 RKF 0 n t 0
s
2 w0n c 2
0
2
m 0
0
m r v SP
cos
t1
4r3
m 0
0n
sin
t1 r w
3
0n
2
2w c
4r
m 0
0
m r v SP
cos
t1
3
m 0
4r
0n
sin
t
0
r
w
1
3
0n
2
4
r
2
w
c
Wenn die erste Gleichung richtig ist, dann muß sich die Position des Schwerpunktes verändern. Es gibt
daher nur dann eine Chance auf Schwerpunkterhaltung, wenn die 2. Gleichung richtig ist. In diesem Fall
muß gelten:
m 0
0
m r v SP
cos
t1
4 r3
0n
rw
2 w0n c 2
2
2
2
0
m 0 2 r w0n c 2
2 c 2 v SP
2 w0 n c 2
r
r
cos
t1
3
0
0
0
m
m
vSP
v SP
m r vSP
4 r
Der cos kann nur Werte zwischen –1 und +1 annehmen. Unter diesen Umständen müßte sich der
Schwerpunkt fast mit Lichtgeschwindigkeit in I0 bewegen. Also kann man davon ausgehen, daß die 2.
Gleichung im allgemeinen nie erfüllt wird.
Ich betrachte jetzt Fall 1 und 2 im Zusammenhang. Im Laufe der Zeit wechseln sich die Fälle 1 und 2
regelmäßig ab. Der Grund dafür ist die regelmäßige Umkreisung der beiden Himmelskörper umeinander.
Das bedeutet aber auch, daß sich die Lösungen für den Schwerpunkt und den Gesamtimpuls aus den
Fällen 1 und 2 zyklisch verändern. Deshalb kann der Gesamtimpuls in In nicht konstant sein und der
Schwerpunkt befindet sich in In nicht in einem Inertialsystem.
Das bedeutet aber auch, daß ich die Regeln für die Impulserhaltung und die Schwerpunkterhaltung nicht
auf die Himmelsmechanik übertragen kann. Deshalb kann ich auch in I0 nicht mehr voraussetzen, daß die
Masse unabhängig von der Geschwindigkeit konstant ist.
Wie kommt es, daß es für den unelastischen Stoß eine Schwerpunkterhaltung und eine Impulserhaltung
gibt, die in der Himmelsmechanik nicht funktioniert?
Das liegt am Konzept der Berechnung. Für den unelastischen Stoß brauche ich für die Berechnungen die
Geschwindigkeit. In einem Inertialsystem werden die Regeln für die Impulserhaltung und die
Schwerpunkterhaltung mit Hilfe eines unangreifbaren physikalischen Gedankenexperiment festgelegt.
Die Übersetzungen in ein anderes Inertialsystem erfolgen dann mit Hilfe der Transformation der
Geschwindigkeiten.
In der Himmelsmechanik sieht die Situation völlig anders aus. Für das physikalische Ereignis ist nicht die
Geschwindigkeit entscheidend, sondern die Positionen der Himmelskörper zueinander. Die
Geschwindigkeit zeigt nicht in die gleiche Richtung wie die relativen Abstände. Außerdem ist zu
berücksichtigen, daß die verschiedenen Himmelskörper während des physikalischen Ereignisses nicht an
der selben Position sind. Positionen, die in einen Inertialsystem gleichzeitig sind, sind in anderen
Inertialsystemen nicht gleichzeitig. Für eine Berechnungskorrektur muß daher eine Brücke über die Zeit
geschlagen werden. So etwas ist nur in seltenen Fällen exakt berechenbar. Deshalb wird es
wahrscheinlich unmöglich sein, ein in allen Inertialsystem funktionierendes Konzept für eine
relativistische Impulserhaltung oder Schwerpunkterhaltung zu finden.
Eigentlich müßte man sogar berücksichtigen, daß die Formel für die Beschleunigung durch die
Massenanziehung nicht korrekt sein muß. Sie ist vielleicht nur eine Näherungsformel. Die Formel für die
Beschleunigung sieht so aus:
n
n
mj
S j t S i t
S j t S i t
ai t
m j
3
S
t
S
t
S
t
S
t
S
t
S
t
j 1
j 1
S j t S i t
j
i
j
i
j
i
j i
j i
In dieser Formel wird für die Berechnung für alle Himmelskörper der gleiche Zeitpunkt genommen. Das
bedeutet, es wird so gerechnet, als ob sich die Wirkungen von Schwerkraftfeldern mit unendlicher
Geschwindigkeit ausbreiten. Das muß nicht korrekt sein. Niemand hat bisher messen können, wie hoch
diese Geschwindigkeit ist. Will man diese Geschwindigkeit in der Berechnung berücksichtigen, dann
müßte man folgende Formeln benutzen:
n
S j t d t , j , i S i t
S j t d t , j , i S i t
, d t , j , i
ai t m j
3
v Schwerkraft
j 1
S j t d t , j , i S i t
j i
Dies ist eine sehr schwer zu berechnende Formel. Die Präzision der Näherungsformel ist so gut, daß ich
bisher erst 2 Phänomene kenne, die mit Hilfe der Näherungslösung nicht exakt berechnet worden sind.
Das ist die Abweichung der gemessenen Periheldrehung des Merkurs von der berechneten Periheldrehung
von ca. 42 Winkelsekunden und die Beobachtung, daß sich der Mond um ca. 4 cm/Jahr von der Erde
entfernt. Nur die Abweichungen von Theorie und Messung können dafür benutzt werden, um die
Wirkungsgeschwindigkeit von Schwerkraftfeldern zu ermitteln.
i1) Relativistische Inertialsysteme
Ein Inertialsystem ist ein Meßsystem, in dem keine Scheinkräfte auftreten. Um Kräfte erkennen zu
können, braucht man Beschleunigungen. Dafür war der Zusammenstoß 2er Objekte nicht geeignet. Aber
mit Hilfe des Relativistischen Impulses kann ich überprüfen, ob in welchen Inertialsystemen Scheinkräfte
auftreten können. In Abschnitt i) habe ich bereits folgende Ableitungen des Gesamtimpulses berechnet:
d
RKFsnn 0 t n
n n
m
m
n
i
m
a
t
m vn t n
d
n
n
d
t
i
i
i ni0 n ,
p t
n0 n
n0 n
n
dt
RKFs n t
RKFs n t
i 1 RKFs n t
i 1
i
i
i
d
pn t n w 0n
dt n
2
d
RKFsnn 0 t n
m m an tn
m
n
i
m vn tn
d
t
i
i
i ni0 n
n0 n
n0 n
RKFs n t
RKFs n t
i 1 RKFsin t
i 1
i
i
Der 2. Term enthält eine Ableitung des Relativistischen Korrekturfaktors. Den möchte ich deshalb etwas
genauer unter die Lupe nehmen:
RKFsnn 0 t n 1
i
v xin v n 0
c2
d n
v xi v n0
n
d
n0 n
t
d
RKFs n t
i
a n v n0
dt n
c2
2 xi n n 0
n0 n
n
n0
RKFs n t
v v
c v xi v
i
1 xi 2
c
Es gilt also:
m
mi a in t n m a xin v n 0
mi v in t n
d
n
n
p
t
,
n0 n
n
n0
2
dt n
RKFsnn 0 t n
i 1 RKFs n t
i 1 c v xi v
i
m m a n t n m a n v n 0
mi vin t n
d
n n
0n 2
i
i
xi
p
t
w
i 1 RKF nn 0 t n i 1 c 2 v xin v n 0 RKF nn 0 t n
dt n
si
si
i
Ist n=0, dann gilt:
v 00 0
m
mi a i0 t 0 m
d
0 0
p
t
mi ai0 t 0 ,
00 0
dt 0
i 1 RKFs n t
i 1
i
m
mi ai0 t 0 m
d
0 0
00 2
p
t
w
mi ai0 t 0
00 0
dt 0
i 1 RKFs n t
i 1
i
Wenn die Kraft die Multiplikation der Masse mit der Beschleunigung geteilt durch den relativistischen
Korrekturfaktor ist, dann würde der erste Term die Kraft beschreiben und der 2. Term eine Scheinkraft
beschreiben.
Außerdem konnte ich feststellen, daß gilt: Wenn die Kraft die Ableitung des Impulses nach der Zeit ist,
dann sind die Summen der Kräfte in In 0 wenn n0 ist.
Deshalb betrachte ich mir die Lösung des Rechenbeispiels in I0:
a10 t 0
sin
m
* cos
4r2
2
0
i
0
m a t
i 1
m 0
t
sin
4 r3
m 0
m
0 0
t , a2 t
* cos
2
4 r3
4
r
0
m 0
t
4r3
m 0
t
4r3
0
sin
m2
* cos
4r2
m 0
t
sin
3
4r
m 0 m 2
t
* cos
2
4 r3
4
r
0
m 0
t
4r3
m 0
t 0
4 r3
0
In I0 ist die Summe aller Kräfte =0. In In ist der Gesamtimpuls nicht konstant. Deshalb muß kann die
Ableitung des Gesamtimpulses nach der Zeit in In nicht =0 sein. Also ist in In die Summe aller Kräfte 0.
Das geht nur, wenn Scheinkräfte auftreten. Also gibt es in der Relativitätstheorie nur ein echtes
Inertialsystem, I0.
j) Die Lichtwelle
Die Relativitätstheorie wurde so formuliert, daß sich das Licht in allen Richtungen mit der gleichen
Geschwindigkeit ausbreitet. Betrachtet man sich die Beschreibung für die Energie von Lichtteilchen, die
als Überlagerung von Lichtwellen betrachtet werden, dann wird die Energie in Abhängigkeit von der
Frequenz beschrieben. Aber was ist mit der Lichtwelle. Wie sieht die Lichtwelle in einem anderen
Inertialsystem aus? Das möchte ich mir mal etwas genauer ansehen.
j1) Die Beschreibung einer Lichtwelle in In
Es gibt 2 Arten von Wellen. Transversalwellen und Longitudinalwellen. Eine Transversalwelle beschreibt
eine Lageveränderung senkrecht zur Bewegungsrichtung und eine Longitudinalwelle beschreibt eine
Lageveränderung parallel zur Bewegungsrichtung. Da Licht aus einer reinen Transversalwelle besteht
und Longitudinalwellen nicht auftauchen, kann eine Lichtwelle so beschrieben werden:
L s , t
s c t
sin s
0
t
s
sin s
0
0
c
0
0
t
1
In dieser Beschreibung bewegt sich das Licht in x-Richtung. Die einzelnen Parameter der Formel:
L(s,t) Beschreibung der Lichtwelle in Abhängigkeit von der Lage im Raum und von der Zeit.
s
Beschreibt den Ort eines festen Punktes der Welle.
t
Beschreibt den Zeitpunkt, an dem die Welle betrachtet wird.
c
Die Lichtgeschwindigkeit.
Beeinflußt die Wellenlänge. Die Welle beginnt bei s=0 und endet bei s=2. Die
Wellenlänge ist dann 2/.
Beschreibt die maximale Abweichung der Wellenform von der Ruhelage.
In I0 muß unabhängig von der Richtung die gleiche Wellenform und die gleiche Geschwindigkeit der
Lichtwelle entstehen. Das kann man am besten mit Hilfe einer räumlichen Drehung berechnen:
cos 0
sin 0
cos
0 0
0
0 0
0
0
1 0
0
0
sin
D
0
0
z
0 1
0
sin 0
sin
cos
cos
0
L0 s, t 0 , 0 Dz 0 L s, t 0
0
sin
cos
0
0
0
0
0
0
cos
0 0
0
1 0
0
0 1
0
sin
0
0
0
0
0
0
0
cos 0
0 0
0
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1 1
0
c
0
t0
0
0
cos c
sin 0 c
0
0
cos
0
cos s sin sin s
sin 0 s cos 0 sin s
0 0
t
0
1
c
sin 0
0 sin s sin
s
0
s
0 0
0 0 sin s
0
1 0
0
0 1
t0
0
1
0
L (s, t , ) bezeichnet eine Lichtwelle, die in einer beliebigen Richtung in der x-y-Ebene in I0 verläuft.
Jetzt übersetze ich die Lichtwelle nach In, welches sich mit der Geschwindigkeit v0n in I0 in x-Richtung
bewegt. Ich verwende dafür wieder Satz 7:
cos 0 s sin 0 sin s
cos 0 c
0
0
0
sin
cos
sin
sin
s
s
c
n
0
0
0n
0
0
0
0n
0
L s, t , T L s, t , T
t
0
0
0
0
T 0n
s sin sin s
sin s cos sin s
T
cos 0 s sin 0 sin s
w 0n
sin 0 s cos 0 sin s
cos
0
0
0
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0n
c
cos 0 s sin 0 sin s
w 0n
0
sin s cos 0 sin s
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0n
c
tn t0
0n
L
0n
RKF
w
0
1
0
0n
0
0
1
cos 0 c v 0 n
w 0n
sin 0 c
0
RKFL0 n
w 0n
t0
cos 0 c v 0 n
RKFL0 n
RKFL0 n
sin 0 c w 0 n
0
t
w0n
RKFL0 n
0
1
0
0n
w0n
c2
s sin sin s v
cos
0
c
sin c
t
cos
0
0
Auf diese Art kann die Lichtwelle schlecht betrachtet werden. Ich könnte natürlich eine räumliche
Drehung in In mit Hilfe von Satz 3 durchführen. Dabei würde sich herausstellen, daß die Geschwindigkeit
der Welle in beiden Inertialsystemen gleich groß ist, nämlich die Lichtgeschwindigkeit des Vakuums.
Aber die Beschreibung der Welle könnte sehr kompliziert werden. Aber es geht viel einfacher. Ich wähle
v0n so, daß sich das Licht in y-Richtung bewegt. In dem Fall gilt:
, v 0 n cos 0 c
2
cos 0 c 2 1 cos2 0 sin 2 0 sin 0 , RKF 0 n 1 cos 0 v 0 n 1 cos 2 0 sin 2 0
w0n 1
L
R
c2
0
0
n
cos c v
cos 0 s sin 0 sin s
0n
RKFL0 n
w
0
0
sin 0 c w 0 n 0 RKFL0 n
sin s cos sin s
t
Ln s, t 0 , 0
w0 n
RKFL0 n
0
0
0
0n
0
cos s sin sin s v
2
w0 n
c
1
0 0
cos 0 s sin 0 sin s
sin 0
sin 0 s cos 0 sin s
sin s cos sin s
0
cot 0 s sin s
0
cos 0 s sin 0 sin s cos 0 c
sin 0
c2
0
sin 0 c sin 0
sin 2 0
sin 2 0
t0
sin 0
0
1
0
0
c
t 0 sin 0
0
0
0
cot s sin s cos
1
c
0
0
0
s cos
cot s sin
c
t n t 0 sin 0
Das Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit parallel zur y-Richtung. Aber die Orte der Welle haben
unterschiedliche x-Koordinaten. Diesen Effekt konnte man in der Natur beobachten. Wenn man mit dem
Fernrohr das Licht einer entfernten Sonne betrachtet, dann zeigt das Fernrohr in die falsche Richtung,
wenn sich der Beobachter bewegt. Die Veränderung des Einstellungswinkels des Fernrohrs nennt man
Aberrationswinkel. In diesem Zustand der Formel kann ich mir immer noch nicht die Form der Welle
betrachten, da für die Beschreibung der Form immer die gleiche Zeit verwendet werden muß. Deshalb
muß ich für die Wellenform in y-Richtung eine Zeitkorrektur durchführen, da sich die Welle mit
Lichtgeschwindigkeit in y-Richtung bewegt. Die Berechnung der Wellenform sieht dann so aus:
tn 0
cot 0 s sin s
cot 0 s sin s
cot 0 s sin s cos 0
sin 0 cot 0 cos 0 s
sin s c
c
0
0
0
0
Ln s, t 0 , 0
0
0
s cos
sin
cos 0
cos 0 s
s sin s
0
sin s cos 0
sin s
sin
sin 0
2
0
2
0
0
0
1
s
s
sin cos
s
0
0
0
sin
0
0
sin
sin
0
0
0
0
0
0
0
0
In der y-Koordinate taucht die Wellenform nicht auf, aber in der x-Koordinate gibt es eine
Schwingungsunabhängige Lageveränderung der Welle. Diese Wellenform kann man sehr leicht graphisch
darstellen. Hier ein paar Beispiele:
300
250
200
150
100
50
0
0
-25
-50
-75
-100
-125
-150
-175
-200
-225
-250
-50
Diese Beschreibung ist nicht sehr geschickt. Es wäre besser, wenn ich die Beschreibung abhängig von der
Geschwindigkeit des Inertialsystems In vornehmen könnte. Dazu muß ich die Formel nur etwas
umschreiben.
v 0 n cos 0 c
cos 0
Ln s, t 0 , v 0 n Ln s, t 0 , 0
1
0
0
sin s
0
s
0
sin 0
0
v 0n
c
1
0
0
s
0n 2
1
v
c2
sin s
0
0
0
v 0n
sin s
c
0
1 s
0n
0
w
0
0
0
Damit ich mir die Wellenform etwas genauer betrachten kann, führe ich jetzt eine räumliche Drehung in
In durch, so daß die Lage der Welle parallel zur y-Richtung ist. Bei einer räumlichen Drehung gilt:
D z n
cos n
sin n 0 0
a
sin
cos n 0 0
b
n
0
0
1 0
0
0
0 1
0 cos
n
a sin b
n
.
.
2
1 sin
n
.
.
.
a sin b
n
sin 2 n b 2 1 sin 2 n a 2
a2
b2
b
2
2
a b
a b2
a 2 b2
b
a
b a a b
0 cos n a sin n b
a
b
a2 b2
a 2 b2
a2 b2
sin n
a2
a
a b2
a2 b2
, D z n
0
2
cos n 1
2
Die letzte Gleichung gilt nur dann, wenn ich für den sin und den cos unterschiedliche Vorzeichen wähle.
Es gilt dann:
v 0n
c
1
0n 2
v
1
v 0n
c
sin n
c2
0n 2
0n 2
v
1
Dz n
v
1
c2
0 0
c2
0n
1
, cos n
0n 2
v
1
v
c
0n 2
c2
1
v
c2
0
0
1
0n 2
1
0 0
v
c2
0
1 0
0
0 1
0n
v
c
1
0n 2
v
1
v 0n
c
1
c2
Ln s, t 0 , v 0 n n Dz n Ln s, t 0 , v 0 n
0n
v
c2
0n 2
1
v
c2
0
0
1 0
0
0
0 1
sin s
0
0n 2
0n 2
1
v
1
v
c
2
0n 2
2
c
v 0n
sin s
s
v
v 0n
1 0n c
w
c
c
0n 2
v
1 2
v 0n 2
1 2
c
c
0
0
0
0
v
1
c2
0n
v 0n
sin s
c
0
1 s
0n
0
0 w
0
0
0n
v
v
c
c
0 0
c2
0n 2
1
0 0
0n 2
v
1
0
2
c 2 v 0 n
2
c 2 v 0 n
0
0
s
0n 2
1
v
c2
0
s
1
v 0n
sin s
c
0
v 0n 2
1 2
0
c
0
1
v 0n
sin s
c
0
v 0n 2
1 2
0
c
0n
Beachten Sie: v ist nicht frei gewählt worden, sondern so, daß die Welle sich in y-Richtung bewegt,
bevor in In eine räumliche Drehung durchgeführt wird.
Aus der zuletzt gefundenen Formel kann ich die Wellenlänge und die Wellenform ablesen. Der Faktor
c 2 v 0n
c2
2
beschreibt die Veränderung der Wellenlänge beim Inertialsystemwechsel und der 2. Term
v
0n 2
1
v 0n
sin s
c
0
v 0n 2
1 2
0
c
beschreibt die Wellenform.
Weil es bei der Wellenform in der y-Komponente einen Wert 0 gibt, ist die Wellenform keine reine
Transversalwelle mehr. Die Wellenform ist auch eine Longitudinalwelle.
Hier ein paar Beispiele:
1,5
1
0,5
0
-2,5
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
-0,5
-1
-1,5
v0n=0,0005385
v0n=18837,156
v0n=37599,971
v0n=56214,395
v0n=74606,967
v0n=92705,099
110437,37
v0n=127733,79
v0n=144526,1
v0n=160748,04
v0n=176335,58
v0n=191227,2
v0n=205364,13
v0n=218690,59
v0n=242705,1
Die Rahmenparameter für die Wellen waren =1, =6,28318532 und s=1. Die Geschwindigkeit des
Inertialsystems v0n=cos(0)c wurde variiert, indem einige Winkel vorgegeben wurden. Deshalb auch die
krummen Zahlen in der Legende der Graphik.
In diesem Beispiel ist die Amplitude genau so groß wie die Wellenlänge. Deshalb habe ich mal die
perfekte Welle genommen, in dem ich =1/1/(2) gewählt habe:
0,2
0,15
0,1
0,05
0
-2
-1,8
-1,6
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
-0,05
-0,1
-0,15
-0,2
v0n=0,0005385
v0n=18837,156
v0n=37599,971
v0n=56214,395
v0n=74606,967
v0n=92705,099
110437,37
v0n=127733,79
v0n=144526,1
v0n=160748,04
v0n=176335,58
v0n=191227,2
v0n=205364,13
v0n=218690,59
v0n=242705,1
Die Amplitude wird kleiner und die Wellenlänge wird größer, aber in diesem Fall geht die Welle nicht
rückwärts. Frequenz und Amplitude verändern sich unterschiedlich. Man kann deshalb nicht im
allgemeinen voraussetzen, daß es keine rückläufige Schwingung gibt.
Um das zu überprüfen betrachte ich mir jetzt doch den allgemeinen Fall.
Die folgenden Formeln habe ich ja schon entwickelt:
s
L s , t
c
sin s 0
t
0
0
0
1
cos 0
sin 0
cos
0 0
0
0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
sin
D
0
0
z
cos 0 s sin 0 sin s
0
L0 s, t 0 , 0 Dz 0 L s, t 0
Ln s, t 0 , 0 T 0 n L0 s, t 0 , 0
0
cos c
sin s cos sin s sin c t
0
0
0
0
0
1
cos 0 s sin 0 sin s
w0n
0
sin s cos 0 sin s
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
RKFL0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
tn t0
w0n
w 0n
c
0
cos 0 c v 0 n
RKFL0 n
sin 0 c w 0 n 0 RKFL0 n
t
w0n
RKFL0 n
0
1
Jetzt führe ich in In eine Drehung durch, so daß sich das Licht in x-Richtung bewegt. Ich verwende dazu
die Erkenntnisse aus Satz 3:
n
1 RKFL0 n 1 cos 0 v R0 n
vLn c vLR
a cos 0 vR0 n , b sin 0 w0 n , w
sin
cos
0 0
n
0
0
0
1 0
0
0
0
0
0 1
0
0
cos
n
Dz n
sin
0 sin
cos
RKFL0 n , cos n
1 cos v
n
n
0n 2
R
0
cos 0 v R0 n
0 0
RKFL0 n
0 0 sin 0 w 0 n
RKFL0 n
1 0
0
0 1
0
cos
n
sin
n
n
n
a
b
, sin n ,
w
w
sin 0 w 0 n
RKFL0 n
cos 0 v R0 n
RKFL0 n
0
1 0
0
0 1
0 0
0 0
n
Jetzt kann ich die Drehung in I durchführen:
cos 0 v R0 n
RKFL0 n
sin 0 w0 n
RKFL0 n
0
Dz n Ln s, t 0 , 0
sin 0 w0 n
RKFL0 n
cos 0 v R0 n
RKFL0 n
0
1 0
0
0 1
0 0
0 0
0
0
0n
R
cos v
RKFL0 n
sin 0 w0 n
RKFL0 n
0
0
0n
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
cos 0 c v 0 n
RKFL0 n
0n
sin 0 c w 0 n 0 RKFL
t
0 0
0n
0n
w
RKFL
0
1 0
1
0 1
sin w
RKFL0 n
cos 0 v R0 n
RKFL0 n
0
0 0
0
cos 0 s sin 0 sin s
w0 n
0
sin s cos 0 sin s
0
0
0
cos v cos s sinw sin s sin w sin s cos sin s
0
0n
R
0
0n
0
0
0n
RKFL0 n
0
0
0n
sin w
0
cos s sin sin s
cos 0 v R0 n sin 0 s cos 0 sin s
w0 n
RKFL0 n
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
0
0n
R
0
0n
0
0n
0
0n
0
0n
cos v cos c v sin w sin c w
RKF
sin w cos c v cos v sin c w
RKF
0n 2
L
0
0n
0
0n
0
0n
R
0n 2
L
t0
RKFL0 n
w0n
0
1
x1
x3
x2
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
x
RKFL0 n
4 t0
0
w0n
1
Damit die Formeln nicht zu unübersichtlich werden, habe ich für eine Zwischenrechnung 4 Parameter
eingeführt, die ich jetzt separat berechne:
0
0
cos 0 v 0n cos s sin sin s sin 0 w 0n sin 0 s cos 0 sin s
w0n
R
x1
RKFL0 n
cos
2
0
v
0n
R
2
s v
cos 0 sin 2 0 w 0 n
0n
R
0n
w RKF
cos
0
1 v
cos 0 v R0 n
2
0n
R
v
0n
R
0n
L
2
2
cos sin sin s
1 w0n
cos 0 1 cos 2 0 1 v R0 n
s v R0 n v R0 n
0n
w RKFL0 n
2
2
s v
cos 2 0 v R0 n
0n
0n
R
w RKF
0
2
0
cos 0 sin 0 sin s
1 v R0 n cos 0 sin 0 sin s
0n
L
sin 0 w0 n
x2
0
cos 0 s sin 0 sin s
cos 0 v R0 n sin 0 s cos 0 sin s
w0 n
RKFL0 n
0
0n
R
0
2
0
2
0
cos cos v sin s sin cos v
0n
R
cos 0 sin s
0n
L
RKF
vR0 n sin 0 s 1 vR0 n cos 0 sin s v R0 n sin 0 s RKFL0 n sin s v R0 n sin 0 s
sin s
RKFL0 n
RKFL0 n
RKFL0 n
0
0n
R
0
0n
0
0n
0
0n
2
0
0
0n 2
R
0n 2
L
0n
R
2
0n 2
0
cos v cos c v sin w sin c w cos 2 cos v v sin w c
RKF
RKF
cos 2 cos v v 1 cos 1 v
1 2 cos v cos v
1 cos v
c
c
RKF
RKF
RKF
RKF c c
RKF
sin w cos c v cos v sin c w
sin w cos c v cos c v
0
RKF
RKF
x3
0n 2
L
2
0
0
0n 2
R
0n
R
2
0n 2
R
0
0
0n 2
L
0n
R
2
0
0n 2
R
0n 2
R
0
0n 2
L
0n 2
L
c
0n 2
L
0n 2
L
0
x4
0n
0
0n
0
0n
R
0
0n
0
0n
0
0n 2
L
0n
0
0n
0n 2
L
Jetzt setze ich die Ergebnisse in die Formel ein:
x1
Dz n Ln s, t 0 , 0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
1 v
x3
x2
0
0n
R
cos 0 vR0 n
2
x
RKFL0 n
4 t0
0
w0 n
1
2
s v 1 v
cos 2 0 v R0 n
0n
R
0n
0n
R
cos 0 sin 0 sin s
w RKF
vR0 n sin 0 s
sin s
RKFL0 n
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
0n
L
c
0
0
t0
RKFL0 n
w0n
1
Das Licht bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit parallel zur x-Richtung. Aber die Orte der Welle haben
unterschiedliche x-Koordinaten. Diesen Effekt konnte man in der Natur beobachten. Wenn man mit dem
Fernrohr das Licht einer entfernten Sonne betrachtet, dann zeigt das Fernrohr in die falsche Richtung,
wenn sich der Beobachter bewegt. Die Veränderung des Einstellungswinkels des Fernrohrs nennt man
Aberrationswinkel. In diesem Zustand der Formel kann ich mir immer noch nicht die Form der Welle
betrachten, da für die Beschreibung der Form immer die gleiche Zeit verwendet werden muß. Deshalb
muß ich für die Wellenform in x-Richtung eine Zeitkorrektur durchführen, da sich die Welle mit
Lichtgeschwindigkeit in y-Richtung bewegt. Ich wähle tn=0. Dann muß gelten:
RKFL0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
w0n
c
0
0
n
n
Dz L s , t ,
0 tn t0
1 v
0n
R
cos v cos v s v 1 v
0n 2
R
0
2
0n 2
R
0
0n
R
0n
0n
R
t0
RKFL0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
w0 n
c
cos 0 sin 0 sin s
0n
L
w RKF
v R0 n sin 0 s
sin s
RKFL0 n
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
w0 n
c
c
0 cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
0
w0 n
c
1
1 v
0n
R
cos 0 vR0 n
2
cos 2 0 vR0 n
2
cos 0 RKFL0 n v R0 n s RKFL0 n RKFL0 n v R0 n sin 0 sin s
w0 n RKFL0 n
0n
v R sin 0 s
sin s
RKFL0 n
0
cos 0 s sin 0 sin s v 0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
2
2
w0 n
c
w0 n
c
1 v
0n
R
cos 0 v R0 n
2
2
cos 2 0 vR0 n cos 0 1 v R0 n cos 0 v R0 n s
w0 n RKFL0 n
0n
v R sin 0 s
sin s
RKFL0 n
0
0
0n 2
R
w0 n s
0
w0 n
RKFL0 n
w RKF
0n
0
0n
0
0n
0
s
sin
v sin
s
v R sin s
v
s
R sin 0 n
sin s R
sin s
0n
0n
0
RKFL
RKFL
0
RKFL
0
0
0
0
1 v s
0n
0n
L
0
0
Die Richtung der Lichtwelle ist beliebig und die Geschwindigkeit des Inertialsystems In ist beliebig. Das
Inertialsystem ist so gedreht worden, daß sich die Welle in x-Richtung bewegt. Die Schwingung wird
beschrieben durch sin(s). Also schwingt die Welle in allen Inertialsystemen für alle Richtungen, in
die sich das Licht bewegt, senkrecht zur Bewegungsrichtung der Lichtwelle. In der Bewegungsrichtung
des Lichts gibt es nur eine Transversale Schwingung, aber keine Longitudinale Schwingung. Aber es gibt
eine transversale Wellenform und eine longitudinale Wellenform.
In der x-Koordinate taucht die Wellenform nicht auf, aber in der y-Koordinate gibt es eine
Schwingungsunabhängige Lageveränderung der Welle. Damit ich mir die Wellenform etwas genauer
betrachten kann, führe ich jetzt eine räumliche Drehung in In durch, so daß die Lage der Welle parallel
zur x-Richtung ist. Bei einer räumlichen Drehung gilt:
D z n
cos n
sin n 0 0
sin
cos
n
0
0
0
0
n
0 0
1 0
0 1
.
a
, D z n
b
.
.
0
.
.
0 sin n a cos n b 1 cos 2 n a cos n b cos 2 n b 2 1 cos 2 n a 2
a2
b2
b
2
2
a b
a b2
a2 b2
b
a
b a a b
0 sin n a cos n b
a
b
2
2
2
2
a b
a b
a2 b2
cos n
a2
a
a b2
a2 b2
2
sin n 1
2
Die letzte Gleichung gilt nur dann, wenn ich für den sin und den cos das gleiche Vorzeichen wähle. Es
gilt dann:
2
2
2
2
2
a 2 b 2 w 0 n v R0 n sin 0 1 v R0 n v R0 n 1 cos 2 0 1 v R0 n cos 2 0
v R0 n sin 0
w 0n
2
sin n
v R0 n sin 0
2
a b
2
w 0n
, cos n
2
a b
D z n
2
sin
Ln s, t 0 , n , n D z n D z n Ln s, t 0 , 0
0
0
0n
w w
v
0n
R
0n
v
sin
0
0n
R
sin
w
0n
0
v
0n
0n
R
0n
R
0
sin
0
sin
w v
0
a b
v R0 n sin 0
a2 b2
w0n
a2 b2
0
a2 b2
0
0
0
0n 2
R
w v
s
RKF
0n
L
sin 2 0
2
a b
v
s
0
RKF
0n
L
2
a b
2
0n
R
sin
w
2
1 v
0
w0n
2
0
sin s
a 2 b2
sin s
2
1 v R0 n cos 2 0
v R0 n sin 0
0
0
0
s
RKFL0 n a 2 b 2
w 0n
0
2
s
0
sin s
2
1 v R0 n cos 2 0
v R0 n sin 0
1 v R0 n cos 2 0
0
0
0
1 v
0n
R
cos
0
1 v
0n 2
R
2
cos
0
0 1
0
0n 2
R
v 1 cos
1 0
0n
0
0
0n 2
R
0
0
0 0
v R0 n sin 0
0
0n 2
0 0
0
w 0n
sin n 0 0
n
0n
0
sin s
cos 0 0 v R sin
s
0
RKFL0 n
0
1 0
0
0
0
0 1
0
cos n
n
2
0
w0n
0
sin s
2
1 v R0 n cos 2 0
0
1 v R0 n cos 0
0n
0
s v R sin
1 v R0 n cos 0
0n
w
sin s
0
2
0
1 v R0 n cos 2 0
0
0
0
Aus der zuletzt gefundenen Formel kann ich die Wellenlänge und die Wellenform ablesen. Der Faktor
1 v R0 n cos 0 beschreibt die Veränderung der Wellenlänge beim Inertialsystemwechsel und der 2. Term
1 v R0 n cos 0
0n
R
v sin
w
0
0n
0
sin s
2
1 v R0 n cos 2 0
beschreibt die Wellenform.
0
Es wäre noch sinnvoll, wenn man die Frequenz aus der Wellenlänge berechnen könnte. Die Frequenz ist
die Anzahl der Schwingungen pro Zeit. Es muß gelten:
RKFL0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
RKFL0 n cos 0 s sin 0 sin s v 0 n
t n t n t n t 0
t0
2
1
2
t 20 t10
w0 n
0n
L
0n
RKF
w
w0 n
1 v cos 0
t 0
w0n
0n
R
c2
1
w 0n
w0n
c2
In I0 kann die Fequenz direkt aus der Wellenlänge berechnet werden, da dort der Aberrationswinkel =0
vorausgesetzt war. Es gelten folgende Beziehungen:
In I0
In In
Wellenlänge
W L0
Frequenz
f0
2
c
WL0
WLn
1 v R0 n cos 0
2
1 v R0 n cos 0
f n t n
Anzahl Schwingungen f 0 t 0
Jetzt kann ich die Frequenz in In aus der Wellenlänge berechnen:
fn
f n t n
t n
f 0 t 0
w0 n
c
w0n
0
f
1 v R0 n cos 0
1 v R0 n cos 0 WL0 1 v R0 n cos 0
t 0
0n
w
1 v R0 n cos 0
1 v R0 n cos 0
w 0n
c
0n
R
0n
R
0
1 v cos
WL0
1 v cos 0
1 v
0n
R
c
cos
W
0
n
L
w0n
1 v R0 n cos 0
1 v R0 n cos 0
1 v
0n
R
c
cos
W
0
n
L
0n 2
R
1 v 1 v
1 v
0n
R
0n
R
cos 0
cos 0
3
j2) Die Überlagerung von Lichtwellen in In
Ich habe bisher nur eine einfache Welle beschrieben. Wellen können sich überlagern und dadurch ein echt
kompliziertes Wellenmuster ergeben. Aber es verändert sich nicht viel:
s c t
L s ,
s
c
sin s sin s 0 t
t
0
0
t
0
0
1
In diesem Fall kann ich die Summe nicht von 1 bis n durchführen, denn es gibt überabzählbar viele
Frequenzen, die sich alle überlagern könnten. Diese Formel unterscheidet sich fast nicht von der Formel
aus Abschnitt j1). Deshalb erhalte ich folgende Formel für die Welle in In:
Ln s, t 0 , n , n
1 v R0 n cos 0
0n
0
s v R sin
1 vR0 n cos 0
sin s
w0 n
2
0
0
1 v R0 n cos 2 0
0
0
0
Hier einige Beispiele, wie das aussehen kann:
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
Welle 1
Welle 2
Welle 3
Welle 4
Welle 5
Welle 6
Welle 7
Welle 8
Welle 1-2
Welle 1-3
Welle 1-4
Welle 1-5
Welle 1-6
Welle 1-7
Welle 1-8
7
Ich habe für die Graphik folgende Werte gewählt:
0n
0 vR Welle i
/2 0,9 =i
1/
Keine der Einzelwellen ist rückläufig. Aber ab Welle 1-3, der Überlagerung der Wellen 1, 2 und 3,
tauchen rückläufige Wellenlinien auf.
j3) Kollisionen mit Licht
Angenommen, Licht bestünde aus Teilchen, die miteinander kollidieren können. Wenn eine solche
Kollision zu einem unelastischen Stoß würde, dann könnte nach der Relativitätstheorie Einsteins Materie
entstehen, wenn die Lichtteilchen eine Masse 0 haben. Materie würde dann aus dem Nichts entstehen
und die Energie des Lichtes würde in Materie umgewandelt werden.
Ich will hier prüfen, inwieweit ein solches Szenario realistisch sein kann. Schließlich braucht die
Urknalltheorie eine realistische Möglichkeit, wie aus Wellen Teilchen werden.
Ein Vorteil des Lichtes ist, daß das Licht in allen Inertialsystemen die gleiche Geschwindigkeit hat. Was
sich verändert, ist die Wellenlänge des Lichts. Das werde ich bei meinen Berechnungen beachten.
In I0 treffen 2 gleiche Lichtsignale aufeinander, die aus entgegengesetzten Richtungen aufeinander
stoßen. Nach der Kollision entsteht ein Objekt, daß sich in I0 in Ruhe befindet. Die Bewegungsdaten und
die Massen können so beschrieben werden:
cos 0 c
sin c
t
cos 0 c
0
L10
0
0
L02
,
1
cos 0 c
0
1
V
sin 0 c
0
0
t 0 , O30
1
cos 0 c
sin c ,
0
V
0
2
sin c ,
t0
0
3
V 0
0
n
0
1
0
0
0
0
0
0
I bewegt sich in I in x-Richtung mit der Geschwindigkeit v0n. Mit Hilfe von Satz 7 kann ich die
Ortsdaten übersetzen:
RKFL01n 1 cos 0 v R0 n , RKFL01 n 1 cos 0 v R0 n , RKFL01 n 1 cos 0 0 v R0 n 1
cos v c
1 cos v
sin c w
t
1 cos v
0
0
0
0n
R
0
0n
R
0n
0
L1n
0n
R
cos v c
1 cos v
sin c w
t
1 cos v
n
Ln2
,
0n
R
0n
0
0n
R
v 0n
n
0
O3n
,
0
0
1
tn
1
1
0
cos v
cos v c
c
sin w
1 cos v
0
sin c w
1 cos v
1 cos v
0
0n
R
0
0
V
0
0
0
n
1
0n
R
0
0
0n
R
0n
0n
R
0
0n
R
0n
0n
R
0
cos v
cos v c
c
sin w
1 cos v
0
sin c w
1 cos v
1 cos v
0
0n
R
0
0
n
2
, V
0
0
0
0n
R
0n
0n
R
0
0n
R
0n
0n
R
v 0n
n
3
, V
0
0
0
Jetzt betrachte ich mir die Massenbilanz:
m10 m20 , m30 m10 m20 ,
0
0
3
0
3
0
3
cos 0 c cos 0 c
0
0
1
0
1
m V m 0 m 0 m
0
0
sin c sin c
0
0
0
cos 0 c
0
1
m
sin c m
0
0
n
0
1
cos 0 c
sin 0 c m10 V10 m20 V20
0
Jetzt übersetze ich die Massen nach I und betrachte dort die Massenbilanz:
c2
c2
02
1 2
1 2
2
c m0 , mn m0
c m0 , mn m0
c
m1n m10
1
2
2
2
3
3
c2
c2
v 0n
1 2
1 2
1 2
c
c
c
1
2
m0
m3n V3n 03n
w
m
0
0
c sin w
0
cos 0 v R0 n
0n
c sin w
0
2
0
m
0
m1n V1n m2n V2n
v0n
cos 0 vR0 n
0
1
m30
w 0n
0n
c sin w
0
1
0
m
0
0
1 cos v
0n
R
1 cos v
2
1 cos 2 0 vR0 n
0
0
sin w
0
1 cos 2 0 v R0 n
2
0
0n
R
cos v 2
0
m10 2 v 0 n sin 0
w
v
0
1
m
c sin w
0
0
0
0n
0
0n
R
0n
R
0n
0
1 cos v R0 n
0
1 cos v
0n
R
0
cos 2 0 1
m10 c 2 v R0 n
1 cos 2 0 v R0 n
2
0
1
0
1
sin 0 w 0 n cos 0
0
0
sin
0n
0n 2
R
0
0n
0n
cos v
sin w
1 cos v
cos 2 0 v R0 n 2 2 v R0 n
m10 c
cos 0 v R0 n
0
0n
R
cos 0 v R0 n
sin 0 w 0 n 1 cos 0 vR0 n
0
m10 c
1 cos 2
cos 0 v R0 n
cos 0
0
Hier müssen 2 Gleichungen erfüllt werden:
0
0
m10 2 v 0 n sin 0 w0 n cos 0
1 cos
0
3
0n
2
v
0n 2
R
0
,
m
m 0 2 v 0 n sin 2 0 m10 m20
m 0 2 sin 2 0
v0n 1
1
2
0
n
w
w
1 cos 2 0 vR0 n
1 cos 2 0 v R0 n
1
0n
w
sin
m 2v
1 cos v
2
2
2
0
0
1
0n 2
R
0
0n
2
0
v m 2 m 2 sin
w
1 cos v
1 cos v sin w m 2 v
w
1 cos v
0n
2
0n 2
R
0n
0
0n
2
0
2
0n
0
1
0n 2
R
0
0n
v
0n
2
0n 2
R
0
Das geht nur, wenn die Massen =0 sind, In=I0 ist oder beide der folgenden Formeln =0 sind:
0 sin 0 w0 n cos 0 , 0 1 cos 2 0 v R0 n
2
sin 2 0 w 0 n
Die 2. Gleichung ist problematisch, denn es gilt:
2
0 1 cos 2 0 v R0 n
sin 2
sin 2
sin 2 0
2
0
0n
0
0n 2
R
2
0
2
0
2
0n 2
R
0
2
0
0n
sin w sin cos cos v sin w
cos cos v sin w sin sin w cos w
1 w cos w
0
0
2
0
0n
cos 2 0 w 0 n
1 w0 n
2
2
0
2
0
0n
2
0
2
0
0n
2
0
0n 2
0n 2
2
Es gibt kein Inertialsystem, in dem diese Gleichung erfüllt wird, denn 1w0n und alle anderen Terme
kommen quadratisch vor und dürfen deshalb nicht negativ sein. Nur in dem Spezialfall, in dem In=I0 ist,
hätte ich nicht durch 0 teilen dürfen. Dann muß cos(0)=0 sein. Diesen Spezialfall habe ich aber oben
schon ausgeschlossen.
Man muß allerdings berücksichtigen, daß ich gemogelt habe. Bei der Berechnung der Masse habe ich mit
0 multipliziert und durch 0 geteilt. Man darf aber nicht einfach mit 0 multiplizieren und anschließend
durch 0 teilen. Ich wollte Ihnen zeigen, daß dadurch unsinnige Ergebnisse produziert werden können.
Man muß deshalb für die Berechnung der Masse eine andere Strategie verwenden.
Da sich das Objekt nach der Kollision nicht mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, kann ich in diesem Fall die
Masse übersetzen. Die anderen Massen muß ich aus der Impulserhaltung berechnen.
So sieht jetzt die korrekte Vorgehensweise aus:
1
m3n m30
02
c2
0n 2
v
1
m30
w0 n
c2
0n
v
m30
m V 0n 0
w
0
n
3
n
3
cos 0 vR0 n
m1n c sin 0 w0 n
cos 0 v R0 n
m2n c sin 0 w0 n
0
m1n V1n m2n V2n
0
0
1 cos v
0n
R
0
1 cos v R0 n
sin w 1 cos v m sin w 1 cos v
m cos 0 v R0 n 1 cos 0 vR0 n m2n cos 0 v R0 n 1 cos 0 vR0 n
n
1
c
2
0
m1n
2
1 cos 0 vR0 n
0n
0
0n
R
0
n
2
0n
0
0n
R
0
Es müssen 2 Gleichungen erfüllt werden:
1.
m30
c m1n cos 0 v R0 n 1 cos 0 v R0 n m2n cos 0 v R0 n 1 cos 0 v R0 n
v 0n
0n
2
w
1 cos 2 0 v R0 n
n
0
0n
0
0n
n
0
0 m1 sin w 1 cos v R m2 sin w 0 n 1 cos 0 v R0 n
2.
Die 2. Gleichung ist einfacher zu lösen:
0 m1n sin 0 w 0 n 1 cos 0 v R0 n m2n sin 0 w 0 n 1 cos 0 v R0 n
m n sin 0 w 0 n 1 cos 0 v R0 n
1 cos 0 v R0 n
m2n 1
m1n
0
0n
0
0n
sin w 1 cos v R
1 cos 0 v R0 n
Das setze ich jetzt ein, um die 1. Gleichung zu lösen:
m30
c m1n cos 0 v R0 n 1 cos 0 v R0 n m2n cos 0 v R0 n 1 cos 0 v R0 n
v0n
0n
2
w
1 cos 2 0 vR0 n
c m cos v 1 cos v m cos v 1 cos v
1 cos v
2m v
c m cos v cos v 1 cos v 2 c m v
1 cos v
1 cos v
1 cos v
0
n
1
0n
R
0
0n
R
2
0
n
1
0n
R
0
2
0
3
0n
0n
R
0
0n
R
0n 2
R
0
0n
R
0n 2
R
0
0
n
1
0
0n
R
0n
R
0n
R
n
1
0
n
1
0
m
v 0n
m 0 1 cos 0 v R0 n
w
3
m
0n
2v
2 w0 n
0
0n
1 cos v R
1 cos 0 v R0 n m30 1 cos 0 v R0 n 1 cos 0 v R0 n m30 1 cos 0 v R0 n
m2n m1n
1 cos 0 vR0 n
2 w0 n
1 cos 0 v R0 n
2 w0n
n
1
0n
0n
R
Jetzt betrachte ich die Wellenlänge des Lichts. Die Wellenlänge ist wie die Länge eines Objekts. Also
kann ich für die Berechnung Satz 7 anwenden. Ich brauche dafür diese Formel:
t 20 t10
v R0 n cos 0
l r : L Orn O n t 20 , 0 , l r , l h O n t10 , 0 , 0, l h
c RKFO0 n
cos 0
sin
L O
l
0
w 0 n cos 0
0
0
r
r
n
r
LO
0
v
sin
0
OR
v R0 n sin 0 0
lr
RKFOnm
0
0
0
Jetzt setze ich die Rahmenparameter meines Experiments ein:
w 0 n cos 0
n n , vLn R 1, RKFO0 n 1 cos 0 vR0 n
1
L L1n
sin 0
0
0
lr
1 cos 0 v R0 n
w 0 n cos 0
n n , vLn R 1, RKFO0 n 1 cos 0 v R0 n
2
L Ln2
Jetzt setze ich in dieser Formel die Masse ein:
sin 0
0
0
lr
1 cos 0 v R0 n
L L1n
w 0 n cos 0
sin 0
0
w 0 n cos 0
0
3
0n
sin
0
m lr
, L Ln2
2 w m1n
0
0
m30 l r
2 w 0 n m2n
0
0
Natürlich muß die Formel auch für I funktionieren. Dazu brauche ich nur n=0 zu wählen. Es gibt zwar
einen Zusammenhang zwischen der Wellenlänge des Lichts und der Masse, aber auch in diesem Fall gilt:
Die Masse ist richtungsabhängig, denn nur in Bewegungsrichtung wird die Wellenlänge mit w0n
multipliziert.
k) Die Geometrie in der Relativitätstheorie
Es gibt große Teile der Physik, die anscheinend niemals relativistisch untersucht wurden. Zumindest
werden sie in der Literatur nicht erwähnt. Trotzdem soll die Relativitätstheorie zuverlässiger als die
klassische Physik sein. Dazu muß man aber die komplette Physik relativistisch darstellen können. Auch
die Teile, die bisher nicht relativistisch betrachtet wurden. Dazu gehören vor allen Dingen Richtungen
und Winkel. Sie sind wichtige Hilfsmittel zur Berechnung in der Physik. Darum geht es in diesem
Abschnitt.
k1) Die Übersetzungen von Richtungen, Längen und Winkeln. Der allgemeine Fall.
Als nächstes müssen die verschiedenen Richtungen übersetzt und die Längen und Winkel berechnet
werden. Damit ich gleichartige Berechnungen nicht mehrmals durchführen muß, betrachte ich erst mal
den allgemeinen Fall. Im allgemeine Fall gilt:
Rn t n
t
Rxn t n
R yn t n
R
n
z
Rn t n
n
0
0
0
R t
n
Rn t n Rn t n
0
tn
R t
n
R xn t n
R yn t n
n
z
t
n
n
Jetzt übersetze ich den Anfangs- und den Endpunkt und berechne daraus wieder einen Richtungsvektor.
Dafür verwende ich die Erkenntnisse aus Satz 11:
Rm t n
v nm t n
w nm
0
0
tn
w nm
Rmx t n Rmx tn
m n
R t Rmy t n Rmy tn
Rmz t n Rmz tn
R xn t n v nm t n
w nm
R yn t n
m n
R t
R zn t n
v nm
t n 2 R xn t n
c
w nm
R t v t t
w nm
R yn t n
n
x
n
nm
R zn t n
n
n
tn
t m nm
w
tn
v nm
R xn t n
v nm
c2
tn t n 2 R xn t n
nm
w
c
nm 2
v nm
R xn t n v nm t n t n 2 Rxn t n R n t n v R n t n
x
x
c
wnm 2 Rxn t n
c2
w nm
w nm
w nm
n n
n n
R y t
R y t
R yn t n
Rzn t n
R zn t n
w nm Rxn t n
R yn t n
R zn t n
Als nächstes berechne ich das Vektorprodukt zwischen übersetzten Richtungen:
R zn t n
R1ny t n R2nz t n R1nz t n R2ny t n
t R t R t R t
R t R t R t R t
t R t R t R t R t w R t w R t R t
t R t R t R t w R t R t R t w R t
R t R t
R t R t R t R t
R t
R t R t R t R t w R t R t w R
w R
R t R t R t R t w R t R t
R1n2 t n R1n t n R2n t n R1nz t n R2nx t n R1nx t n R2nz t n
R1nx t n R2ny t n R1ny t n R2nx t n
m
1
n
m
2
R t R t
n
R1my
R1mz
m
1x
n
m
2z
m
2x
m
2y
n
n
R
n
1y
n
nm
n
1z
n
1x
w
wnm
n
m
1z
m
1x
m
1y
n
n
n
2z
n
n
n
2x
n
2y
n
n
m
2y
m
2z
m
2x
n
n
n
1z
n
n
n
1x
n
1y
n
n
n
1y
n
n
n
1z
nm
n
n
2y
n
n
1x
n
n
n
n
1
n
2z
n
2x
n
n
2z
n
2x
n
2y
nm
n
nm
n
n
n
1z
nm
n
n
n
n
1y
n
2
n
1
n
1
nm
n
n
n
nm
n
n
2
n
2
n
n
2y
n
n
1x
n
n
2z
n
2x
n
n
n
n
12 , x
n
12 , y
nm
n
12 , z
x
n
nm
y
n
z
w
t
t
nm
n
n
R t
R1n2, x t n
R1n2 , y t n
R1n2, z t n
m
1 2
n
Hier passiert etwas sehr interessantes. Wenn ich zuerst das Vektorprodukt berechne und vom Ergebnis
eine Übersetzung durchführe, dann wird die x-Koordinate mit wnm multipliziert. Wenn ich aber zuerst
eine Übersetzung durchführe und dann das Vektorprodukt verwende, dann werden die y- und die z-Achse
mit wnm multipliziert. Ich bekomme also 2 unterschiedliche Ergebnisse heraus. Das bedeutet, ich darf das
Vektorprodukt in der Relativitätstheorie nicht verwenden. Ich bekomme sonst falsche Ergebnisse. Wenn
ich es trotzdem verwenden will, dann muß ich ein Inertialsystemabhängiges Vektorprodukt definieren.
Dann gilt mal wieder, daß ich ein Naturgesetz gefunden habe, daß in unterschiedlichen Inertialsystemen
unterschiedliche Formen annimmt. Wie muß das aussehen? In I0 darf ich es verwenden. Wenn ich die
Koordinatenachse so lege, daß sich I0 in x-Richtung bewegt, dann müßte das relativistische
Vektorprodukt so aussehen:
ax
bx
a R b a y R by
az
w 0 n a y bz a z b y
a z bx a x b y
bz
w0n
a x b y a y bx
w0n
Es sieht etwas komplizierter aus, wenn das Vektorprodukt definiert werden soll, wenn sich I0 nicht
parallel zu irgendeiner Koordinatenachse bewegt. Man kann dann das machen:
a1
a b D a2
a3
b1
R D b2
b3
1
D
D ist dabei eine Drehmatrix, die die Vektoren a und b in die richtige Richtung für das Vektorprodukt
drehen, damit ich das Vektorprodukt berechnen kann. Das Ergebnis der Berechnung muß dann wieder
zurückgedreht werden.
Ich werde Ihnen später noch am Beispiel des Drucks zeigen, daß das Vektorprodukt unsinnige Ergebnisse
erzeugt, wenn man es nicht korrigieren würde.
Die Längen von übersetzten Richtungen:
w nm R xn t n
m
R t
n
v R t
R t w R t R t R t R t R t R t
c
R t
v R t R t 1 v R t
R t
c
c
R t
n
y
n
z
n
nm 2
n
n
x
n
2
n
y
n
2
n
z
n
2
n
x
n
2
n
y
n
2
n
z
n
2
nm 2
2
n
x
n
2
n
n
2
nm 2
2
n
x
n
2
nm 2
n
n
2
n
x
n
n
n
2
2
Die Längen verändern sich richtungsabhängig.
Der sin des Winkels zwischen 2 übersetzten Richtungen. Hier darf das korrigierte Vektorprodukt nicht
verwendet werden:
n
1
m
1
n
m
2
R t R
n
n
2
n
R t R t
t w R t R t
w R t R t
n
nm
n
1
n
1
nm
n
x
n
n
2
n
2
n
y
n
z
nm 2
w R t R t R t R t R t R t vc R t R t
w R t R t vc R t R t
nm 2
n
1
nm 2
n
n
1
n
2
n
n
2
2
n
x
n
n
2
n
1
2
v
R1n t n R2n t n 1
c
2
n
n
1
y
nm 2
2
n
nm 2
n
1
2
n
n
2
2
n
2
2
n
n
1
2
z
n
n
2
nm 2
2
n
x
nm 2
n
1
2
n
n
1
n
x
2
nm 2
R1n t n R2n t n 1
sin R1m t n , R2m t n
t R t
v
c
R1m t n R2m t n
R1m
n
m
2
nm 2
n
R1n t n 1
2
2
n
1x
n
n
1
n
2
R n t n R2n t n
1 1
R1n t n R2n t n
2
t 1 vc R t
R t
x
2
nm 2
v R t
c
R t
R2n
2
n
n
2x
n
n
2
n
2
2
R1n t n R2n t n x
1
2
c2
R1n t n R2n t n
n
n 2
n
nm 2
R t
R tn
v
1x
1 2 2 x
2
c
R1n t n
R2n t n
2
2
nm 2
t
v
1 c
1
sin R1n t n , R2n
v
n
nm 2
2
2
2
Der cos des Winkels zwischen 2 übersetzten Richtungen:
R
t ,
t
vc
w nm R1nx t n
m
1
n
m
2
R t , R t
n
n
1y
n
1z
R
t
w nm R2nx t n
n
2
R2ny t n
n
R
n
2z
w nm R1nx t n R2nx t n R1ny t n R2ny t n R1nz t n R2nz t n
n
nm 2
vc
R1nx t n R2nx t n R1ny t n R2ny t n R1nz t n R2nz t n
nm 2
R1n t n , R2n t n
2
2
R1nx t n R2nx t n
2
v nm
R1nx t n R2nx t n R1n t n , R2n t n 1
c2
R1nx t n R2nx t n
R1n t n , R2n t n
cos R1m t n , R2m t n
m
1
t R t
n
m
2
R t , R t
n
R1m
n
m
2
n
v nm
R1n t n , R2n t n 1 2
c
nm 2
R1n
n
2
n
1x
n
n
1
n
nm 2
v nm
1
c2
2
2
R t
R t
Ich fasse die Ergebnisse noch einmal zusammen:
n
1x
n
1
n
n
2
R1nx t n R2nx t n
R1n t n , R2n t n
2
nm 2
n
2
2
n
1x
n
1
2
cos R1n t n , R2n t n
2
t 1 vc R t R t 1 vc R t
R t
R t
v R t R t
1
c
R t , R t
n
n
2
w vc R t R t
R t R t
R1n t n R2n t n
x
R n t n R2n t n
1 1
R1n t n R2n t n
2
n
n
n
2
n
2x
n
2
v nm
1
c2
n
n
2
2
R t
R t
n
2x
n
2
n
n
2
n
2x
n
n
2
n
2
2
n
2
n
2
n
x
n 2
Rxn t n
w nm R xn t n
R n t n R yn t n R m t n
Rzn t n
R yn t n
R zn t n
nm 2
R m t n R n t n 1
R1n2 , x t n
w nm R1n2 , x t n
R1n2 t n R1n t n R2n t n R1m t n R2m t n w nm R1n2, y t n
w nm R1n2, z t n
R1n2 , y t n
R1n2 , z t n
R1m2 t n
2
v R t
c
R t
n
x
2
n
n
n
2
2
n n
n n
R t R2 t x
1 1
2
c
R1n t n R2n t n
R n t n 2 1 v nm 2 R2nx t n 2
1x
2
2
c2
R1n t n
R2n t n
nm 2
1
sin R1m t n , R2m t n sin R1n t n , R2n t n
v
2
nm 2
v
1
c2
nm 2
1
v
c
cosR1m t n , R2m t n cosR1n t n , R2n t n
2
R1nx t n R2nx t n
R1n t n , R2n t n
n
n 2
nm 2
v R1 x t
1 c 2 n n 2
R1 t
n
n 2
nm 2
v R2 x t
1 c 2 n n 2
R2 t
Die Zuverlässigkeit der Formeln überprüfe ich in einem speziellen Scenario, das ich auf verschiedene
Arten auswerte.
k2) Das Scenario: Ein Raumschiff fliegt im Kreis
Im Inertialsystem In bewegt sich ein Raumschiff in einer perfekten Kreisbahn mit einem idealen Antrieb.
Die Geschwindigkeit ist konstant und der ideale Antrieb sorgt dafür, daß es im Raumschiff keinen
Masseverlust gibt.
Die Flugbahn dieses Raumschiffs kann allgemein so beschrieben werden:
S t r sin t , cos t
dS t
d t
d sin t d cos t
V t
r
,
* cos t , sin t v * cos t , sin t
r
dt
v
t dt
r
dt
v
t c
r
dt
dt
c ist eine Konstante und wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Ich wähle c=0. Das setze ich
jetzt in die Formeln ein:
v
v
v
v
S t r sin t , cos t , V t v * cos t , sin t
r
r
r
r
At
2
d
dV t
d
v2
v
v v
v
v
v cos t , sin t sin t , cos t 2 S t
dt
dt r r
r
r
r
r
dt
Daraus kann ich jetzt die relativistischen Flugdaten berechnen. Da ich eine Übersetzung in x-Richtung
durchführen will, muß ich die Flugbahn geschickt legen. Die eine Koordinate lege ich in z-Richtung und
die andere in einen beliebigen Winkel der x-y-Ebene:
On t n
v
v
r sin t n cos n
sin t n cos n
r
r
v n
v n
n
r sin t sin r sin t sin n r ROn t n
r
r
v n
v n
r cos t
cos t
r
r
v
v
v cos t n cos n
cos t n cos n
r
r
v n
v n
n n
n
V t v cos t sin v cos t sin n v RVn t n
r
r
v n
v n
v sin t
sin t
r
r
v2
v
v
sin t n cos n
sin t n cos n
r
r
r
v2
v2
v2
v
v
An t n sin t n sin n sin t n sin n R An t n
r
r
r
r
r
v2
v n
v n
cos t
cos t
r
r
r
Sn tn
O t
n
O
n
O
n
x
n
y
n
z
t
t
tn
n
v
r sin t n cos n
r
v n
r sin t sin n
r
v n
r cos t
r
tn
Da sich das Raumschiff in einer perfekten Kreisbahn bewegt, kann man für die Flugbahn auch eine
Richtung der Rotationsachse definieren. Dazu brauche ich nur das Vektorprodukt der Richtung der
Geschwindigkeit mit der Richtung des Ortes zu berechnen:
a1 b1 a2 b3 a3 b2
a b a2 b2 a3 b1 a1 b3
a3
b3
a1 b2 a2 b1
v
v
sin 2 t n cos 2 t n sin n
r
r
sin n
2 v n
v
cos t sin 2 t n cos n
cos n
r
r
0
v
v
sin t n cos n cos t n sin n 1 1
r
r
R
n
Achse
n
O
n
n
V
R t R t
n
v
v
cos n cos t n 0
cos n cos t n
r
r
v n
v n
n
n n
n
n
R Achse RO t
sin cos t RVn t n
0 sin cos t
r
r
v n
v n
n
n
2
2
sin cos sin t
sin t
r
r
v n
v n
n
n
cos sin t 0
cos sin t
r
r
v n
v n
n
n n
n
n
R Achse RV t
sin sin t R An t n
0 sin sin t
r
r
v n
v n
n
n
2
2
sin cos cos t
cos t
r
r
v n
v n
1 1 cos t sin t sin n
r
r
0
v
v n
n n
n n
n
n
1 1 sin t cos cos t
0
RO t R A t
r
r
0
1 1 sin v t n sin n sin v t n cos n
r
r
v n
v
v
v
sin t1 cos t 2n cos t1n sin t 2n sin n sin v t 2n t1n sin n
r
r
r
r
r
v n
v n
v n
v n
v n n
v
n
n n
n n
n
RO t1 RO t 2 cos t1 sin t 2 sin t1 cos t 2 cos sin t 2 t1 cos n sin t 2n t1n R Achse
r
r
r
r
r
r
0
v
v n
1 1* sin t1 sin n sin t 2n cos n
r
r
v
v
v
v
cos t1n sin t 2n sin t1n cos t 2n sin n sin v t 2n t1n sin n
r
r
r
r
r
v n
v n
v n
v n
v n n
v
n
n n
n n
n
RV t1 RV t 2 sin t1 cos t 2 cos t1 sin t 2 cos sin t 2 t1 cos n sin t 2n t1n R Achse
r
r
r
r
r
r
0
v n
v n
n
n
1 1* sin t1 sin sin t 2 cos
r
r
v n
v
v
v
sin t1 cos t 2n cos t1n sin t 2n sin n sin v t 2n t1n sin n
r
r
r
r
r
v n
v n
v n
v n
v n n
v
n
n n
n n
n
R A t1 R A t 2 cos t1 sin t 2 sin t1 cos t 2 cos sin t 2 t1 cos n sin t 2n t1n R Achse
r
r
r
r
r
r
0
v n
v n
n
n
1 1* sin t1 sin sin t 2 cos
r
r
Ich habe zwar schon gezeigt, daß man den Impuls richtingsabhängig definieren müßte, doch die
Grundlage dafür war der elastische und der unelastische Stoß. Zu Untersuchungszwecken werde ich
mehrere Varianten für den Impuls verwenden. Ich nehme einmal die ursprüngliche relativistische
Definition und die korrigierte relativistische Definition. Für die Kraft gibt es 2 Alternativen. Die
Ableitung des Impulses nach der Zeit und die Multiplikation der Masse mit der Beschleunigung. Ich will
mit diesen verschiedenen Varianten überprüfen, welche Ergebnisse am besten zusammenpassen.
t C
t m VRKF
t C
PUn t n m n v V n t n m n v v RVn t n
n
PKn
n
n
n
n0
O
FKn t n
n
mv R
RKFOn 0
n
d n n
d
d
v2
P t n m n v V n t n m n v n V n t n m n v A n t n m n v R An t n
n U
dt
dt
dt
r
v2
n
n n
n
n n
n n
m v A t m v R A t FU t
r
d
d
m C n RKFOn 0 n V n t n V n t n n RKFOn 0
d n n
d m V n t n C n
dt
dt
n PK t n
2
dt
dt
RKFOn 0
RKFOn 0
FUn t n
FAn t n
n
V
d n n
V t , VIn0
v2
dt n
n0
n n
n n
m C RKFO R A t v RV t
r
c2
2
RKFOn 0
d
m C n RKFOn 0 An t n v RVn t n n
dt
2
RKFOn 0
n
n
n
, VI 0
1 V t
c2
n
v2
R An t n , VIn0
2
r
v
n
n0
n n
n n
m C RKFO R A t v RV t
r
c2
2
RKFOn 0
A n t n , VIn0
v2
m C n RKFOn 0 R An t n v RVn t n
r
c2
2
RKFOn 0
mCn
R An t n , VIn0
v 2
RKFOn 0 R An t n v RVn t n
r
c2
2
RKFOn 0
v2
m C n
r Rn tn
FK
n0 2
RKFO
FK ist etwas unhandlich. Deshalb werde ich in diesem Fall den Flug des Raumschiffs nur in I0 betrachten.
Dann gilt:
PK0 t 0
m V 0 t 0 C 0 m v RV0 t 0 C 0
m v RV0 t 0 C 0
RKFO00
1
FK0 t 0
d 0 0
d m V 0 t 0 C 0
d
v2
m C 0 0 V 0 t 0 m C 0 A 0 t 0 m C 0 R A0 t 0
PK t 0
0
00
r
dt
dt
RKFO
dt
In einigen Fällen taucht Cn bzw. C0 auf. Dies ist eine Inertialsystemabhängige Konstante, da die neue
Definition des relativistischen Impulses nicht eindeutig war.
In den Berechnungen tauchen insgesamt 4 verschiedene Richtungen auf. Mit Hilfe des Vektorprodukts
erhalte ich immer einen Vektor, der genau senkrecht auf den anderen beiden Vektoren steht. Sind 2
Richtungen gleich, dann ist das Vektorprodukt der 0-Vektor. Das trifft in diesem Fall auf die Richtung
des Ortsvektors und des Beschleunigungsvektors zu. Als nächstes möchte ich Winkel betrachten. Es gilt:
sin a, b
ab
ab
cosa, b
a, b
a
a, a
ab
Hier berechne ich die Winkel zwischen 2 verschiedenen Zeitpunkten t1 und t2 von verschiedenen
Richtungen:
v
v
v
v
v
ROn t n sin 2 t n cos 2 n sin 2 t n sin 2 n cos 2 t n sin 2 t n cos 2 n sin 2 n cos 2 t n
r
r
r
r
r
v
v
sin 2 t n cos 2 t n 1 1
r
r
v
v
v
v
v
RVn t n cos 2 t n cos 2 n cos 2 t n sin 2 n sin 2 t n cos 2 t n cos 2 n sin 2 n sin 2 t n
r
r
r
r
r
v
v
cos 2 t n sin 2 t n 1 1
r
r
v
v
v
v
v
R An t n sin 2 t n cos 2 n sin 2 t n sin 2 n cos 2 t n sin 2 t n cos 2 n sin 2 n cos 2 t n
r
r
r
r
r
v
v
sin 2 t n cos 2 t n 1 1
r
r
n
R Achse
t n sin 2 n cos 2 n 1 1
R t R t sin vr t
sin ROn t1n , ROn t 2n
n
O
n
1
n
O
n
2
n
2
v
v
n
n
t1n R Achse
sin t 2n t1n R Achse
sin t 2n t1n
r
r
R t R t sin vr t
n
2
n
v
v
n
t1n R Achse
sin t 2n t1n R Achse
sin t 2n t1n
r
r
R t R t sin vr t
n
2
n
v
v
n
t1n R Achse
sin t 2n t1n R Achse
sin t 2n t1n
r
r
sin RVn t1n , RVn t 2n
n
V
n
1
n
V
n
2
sin R An t1n , R An t 2n
n
A
n
1
n
A
n
2
cos ROn t1n , ROn t 2n
ROn t1n , ROn t 2n
v
v
v
v
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n sin t1n sin t 2n sin 2 n cos t1n cos t 2n
r
r
r
r
r
r
v
v
v n
v n
sin t1 sin t 2 cos 2 n sin 2 n cos t1n cos t 2n
r
r
r
r
v
v
v
v
v
v
v
sin t1n sin t 2n cos t1n cos t 2n cos t 2n t1n cos t 2n t1n
r
r
r
r
r
r
r
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n
r
r
v
n
n
cos t 2 t1
r
t ,
t
n
n
ROx
t1n ROx
t 2n
ROn
n
1
ROn
n
2
cos RVn t1n , RVn t 2n
RVn t1n , RVn t 2n
v
v
v
v
v
v
cos t1n cos t 2n cos 2 n cos t1n cos t 2n sin 2 n sin t1n sin t 2n
r
r
r
r
r
r
v n
v n
v n
v n
2
2
n
n
cos t1 cos t 2 cos sin sin t1 sin t 2
r
r
r
r
v
v
v
v
v
v
v
cos t1n cos t 2n sin t1n sin t 2n cos t 2n t1n cos t 2n t1n
r
r
r
r
r
r
r
v n
v n
cos t1 cos t 2 cos 2 n
r
r
v
n
n
cos t 2 t1
r
t ,
t
RVxn t1n RVxn t 2n
RVn
n
1
RVn
n
2
cos R An t1n , R An t 2n
R An t1n , R An t 2n
v
v
v
v
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n sin t1n sin t 2n sin 2 n cos t1n cos t 2n
r
r
r
r
r
r
v n
v n
v n
v n
2
2
n
n
sin t1 sin t 2 cos sin cos t1 cos t 2
r
r
r
r
v
v
v
v
v
v
v
sin t1n sin t 2n cos t1n cos t 2n cos t 2n t1n cos t 2n t1n
r
r
r
r
r
r
r
v n
v n
2
n
sin t1 sin t 2 cos
r
r
v
cos t 2n t1n
r
t ,
t
n
n
R Ax
t1n R Ax
t 2n
R An
n
1
R An
n
2
Diese geometrischen Berechnungen reichen mir erst mal. Für einen besseren Überblick fasse ich
berecheten Werte noch einmal zusammen:
O t
t
O t
n
x
n
y
n
z
O t
Sn
n
n
n
n
tn
v
r sin t n cos n
r
v n
r sin t sin n
r
v
r cos t n
r
tn
v
r sin t n cos n
r
v n
n n
O t r sin t sin n r ROn t n
r
v n
r cos t
r
v
v cos t n cos n
r
v n
n n
V t v cos t sin n v RVn t n
r
v n
v sin t
r
v2
v
sin t n cos n
r
r
v2
v2
v n
n n
A t sin t sin n RAn t n
r
r
r
v2
v n
cos t
r
r
sin n
R
n
Achse
n
O
n
n
V
n
R t R t cos n
0
n
R Achse
ROn t n RVn t n
n
R Achse
RVn t n R An t n
ROn t n RAn t n 0
0
0
2
d n n
v
PU t m n v R An t n
dt n
r
d 0 0
v2
0 0
0
FK t 0 PK t m C R A0 t 0
dt
r
v2
n n
n
n n
n
FA t m v A t m v R An t n FUn t n
r
RVn t n 1
PUn t n m n v V n t n m n v v RVn t n
0
PK0 t 0
0
0
m V t C
m v RV0 t 0 C 0
RKFO00
FUn t n
t sin vr t
ROn t n 1
sin ROn t1n , ROn
n
O
n
1
n
O
n
2
cos R t , R t
n
2
n
n
2 t1
v
cos t 2n t1n
r
sin RVn t1n , RVn
n
V
n
1
n
V
t sin vr t
n
2
cos R t , R t
n
2
n
n
2 t1
v
cos t 2n t1n
r
t sin vr t
R An t n 1
sin RAn t1n , R An
n
A
n
1
n
A
n
2
cos R t , R t
n
2
n
n
2 t1
v
cos t 2n t1n
r
k3) Die Berechnungen in Im
Jetzt betrachte ich mir die Ortsdaten, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Im, welches sich mit
der Geschwindigkeit vnm in In in x-Richtung bewegt. Dazu verwende ich die Formeln aus Satz 11 und 12:
v
r sin t n cos n v nm t n
r
wnm
v
r sin t n sin n
r
m n
S t
v n
r cos t
r
nm
v
v
t n 2 r sin t n cos n
c
r
wnm
v
r sin t n cos n v nm t n
r
w nm
v
Om t n
r sin t n sin n
r
v n
r cos t
r
v
v cos t n cos n v nm
r
1
v n
m n
V t v cos t sin n w nm
RKFOnm t n
r
v
v sin t n w nm
r
RKFOnm t n 1
v nm
v
v cos t n cos n
c2
r
2
Axm t n
v2
w nm
v
sin t n cos n w nm
r
r
RKFOnm t n
3
v2
v nm v 2
v
v
v
Aym t n sin t n sin n RKFOnm t n v cos t n sin n 2 sin t n cos n
r
r
r
c
r
r
nm
O
n
3
nm 2
nm
v2
v
v
v
sin t n sin n RKFOnm t n v cos t n 2 cos n
r
r
r
c
w
RKF t
v
w v sin v t sin w
v
sin t sin 1
r
r
RKF t r r
RKF t
t vr cos vr t RKF t v sin vr t vc vr sin vr t cos w
RKF t
w
v v
v
v
cos t RKF t v sin t
cos
r r
r
c
RKF t
w
v v
v
v
v
cos t v cos t sin t
cos
r r
r
r
c
RKF
t
w
v v
v
cos t v
cos
r r
c
RKF t
nm 2
2
n
n
nm
O
n
nm
O
n
n
3
nm
O
nm
n
2
n
nm
O
nm
O
n
3
n
2
2
n
nm 2
nm
2
3
n
2
n
n
nm 2
n
2
2
3
nm 2
n
2
nm
n
n
2
n
2
n
3
n
nm 2
n
2
n
nm
O
2
n
nm
O
Azm
nm 2
w
RKF t
nm
O
n
3
nm 2
nm
n
n
2
nm
O
3
n
v
sin t n cos n w nm
r
2
v2
w nm
v n
sin t sin n
r RKFOnm t n
r
v nm
v n
cos t v 2 cos n
c
r
Am t n
3
Als nächstes berechne ich die verschiedenen Varianten für die Impulse und die Kraft.
Wenn ich die Masse nach der ursprünglichen Relativitätstheorie übersetzen will, dann kann ich Satz 13
verwenden:
1
m m V m t n m n v
1
v2
c2
V m tn
2
m n v
RKFOnm t n
w nm
c2
Impuls und Kraft nach der ursprünglichen Relativitätstheorie:
v
v cos t n cos n v nm
r
1
v n
v cos t sin n w nm
m n v
RKFOnm t n
r
v
v sin t n w nm
r
PUm t n m m V m t n V m t n m n v
RKFOnm t n
w nm
v
v cos t n cos n v nm
r
w nm
v
v cos t n sin n
r
v n
v sin t
r
v
v cos t n cos n v nm
r
w nm
d
dt n
d
v
n PUm t n m m n v n
v cos t n sin n
dt
dt
dt
r
v n
v sin t
r
FUm t n
d m n
PU t
dt m
w nm
nm n
RKFO t
v2
v
v
sin t n cos n
sin t n cos n
r
r
r
w nm
w nm
v2
w nm
v2
w nm
v
v
m n v sin t n sin n
m n v sin t n sin n
nm n
r
r
RKFO t
RKFOnm t n
r
r
2
v
v
v
cos t n
cos t n
r
r
r
m n v
v2
w nm
m
RFUm
tn
r
RKFOnm t n
Ich berechne jetzt die 2. Alternative. Die Kraft als Multiplikation der Masse mit der Beschleunigung:
v
sin t n cos n w nm
r
2
v2
w nm
v
sin t n sin n
r
r
RKFOnm t n
v nm
v n
n
cos t v 2 cos
c
r
FAm t n m m v A m t n m n v
nm
O
nm
RKF
w
t
n
3
m
m n v RFAm
v2
w nm
r
RKFOnm t n
Als nächstes betrachte ich die Kraft als Ableitung des korrigierten Impulses:
v
v cos t 0 cos n v 0 m
r
m C m RKFO0 m t 0
v 0
n
0m
v
t
cos
sin w
0m 2
0m 0
r
RKFO t
w
v
v sin t 0 w 0 m
r
m
PKm t 0
0
m
m V
m V t C
RKFOm 0 t 0
m
0
0m
O
0
t C RKF t
w
m
0m 2
v
v cos t 0 cos n v 0 m
r
mCm
v 0
v cos t sin n w 0 m
2
r
w0m
v 0 0m
v sin t w
r
v
v cos t 0 cos n v 0 m
r
d m 0
d m 0 dt 0
d
v 0
m 0
FK t m PK t 0 PK t m 0 v cos t sin n w 0 m
dt
dt
dt
dt
r
v 0 0m
v sin t w
r
w0 m
0m 0
RKFO t
v
sin t 0 cos n
v2
v 0
n
r
sin t cos
r
v2
r
w0m
m C m RKFOm 0 t 0
m
m0 0
m
C
RKF
t
v2
v
v
O
r
sin t 0 sin n w0 m
sin t 0 sin n
3
2
r
r
r
w0 m
w0m
v2
v 0
v 0 0m
cos t
cos t w
r
r
r
mCm
v2
RKFOm 0 t 0
m
r
RFKm
t0
2
w0m
2
k4) Die Übersetzungen von Richtungen, Längen und Winkeln.
Als nächstes werde ich die verschiedenen Richtungen übersetzen. Um die Richtung beschreiben zu
können, muß ich einen Anfangspunkt und einen Endpunkt in der Raumzeit festlegen. Die Richtung der
Geschwindigkeit ist kein Teil der Bahnkurve, sondern eine Tangente an die Kurve zu einem bestimmten
Zeitpunkt. Auch die Beschleunigung ist kein Teil der Bahnkurve, sondern zeigt nur an, in welcher
Richtung zu einem bestimmten Zeitpunkt eine Geschwindigkeitänderung stattfindet. Es sind Vektoren,
die einem Punkt der Bahnkurve zugeordnet werden. Es sind Richtungen im System des Beobachters.
Deshalb müssen die Anfangs- und Endpunkte für den Beobachter ruhen. Es spielt keine Rolle, welcher
Anfangspunkt gewählt wird, denn ich muß nach der Übersetzung aus den Raum-Zeit-Koordinaten wieder
Richtungen machen. Bei der Differenz wird die Verschiebung dann addiert und subtrahiert. Diese
Veränderung ist dann =0. Also kann ich auch den einfachsten Anfangspunkt wählen. Den
Koordinatenursprung. Dadurch erhalte ich die Rechenergebnisse aus Abschnitt k1).
w sin
nm
m
t n
R Achse
n
v
v
v
wnm sin t n cos n
w nm sin t n cos n
wnm cos t n cos n
r
r
r
v
v
v
sin t n sin n
ROm t n
sin t n sin n
RVm t n
cos t n sin n
R Am t n
r
r
r
v n
v n
v n
cos t
sin t
cos t
r
r
r
cos n
0
Da die Richtung des Impulses die Richtung der Geschwindigkeit ist und die Richtung der Kraft die
Richtung der Beschleunigung ist, brauche ich keine weiteren Berechnungen für die Richtungen
durchzuführen.
Als nächstes berechne ich die Längen, den cos und den sin der Winkel der übersetzten Richtungen:
nm 2
m
O
R
t 1 vc
m
V
n
V
R
t 1 vc
n
A
t 1 vc
R t
n
n
O
n
2
nm 2
R t
n
m
A
n
n
2
nm 2
R
R t
n
2
v
sin 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 1 2
n n
c
RO t
2
v
cos 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 1 2
n n
c
RV t
2
v
sin 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 1 2
n n
c
RO t
2
v
sin 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 2
1
c
2
v
cos 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 2
1
c
2
v
sin 2 t n cos 2 n
v nm
r
1 2
1
c
v
sin 2 t n cos 2 n
r
v
cos 2 t n cos 2 n
r
2
v
sin 2 t n cos 2 n
r
Hier haben sich die Längen der Richtungen verändert. Und zwar in jeder Richtung unterschiedlich. Nur
gleiche Richtungen führen zu einer gleichen Veränderung, wie es zwischen Abstand der Flugbahn zum
Mittelpunkt und Beschleunigung der Fall ist.
2
R t R t
1
R t R t
n
O
n
O
n
1
n
1
n
O
n
O
n
2
x
n 2
2
2
R t R t
1
R t R t
n
V
n
V
n
1
n
1
n
V
n
V
n
2
x
n 2
2
2
R t R t
1
R t R t
n
A
n
A
n
1
n
1
n
A
n
A
n
2
x
n 2
2
2
v
n
sin 2 t 2n t1n R Achse
x
r
1
1 sin 2 n cos 2 n
2
2 v
n
n
n
sin t 2 t1 R Achse
r
2
v
n
sin 2 t 2n t1n R Achse
x
r
1
1 sin 2 n cos 2 n
2
2 v
n
n
n
sin t 2 t1 R Achse
r
2
v
n
sin 2 t 2n t1n R Achse
x
r
1
1 sin 2 n cos 2 n
2
2 v
n
n
n
sin t 2 t1 R Achse
r
2
R n t n ROn t 2n x
1 O 1
2
c
ROn t1n ROn t 2n
n
n 2
n
nm 2
R t
R tn
v
Ox 1 2 1
Ox 2
2
c
ROn t1n
ROn t 2n
nm 2
t
v
1 c
1
sin R t ,
sin ROm t1n , ROm t 2n
n
O
n
1
ROn
n
2
v
2
nm 2
2
2
2
nm 2
v
sin t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
1
v
2
cos 2 n
1 vc
c2
v
sin 2 t1n cos 2
r
nm 2
n
2
v
sin 2 t 2n cos 2 n
r
2
R n t n RVn t 2n x
1 V 1
2
c
RVn t1n RVn t 2n
n
n 2
n
nm 2
R t
R tn
v
Vx 1 2 1 2 Vx 2
c
RVn t1n
RVn t 2n
nm 2
t
v
1 c
1
sin R t ,
sin RVm t1n , RVm t 2n
n
V
n
1
RVn
n
2
v
2
nm 2
2
2
2
nm 2
v
sin t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
v
1
2
v
cos 2 t1n cos 2
r
cos 2 n
1 vc
c2
nm 2
n
2
v
cos 2 t 2n cos 2 n
r
2
R n t n R An t 2n x
1 A 1
2
c
R An t1n R An t 2n
n
n 2
n
nm 2
R t
R tn
v
Ax 1 2 1 2 Ax 2
c
R An t1n
R An t 2n
nm 2
t
v
1 c
1
sin R t ,
sin R Am t1n , R Am t 2n
n
A
n
1
R An
n
2
v
nm 2
2
2
2
2
nm 2
v
sin t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
1
v
2
v
sin 2 t1n cos 2
r
cos 2 n
1 vc
c2
nm 2
n
2
v
sin 2 t 2n cos 2 n
r
nm 2
1
cosR t ,
cos ROm t1n , ROm t 2n
n
O
v
c
n
1
ROn t 2n
v nm
1 c 2
2
ROn t1n , ROn t 2n
2
R t
R t
n
Ox
n
1
n
O
n
1
n
n
ROx
t1n ROx
t 2n
2
2
2
v nm
1 c 2
2
n
Ox
n
2
n
O
n
2
2
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n
r
r
c2
v n n
cos t 2 t1
r
nm 2
v
v
v
sin 2 t1n cos 2 n 1 2 sin 2 t 2n cos 2 n
c
r
r
nm 2
v
1
v
cos t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
2
nm
1 v
c2
2
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n
r
r
nm 2
v
v
v
sin 2 t1n cos 2 n 1
sin 2 t 2n cos 2 n
2
c
r
r
nm 2
cosR t ,
n
V
2
1
cos RVm t1n , RVm t 2n
nm
v
v
cos t 2n t1n
c2
r
R t
R t
c
n
1
v
RVn t 2n
v nm
1 c 2
2
n
V
R
2
n
V
n
1
n
V
t
R
n
2
2
2
R t
R t
2
n
1
n
1
v nm
1 c 2
R t
R t
n
Vx
t ,
RVxn t1n RVxn t 2n
2
n
Vx
n
2
n
V
n
2
2
v
v
cos t1n cos t 2n cos 2 n
r
r
c2
v
n
n
cos t 2 t1
r
nm 2
v
v
v
cos 2 t1n cos 2 n 1
cos 2 t 2n cos 2 n
2
r
c
r
nm 2
v
1
v
cos t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
2
nm
1 v
c2
2
v
v
cos t1n cos t 2n cos 2 n
r
r
2
v nm
2 v
n
2
n
2 v
cos t1 cos 1 2 cos t 2n cos 2 n
c
r
r
nm 2
cosR t ,
n
A
2
1
cos R Am t1n , R Am t 2n
nm
v
v
cos t 2n t1n
c2
r
v
c
n
1
R An t 2n
v nm
1 c 2
2
2
R An t1n , R An t 2n
2
R t
R t
n
Ax
n
1
n
A
n
1
n
n
R Ax
t1n R Ax
t 2n
2
v nm
1 c 2
2
2
R t
R t
n
Ax
n
2
n
A
n
2
2
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n
r
r
c2
v n n
cos t 2 t1
r
nm 2
v
v
v
sin 2 t1n cos 2 n 1 2 sin 2 t 2n cos 2 n
c
r
r
nm 2
v
1
v
cos t 2n t1n
nm
r
1 v
c2
2
nm
1 v
c2
2
2
nm
v
v
cos t 2n t1n
c2
r
v
v
sin t1n sin t 2n cos 2 n
r
r
nm 2
v
v
v
sin 2 t1n cos 2 n 1
sin 2 t 2n cos 2 n
2
c
r
r
k5) Die Auswertung der Formeln.
Hier habe ich noch mal die Rechenergebnisse für einen Vergleich zusammengefaßt:
v
r sin t n cos n v nm t n
r
w nm
v
r sin t n sin n
r
m n
S t
v n
r cos t
r
nm
v
v n
n
t 2 r sin t cos n
c
r
w nm
v
r sin t n cos n
r
v n
r sin t sin n
r
v
r cos t n
r
tn
S n tn
RKFOnm t n 1
v nm
v
v cos t n cos n
c2
r
v
r sin t n cos n
r
v n
n n
O t r sin t sin n
r
v n
r cos t
r
n n
O t r ROn t n
v
r sin t n cos n v nm t n
r
w nm
v n
m n
O t
r sin t sin n
r
v n
r cos t
r
v
sin t n cos n
r
v n
n n
RO t sin t sin n
r
v n
cos t
r
v
w nm sin t n cos n
r
v n
m n
RO t
sin t sin n
r
v n
cos t
r
v
v cos t n cos n
r
v
v cos t n sin n
r
v n
v sin t
r
v RVn t n
v
v cos t n cos n v nm
r
1
v n
v cos t sin n w nm
RKFOnm t n
r
v
v sin t n wnm
r
V n tn
V n tn
v
cos t n cos n
r
v
RVn t n cos t n sin n
r
v n
sin t
r
v
w nm cos t n cos n
r
v n
m n
RV t
cos t sin n
r
v n
sin t
r
v2
v
sin t n cos n
r
r
v2
v n
n n
A t sin t sin n
r
r
v2
v n
cos t
r
r
v2
n n
n n
A t RA t
r
v
sin t n cos n wnm
r
2
v2
w nm
v n
m n
sin t sin n
A t
r RKFOnm t n
r
v nm
v n
n
cos t v 2 cos
c
r
v
sin t n cos n
r
v n
sin t sin n
r
v n
cos t
r
v
w nm sin t n cos n
r
v n
sin t sin n
r
v
cos t n
r
V m tn
R An t n
3
R Am t n
Ein Richtungsvergleich bei Impulsen ist nicht sinnvoll, da ich den Impuls des Raumschiffs wegen der
Masse nicht relativ definieren kann. Der Mittelpunkt, den das Raumschiff umkreist hat nichts mit der
Masse zu tun. Aber die Richtungen der Kräfte können miteinander verglichen werden.
v
sin t n cos n
r
v n
n n
RA t sin t sin n
r
v
cos t n
r
v
wnm sin t n cos n
r
v n
sin t sin n
r
v
cos t n
r
v n
sin t cos n
r
w nm
v
sin t n sin n
r
v n
cos t
r
RAm t n
FUn t n m n v
v2
RAn t n
r
FUm t n m n v
v2
w nm
m
RFUm
tn
r
RKFOnm t n
m
RFUm
tn
v
sin t n cos n w nm
r
v n
m
sin t sin n
RFAm
r
v nm
v n
cos t v 2 cos n
c
r
v
sin t 0 cos 0
r
w0 m
v
m
RFKm
t 0 sin t 0 sin 0
r
v 0
cos t
r
2
FAn t n m n v
v
RAn t n
r
2
FAm t n m n v
nm
v
w
r RKFOnm t n
2
m
RFAm
2
v2
F t m C RA0 t 0
r
0
K
0
0
m C m
m
K
F t
v
RKFOm 0 t 0
m
r
RFKm
t0
0m 2
w
0
n
n
A
n
R t R t 0
R
m
Achse
t
n
cos
0
t cos R
sin
n
n
V
R t R
n
n
n
w sin
cos
R
t
cos
sin n
n
Achse
m
O
n
m
V
n
w
R t R t
0
nm
nm
n
RAchse
ROn t n RVn t n
0
n
m
Achse
n
0
v
v
w nm cos t n cos n
cos n cos t n
r
r
v n
v n
m
m n
nm
n
RAchse RO t w sin cos t
RVm t n
cos t sin n
r
r
v
v
wnm sin t n
sin t n
r
r
v n
v n
n
nm
cos sin t
w sin t cos n
r
r
v n
v n
m
m n
nm
n
RAchse RV t w sin sin t
sin t sin n
R Am t n
r
r
v
v
wnm cos t n
cos t n
r
r
n
RAchse
RVn t n RAn t n
n
n
n
0
n
O
wnm sin n
0
n
O
sin n
R
n
Achse
n
O
n
n
V
R t R
t cos
n
n
w nm sin n
R
m
Achse
cos
t
n
n
0
0
0
n
ROn t n RVn t n
RAchse
n
RVn t n R An t n
R Achse
ROn t n R An t n 0
0
t C
PUn t n mv V n t n mv v RVn t n
0
PK0 t 0
0
m V
RKFO00
0
m v RV0 t 0 C 0
d n n
v2
P t mv RAn t n
n U
dt
r
d 0 0
v2
0 0
0
FK t 0 PK t m C R A0 t 0
dt
r
v2
n n
n n
FA t mv A t mv R A t n FUn t n
r
RVn t n 1
FUn t n
t sin vr t
ROn t n 1
sin ROn t1n , ROn
n
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n
1
n
O
n
2
cos R t , R t
n
2
n
n
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v
cos t 2n t1n
r
sin RVn t1n , RVn
n
V
n
1
n
V
t sin vr t t
n
2
cos R t , R t
n
2
n
2
n
1
v
cos t 2n t1n
r
t sin vr t
R An t n 1
sin R An t1n , R An
n
A
n
1
n
A
n
2
cos R t , R t
n
2
n
n
2 t1
v
cos t 2n t1n
r
Jetzt vergleiche ich die übersetzten Richtungen mit den korrekten Übersetzungen. Dabei muß ich
beachten, daß die Ortsrichtung aus der Differenz zwischen Mittelpunkt und Flugbahn ermittelt wurde.
Auch die Geschwindigkeit ist eine Differenz zwischen der Geschwindigkeit der Flugbahn und der
Geschwindigkeit des Mittelpunks der Flugbahn. Da der Mittelpunkt der Flugbahn keiner Beschleunigung
unterworfen ist, kann die Richtung der Beschleunigung direkt verglichen werden.
Die Richtungen, emittelt aus den Übersetzungen:
tm
n
nm
t
w
tn
v nm
v
r sin t n cos n
c2
r
wnm
tn t n
v nm
v
r sin t n cos n
c2
r
2
v nm
v
v
v
r sin t n cos n v nm t n tn
r sin t n cos n 2 r sin t n cos n
r
r
c
r
wnm
w nm
v
v
r sin t n sin n
r sin t n sin n
r
r
v n
v n
r cos t
r cos t
r
r
S xm t n Rmx t n
t R t
S ym t n Rmy t n
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n
m
z
n
w r sin vr t
nm 2
n
n
cos
v
w nm sin t n cos n
r
wnm
v n
v n
n
r sin t sin
r sin t sin n
r ROm t n
r
r
v
v
r cos t n
cos t n
r
r
In diesem Fall wird sowohl die Richtung als auch die Entfernung korrekt übersetzt.
v
V m tn
nm
0
0
v
v cos t n cos n v nm v nm RKFOnm t n
r
1
v
v cos t n sin n wnm
nm n
r
RKF
t
O
v n nm
v sin t w
r
2
v nm
v
v
v cos t n cos n 2 v cos t n cos n
c
r
r
1
v n
n
nm
v cos t sin w
nm n
r
RKF
t
O
v n nm
v sin t w
r
w v cos vr t
v
n
n
wnm cos t n cos n
cos
r
v w nm
v w nm
1
v n
v n
n
nm
v cos t sin w
RVm t n
cos t sin n
nm n
nm n
RKFO t
RKFO t
RKFOnm t n
r
r
v
v
v sin t n wnm
sin t n
r
r
nm 2
In diesem Fall wird die Richtung korrekt übersetzt. Aber die Geschwindigkeit verändert sich
richtungsabhängig. Das sieht man, wenn man die Richtungen vergleicht:
v nm
m
n
V t
0
RVm t n
0
0
v w nm
RKFOnm t n
V n t n 0 RVn t n v
0
Das war eine direkte Konsequenz aus der Übersetzung der Lorentz-Transformationsformel, die ich schon
in Satz 7 bewiesen habe. Die Beschleunigung sah aber ziemlich kompliziert aus. Ich konnte sie nur mit
Hilfe neuer Ableitungsregeln definieren. In diesem Fall ist die Beschleunigung des übersetzten
Mittelpunkts =0. Also brauche ich hier keine keine Übersetzung durchzuführen, sondern kann mir die
Übersetzung direkt ansehen:
v
sin t n cos n w nm
r
2
v2
w nm
v
sin t n sin n
r
r
RKFOnm t n
v nm
v n
n
cos t v 2 cos
c
r
Am t n
3
2
v2
w nm
r RKFOnm t n
3
R Am
v
w nm sin t n cos n
r
v n
m n
RA t
sin t sin n
r
v n
cos t
r
An t n
v2
R An t n
r
Die übersetzte Richtung der Beschleunigung stimmt in der z-Komponente nicht mit der Richtung der
Beschleunigung überein. Die Richtung der Beschleunigung kann nicht übersetzt werden oder ich darf in
der Relativitätstheorie keine Ableitungen verwenden. Auf eine Sache muß man verzichten. Das ist
eigentlich ein physikalisches Problem. Je nachdem, welche Wahl ich treffe, davon hängt die
Relativitätstheorie der Zukunft ab.
Wenn ich die Relativitätstheorie als ein Meßsystem betrachten will, mit dem ich Untersuchungen
durchführe, dann muß ich als Beobachter die Untersuchungen in Im durchführen können und nicht in dem
Inertialsystem, in dem der Äther ruht solange ich dieses System nicht kenne. Also muß ich die
Beschleunigung in Im berechnen können. Den Übersetzungen der Richtung der Beschleunigung kann ich
dann nicht mehr vertrauen.
Bei Beschleunigungen geht es nur um die Beobachtung. Bei Kräften geht es um die Ursache
physikalischer Phänomene. Da muß ich viel strengere Maßstäbe setzen. Deshalb habe ich verschiedene
Strategien betrachtet, wie man die Kräfte definieren könnte. Dies geschah in der Hoffnung, daß es
vielleicht eine Kraftdefinition geben könnte, bei der die Richtung der Kraft übersetzt werden könnte.
Da bei allen Berechnungen in dem Inertialsystem, in dem der Mittelpunkt der Kreisbahn des Raumschiffs
im Koordinatenursprung ruht, die Richtung der Kraft mit der Richtung der Beschleunigung identisch war,
vergleiche ich auch hier die Kräfte direkt miteinander:
v
sin t n cos n
r
v n
n n
RA t sin t sin n
r
v n
cos t
r
v
wnm sin t n cos n
r
v n
sin t sin n
r
v n
cos t
r
v n
sin t cos n
r
w nm
v
sin t n sin n
r
v n
cos t
r
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FUn t n m n v
v2
RAn t n
r
FUm t n m n v
v2
w nm
m
RFUm
tn
r
RKFOnm t n
m
RFUm
tn
v
sin t n cos n w nm
r
v n
m
sin t sin n
RFAm
r
v nm
v n
cos t v 2 cos n
c
r
v 0
sin t cos 0
r
w0 m
v
m
RFKm
t 0 sin t 0 sin 0
r
v 0
cos t
r
FAn t n m n v
v2
RAn t n
r
FAm t n m n v
v2
wnm
r RKFOnm t n
2
m
RFAm
v2
FK0 t 0 m C 0 RA0 t 0
r
m C m
FKm t 0
v2
RKFOm 0 t 0
m
r
RFKm
t0
2
w0 m
Dort, wo ich die Ableitung des Impulses verwendet habe, wird die x-Koordinate falsch berechnet. Das ist
die Bewegungsrichtung des Inertialsystems. Anstatt mit wnm zu multiplizieren, wird dadurch geteilt. Aber
wenn ich die Masse mit der Beschleunigung multipliziere, bekomme ich ebenfalls keine korrekte
Übersetzung. In der z-Koordinate taucht noch ein zusätzlicher Summend auf. Bei keiner der von mir
gewählten Möglichkeiten kommt die Übersetzung der Kraft zum gleichen Ergebnis wie die Berechnung.
Als die Anhänger der Relativitätstheorie erkannten, daß FA und FU unterschiedliche Lösungen lieferten,
haben sie sich entschieden, daß die Kraft die Ableitung des Impulses nach der Zeit sein soll. Sie hätten
auch die andere Wahl treffen können. Mit Hilfe der Übersetzung gibt es jetzt eine 3. Wahl. Von den 3
Möglichkeiten kann aber nur eine die Physik korrekt beschreiben. Aber welche?
Ich versuche die Anhänger der Relativitätstheorie mal ernst zu nehmen. Dann ist die Kraft die Ableitung
des Impulses nach der Zeit. Dann darf keine Übersetzung der Kraft durchgeführt werden. Aber nicht alle
Kräfte können als die Ableitung des Impulses nach der Zeit beschrieben werden. Es gibt auch Kraftfelder.
Die Anhänger der Relativitätstheorie haben bereits erkannt, daß Kraftfelder mit der Relativitätstheorie
nicht zu vereinbaren sind. Man muß den Kraftfeldern einen Bewegungszustand zuordnen. Dann
funktioniert die Theorie. So wurde es mir zumindest von einem Anhänger der Relativitätstheorie erklärt.
Aber wenn man das macht, darf man nicht die Richtung der Kräfte übersetzen. Macht man das trotzdem,
dann würden Naturgesetze entstehen, die vom Beobachter abhängen. Wenn das Raumschiff von einem
Kraftfeld angetrieben wird, bei der die Kräfte, die eine Beschleunigung bewirken, genau so groß sind, wie
die Kraft des Kraftfelds an dem Ort, an dem sich das Raumschiff befindet, dann gilt das nur in diesem
einen Inertialsystem, weil in unterschiedlichen Inertialsystemen bei der Berechnung der Kraft und der
Übersetzung der Kraft unterschiedliche Formelanpassungen verwendet werden.
Es gibt aber noch andere Kräfte, für die es keine relativistischen Formeln gibt. Was ist mit Kräften, die
eine Spannung oder einen Druck erzeugen? Was ist mit Haftreibung, Gleitreibung und Rollreibung? Wie
müssen die Kräfte aufgeteilt werden, wenn nur ein Teil der Kraft einen Druck erzeugt und der andere Teil
eine Gleitreibung, eine Haftreibung oder eine Rollreibung erzeugt?
Dafür ist es wichtig zu wissen, welcher Anteil der Kraft senkrecht auf der Oberfläche ist. Oder muß man
vielleicht einen anderen Winkel wählen? Und wenn ja: Welchen?
Wie soll man die Kräfte relativistisch beschreiben in der Technik? Was ist mit dem Explosionsdruck bei
einer plötzlichen Veränderung des Aggregatszustands? So etwas könnte für einen Raketenantrieb
verwendet werden. Und sollten wir jemals zu anderen Sonnensystemen reisen wollen, dann müssen wir
Geschwindigkeiten erreichen, die möglichst nahe an der Lichtgeschwindigkeit sind, wenn wir nicht
Jahrzehnte oder Jahrhunderte für die Reise zum nächsten Sonnensystem verwenden wollen. Dann müssen
wir ganz genau wissen, wie die Technik funktioniert. Wenn wir dann die falsche Wahl getroffen haben,
dann könnten Kräfte entstehen, die das Raumschiff während des Fluges plötzlich auseinander reißen. Und
niemand würde das mitkriegen, denn wenn die Raumfahrer nicht zurückkommen, würden die
zurückgebliebenen denken, daß das an der Zeitdilatation liegt und wir vielleicht noch jehrhunderte lang
auf die Rückkehr der Raumfahrer warten müssen, für die nur ein paar Jahre vergangen sind.
Wenn Kräfte nicht einheitlich definiert werden können, würde noch ein weiteres Problem entstehen. Die
ganze Physik, für deren Berechnung die Kenntnisse der Kräfte benötigt werden, steht dann auf dem Spiel.
Was ist zum Beispiel mit der Energie? Wenn die kinetische Energie das Integral der Kraft über den Weg
ist, dann muß ich die richtige Kraft verwenden. Da könnte ich die Kraft nehmen, die als Ableitung des
Impulses über die Zeit berechnet wird. Ich könnte auch die Pendeluhr betrachten, bei der die Kraft durch
das Gravitationsfeld erzeugt wird. Die kinetische Energie kann dann als Umwandlung von potentieller
Energie in kinetische Energie berechnet werden. Bei einer Betrachtung in einem anderen Inertialsystem
könnten sich die Energien voneinander unterscheiden wenn beide unterschiedliche Berechnungsmethoden
verwenden.
Gerade diese Fragen haben dazu geführt, daß ich mehrere Wochen lang keinen Blogartikel mehr
geschrieben habe, weil ich erst die Ursache für die Probleme, auf die ich gestoßen bin, herausfinden
wollte.
Die Beschleunigung und die Kraft zeigen, daß Richtungen im allgemeinen nicht übersetzt werden
können, wenn man nicht andere Teile aus der Relativitätstheorie aufgeben will. Die Übersetzungen mit
Hilfe des Vektorprodukts und des Skalarprodukts zeigen, daß sich Winkel bei einer Übersetzung
verändern. Deshalb kann man eine Richtung, die mit dem Vektorprodukt berechnet wurde, nicht
übersetzen. Das Vektorprodukt wird an verschiedenen Stellen in der Physik verwendet. Wenn man für die
physikalische Betrachtung senkrechte Richtungen braucht oder bei der Rotation. Die Berechnungen mit
Hilfe der relativistischen Formeln sind problematisch. Es kann einem passieren, was man am
Vektorprodukt erkennen kann, daß das Ergebnis einer Berechnung nicht mehr übersetzt werden darf, weil
durch die Berechnung eine Abhängigkeit vom Inertialsystem entsteht. Macht man es trotzdem, dann
können Widersprüche erzeugt werden.
l) Kräfte in der Relativitätstheorie
Die Relativitätstheorie ist weitgehend stabil, solange man nur konstante Geschwindigkeiten betrachtet.
Aber man muß auch untersuchen können, ob die Relativitätstheorie stabil ist, wenn Beschleunigungen
auftauchen, denn erst dann kann man anfangen Kräfte zu beurteilen. Die Übersetzung der
Beschleunigungen sieht schon reichlich kompliziert aus. Um die Stabilität von beschleunigten Systemen
beurteilen zu können, habe ich mir deshalb das einfachste System angesehen, welches ich mir vorstellen
konnte. Ich habe es in Abschnitt i) berechnet.
In der klassischen Theorie gab es folgende Zusammenhänge:
m
m
Schwerpunkt : Spt mi mi si t
i 1
i 1
m
m
Impuls :
pGesamt t mi vi t pi t
Kraft :
FGesamt t mi ai t Fi t
i 1
m
i 1
m
i 1
m
m
i 1
m
m
m
d
d
d
Spt mi mi si t mi si t mi vi t pi t pGesamt t ,
dt
dt
i 1
i 1
i 1
dt i 1
i 1
m
m
m
m
d
pGesamt t d mi vi t mi d vi t mi ai t Fi t FGesamt t
dt
dt i 1
dt
i 1
i 1
i 1
Abschnitt i) hat aber gezeigt, daß der relativistische Gesamtimpuls nur dann die Ableitung des
relativistischen Schwerpunks ist, wenn jedes einzelne Objekt in einem Inertialsystem ruht. Außerdem
kann weder der Schwerpunkt noch der Gesamtimpuls relativistisch übersetzt werden. Dann sollte man
sich auch mal die Frage stellen, ob es wirklich sinnvoll ist, wenn die Kraft die Ableitung des Impulses
nach der Zeit ist. Schließlich wird die Ableitungsstruktur durch den relativistischen Korrekturfaktor
zerstört. Deshalb gibt es auch 2 Möglichkeiten, die Kraft zu definieren:
F n t n m a n t n
d
ii ) F n t n n p n t n
dt
i)
In den Abschnitten k1) bis k4) habe ich ein Gedankenexperiment durchgeführt, bei dem ein Raumschiff
in einer exakten Kreisbahn flog.
Das Ergebnis zeigte, daß nicht einmal die Richtungen der Kräfte korrekt übersetzt werden können. Man
ist also darauf angewiesen, daß man von den 2 verschiedenen Möglichkeiten die richtige Wahl trifft.
Kräfte werden in sehr vielen verschiedenen Varianten verwendet, die alle aufeinander abgestimmt worden
sind. Wenn man zum Beispiel den Auflagedruck betrachtet, dann kann man die Kraft nicht als Ableitung
des Impulses nach der Zeit verwenden. Aber man kann die Erdbeschleunigung zur Berechnung
verwenden. Außerdem gibt es sehr viele physikalische Gesetze in denen die Kraft verwendet wird, für die
aber keine relativistische Formeln definiert wurden. Wenn ich da an die Erklärungen aus der Literatur
denke, dann wird immer wieder die gleiche Ausrede benutzt. Bei kleinen Geschwindigkeiten stimmt die
Relativitätstheorie in sehr guter Näherung mit der klassischen Theorie überein. Bei den kleinen
Geschwindigkeiten werden keine relativistischen Lösungen benötigt. Deshalb wurden auch keine
Lösungen definiert. Wozu das führen kann möchte ich Ihnen an einem Beispiel erläutern.
l1)
Der relativistische Druck
In der klassischen Theorie gibt es für den Druck folgende Formel:
p
F
A
p: Druck
A: Fläche
F: Normalkraft (Senkrecht auf der Fläche)
Betrachten Sie sich einmal folgende Graphik:
F
FG N
FH
Auf einer schrägen Fläche gibt es eine Gewichtskraft FG, die vektoriell aufgeteilt werden kann in die
Normalkraft FN, die für den Auflagedruck benötigt wird und die Hangabtriebskraft FH, die das gelbe
Gewicht seitlich verschieben will. Das einzige, was das verhindern kann, ist die Haftreibung. Solange die
Haftreibung größer als diese Kraft ist, bleibt das Gewicht liegen.
Natürlich brauche ich kein Gravitationsfeld, um einen Druck zu erzeugen. Ich kann auch einfach 2
Objekte mit einer Spannvorrichtung zusammendrücken. Damit es keine seitlichen Kräfte gibt, muß ich
dafür sorgen, daß die Auflagefläche genau Senkrecht zur Kraftrichtung liegt. Auch wenn die eine Kraft
durch die Gravitation und die andere durch eine Spannvorrichtung erzeugt wird, so sind sie doch
aufeinander abgestimmt worden. Zum Beispiel durch die Längenveränderung einer Feder, die einmal
durch ein Gewicht mit Gravitation zusammengedrückt werden kann, oder die durch eine
Spannvorrichtung zusammengedrückt werden kann. Um keine Probleme mit Kraftfeldern zu bekommen,
verwende ich eine Spannvorrichtung in der Schwerelosigkeit. Dann kann ich natürlich auch beliebige
Übersetzungen in andere Inertialsysteme durchführen.
Die Richtung der Kraft steht senkrecht auf der Fläche. Dann kann man mit Hilfe des Vektorprodukts
einen Vektor erzeugen, der genau senkrecht auf der Fläche steht. Dazu muß ich erst mal 2 Vektoren
definieren, die eine Fläche aufspannen.
Jeder Vektor hat einen Anfang und ein Ende. Der Anfang und das Ende müssen in der Raum-Zeit
dargestellt werden. Die Differenz der räumlichen Koordinaten bilden dann einen 3-Dimensionalen
Vektor:
t ,
t
n
AAnfang
tn
x
A
n
Anfang
n
t
A
n
Anfang y
n
A Anfang
z
t
t
n
AEnde
tn
x
n
A
n
n
Ende
n
t
A
n
Ende y
n
Ende z
n
tn
n
n
n
Ende y
A
A t
n
A
t A
t A
t
t
n
n
AEnde
t n AAnfang
tn
x
x
n
n
AEnde
z
t
n
n
n
Anfang y
n
Anfang z
n
n
Damit der Vektor ein Bestandteil der Fläche A ist, muß man den Anfangspunkt und den Endpunkt in der
Fläche festlegen. Da die Fläche 2-dimensional ist, brauche ich auch 2 voneinander unabhängige
Vektoren. Dazu könnte ich 2 aufeinander stehende Vektoren der Länge 1 nehmen, die parallel zu 2
verschiedenen Koordinatenachsen stehen. Da ich eine Übersetzung in ein beliebiges anderes
Inertialsystem durchführen will, welches sich in x-Richtung bewegt, habe ich mich entschlossen, daß der
eine Vektor in eine beliebige Richtung der x-y-Ebene zeigt und der andere in z-Richtung liegt. Ich erhalte
dann diese Vektoren in I0:
0
n
1 Anfang
A
t A
n
n
2 Anfang
t
n
0
0
0
t cos ,
sin n
n
n
1 Ende
,
A
n
n
2 Ende
A
0
tn
t
n
0
1
tn
tn
sin n
,
n
1
A cos n ,
0
0
A2n 0
1
Mit Hilfe des Vektorprodukts berechne ich jetzt die Richtung der Kraft für den Druck:
cos 0 1 0 0
n
F
n
n
1
n
n
2
n
A t A t
R t
cos 0
sin
sin 0 cos 0
0
0
0
0 0 sin 1
0
0
Ich habe bereits in Abschnitt k1) gezeigt, wie die Übersetzung eines Richtungsvektors aussieht, wenn der
Anfangspunkt in In ruht. Ich berechne jetzt die Richtungsvektoren im Inertialsystem Im, welches sich mit
der Geschwindigkeit vnm in In in x-Richtung bewegt:
cos
w nm sin n
m
1
A
w nm 0
n
m
2
A
0
0
0
1
1
w nm cos n
0
m
F
R
sin n
0
Beachten Sie: RF ist nicht die Kraft, sondern die Richtung der Kraft.
Jetzt brauche ich in Im die Richtung der Kraft, die senkrecht auf der Fläche liegt. Die berechne ich wieder
mit dem Vektorprodukt:
cos 0 1 0 0
cos 0
m
1
0n
m
2
0
w
sin 0 cos 0
0 0 w sin 1
R Fm A A
w0n
0
0
0n
sin 0
0
Bei der übersetzten Kraftrichtung wurde zuerst das Vektorprodukt berechnet und anschließend eine
Übersetzung vorgenommen. Bei der letzten Berechnung wurde zuerst eine Übersetzung vorgenommen
und dann das Vektorprodukt berechnet. Ich vergleiche jetzt die beiden Ergebnisse:
w 0 n cos 0
m
F
R
sin ,
0
0
cos 0
RFm w
0n
sin
0
0
Dieses Ergebnis war auf Grund der Berechnungen von Abschnitt k1) zu erwarten. Der Vergleich zeigt,
daß das Kreuzprodukt vor und nach der Übersetzung unterschiedliche Ergebnisse liefert. Doch welche
Berechnung ist die korrekte Berechnung? Die Übersetzung der Kraftrichtung oder das Vektorprodukt?
Schauen Sie sich einmal die Graphik an:
Mit Hilfe einer Spannvorrichtung soll das rote und das blaue Objekt zusammengepreßt werden. Sie
kommen zwischen 2 parallele schwarze Platten. Der Druck wird erzeugt, weil auf 2 Seiten grüne
Gewinde sind, die mit Schrauben festgedreht werden. Die Kraftübertragungen finden dann in der
Richtung statt, die durch die Gewindestangen vorgegeben wird. Die Auflagefläche ist der kleine lila
Strich. Die gelben Pfeile deuten an, wie groß die Kraft an der Auflagefläche der beiden Objekte ist. Wenn
sich das Objekt in Richtung der hellblauen Pfeile mit einer sehr hohen Geschwindigkeit bewegt, dann
wird nur in dieser Richtung eine andere Länge wahrgenommen. Dadurch ändern sich auch die Winkel.
Jetzt müßte man die Kräfte vektoriell zerlegen. So wie ich das mit den lila Pfeilen gemacht habe. Die eine
Richtung zeigt senkrecht zur Auflagefläche und die andere parallel zur Auflagefläche. Ein anderer
Beobachter müßte dann Kräfte berechnen, die die Objekte seitlich verschieben wollen wie bei der
Hangabtriebskraft. Das sind Scheinkräfte! Die Kräfte interessiert es nicht, wer sie beobachtet. Deshalb
dürfte das Vektorprodukt in Im nicht verwendet werden, da sonst eine falsche Richtung der Kraft erzeugt
wird.
Wenn ich das Vektorprodukt nicht verwenden darf, dann gibt es noch andere Probleme. Alle
physikalischen Gesetze, die das Vektorprodukt verwenden, können zu falschen relativistischen
Ergebnissen führen, wenn das Vektorprodukt verwendet wird.
l2)
Kräftevergleich
Das Beispiel mit dem Druck und der Spannvorrichtung zeigt, daß die Richtung der Kraft übersetzt
werden muß, da sonst in Abhängigkeit des Inertialsystems seitliche Kräfte entstehen. Aber die
Untersuchungen aus den Abschnitten k1) bis k4) zeigen, daß die Richtungen der Kräfte beim Flug eines
Raumschiffs welches im Kreis fliegt, bei allen Varianten nicht übersetzt werden dürfen. In jedem Fall
kommen die falschen Ergebnisse heraus.
Was gilt denn nun? Darf man die Richtungen der Kräfte übersetzen oder nicht? Man darf die Kräfte nicht
willkürlich definieren, da sie die Ursache für fast alle physikalischen Phänomene sind.
Wie zum Beispiel dieses:
Die Rotation ist ein Ableitungsoperator für Vektorfelder.
Fz Fy
y
z
x
Fx Fz
rot F
F
z
x
y
Fy Fx
x
y
z
Das ist die partielle Ableitung eines Vektorfeldes, wobei F eine Kraft bezeichnet. Für die Rotation wird
das Vektorprodukt verwendet. Das würde bedeuten, daß die Richtungen der partiellen Ableitungen des
Vektorfeldes nicht übersetzt werden können. Darf man die Kräfte des Vektorfeldes übersetzen?
Wenn man sich nicht entscheiden kann, welche Physik korrekt beschrieben wird, welche Formeln darf
man dann anwenden?
Wenn ich keine Wahl treffen kann, dann kann ich auch alle wählen, so lange die Unterschiede so klein
sind, daß ich sie meßtechnisch nicht erfassen kann. Die zukünftige Forschung muß entscheiden, welche
Wahl korrekt ist. Wenn ich mich vorher entscheide, dann geraten viele Varianten in Vergessenheit. Wenn
eines Tages die Technik zur Untersuchung zur Verfügung steht und ich habe alle Varianten bis auf eine
vergessen, dann käme ich nicht mehr auf die Idee, zu überprüfen, ob die gewählte Variante korrekt ist.
Außerdem besteht die Gefahr, daß die Ergebnisse von Experimenten immer nur als Beweis für eine
Variante angesehen werden. In vielen Fällen, in denen die klassische Theorie bestätigt wird, werden die
Experimente verwendet als Bestätigung der Relativitätstheorie, da die klassische Theorie bei kleinen
Geschwindigkeiten eine sehr gute Näherung an die Relativitätstheorie ist. Selbst dann, wenn in
bestimmten Bereichen noch keine relativistischen Formeln konstruiert wurden.
So etwas darf nicht passieren. Deshalb sollte man alle wählen. Je nach bedarf.
Deshalb sollte man sich die Unterschiede bei den Berechnungen der Kräfte noch einmal ansehen. Beim
Flug mit dem Raumschiff in Abschnitt k) gab es 3 verschiedene Ergebnisse:
v
sin t n cos n
r
v n
n n
RA t sin t sin n
r
v n
cos t
r
v
wnm sin t n cos n
r
v n
sin t sin n
r
v n
cos t
r
v n
sin t cos n
r
w nm
v
sin t n sin n
r
v n
cos t
r
RAm t n
FUn t n m n v
v2
RAn t n
r
FUm t n m n v
v2
w nm
m
RFUm
tn
r
RKFOnm t n
m
RFUm
tn
v
sin t n cos n w nm
r
v
m
sin t n sin n
RFAm
r
v nm
v n
cos t v 2 cos n
c
r
v 0
sin t cos 0
r
w0 m
v
m
RFKm
t 0 sin t 0 sin 0
r
v 0
cos t
r
2
FAn t n m n v
v
RAn t n
r
2
FAm t n m n v
nm
v
w
r RKFOnm t n
2
m
RFAm
2
v2
F t m C RA0 t 0
r
0
K
0
0
m C m
m
K
0
F t
v
RKFOm 0 t 0
m
r
RFKm
t0
2
w0 m
R Am t n ist die Richtung der Kraft nach der Übersetzung. Die anderen 3 sind die Richtungen der Kraft in
Im. Dort, wo für die Berechnung die Ableitung verwendet wurde, wurde in x-Richtung durch wnm geteilt,
obwohl man mit wnm multiplizieren müßte. Bei FA kam in der z-Komponente ein zusätzlicher Term
hinzu. Betrachten wir die Situation doch mal realistisch. Die Erde bewegt sich mit einer Geschwindigkeit
von ca. 30 km/s um die Sonne und mit ca. 20 km/s um das Milchstraßenzentrum. Also hat die Erde
höchstens eine Geschwindigkeit von 50 km/s. Das ist etwa 1/6000 der Lichtgeschwindigkeit. Jetzt
berechne ich mal die Fehler in den Richtungen:
nm 2
nm
R t
n
R
R
n
Ay
n
Az
n
t
t
t
w R
m
A
n
Ax
n
n
Ax
n
w R t
nm
w
n
RAy
tn
n
R
t
n
Az
m
FUmy
m
FUmz
n
R t
n
n
Ay
n
Az
nm
n
n
Ay
0m
R Am t 0
0
Ay
0
Az
n
n
n
Az
0
Ax
0
n
Ax
n
n
m
FAmx
m
FAmy
nm
n
n
0
0
Ax
0
Ay
0
Az
n
n
nm
n
m
FAmz
2
n
n
2
0
0m 2
0m
0
nm
n
2
0m 2
w
m
FUmx
n
t
w R t
R
t
R t
R t
R
v
v
v
R t
cos v
cos R t v
cos
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c
c
c
w R t
w R t
R t
w
t
R t
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R
t
R t
R t
R
n
wnm RAx
tn
m
A
nm 2
w R t
t
R
t
R
0
m
FKmy
m
FKmz
0
0
m
FKmx
0
0
c2
2
2
v
0,999999972
1 w nm 1 2 1 6000
2
c
c
c
v nm
n
6000
0 v 2 cos c 2 1 0,00016
c
c
nm 2
Für die Abschätzung bin ich davon ausgegangen, daß das Raumschiff höchstens mit
Lichtgeschwindigkeit fliegt. Selbst in diesem Fall sind die Abweichungen nur sehr klein. Ist die Technik
in der Lage, die Richtung so präzise zu bestimmen? Aber auch die Stärke der Kraft muß man beachten:
RKFOnm t n
RKFOnm t n
v2
v2
w nm
RAn t n m n v R An t n
FUm t n
nm n
nm
r
r
RKFO t
w
w nm
v2
v2
wnm
RAn t n FAn t n m n v
r
r RKFOnm t n
FUn t n m n v
FAn t n m n v
2
R An
t RKFw t
nm n
O
nm
n
2
2
RKFw t
nm n
O
nm
FAm t n
2
2
C m RKFOm0 t 0
v2
v2
w0 m
w0m
m
FKm t 0 m
FK0 t 0 m C 0 RA0 t 0 FK0 t 0 m C 0 RA0 t 0
2
m
0
0
r
r
C RKFO t
C RKFOm0 t 0
w0 m
v nm
1 v 2 cos n
1 0,00016 RKFOnm t n
1 0,00016
c
0,99983
1,00016668
nm 2
1
wnm
0,999999972
v
1 2
c
2
v nm
n
1
cos
v
2
c2
1 0,00016 2 RKFOnm t n 2
1 0,00016 1,000333375
0,99966669
nm
2
1
w
0,999999972
v nm
1 2
c
1
1
1
1
1
0,99983336
1,00016669
Cm
m0 n
m0
0m 2
1
0
,
0001
6
1
0
,
0001
6
RKF
t
v
w
O
1 V m t 0 2 cos n
c
m
C ist eine Inertialsystemabhängige Konstante und kann natürlich optimal gewählt werden. Auch die
Stärke der Kraft hat nur geringe Abweichungen. Selbst dann, wenn sich das Raumschiff mit
Lichtgeschwindigkeit bewegen würde. Je kleiner die Geschwindigkeit des Raumschiffs, desto größer die
Präzision.
Nur wenn ich gleichzeitig der Raumfahrer und der Beobachter bin und beinahe mit Lichtgeschwindigkeit
fliege, muß ich mir Gedanken über die Kräfte machen. Ich will das Raumschiff steuern können. Dann
muß ich die richtigen Kräfte einsetzen, sonst verfehle ich das Ziel oder muß zu häufig Kurskorrekturen
oder Geschwindigkeitsänderungen durchführen, so daß der Treibstoff nicht reicht. Im Weltraum kann mir
dann niemand mehr helfen.
Ich kann also jede beliebige Wahl treffen, die präzise genug ist. Aber dann ist die Relativitätstheorie eine
gute Näherung an die klassische Theorie und nicht umgekehrt. Die theoretischen Fehler – die
Widersprüche – liegen in der Relativitätstheorie und machen sich erst dann deutlich bemerkbar, wenn
sich sowohl der Beobachter, als auch das beobachtete Objekt beinahe mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.
m) Die Galilei-Lorentz-Transformation
Wenn in I0 die klassische Theorie gilt, dann kann man den Aufbau der relativistischen Formeln sehr
vereinfachen, indem man die Formeln der Galilei-Transformation verwendet. Für alle physikalischen
Gesetze, die aufgrund der Galilei-Transformation in allen Inertialsystemen die gleichen Formeln bilden,
können die physikalischen Gesetze in In sehr einfach umgerechnet werden, in dem eine GalileiTransformation von In nach I0 für alle räumlichen und zeitlichen Koordinaten durchgeführt wird und
anschließend von I0 nach In eine Lorentz-Transformation durchgeführt wird. Das kann man natürlich auch
für alle Sachen machen, die sich allein aus Raum und Zeit zusammensetzen lassen.
Natürlich kann die Galilei-Transformation auch wie eine Matrixmultiplikation im 4-dimensionalen
Raum-Zeit-Kontinuum dargestellt werden:
xn
yn
zn
t
x 0 vx0 n t 0
y 0 v 0y n t 0
z 0 vz0 n t 0
n
t
1 0 0 v x0 n
0 1 0 v 0y n
0 0 1 v z0 n
0
0 0 0
1
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z0
t
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0
x0
y0
z0
t
x0
y0
,
z0
0
t
x 0 v x0 n t 0 v x0 n t 0
y 0 v x0 n t 0 v 0y n t 0
z 0 v x0 n t 0 v z0 n t 0
0
t
x n v x0 n t n
y n v x0 n t n
z n v x0 n t n
0
t
n
1 0 0 v x0 n
0 1 0 v 0y n
0 0 1 v z0 n
0 0 0
1
xn
yn
zn
t
G n 0 G 0n
x0
y0
z0
t0
n
v x0 n
V 0 n v y0 n
v
V n 0 V 0 n
0n
z
Da die Lorentz-Transformation nur dann einfache Lösungen liefert, wenn sich I0 parallel zu einer
Koordinatenachse bewegt, werde ich für meine Überlegungen das Koordinatensystem so legen, daß sich
I0 in In in x-Richtung bewegt. Die Galilei-Lorentz-Transformation kann dann so beschrieben werden:
1
w0 n
0
GLn T 0 n G n 0
1
wn0
0
0
v n0
c 2 wn0
v0n
w0 n
0
0 0
1 0
0
v0n
c 2 w0 n
0 1
0
1
w0 n
0 0
0 0
0
1 0
0 1
0
0
1 0 0 v
0 1 0
n0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
n 1
0n
1 0
v n0 v 0 n
w0 n
0
0
0 1
0
0 0
0n
v
c 2 w0 n
1
wn0
0
v n0 v 0n
1
c2
0 0
w0 n
0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
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v
1
n0
v
c 2 wn0
0 0
c2
wn0
0 0 wn0
1 0 0 v
GL T
1
w0 n
0
G n0
1
n 0 1
0 n 1
G T
G 0n T n0
0n
0 1 0
0
0 0 1
0
0 0 0
1
1
wn0
0
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v n0
c 2 wn0
0 0
1 0
0 1
0 0
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v n0 1
c2
wn 0
n0
w
0
0
0
0
1
v n0
n0
w
c 2 wn0
0 0
1 0
0 1
0 0
v n0 v 0n
wn0
0
0
1
wn0
n0 2
1
v
c2
0 0
n0
w
0
0
v n0
c 2 wn0
1 0
0 1
0 0
0
wn0
0
0
0
v n0
0
1
c 2 wn0
n0
w
0 0
0
1 0
0 1
0
0
1
w n0
0 0
Ein Objekt, was vor der Transformation in In ruht, muß auch nach der Transformation in In ruhen. OK
beschreibt ein Objekt im klassischen Koordinatensystem und OR beschreibt ein Objekt im relativistischen
Koordinatensystem:
n
K
O
n
K
n
K
n
K
n
K
x
y
z
t
n
R
n
n
K
O GL O
1
wn0
0
0
v n0
c 2 wn0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
0 0 wn0
n
K
n
K
n
K
n
K
x
y
x Kn
wn0
y Kn
z Kn
z
t
n0
n
K
n0
v x
w n 0 t Kn
c2 w
Die x-Koordinate wird positionsabhängig verändert, aber nicht zeitabhängig. Da wn01 ist, bedeutet das,
daß die x-Koordinatenachse gestreckt wird. Die anderen Koordinaten verändern sich nicht. Die Zeit ist
aber etwas komplizierter. Sie verändert sich in Abhängigkeit von der Lage eines Objektes in der xKoordinate. Dies ist aber nur eine konstante Zeitverschiebung. Zusätzlich wird die Zeitachse skaliert. Die
Zeitachse wird zusammengestaucht.
Ich beschreibe jetzt die Objekte, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen, so wie ich es in
Satz 7 gemacht habe:
Satz 15: I0 bewegt sich in In mit der Geschwindigkeit Vn0, |Vn0|=vn0<c, in x-Richtung. In In wird ein
Objekt beobachtet, welches sich mit der Geschwindigkeit VOKn, |VOKn|=vOKn, bewegt. Das
Objekt, gemessen im klassischen Koordinatensystem ist ein Zylinder mit dem Radius lKr in der
x-y-Ebene und der Höhe lKh. Die Basis des Inertialsystems wurde so gewählt, daß sich das
Objekt in der x-y-Ebene bewegt. Der Winkel zwischen den Bewegungsrichtungen von I0 und
dem Objekt in In beträgt öKn. Für die Übersetzung der Meßdaten vom klassischen zum
relativistischen Meßsystem gelten folgende Regeln:
n
cos Kn vOK
n
OKL
sin v
t
n
K
K
0
cos n
n
OK
n
t K , OKP
n , l r , lh
0
l
0
sin n
0
1
r
1
lh
0
0
n
cos Kn vOK
n0
w
n
sin Kn vOK
cos n
wn0
sin n
0
0
n
t K , ORP
n , lr , lh
lr lh ,
0
1
0
n
v n 0 cos Kn vOK
n0
n
n0 2
v
cos
w
0
c2
c 2 w n0
n0
w
n
n
n
n
n
O K t K , , l r , l h OKL
t K OKP
n , l r , l h , ORn t K , n , l r , l h ORL
t K ORPn n , l r , lh
n
t K
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t sin v
n
OR
n
OR
n
R
n
R
n
R
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n0
cos v
n
OR
t Rn
v
cos
n
K
n
t Rn
OKL
n
OK
n0
O
n0 2
RKF
w
t Rn
0
RKFOn 0
wn0
n
v n 0 cos Kn vOK
w n0
2
n
c
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, t Rn t K
wn0
n
R
, sin v
n
OR
n
OR
n
sin Rn vOR
1
n
R
n
R
w cos v
cos v
n
O RL
sin
n
K
2
tK
wn0
RKFOn 0
Darüber hinaus möchte ich wissen, wie sich der Radius und die Höhe des Zylinders verändern.
Für das bewegte Objekt will ich wissen, wie sich Ät, Äs und VO verändern:
O O t
n
t K 2 t K 1 : LnK OKr
OKn t K 2 , n , l r , lh OKn t K 1 , n , 0, lh
cos n
t K 2 t K1
v
cos
n
K
l r : LnR
2
c 2 w n0
v n0
n
OK
n
Rr
n
R
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, n , l r , l h ORn t K 1 , n , 0, l h
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n
cos v n 0 vOK
2
w n0
2
c
v n v n0
sin n Kn OK 2
sin n w n 0
c
n
2
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w n0
2
c
0
n
K
O sin l
cos n
n
LnK
n
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0
n
LnR ORr
r
0
2
lr
0
O t
n
K
t K 2 t K1 : L O
n
Kh
n
K
n
K2
n
K
n
n
, , l r , l h O t K 1 , , l r , 0 , LnR ORh
ORn t K 2 , n , l r , l h ORn t K 1 , n , l r , 0
0
n
LnK OKh
0
n
,
l h LnR ORr
1
0
n
cos Kn v n 0 vOK
wn0
2
c
t Rn
wn0
sin v
n
K
n
OK
t K
w n0
t K ,
RKFOn 0
n
cos Kn vOK
n0
w
n
s Rn sin Kn vOK
t K ,
n
cos Kn vOK
s Kn
2
t K
0
VKn
n
K
s
t K
0
sin v
n
cos Kn vOK
n0
w
RKFOn 0
s n
n
VRn Rn sin Kn vOK
t R
wn0
0
n
cos Kn vOK
n
K
n
OK
0
Beweis
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1
n
OKL
tRn GLn
tK
n
ORL
t Rn
t Rn RKFOn 0
wn0
0
0
vn0
c 2 wn 0
t Rn
0 0
0
1 0
0 1
0
0
1
wn 0
0 0
n
R
n
R
n
OR
n
OR
cos v
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0
1
n
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n
R
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n
OR
0
t Rn
n
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1
c2
wn 0
n
w n 0 cos Rn vOR
n
n
sin R vOR
t K wn0
RKFOn 0
In der Umkehrung gilt:
n
t K GLn OKLn t K
ORL
1
wn0
0
0
v n0
c 2 wn0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
0 0 w
n
v n 0 cos Kn vOK
2
w n 0
2
n
c
tR tK
wn0
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v
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K
n
K
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1
n0
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n
OK
n
OK
n
cos Kn vOK
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w
n
sin Kn vOK
tK
tK
0
n
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2
w n 0
c2
wn0
t Rn w n 0
n
2
v cos Kn vOK
w n 0
2
c
n0
0
RKFOn 0
wn 0
t Rn
Deshalb gilt:
n
v n 0 cos Kn vOK
2
w n 0
2
wn0
n
c
t
t R
t K
K
wn0
RKFOn 0
n0
n
n
n0
n
n
wn0 2 RKFOn0 v cosc2 K vOK wn0 2 RKFOn0 v cosc2 K vOK RKFOn0 wn0 2
n0
n
n
n0
n
n
v
v
v
v
2
cos
cos
K
OK
R
OR
w n 0
RKFOn 0
1
c2
c2
n
cos Rn vOR
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O
K
OK
R
OR
v w n 0 2
2
c
n0
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n
n
cos K vOK
wn0 2
Weil sich die Koordinaten senkrecht zur Bewegungsrichtung vor I0 in In nicht ändern, gilt:
n
n
sin Rn vOR
sin Kn vOK
cos n
cos n
0
0
wn0
n
0
0
1 0 0 sin n
sin
l r lh
lr lh
1
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0
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n
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0 0
0
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c 2 wn0
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O Kn t K 2 , n , l r , l h O Kn t K 1 , n , 0, l h
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sin v
n
K
n
K
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OK
n
OK
0
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1
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sin
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n
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n
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w
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c 2 wn0
n
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sin Kn vOK
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n
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c
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1
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w n0
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n
cos n vOK
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w
n
sin n vOK
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0
0
n
v n 0 cos Kn vOK
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t K 1 t K 1
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1
2
0
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2
2
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0
0
cos n
wn0
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0
1
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0
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n0
w
n
sin n vOK
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0
lh
0
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n
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0
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n
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wn0
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0
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cos n vOK
0
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1
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n
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cos n
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1
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Als nächstes betrachte ich s, t und VO:
n
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n , lr , l h
n
t K 2 OKLn
O KL
cos v
sin v
t
n
K
n
K
K1
n
OK
n
OK
0
v
v
cos
tK 2
sin
n
K
n
K
n
OK
n
OK
0
1
v
v
cos
tK1
sin
n
K
n
K
n
OK
n
OK
t K t K 2 t K 1 , s
n
K
n
OK
v
v
t K
0
n
R
n
R
n
n
R
n
O RL
t K 2 ORLn t K 1
t Rn
w n0
RKFOn 0
n
OK
0
w n0
RKFOn 0
0
n
OK
n
OK
t K
s
VKn
t K
n
RL
n
K
tK 2
K2
n
OK
wn0
n
sin Kn vOK
0
wn0
RKFOn 0
n
RP
sin v
n
K
t K
n
r
n
K
tK1
0
0
0
V Rn
s Rn
t Rn
wn0
t K
RKFOn 0
t K
n
OK
0
h
0
wn0
RKFOn 0
K1
n
RP
n
r
n
OK
wn0
n
sin Kn vOK
n
RL
n
K
t K 2 t K 1
0
wn0
RKFOn 0
n
cos Kn vOK
w n0
RKFOn 0
n
sin Kn vOK
w n0
0
Ende des Beweises.
Wie bei Satz 11 und Satz 12 können auch die Ableitungen berechnet werden:
lh
n
OK
wn0
n
sin Kn vOK
n
cos Kn vOK
n
n
cos Kn vOK
cos Kn vOK
w n0
wn0
n
n
t K , s Rn sin Kn vOK
t K sin Kn vOK
t K
n
cos Kn vOK
n0
w
n
sin Kn vOK
t K
n
OK
n
OK
t O , l , l O t O , l ,
cos v
cos v
cos v
n
cos v
w n0
n
sin Kn vOK
n
K
n
K
0
n
K
O O t K 2 , , l r , l h O t K 1 , , l r , l h O
n
K
n
K
n
K
1
sin
n
cos Kn vOK
n
K
t K 2 t K 1
sin
1
cos
sin v
v
v
cos
0
1
t K
Satz 16: Ein Objekt bewegt sich in In und wird nach der klassischen Theorie ausgemessen. Die
Übersetzungen in relativistische Daten sehen dann so aus:
n
t K
OKx
n
O Kx
t K
w n0
n
O n t K
t K
OKy
O Kn Ky
ORn
n
n
O Kz t K
OKz
t K
v n0
n
tK
t K
t K wn0 2
OKx
n0
n
O Kx
t K
n
t K
s Kn t K O Ky
n
t K
O Kz
n
v Kx
t K
n
t K
v Kn t K v Ky
n
v Kz
t K
c w
n
O Kx
t K s Kxn t K
wn0
w n0
n
n
n
s R t K OKy t K s Ky t K
n
t K s Kzn t K
OKz
n
t K
v Kx
wn0
w n0
n
t K
v Rn t K v Ky
n0
n
v v n 0 v Kx
t K
n
v Kz
t K 1
c2
n
t K
w n 0 a Kx
n0
n0
n
v v v Kx
t K
n
0
a Kx t K
1
n
c2
a Kx t K
w n0 2
n
n
n
n
n
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a Ky t K
v Ky t K 2
2
n0
n0
n
c
n
n
n
a Kz
a Kz
v Kz
t K
t K
t K n 0 v n 0 v Kxn t K 1 v v 2 vKx t K
v
c
n
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t K
1
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n
c2
,
t Rn t K w n 0 2
s
t
Kx K
n0
n0
c w
dt K
w
n
w n 0 O Rx
t Rn
n
O Rx
t Rn
ORn
n
ORy
t Rn
O t
t Rn
n
Rz
n
R
n
ORy
t Rn
OKn
s Kn t Rn
n
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t Rn
s t
n
R
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O t
O t
v t
t v t
v t
n
R
n
R
n
Ry
n
Rz
n
Rx
n
Ry
n
Rz
n
R
n
R
n
R
n
Rx
n
Ry
n
Rz
t
t
t
a
a Rn t Rn a
a
t Rn
tK
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
t Rn
ORz
n0
v
n
t Rn 2 ORx
t Rn
c
w n0
n0
n
w ORx
t Rn w n0 s Rxn t Rn
n
ORy
t Rn
n
O Rz
t Rn
n
w n 0 v Rx
t Rn
v Kn t Rn
n
v Ry
t Rn
n
t Rn
v Rz
n
s Ry
t Rn
n
s Rz
t Rn
wn0
RKFOn 0
n
w n 0 a Rx
t Rn
n0
0
RKFO
2
n0
n
n
v a Rx t R w n 0
n
n
t Rn v Ry
t Rn 2
a Kn t Rn a Ry
n0
n0 2
n
n
n
t Rn c RKFO RKFO
v Rz
a Rz t R
v n0 n n
s Rx t R
c2
,
n0
w
dt K RKFOn 0
dt Rn
wn0
Beweis
OKn
n
t K
OKx
n
OKy
t K
ORn GLn OKn
n
t K
OKz
tK
1
wn0
0
0
v n0
c 2 wn0
n
OKx
t K
wn0
n
1 0 0
t K
OKy
n
n
0 1 0 OKz t K
OKz t K
v n0
n
tK
0 0 wn0
t K
t K wn0 2
OKx
c wn0
0 0
0
n
t K
OKx
n
OKy
t K
n
OKx
t K
n
s Kn t K OKy
t K
n
OKz
t K
n0
t Rn t K w n 0
v
n
t K
s Kx
c 2 wn0
n
R
n0
n0
dt
d
v
n
t K wn0 2
t K w n 0 2 v n 0 vKxn t K
s Kx
dt K dt K
c wn0
c w
d n
OKx t K
n
n
O t K dt K
v Kx
t K
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t K
n
n
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t
d
d
d
n
n
n
n
n
K K
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v K t K
O t K
OKy t K v Ky t K , a K t K
v Ky t K
dt K
dt K
dt K
dt K
dt K n
n
O t K
v
t
v Kz t K
Kz
K
d n
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dt K
n
Kx
n
Ky
n
Kz
1
n
t K
v n 0 v n 0 v Kx
2
c
w n0
d n
v Kx t K
n
dt K
a Kx
t K
d n
n
v Ky t K a Ky t K
dt K
n
a Kz
t K
d n
v Kz t K
dt K
n
OKx
t K sKxn t K
n0
w
wn0
n
n
n
s R t K OKy t K s Ky t K
n
OKz
t K sKzn t K
n
n
OKx
t K
t K
v Kx
n0
n0
n
w
w
ds R t K 1
d
1
wn0
n
n
n
OKy t K
v R t K
n
v Ky t K
n0
n0
n
n0
n
dt K
dt R dt K n
v v vKx t K
v v n 0 v Kx
t K
n
1
1
O
t
v
t
Kz K
2
Kz K
2
dt K
c
c
wn0
n
dv
t
1
d
a Rn t K R K n
dt K
dt R dt K
dt K
d
dt K
n
v Kx
t K
n0
wn0
w
1
n
t K
v Ky
n0
n0
n
n0
n0
n
v
v
v
t
v
v
v Kx
t K
Kx K
n
1
v Kz
t K 1
2
2
c
c
wn0
n
n
v Kx
t K
v Kx
t K
n0
n0
w
w
1
d
n
n
v Ky t K
v Ky t K
n0
n0
n
dt
v
v
v
t
Kx K
n
n
v Kz
t K 1
v Kz
t K K
c2
1
wn0 2
n0
n0
n
n0
n
v v v Kx t K
t K
v v n 0 v Kx
1
1
2
2
c
c
n
n
a Kx
t K
v Kx
t K
n0
n0
n0
n
w
w
v
a
t
1
wn0 2
n
n
Kx K
t K
a Ky
v
t
Ky
K
n
2
n
n0
n0
n
v n 0 v n 0 v Kx
t K n
v n 0 v n 0 v Kx
t K
n
a Kz
t K 1
v Kz t K c 2 1 v v v Kx t K 1
2
2
2
c
c
c
n
a Kx
t K vKxn t K
wn0
wn0
n
n
a Ky t K v Ky t K
n
t K
a Kz
n
t K
v Kz
a t K
wn0 2
2
2
n
c
v n 0 v n 0 v Kx
n0
n
t K
v
v
t
Kx
K
1
v n0
c2
n
Kx
Ich versuche jetzt die x-Komponente etwas zu vereinfachen:
a n t c 2
v n t
a n t Kx K
v n 0 v n t Kx K a n t
Rx
K
w
n0
v n0
Kx
K
w
n0
Kx
K
n
v n 0 v n 0 v Kx
1
2
c
n0 2
w
t c
2
K
2
n0
n
v n 0 v v Kx t K
c2
n
t K v Kxn t K a n t
v n 0 v Kx
n0
wn0 2
Kx K
v
2
n
c2
w n0
n
v n 0 v n 0 v Kx
t K
v n 0 v Kx
t K
1
n0
v
c2
n
v n 0 2 c 2 a Kx
t K
1
2
0
n
n0
v
c
w
w n0 2
2
2
n
c
n
v n 0 v n 0 v Kx
t K
v n 0 v Kx
t K
1
n0
v
c2
2
n
w n 0 a Kx
t K
w n0
n
v n 0 v n 0 v Kx
t K v n 0 v n 0 v Kxn t K 2
1
1
2
c
c2
n
a Kx
t K v Kxn t K
n
wn0
wn0
a
t
wn0 2
n
a Rn t K a Ky
t K v Kyn t K 2 Kx K
2
n
c
n
v n 0 v n 0 v Kx
n0
n
n
t K
v
v
t
a
t
v
t
Kx
K
Kz K
Kz K
1
v n0
c2
n0
n
w a Kx t K
n
v n 0 v n 0 v Kx
t K
0
1
n
c2
a Kx t K
w n0 2
n
n
a Ky t K
v Ky t K 2
2
n0
n0
n
c
n
n
a Kz
v Kz
t K
t K n 0 v n 0 v Kxn t K 1 v v 2 vKx t K
v
c
Die Rückübersetzung sieht so aus:
n
ORx
t Rn
ORn
O t
O t
n
Ry
n
Rz
t
n
R
n
R
1
OKn GLn ORn
n
R
wn0
0
0 0
1 0
0
v n0
c 2 wn0
0 1
0 0
0
0
n
w n 0 ORx
t Rn
n
ORx
t Rn
n
ORy
t Rn
n
O t
ORz
t Rn
0 O t
n0
v
n
1
t Rn 2 ORx
t Rn
t Rn
c
n0
w
wn0
n
Ry
n
Rz
n
R
n
R
n
ORx
t Rn
s t
n
R
n
R
O t
O t
n
Ry
n
Rz
t Rn
tK
n
R
n
R
v n0
n
ORx
t Rn
c2
wn0
n v n0
v n0 n n
n
t R 2 ORx
t Rn 1 2 v Rx
t R RKFOn0
dt K
d
c
c
n
n
n0
n0
dt R dt R
w
w
wn0
d n n
ORx t R
n
n
n
dt
R
O
t
v Rx
t Rn
v Rx
t Rn
ds Rn t Rn d
dvRn t Rn d n n
d n n
n n
n
n
n n
v R t R
n O t n ORy t R v Ry t R , a R t R
n v Ry t R
dt Rn
dt R
dt R
dt Rn
dt R n n
n
n
O t
v
t
v Rz t R
Rz R
d n n
O
t
Rz
R
dt Rn
n
Rx
n
Ry
n
Rz
n
w n 0 ORx
t Rn
s t
n
K
n
R
O t
O t
n
Ry
n
Rz
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
d n n
v Rx t R
n
dt Rn
a Rx
t Rn
d n n
n
vRy t R a Ry t Rn ,
dt Rn
n
a Rz
t Rn
d n n
v Rz t R
dt Rn
n
w n 0 s Rx
t Rn
n
s Ry
t Rn
n
s Rz t Rn
n
n
w n 0 ORx
t Rn
w n 0 v Rx
t Rn n0
n
n
ds
t
1
d
1
w
n
ORy
v Kn t Rn K n R
t Rn RKF n0 vRyn t Rn RKF
n0
dt K dt Rn
dt R
O
O
n
n
n
n
ORz
t
v
t
n
R
Rz
R
dt R
wn0
n
n
n
w n 0 v Rx
n0 n n
t R n0
w n 0 v Rx
t Rn
d w vRx t R
dvKn t Rn 1
d
w
1
wn0
d
n
n
n
n
n
n
n
v Ry t R
v Ry t R
a R t K
v Ry t R
dt K dt Rn
dt Rn
RKFOn 0 RKFOn 0 dt K
RKFOn 0
dt K
n
n
n
n
n
n
v Rz t R
vRz t R
v Rz t R
dt Rn
w n0
wn0
wn0
n0
n0
RKFO RKFO
n
w n 0 a Rx
t Rn n0 wn0 vRxn t Rn n0 n0 n n n0
w
w
n
n
n
a Ry t R
v Ry
t Rn w 2 v anRx0 2t R RKF
n0
RKFOn 0
c RKFO
O
n
n
n
n
a
t
v
t
Rz
R
Rz
R
n
n
w n 0 a Rx
t Rn
w n 0 v Rx
t Rn n0 n n
n0 2
n
a Ry
t Rn RKFOn0 vRyn t Rn v ca2Rx t R w n0 3
RKFO
n
n
n
v Rz
t Rn
a Rz t R
Ich versuche jetzt die x-Komponente etwas zu vereinfachen:
2
n
v n 0 a Rx
t Rn
wn0
n
n
a Kn t Rn w n 0 a Rx
t Rn RKFOn 0 w n 0 v Rx
t Rn
2
n0
c
RKFO
2
n
v n t n v n 0 v Rx
t Rn v n 0 n 0 n n
wn0
w a Rx t R
1 Rx R 2
2
c
c
RKFOn 0
3
3
n0 2
w
RKF
n
w n 0 a Rx
t Rn
n0 3
O
a Kn t Rn
n
n
w n 0 a Rx
t Rn
w n 0 v Rx
t Rn
2
n
v n 0 a Rx
t Rn
wn0
n
n
n0
n
n
a Ry t R
RKFO v Ry t R
c2
RKFOn 0
n
n
n
n
a
t
v
t
Rz
R
Rz
R
n
w n 0 a Rx
t Rn
n0
0
RKFO
n
v n 0 a Rx
t Rn
n
n
a Ry
v Ry
t Rn
t Rn 2
c RKFOn 0
n
n
n
v Rz
t Rn
a Rz t R
3
n0 2
w
RKF n 0
O
2
Ende des Beweises.
Um mir spätere Berechnungen nicht zu schwer zu machen, werde ich die Übersetzungen etwas
umschreiben:
n
n
s Kx
s Rx
w n0
n
n
s Kyz
s Ryz
n0
n0
v v v
n
n
v Kx
v Rx
1
c2
3
w n0
n
n
a Kx
a Rx
RKFOn0 3
n0 3
n
a Rx
w a
v v v
1
n0
1
n0 2
v
n
Rx
w
RKFOn 0
n
n
v Kyz
v Ryz
n
Kx
c2
n
v n 0 v n 0 v Kx
2
wn0
n
c
v Ryz
n0
w
RKFOn 0
n0 2
n0 2
w
n
n
a Kyz
a Ryz
n0 2
O
n
v Ryz
w
n
v n 0 a Rx
n0 3
O
2
RKF
c RKF
w v a
w
v
v v v
v v v
1
c 1
n0 2
n0 2
n
Kx
n0
n
Kx
n
n
a Ryz
a Kyz
3
n0
n0
n
v n 0 s Kx
t K , t
t Rn t K w n 0
K
2
n0
c w
t Rn
2
n
Kx
c2
n
Kyz
n0
n0
n
Kx
n0
n
Kx
2
c2
3
n
v n 0 s Rx
t Rn
2
c
wn0
Der Index yz soll nur andeuten, daß die Formeln der x- und der y-Koordinate identisch sind. Weil ich 2
verschiedene Übersetzungen habe, gibt es 2 verschiedene Faktoren bei der Geschwindigkeit. Diese sollten
beide gleich sein. Das werde ich jetzt überprüfen:
n0 2
n
v n 0 v n 0 v Kx
1
n0
2
RKFO
c
n0
n0
n
n
v n 0 v n 0 v n 0 v Rx
v v v Kx
w n0 2 RKF n0 w n0 2 v n0 vRxn wn 0 2 RKF n0
RKFOn 0 1
1
O
O
2
2
2
c
c
c
RKFOn 0
c2
RKFOn 0
w
n0 2
w
n
n
n
v n 0 v Rx
v n 0 v Rx
v n 0 v Rx
2
w n 0 1
RKFOn 0
2
2
2
c
c
c
2
2
w n 0 w n 0
Dadurch kann ich die Übersetzungen noch mal vereinfachen:
n
n
s Kx
s Rx
wn0
n
n
s Kyz
s Ryz
n0 2
n
n
vKx
v Rx
n
n
a Kx
aRx
n
a Rx
w
n
n
v Kyz
v Ryz
n0
O
n0 3
RKF
wn0
RKFOn 0
n0 2
n0 2
w
w
n
n
a Kyz
a Ryz
n0 3
O
n0 3
n
O
Kx
3
n0
RKF
RKF a
w
n
n
a Ryz
a Kyz
n0 2
O
n0 2
RKF
RKF
w
n
v n 0 s Kx
t K , t
t Rn t K w n 0
K
2
c wn 0
O
n0 2
t Rn
n
v Kyz
n0
n
Rx
3
n0
O
n0
w v a
c RKF
RKF v a
c w
n
v Ryz
2
n0 3
O
n
Kx
n0 4
2
n
v n 0 s Rx
t Rn
2
n
2
v n 0 v n 0 v Kx
wn0
c
, 1
n0
2
n0
w
c
RKFO
Bei der Beschleunigung sind die y- und z-Koordinaten noch ein Problem. Aber ich kann die eine
Gleichung umformen:
n0 2
O
n0 2
RKF
w
RKF
w
n
n
a Ryz
a Kyz
n
a Kyz
n0 2
O
n0 2
n0 3
O
n0
n
v Kyz
RKF v a
c w
n
v Ryz
n
v n 0 a Rx
c 2 RKFOn 0
n0 4
2
n
Kx
n
a Kyz
n0 2
O
n0 2
RKF
w
wn0
RKFOn 0
n
v Ryz
n0 3
n0 3
O
RKF v
n0
n
a Rx
w
n0 3
O
RKF
4
c 2 w n 0
2
2
2
n
n
w n 0
v n 0 a Rx
wn 0 v n wn0 v n0 aRxn
n
n
n
a Kyz
a Ryz
v Ryz
2
a Ryz
2
n0
0
n
c RKFO RKFO
RKFOn0 2 Ryz c 2 RKFOn0 3
Also brauch ich mir auch in diesem Fall nur eine Übersetzung merken. Es gilt also:
n
n
s Kx
s Rx
w n0
n
n
s Ky
s Ry
n0 2
n
n
v Kx
v Rx
n
n
a Kx
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w
RKF
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n
n
a Ky
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n
n
Rx R
2
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c
w
n0
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RKFOn 0
n
n
v Kz
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n0 2
n0 2
w
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n
n
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O
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n
s Kz
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,
w
n0 2
O
RKF
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n
v Ry
w
n
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2
c w n0
n
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3
c 2 RKFOn 0
wn0
RKFOn 0
n0 2
n0 2
n
n
a Kz
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n0 2
w
n0
O
RKF
1
w
n0 2
O
RKF
n
v Rz
n
v n 0 v n 0 v Kx
2
c
w
n
v n 0 a Rx
3
c 2 RKFOn 0
m1) Richtungsunabhängige Beschreibung
Die Galilei-Lorentz-Transformation hat einen Nachteil. Das Koordinatensystem muß richtungsabhängig
definiert werden. Es wäre sinnvoller, wenn man die Koordinatenachsen beliebig wählen könnte. Dazu
werde ich die Übersetzungen aus Satz 16 etwas umformen. Eine Vorüberlegung zu Vereinfachung der
Berechnungen:
v0n
Xx
V n I0 0 ,
X Xy
0
y
X x v0n X , V n I 0
Xx 0
X x v0n y
0n 2
v
0
Xz
n 0
0
v 0n
X, V n I0
0
V
0
n
y V I
I , V I
0
n
0
n
n
V (I ) ist die Geschwindigkeit von I in I . Jetzt forme ich die Übersetzungen um:
n
n
s Kx
t K s n t s Kxn t K s n t n
t K s n t
s Kx
1
1
Kx K
Kx K
n0
n0
s
t
Kx K
n0
n0
Kx K
w
w
w
w
n
n
n
n
n
n
0
0
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s Ky t K
s Ky t K
s Ky t K
s K t K s Kx t K
n
n
n
t K
t K
t K
0
0
s Kz
s Kz
s Kz
n0
s Kn
s Kn t K , V n I 0
1
1 V I
V I , V I w
w s t s t w s t s t s t w
t s t
s t
s t
s t
s t
s t
s t , V I
s t
w 1V I
V I , V I
s Kn t K
n
Rx
n
n
Ry R
n
n
Rz R
n
R
n
K
n
0
n
R
n
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n
R
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n
n0
n
R
n
R
n
0
n
0
n
Rx
n
n
Ry R
n
n
Rz R
n
R
n
Rx
n0
0
0
n
n0
0
n
n
R
n
Rx
n
Ry
n
Rz
n
R
n
R
n
R
n0
wn0 1
n
n
s Rx
t Rn s Rx
t Rn
n
s Rn t Rn s Rx
t Rn
0
0
0
0
0
n
n
n
n
t K
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n t
n
v n t vKx nt0K v Kx
t K vKx nt0K vKxn t K
vKx
n0
K
Kx K
n0
n0
w
w
w
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n
n
n
O
t K n0 wn0 n
t K
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vKy
v
t
0
Ky K
n0
v v vKx t K
w
wn0
n
n
n
v Kz t K 1
v Kz t K
0
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1
1
n0
n0
n0
w
v n t , V n I 0
n
1
n 0 RKFO
n
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t K 0 RKFn0O vKn t K Kn K0
V
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1
n0
w
wn0
V I , Vn I0
w
0
n
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n
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v t
n
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v
v
n
Ry
n
Rz
w
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n
n
n
v Rx
t Rn wn 0 vRx
t Rn vRx
t Rn
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n
R
n
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v
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n
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n
n
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t Rn v Rx
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n
n
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wn0
wn0
n n
n
n
vn t n R R
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wn 0 1 V n I 0
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n
0
n
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0
wn0
n0
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0
n
t K
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t K
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1
0
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n
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n0
n
n
n
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t K c 2 1 v v 2 vKx t K
aKz
vKz
c
2
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Kx K
1
c2
n0
n
n n
aKx t K RKFO n 0aKx t K aKx
t K vKxn t K vKxn t K
w
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n
n
t K O 2 K Kn0 2
aKy t K
vKy
c w
n
n
aKz
vKz
t K
t K
2
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2
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2
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n n
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t K vKxn t K vKxn t K
Kx K
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w
n
n
t K 0 O 2 K Kn0 2
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n
c w
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0
0
Kz K
vKz t K
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O
2
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1
1
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n
n
RKFOn0 aKn t K , V n I 0
n
n
aK t K aKx t K
vK t K vKx t K 0
0
2
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0
0
RKF n0
O
2
wn0
2
2
RKFOn 0 aKn t K , V n I 0
aKn t K , V n I 0 RKFOn 0 n 0 n
vKn t K , V n I 0
n
0
1
aKn t K n 0
V
I
v
t
V
I
n0
2
K K
V I , V n I 0 w
Vn I0 , V n I0
c 2 wn 0
RKF n0
RKFOn 0 aKn t K , V n I 0
O
aKn t K vKn t K
2
2
n0
wn0
c
w
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RKFOn0
aKn t K vKn t K
2
wn0
c 2 wn 0
n0 2
O
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w
RKF v t , V I
a t , V I
RKF
1
V I
c w
V I , V I
w
RKF
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1
V I
V I , V I
w
w
n0
O
n
K
2
n0
O
n
0
K
n0 2
n0
O
n0 2
n
K
K
n
0
n
K
K
n
0
n
n
0
n
0
n
0
n
n
0
0
n0 2
O
n0 2
0
n0 2
O
n0 2
n
w n 0 a Rx
t Rn
n0
0
RKFO
n
v n 0 a Rx
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n
n
a Ry
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t Rn 2
c RKFOn 0
n
n
n
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w
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O
2
n
n n w n 0 a Rx
t Rn
n
a Rx t R
a Rx
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n
n
n0
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t Rn vRx
t Rn
RKFO
a Rn t Rn , V n I 0
n
n
n
n
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n
n
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t Rn
vRz
t Rn
n
wn 0 a Rx
t Rn
n
n n
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t Rn v n t n
n
vRx
t Rn
RKFOn 0
a Rx t R
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n
n
n
n
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0
n n
n n
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0
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n
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w
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O
n
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2
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c RKF
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1
1
RKFOn 0
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n
n
n
n
n
a R t R a Rx t R
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t Rn 0
0
c 2 RKFOn 0
0
0
n0 2
w
RKFOn 0
0
a t , V I
2
n0 2
w
RKFOn 0
2
2
a Rn t Rn , V n I 0
a Rn t Rn , V n I 0
vRn t Rn , V n I 0
wn 0
n 0 n n
n
0
1
aRn t Rn n 0
V
I
v
t
V
I
RKF n 0
R R
c 2 RKFOn 0
V I , Vn I0
Vn I0 , V n I0
O
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a Rn t Rn
a Rn t Rn
a Rn t Rn
n
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n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
2
2
n
R
2
n
Kx
2
n0
O
n0
O
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K
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n
n
0
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c
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0
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n0 2
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0
n
0
n
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n
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0
n
0
n
0
n
n0 2
O
n0 2
0
n
n0 2
O
0
0
n0 2
O
0
n
n
n0 2
0
n0 2
O
0
n
K
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0
n
K
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2
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wn 0
t K V n I 0 , V n I 0
c
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n
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n
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2
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n
R
n
0
n0
n
R
K
c w
w
n
n
0
n
0
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tK
n
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2
n
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O
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O
n0
K
K
n0
0
n0
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n0
O
n0
O
0
n
I
n0
n0
O
n
R
n
2
n0
O
0
n
n
R
n0
n0
O
n
R
n
R
n0
O
0
n
n0
n0
O
n
R
n
R
0
n
2
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n0
t Rn t K w n 0
n
R
t , V I
n0 2
w
RKF
w
w
, V I
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v t , V
a
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1
V I
RKF
V
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, V I
a t , V I w
a
t
V
I
,
RKF
w
v t c RKF RKF 1 1 RKF
V I
V
I
V
I
,
RKF
w
a t , V I
a t , V I
w
1
v t c RKF RKF
1
1
V I
RKF
RKF
V I , V I
w
a t , V I w 1 a t , V I
v t c RKF RKF
V I
RKF
V I , V I
s t , V I
s t , V I t v
t w
t
v s t
c
c
s Kn t K t K V n I 0 , V n I 0
tK
2
wn0
c2
wn0
d n
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dt K
dt K
dt Rn dt K
c2
n0
dt K
w
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V n I 0 , V n I 0
dt K
dt K
1
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w
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n
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2
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n
R
wn0
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1
n
R
n
R
n
R
n
R
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w
n
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2
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n
w
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n
R
n
R
dt
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w
c
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c
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1
2
,
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c
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2
w
n0
2
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wn0
0
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c
0
s t , V I
n
K
n
1
2
1
v Kn t K V n I 0 , V n I 0
c
2
n0 2
w
RKFOn 0
Die Formeln wurden recht kompliziert und unübersichtlich. Deshalb ist es sinnvoll, wenn eine Abkürzung
eingeführt wird:
Definition 7: Sei A ein 3-dimensionaler Vektor. I0 bewegt sich in In mit der Geschwindigkeit Vn(I0).
Dann ist der relativistische Korrekturvektor:
A, V n I 0 V n I 0
RKV A
V n I 0 , V n I 0
Jetzt habe ich die Orte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen und Zeiten unabhängig von der
Bewegungsrichtung des Äthers definiert. Ich fasse die Ergebnisse jetzt noch mal zusammen:
Satz 17: Der Äther ruht in I0, welches sich mit der Geschwindigkeit Vn(I0) in In bewegt. Dann sehen die
Übersetzungen zwischen der klassischen Theorie und der relativistischen Theorie so aus:
1
sRn t K s Kn t K n 0 1 RKV s Kn t K
s Kn t Rn s Rn t Rn w n 0 1 RKV s Rn t Rn
w
RKFOn 0
1
n
n
vR t K vK t K n 0 1 RKV v Kn t K
wn0
w
n0
w
RKF
v Kn t Rn v Rn t Rn w n 0 1 RKV v Rn t Rn
RKFOn 0
RKFOn 0 a Kn t K , V n I 0
RKFOn 0 1 RKFOn 0
1
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2
0
2
n
w
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wn0
n
R
n
R
n
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0
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c 2 RKFOn 0
t
dt Rn
dt K
K
t Rn
2
s Rn t Rn , V n I 0
c2
tK
wn0
c2
dt K RKFOn 0
dt Rn
wn0
,
n0
w
n0
O
,
n
K
2
c
v t K V n I 0 , V n I 0
n0 2
w
n0
1
w
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n0
RKF n 0
RKFO
O
wn 0
n
n
v K t K V I 0 , V n I 0
1
n0 2
O
n0 2
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w
n0 2
s Kn t K t K V n I 0 , V n I 0
tK
n
R
n0
O
n
K
1
RKF
c
2
Beweis
s Kn t K , V n I 0
1
1
1 V I s t
1 RKV s t
V I , V I w
w
s t , V I
s t s t
w 1V I s t w 1 RKV s t
V I , V I
RKF
v t , V I 1
RKF
1
v t v t
1 V I
v t
1 RKV v t
w
w
V I , V I w
w
v t , V I
w
w
v t v t
w 1V I
v t w 1 RKV v t
RKF
RKF
V I , V I
RKF
RKF
a
t
,
V
I
RKF
RKF 1 RKF a t , V I
a t a t v t
1
V I
w
V I , V I
w
c w
w
RKF
RKF a t , V I RKF
RKF 1 RKF
a t v t
1
RKV a t
w
w
c w
w
w
a t , V I w 1 a t , V I
a t a t v t
V I
RKF
c RKF
RKF
V I , V I
a t , V I w 1
w
a t v t
RKV a t
c RKF
RKF
RKF
sRn t K sKn t K
n
R
n
K
n
R
n
R
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n
K
K
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K
n
R
n
R
n
R
K
n
K
n
R
n
K
n
R
n
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n
n
R
n
R
0
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0
n0
0
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n
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n
K
K
n
K
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
n
R
K
n
K
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n0
O
n0 2
n
K
n
n
R
2
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n
R
2
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2
n
R
0
K
2
K
n
R
n
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n
n0
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0
n
n
R
n0
O
n0
O
n
K
n
K
K
n0
n0
n
n
R
n0
O
n0
n0
0
n
0
n0
n
R
0
n
n
R
n
n
K
n
K
n0
K
0
n
0
n
K
0
n
K
n
0
n
n0
0
n
n0
n
R
n0
O
n0
n0
O
n0
O
n0
n0
O
n
R
n0
O
n0 2
n0
O
n
R
n
n
0
n
0
n0
O
n
K
K
n
n
0
0
n
n
n
K
n0 2
n
R
n
R
K
0
0
n0 2
O
n0 2
n0 2
O
n0 2
n0 2
n
0
n0 2
O
0
n0 2
n0
n0
O
n
R
n
R
n0 2
O
Rest siehe Herleitung
Ende des Beweises.
m2) Allgemeine physikalische Parameter
In dem Buch „Physik – Gleichungen und Tabellen“ von Dietmar Mende und Günter Simon gibt es eine
Sammlung von physikalischen Formeln. Von Seite 21 bis Seite 24 ist eine Tabelle der physikalischen
Parameter mit Formelzeichen und physikalischen Dimensionen.
Es gibt insgesamt 7 Dimensionen:
Dimension Abkürzung Maßeinheit
Länge
L
m
Zeit
Z
s
Masse
M
kg
Stromstärke
I
A
Temperatur
T
K
Stoffmenge
N
mol
Lichtstärke
J
cd
Die Dimension und die Einheit jeder physikalische Größe G kann so geschrieben werden:
dimG = Li Z j M k I l T m N n J p
SI EinheitG = mi s j kg k Al K m mol n cd p
Hier folgt jetzt die Tabelle, in der die Exponenten i, j, k,l, m, n und p den einzelnen Größen zugeordnet
werden:
Größe
Länge
Fläche
Volumen
Brechwert
Ebener Winkel
Raumwinkel
Zeit
Frequenz
Kreisfrequenz
Winkelgeschwindigkeit
Winkelbeschleunigung
Geschwindigkeit
Beschleunigung
Masse
Dichte
Spezifisches Volumen
Kraft
Druck
Spannung
Impuls
Drehimpuls
Massenträgheitsmoment
Flächenträgheitsmoment
Drehmoment
Energie
Arbeit
Leistung
Wirkung
Energiedichte
Wirkungsgrad
Reibungszahl
Elastizitätsmodul
Schub-, Torsionsmodul
Kompressionsmodul
POISSON-Zahl
Richtgröße
Gravitationskonstante
Oberflächenspannung
Dynamische Viskosität
Kinematische Viskosität
Volumenstrom
REYNOLDS-Zahl
Elongation
Periodendauer
Schallschnelle
Formelzeichen
l
A
V
D
t
f
v
a
m
v
F
p
p
L
J
I
M
E
W
P
H
w
E
G
K
k
G
n
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y
T
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1
2
3
-1
k
l
1
-1
-1
-1
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-3
3
1
-1
-1
1
2
2
4
2
2
2
2
2
-1
1
1
-1
1
1
1
1
1
1
-2
-2
-2
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-1
-2
1
1
1
1
1
1
-1 -2
-1 -2
-1 -2
-2
3 -2
-2
-1 -1
2 -1
3 -1
1
1
1 -1
1
1
1
1
-1
1
1
m n P
Lautstärkepegel
Dämm-Maß
thermodynamische Temperatur
Stoffmenge
Molare Masse
Molares Volumen
Wärmemenge, Wärmeenergie
Wärmekapazität
Spezifische Wärmekapazität
Volumenbezogene Wärmekapazität
Molare Wärmekapazität
Enthalpie
Entropie
Gaskonstante
BOLTZMANN-Konstante
Adiabatenexponent
Polytropenexponent
Spezifische Schmelzwärme
Spezifische Verdampfungswärme
Heizwert von festen und flüssigen Brennstoffen
Heizwert von gasförmigen Brennstoffen
Längenausdehnungskoeffizient
Raumausdehnungskoeffizient
Wärmeleitfähigkeit
Wärmeübergangskoeffizient
Wärmedurchgangskoeffizient
Wärmestrom
Wärmestromdichte
Temperaturleitfähigkeit
Ebullioskopische Konstante
Kryoskopische Konstante
Dissoziationsgrad
VAN-DER-WAALS'sche Konstante
VAN-DER-WAALS'sche Konstante
Absolute Feuchte
Relative Feuchte
Elektrische Stromstärke
Elektrische Ladung
Elektrische Stromdichte
Elektrische Spannung
Elektrischer Widerstand
Elektrischer Leitwert
Spezifischer elektrischer Widerstand
Elektrische Leitfähigkeit
Elektrische Feldstärke
Magnetische Feldstärke
Elektrische Kapazität
Induktivität
Elektrische Flußdichte
Magnetische Flußdichte
Magnetischer Fluß
Magnetische Spannung
Magnetischer Widerstand
Elektrische Feldkonstante
Magnetische Feldkonstante
Dielektrizitätszahl
Permeabilitätszahl
Elektrische Suszeptibilität
Magnetische Suszeptibilität
Elektrische Polarisation
Ls
R
T
n
M
Vm
Q
C
c
CV
Cm
H
S
R
k
x
k
q
r
H
H´
k, U
q
a
E
K
a
b
f
I
Q
J
U
R
G
E
H
C
L
D
B
V
Rm
r
r
e
m
P
1
1
-1
-1
1
3
2
2
2
-1
2
2
2
2
2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
2
2
2
-1
-2
-2
-2
-2
1 -3
-3
-3
2 -3
-3
2 -1
1
1
-1
-1
-1
-1 -1
1
1
1
1
1
1
-1
-1 -1
-1
1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
5 -2
3
-3
1
1
1
-2
2
2
-2
3
-3
1
-1
-2
2
-2
-3 1
-3 1
3 -1
-3 1
3 -1
-3 1
4 -1
-2 1
1
-2 1
2 -2 1
-2 2 -1
-3 4 -1
1 -2 1
-2
1
-2
-1
1
1
1
-1
-2
2
-2
2
-1
1
2
-2
1
-1
-1
1
2
2
-2
1
Magnetische Polarisation
Elektrisches Moment
Magnetisches Moment
Elektrische Polarisierbarkeit
Magnetische Polarisierbarkeit
FARADAY-Konstante
Lichtstärke
Lichtstrom
Leuchtdichte
Beleuchtungsstärke
Strahlungsfluß
Strahlungsflußdichte
Strahlstärke
Strahldichte
Bestrahlungsstärke
Numerische Apertur
Brennweite
Brechzahl
Gitterkonstante
Relative Atommasse
Relative Molekülmasse
Aktivität
PLANCK'sches Wirkungsquantum
Drehimpulsquantum
AVOGADRO-Konstante
LOSCHMIDT-Konstante
Zerfallskonstante
J
p
j
F
I, Iv
v
L, Lv
E, Ev
e
I, I e
L, L e
E, E e
A
f
n
g
Ar
Mr
A
h
ħ
NA
n0
-2 1 -1
1 1
1
3 -2 1 -2
4 -1 2
4 -2 1 -2
1
1
-2
-2
2 -3
-3
2 -3
-3
-3
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-1
Jede dieser Größen muß relativistisch dargestellt werden können. Für die Größen, die sich durch Längen
und Zeiten darstellen lassen, habe ich bereits die Übersetzungsmöglichkeit vorgegeben. Das sind die grün
markierten Größen.
Dann gibt es noch die Dimensionslosen Größen. Dazu gehören vor allem die Konstanten oder die relativZahlen. Das sind die gelb markierten Größen.
Eigentlich müßte ich alle übersetzen. Das ist aber die Aufgabe der Physiker. Ich möchte Ihnen nur zeigen,
wie das geht. Und das habe ich Ihnen bereits in Abschnitt m) weitgehend vorgeführt und in Abschnitt m1)
gezeigt, wie man das richtungsunabhängig macht. In diesem Abschnitt geht es um die physikalischen
Größen, die man damit noch nicht definieren kann. Und das sind alle anderen.
Wenn ich die Relativitätstheorie auf diese Größen erweitern will, dann müßte ich die Dimensionen
Masse, Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke mit Hilfe von Formeln durch Zeit und
Länge ausdrücken können.
In jeder Formel müssen auf der linken Seite und auf der rechten Seite die Einheiten übereinstimmen.
Wenn ich beispielsweise die Masse in die Theorie einführen will, dann taucht kg auf beiden Seiten der
Gleichung auf. Die Dimensionen der physikalischen Größen sind aber miteinander vermischt. Immer
dann, wenn in den Formeln Raum und Zeit auftauchen, muß eine Übersetzung vorgenommen werden.
Dadurch müssen sich alle Größen verändern, die Raum oder Zeit enthalten. Das sind die rot markierten
Größen.
Jetzt bleiben ein paar physikalische Größen übrig. Mit diesen können dann die restlichen 5 Dimensionen
der physikalischen Parameter geeicht werden. Natürlich kann man sich auch hier überlegen, wie man
diese Größen am besten messen kann. Dann kann man auch zur Eichung einige der rot markierten
physikalischen Parameter verwenden. Das hat aber einen Nachteil. Die Relativitätstheorie wird dann nicht
eindeutig, weil die Wahl der Eichung willkürlich wird. Die Physiker müßten sich zusammensetzen und
untereinander aushandeln, welche physikalischen Parameter für die Eichung verwendet werden soll. Denn
wenn man Formeln hat wie p=mv, dann kann sich die Masse m oder der Impuls p verändern. Je
nachdem, welche Wahl getroffen wurde, sieht die Theorie sehr unterschiedlich aus.
Wenn ich den Impuls für die Eichung verwende, dann sollte ich mir genau überlegen, wie ich mit Hilfe
des Impulses die Masse in der Bewegung messen soll. Wenn ich den unelastischen Stoß zur Eichung
verwende, weil das Ereignis am einfachsten beurteilt werden kann, dann muß ich jedes Mal, wenn ich die
Masse messen will, das Objekt zerstören. Ich kann die Physik dann zwar berechnen, aber ich kann keine
experimentellen Beweise durchführen, da ich die Masse vor dem Experiment nicht messen kann.
Will ich solche Schwierigkeiten vermeiden, dann bleiben für die Eichung der restlichen 5 Dimensionen
der physikalischen Größen nur noch diese Größen übrig:
Größe
Formelzeichen i j k l m n P
Masse
m
1
thermodynamische Temperatur
T
1
Stoffmenge
n
1
Molare Masse
M
1
-1
Längenausdehnungskoeffizient
-1
Raumausdehnungskoeffizient
-1
Ebullioskopische Konstante
E
1
Kryoskopische Konstante
K
1
Elektrische Stromstärke
I
1
Magnetische Spannung
V
1
Lichtstärke
I, Iv
1
Lichtstrom
1
v
Davon habe ich eine Zeile rot markiert. Dort ist die Größe eine Kombination aus 2 Dimensionen.
Konstanten und Ausdehnungskoeffizienten scheinen mir auch keine geeigneten Eichgrößen zu sein. Die
würde ich nicht empfehlen. Ich habe sie Gelb markiert. Übrig bleiben dann 7 Größen. Sowohl die
elektrische Stromstärke als auch die magnetische Spannung sind zur Eichung der Stromstärke geeignet.
Sowohl die Lichtstärke als auch der Lichtstrom sind für die Eichung der Lichtstärke geeignet. Da in der
elektrischen Stromstärke schon der Begriff Stromstärke vorkommt und die Lichtstärke schon eine
physikalische Größe ist, wäre es sinnvoll, die magnetische Spannung und den Lichtstrom nicht zur
Eichung zu verwenden. Dann bleiben zur Eichung die grün markierten Zeilen übrig. Diese Größen sollen
sich nicht ändern, wenn eine Übersetzung von der absoluten Gleichzeitigkeit der klassischen Theorie zur
relativen Gleichzeitigkeit durchgeführt wird. Dann können alle physikalischen Größen übersetzt werden.
2. Experimente
a) Das Experiment von Hafele und Keating
Es gibt einige Experimente, die nachweisen wollen, daß man sogar in einem Flugzeug, welches mit sehr
kleiner Geschwindigkeit relativ zu der des Lichtes fliegt, trotzdem nachweisen kann, daß sie die Gesetze
der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie erfüllen. Man muß aber auf eines aufpassen:
Wenn Uhren synchronisiert werden, dann gibt es nicht nur das Problem der relativistischen
Gleichzeitigkeit. Wenn man am Äquator die Uhren relativistisch exakt synchronisieren könnte, dann
würde man bei einer kompletten Umkreisung der Erde einen Zeitsprung von ~ 205-206 ns feststellen. Der
Synchronisationsfehler ist aber für alle bisher in der Literatur erwähnten Netzwerke so groß, daß der
Zeitsprung nicht feststellbar ist. Die Methode, Uhren zu synchronisieren ist also nicht genau genug um die
relativistische Gleichzeitigkeit auf der Erdoberfläche von der relativistischen Gleichzeitigkeit des
Meßsystems zu unterscheiden in dem die Erde bis auf Rotation ruht.
In [28] wird das Experiment von Hafele und Keating beschrieben. Sie benutzten für das Experiment eine
komplette Erdumkreisung in Rotationsrichtung (= Ostflug) und in Gegenrotationsrichtung (= Westflug)
der Erde. Das hat den Vorteil, daß die Geschwindigkeit der Uhren im Flugzeug immer mit der gleichen
Uhr verglichen wird. Die Synchronisationsfehler werden dadurch ausgeschaltet. Deshalb gehe ich nur auf
dieses Experiment ein. Alle Überlegungen zu diesem Experiment sind auf die anderen übertragbar!
Die Idee des Experimentes sah so aus:
Die Erde dreht sich in 24 Stunden ein mal um sich selbst. Wenn ein Flugzeug in Ostrichtung um die Erde
fliegt, dann kann man zu der Fluggeschwindigkeit die Rotationsgeschwindigkeit der Erde addieren. Die
tatsächliche Fluggeschwindigkeit ist dann größer als die eines ruhenden Beobachters auf der Erde. Wenn
ein Flugzeug in Westrichtung um die Erde fliegt, dann muß von der Rotationsgeschwindigkeit der Erde
die Geschwindigkeit des Flugzeugs abgezogen werden. Das Ergebnis ist positiv, wenn das Flugzeug
mindestens 24 Stunden für eine Erdumkreisung benötigt. Die Geschwindigkeit des Flugzeugs ist dann
immer langsamer als die Geschwindigkeit eines Beobachters auf der ruhenden Erde. Jetzt kann man
überprüfen, ob die Atomuhr, unser genauestes Zeitmessinstrument, die Zeit so misst, wie man es von der
speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie erwartet.
Die theoretischen Grundlagen des Experiments:
Aufgrund der Erdrotation hat eine Uhr am Äquator die Geschwindigkeit:
vA
2 RE
UE
T Tkorr
T Tkorr
UE ist der Umfang der Erde, RE der Erdradius, T ist 1 Tag und Tkorr ist ein Korrekturterm, denn die Erde
dreht sich während eines Tages auch um die Sonne. Für die Berechnung braucht man nicht den
Sonnentag, sondern den Sternentag! Dieser Korrekturterm wurde in der theoretischen Auswertung des
Experimentes vernachlässigt. Die Uhr, die auf der Erde in Ruhe ist bewegt sich dann mit der
Geschwindigkeit vA.
Da das Flugzeug nicht in Erdbodenhöhe fliegt, sondern höher sieht die Formel für die Geschwindigkeit
etwas anders aus:
2 R E H
2 R E H
v
v v
v
FO
T Tkorr
O
,
FW
W
T Tkorr
Hier ist H die Flughöhe und vO und vW sind die Geschwindigkeiten des Flugzeugs in Ost und
Westrichtung relativ zur Erdoberfläche in Flughöhe. Ich kann vO und vW auch mit Hilfe der Flugdauer
und des zurückgelegten Weges darstellen. Die Formeln sehen dann so aus:
1
2 R E H 2 R E H
1
2 R H
v
FO
v FW
T Tkorr
TO
E
2 R E H 2 R E H
2 R E H
T Tkorr
TW
T T
korr
TO
1
1
T Tkorr TW
TO und TW bezeichnen die Flugzeit für den Ost- und Westflug.
Was ich hier dargestellt habe ist die Geschwindigkeit der Uhr auf dem Erdboden bzw. im Flugzeug in
dem Inertialsystem in dem die Erde bis auf Rotation ruht. Die Zeit TTkorr wurde auf der Erde in Ruhe
bestimmt. Es ist deshalb sinnvoll, wenn TO und TW ebenfalls für diese Uhr am Erdboden benutzt wird.
Auch RE und H wurden in dem Meßsystem ermittelt, welches sich relativ zur Erdoberfläche in Ruhe
befindet. Da RE und H senkrecht zur Bewegungsrichtung der Uhren im Flugzeug und auf der Erde sind,
sind diese Werte in beiden Inertialsystemen gleich.
Man beachte: Die Zeiten, die hier benutz werden, gelten für ein anderes Inertialsystem als die
Geschwindigkeiten. Sie müssen einander angepaßt werden. Das wurde ebenfalls in der Untersuchung
vernachlässigt. Da sehr kleine Zeiteffekte gesucht werden, möchte ich das nicht vernachlässigen! Dafür
braucht man dann die Zeitdilatationsformel:
t t 1
v2
c2
t’ ist die Zeit im bewegten Inertialsystem, t die im ruhenden Inertialsystem. v ist die Geschwindigkeit des
bewegen Inertialsystems gemessen im ruhenden Inertialsystem. Normalerweise ist diese Formel
symmetrisch und kann in beiden Inertialsystemen angewendet werden. Es gibt aber den Zeitsprung bei
der Synchronisation der Uhren auf der Erde. Deshalb muß die Uhr auf der Erde als die bewegte Uhr
betrachtet werden. Damit ergeben sich folgende Formeln für die Geschwindigkeit:
2
vA
v
2 RE
1 A2
T Tkorr
c
2
2
1
v
v
1
v FO 2 RE H
1 A2 1 A2
T Tkorr
c
TO
c
2
v
1
2 R H 1
1 A2
E
c
T Tkorr TO
2
2
1
v
v
1
v FW 2 RE H
1 A2
1 A2
T Tkorr
c
TW
c
1
2 R H 1
E
T T T
korr
W
2
v
1 A2
c
Da vA von vA abhängt, muß die Formel für vA umgeschrieben werden:
2
vA
2 RE
v
1 A2
T Tkorr
c
2 RE
1
T Tkorr
2 RE
2
v A
T Tkorr
2
1
1
2 2
v
c
A
2
vA2
1 2
c
1 T Tkorr
2
vA
2 RE
2
1
2
c
1
vA
2
T Tkorr
2 RE
1
2
c
2
1
vA
c
2
2
1
1
2
c T Tkorr
2 RE
c T Tkorr
2 RE
1
c T Tkorr
2 RE
1
2
1
2 RE
1
c T Tkorr
2
Jetzt sind nur noch die Fluggeschwindigkeiten anzupassen:
1
1
2 R E H
2 RE H
1
1
v
, v
FO
T T
korr
TO
2 RE
1
c T Tkorr
2
FW
T T
korr
TW
2 RE
1
c T Tkorr
2
Jetzt kann ich den Laufzeitunterschied der Uhren berechnen, der durch die verschiedenen
Geschwindigkeiten auf Grund der speziellen Relativitätstheorie zu erwarten sind. Verglichen wird immer
mit der Uhr am Erdboden:
t O t A t O TO 1
2
2
2
2
vF
vF
vA
v
TO 1 O2 TO 1 A2 1 O2
2
c
c
c
c
2
2
TO 1
1 4 R E H 2
1
2
2
2 c T Tkorr TO
2 RE
T Tkorr
1
c
T
T
korr
2 RE
2
1
RE
1
2
R E H
T
T
T
korr
O
T Tkorr
TO 2 2
2
2 RE
c 2
T Tkorr
2
2
T v FO v A
O
2
2c
T
O 2
2
1 2c
2
c
2
1
2 RE
1
2
4 R E H 2
T
T
T
korr
O
T Tkorr
2
2 RE
1
c T Tkorr
2
TO H 2 RE H 1
2
2
2
T
T
Tkorr
T Tkorr
2 2
O
2
2 RE
c 2
T Tkorr
RE H 2
2
2
2
tW t A tW TW 1
vF
vA
TW 1 W2 TW
2
c
c
1
TW
1
2
2 c T Tkorr TW
2
2
2
2
vF
v
1 A2 1 W2
c
c
4 R E H 2
2
2 RE
1
c T Tkorr
2
2
T v FW v A
W
2
2c
2
1
2 RE
1
4 RE H 2 2
T
T
T
T
1
korr
W
T Tkorr
W 2
2
2
T Tkorr
2 RE
1 2c
2
1
2 RE c
c T Tkorr
2
2
R
TW H 2 RE H 1
2
RE H 2 2 E 2
2
2
T Tkorr
T Tkorr
TW T Tkorr
2 2
2
2
2 RE
2 RE
c 2
c 2
T Tkorr
T Tkorr
1
1
T Tkorr TW
TW 2 2
2
RE H 2
Für die theoretische Betrachtung wurden eine Flughöhe von 10 km und eine Flugzeit von 50 h in beiden
Richtungen angenommen. Aufgrund der Rotationsrichtung der Erde gilt: Tkorr=1+1/365,26. Die restlichen
benötigten Daten sind bekannt: RE=6378,2km, c=299792,5km/s. Ich erhalte dann folgende Ergebnisse:
50h 10km 2 6378,2km 10km 1
2
6378,2km 10km 2
2
366,26
50h
366
,
26
24h
24 2 h 2
365,26
365,26
2
t O 2
2
2
km
2 6378,2km
2997922 2
366,26
s
24h 365,26
2
50 127664
1
1
50 127664
6388,2 2 km
0,103106 6388,2 2
2
576 1,0027378 50 12 1,0027378
576 1,00273782
2
2
h
2
2
s 257ns
2
2
km 2
12756,4
12756,4
2
2
299792 3600
299792 3600
sh
24 60 1,0027378
24 60 1,0027378
tW 2 2
50h 10km 2 6378,2km 10km 1
2
6378,2km 10km 2
2
366
,
26
50
h
366,26
24h
24 2 h 2
365
,
26
365,26
2
2
2 km
2 6378,2km
299792
366,26
s2
24h 365,26
2
50 127664
1
1
50 127664
6388,2 2 km
0,063106 6388,2 2
2
576 1,0027378 50 12 1,0027378
576 1,00273782
2
2
h
2
2
s 156ns
2
2
km 2
12756,4
12756,4
2
2
299792 3600
299792 3600
sh
24 60 1,0027378
24 60 1,0027378
Die Uhr für den Ostflug müßte also um 257 ns(= milliardstel Sekunden) langsamer gehen und die Uhr für
den Westflug um 156 ns schneller gehen als die Uhr auf dem Erdboden. Dies ist nur der
Geschwindigkeitseffekt!
Es gibt aber nach der allgemeinen Relativitätstheorie noch einen Gravitationseffekt. In der Beschreibung
zum Experiment wird behauptet, daß für die Uhren im Flugzeug die Gravitation in beiden Richtungen
gleich ist. Dies ist falsch, denn Hafele und Keating haben die Fliehkraft vergessen. Ich werde jetzt erst
mal nur das zeigen was passiert wenn man die Fliehkraft vernachlässigt um zu zeigen, wie gut die
Ergebnisse dann zur Vorstellung der Relativitätstheorie passen. Anschließend zeige ich was passiert,
wenn man die Fliehkraft berücksichtigt.
Die Geschwindigkeit der Uhr im Flugzeug wird mit Hilfe einer Formel in Abhängigkeit von der Flughöhe
korrigiert:
t g
gH
t
c2
g=9,78049m/s2 ist die Gravitation der Erde in Meeresspiegelhöhe am Äquator, H ist die Flughöhe, c die
Lichtgeschwindigkeit. Ätg ist die Zeit, die die Uhr im Flugzeug vorgeht in Abhängigkeit von der
Gravitation. Es gilt also:
m
10km
2
9,78049 1800
s
t g
50h
s 196ns
2
299792,5 2
2 km
299792,5
s2
9,78049
Jetzt vergleiche ich meine Ergebnisse mit den Ergebnissen aus dem Experiment
Abschätzung der zu erwartenden Messwerte:
t tW t A
t t O t A
t Grav
196 ns | 196 ns
196 ns | 196 ns
t Geschw
–257 ns | –255 ns
156 ns | 156 ns
Summe
–61 ns | –59 ns
352 ns | 352 ns
Die roten Werte sind die Ergebnisse meiner Berechnungen und die schwarzen Werte sind Ergebnisse aus
den Untersuchungen. Meine Werte sind fast identisch mit denen aus der Untersuchung. Das Experiment
lieferte dann folgendes Ergebnis:
t t O t A in ns t tW t A in ns
Theoretische Werte
Berechnet anhand der Flugdaten
Experimentelle Werte
Seriennummer der Atomuhr
120
361
408
447
Mittelwert
Theoretischer Wert
Experimenteller Wert
–40±23
275±21
-57
-74
-55
-51
-59±10
277
284
266
266
273±7
0,68±0,39
1,007±0,077
Der Kommentar zu diesen Messergebnissen lautete dann:
„Trotz einfacher experimenteller Methoden konnten Hafele und Keating mit ihrem Flug in
westlicher Richtung um die Erde die Vorhersage der Relativitätstheorie auf 8% genau bestätigen.
Damit war erstmals das Uhrenparadoxon mit makroskopischen Uhren getestet.
Beim Ostflug wirken Gravitations- und Geschwindigkeitseffekt entgegen und heben sich teilweise
auf. Dadurch wird der relative Messfehler größer.“
Die Meßergebnisse scheinen die Theorie zu bestätigen. Ich habe aber schon oben erwähnt, daß eine
wichtige physikalische Eigenschaft vergessen wurde: Die Fliehkraft!
Nach der allgemeinen Relativitätstheorie bewegt sich das Licht für jeden frei fallenden Körper mit der
Geschwindigkeit c. Also auch in den Flugzeugen, die in gleicher Höhe in Ost- und Westrichtung fliegen.
Für das Flugzeug, das in Ostrichtung fliegt erhöht sich die Fliehkraft und für das andere Flugzeug
verringert sie sich. Für einen frei fallenden Stein im Flugzeug, welches sich in Ostrichtung bewegt ist
dann die Gravitation niedriger als im Flugzeug, welches sich in Westrichtung bewegt. Deshalb könnte
auch die Fliehkraft einen nachweisbaren Beitrag zur Geschwindigkeitsänderung der Uhr liefern.
Um den Einfluß der Fliehkraft berücksichtigen zu können, spalte ich deshalb erst mal die
Erdbeschleunigung in die Gravitationsbeschleunigung und Fliehkraftbeschleunigung auf. Die
Beschleunigung für die Fliehkraft erhalte ich durch folgende Formel:
a
v2
r
a ist die Beschleunigung, v die Geschwindigkeit und r der Radius der Flugbahn. v habe ich für die
verschiedenen Uhren schon bestimmt, r=RE für die Uhr am Boden und r=RE+H für die Uhren im
Flugzeug:
aA
1
T T
korr
RE
2 RE
1
aO
T Tkorr
2
c2
c T T
1
korr
2 RE
2
c
R
E
2
2
1 4 R E H
,
2
TO
2 RE
1
c T Tkorr
2
1
,
1
1
aW
T Tkorr TW
2
4 RE H 2
2
2 RE
1
c T Tkorr
Die Gravitationsbeschleunigung für die Uhr am Erdboden erhalte ich, wenn ich zur Erdbeschleunigung
am Äquator die Beschleunigung für die Fliehkraft addiere:
g A g aA g
c2
c T T
korr
R E
2 RE
2
1
Für das Gewicht eines Körpers gilt folgendes Gravitationsgesetz:
G
mE
m
r2
Die Erdbeschleunigung am Erdboden lautet dann:
gA
mE
RE
2
Die Gravitationsbeschleunigungen für die Uhren im Flugzeug kann dann nach der folgenden Formel
berechnet werden:
2
gF
mE
RE
1
gA
g
2
R E H
R E H 2 A H
1
RE
2
c2
g
c T T
korr
R E
2 RE
1
2
H
1 1
RE
2
Da H sehr klein ist im Vergleich zum Erdradius, kann die Formel abgeschätzt werden:
gF gA
1
2
H
1
R
E
H
H
2
R E
RE
g A 1
2
H
1 R
E
g
A
H
1
2
R
E
Diese Abschätzung habe ich durchgeführt, weil die Formel für die Geschwindigkeitsänderung der
Atomuhren im Gravitationsfeld linear von der Höhe abhängt. Jetzt hängt auch die Gravitation linear von
der Höhe ab. Jetzt kann ich mit Hilfe dieser Formel die Gravitationsänderung umrechnen in eine
Zeitänderung der Atomuhren:
H
H
2
RE
RE
gA H
t g
t , g A g F g A g A 1
2
c2
H
1
R
E
Daraus folgt:
t g
g g F R E
gA H
t A
t
2
2 c2
c
H
2
RE
H
g H
gA
2
A
2
R
R
E
E
H
1
R
E
Jetzt kann ich mit Hilfe dieser abgeschätzten Formel den Einfluß der Fliehkraft abschätzen. Für die reine
Gravitationsbeschleunigung kann weiterhin die ursprüngliche Höhenformel benutzt werden.
c2
g
c T T
korr
RE
2 RE
t g
c2
c2
t O
RE c T Tkorr
2 R E
2 RE
T Tkorr
2
1
T Tkorr
1
H t
2
1
2
1 4 RE H 2 RE
t
2
2
TO
2 RE 2 c
1
c T Tkorr
2
1
RE H
1
RE
4 RE H 2
T
T
T
TO
korr
O
t RE 2 2
2
2 RE
2 c 2
T Tkorr
c2
tW
RE c T Tkorr
2 R E
2 RE
T Tkorr
2
H
2
1
g
1
t 2
c
c T T
korr
RE
2 RE
2
2
1
T Tkorr
1
2
H
1
2
T
T
T
T
T
korr
O
korr
t
2
2 RE
2
c
T Tkorr
2
1 4 RE H 2 RE
t
2
2
TW
2 RE 2 c
1
c T Tkorr
2
1
RE H
1
RE
4 RE H 2
T
T
T
TW
korr
W
t RE 2 2
2
2 RE
2 c 2
T Tkorr
2
H
1
2
T
T
T
T
T
korr
W
korr
t
2
2 RE
c 2
T Tkorr
Ich berechne jetzt die tatsächlichen Einflüsse der Gravitation und der Fliehkraft:
m
9
,
78049
2
1
s
t g
10km 50h
2
2
366,26
km
299792 2 km
24h
299792
s2
365,26
s
6378, 2km
1
2 6378,2km
9,78049 1800
1800000
s 197 ns
2
2
299792 12 3600 1,0027378
299792
6378,2
1
6378,2
6378,2km 10km
2
1
10km
2
366,26 50h
50h
366,26
24h 365,26
24h
365,26
tO 6378,2km 2 2
50h
2
2 6378,2km
km 2
299792 2 2
366,26
s
24h 365,26
6388, 2
1
1
10
2
50
12 1,0027378 50 24 1,0027378 s 257ns
637820 3600 2
2
299792 36002 2 6378,2
24 1,0027378
6378, 2km 10km
2
1
10km
2
366,26 50h
50h
366,26
24h 365,26
24h
365,26
tW 6378,2km 2 2
50h
2
2
2 km
2 6378,2km
299792
s 2 24h 366,26
365,26
6388,2
1
1
10
2
50
12
1
,
0027378
50
24 1,0027378
637820 3600 2
s 157ns
2
299792 36002 2 6378,2
24 1,0027378
Da die Beschleunigung für die Fliehkraft in die entgegengesetzte Richtung zeigt wie die
Erdbeschleunigung, ist die Gesamtbeschleunigung die Differenz zwischen der Erdbeschleunigung und
der Fliehkraftbeschleunigung. Also muß ich auch bei der Zeitdifferenz für die Fliehkraft die Vorzeichen
wechseln. Die korrekte theoretische Auswertung sieht dann so aus:
t tW t A
t t O t A
t Grav
197 ns | 196 ns
197 ns | 196 ns
t Geschw
–257 ns | –255 ns
156 ns | 156 ns
t Fliehkraft
Summe
257 ns
-157 ns
197 ns | –59 ns
196 ns | 352 ns
Wenn sich die Uhren so verhalten würden, wie es die Formeln der Relativitätstheorie vorschreiben, dann
hätte man diesen Effekt nachweisen können.
Eine Sache ist ganz besonders interessant! Der Laufzeitfehler der Atomuhr durch die Fliehkraft ist fast
genau so groß wie der Einfluß durch die Geschwindigkeit. Nur das Vorzeichen zeigt die falsche
Richtung an.
Ich zeige Ihnen hier, wie die Atomuhr funktioniert:
Ein Signal wird mit einer bestimmten Frequenz durch eine Wanne mit
Cäsiumatomen geleitet. Wenn die Frequenz des Signals gleich die
Eigenschwingungsfrequenz der Cäsiumatome ist, dann wird die Energie des Signals
absorbiert. Der Empfänger auf der anderen Seite der Wanne nimmt die Stärke des
Signals auf. Sollte die Frequenz des Senders von der Eigenschwingungsfrequenz abweichen, dann wird
ein Kontrollsignal an den Sender geschickt, der den Fehler korrigiert. Durch diese Prozedur hat der
Sender immer eine bestimmte konstante Frequenz. Ich kann die Wellentäler und Wellenberge zählen und
der ganze Apparat funktioniert dann als Uhr.
Die Zeitmessung der Atomuhr hängt aber von der Lichtgeschwindigkeit ab, denn das Licht wird vom
Sender zum Empfänger auch durch ein Vakuum geschickt, während das Kontrollsignal über eine feste
Leitung zum Sender zurückgeschickt wird. Wenn sich die Geschwindigkeit der Atomuhr ändert, dann
kann es passieren, daß für einen kurzen Moment die Schwingungsfrequenz des Senders nachkorrigiert
wird. Bewegt sich bei einem solchen Korrekturvorgang die Atomuhr in Richtung des Senders, dann wird
der Lichtweg im Vakuum kürzer, bewegt sich die Atomuhr vom Sender weg, dann wird der Lichtweg im
Vakuum länger. Je nach der Lage im Raum könnte daher die Uhr unterschiedlich schnell die
Eigenschwingungsfrequenz nachkorrigieren. Wie stark der Effekt ist hängt natürlich von der Häufigkeit
der Korrekturen ab. Außerdem neutralisieren sich diese Effekte zum Teil. Da im Flugzeug 4
verschiedene Atomuhren mitgenommen wurden, kann man überprüfen, ob die einzelnen
Beschleunigungen während des Fluges: Starten, Landen, Geschwindigkeitsänderungen, usw. groß genug
waren, um die Geschwindigkeit der Atomuhren zu beeinflussen.
Ich weiß nicht, ob die Experimentatoren darauf geachtet haben, ob die Lage der Atomuhr im Flugzeug in
beiden Flugrichtungen gleich waren. Bei Veränderungen der Lage ist es aber möglich, daß sich bei der
einen Uhr die Lage nicht geändert hat, während sich bei einer anderen Uhr die Lage im Raume änderte.
Wenn das passiert ist, dann könnte man vielleicht mit Hilfe von Zeitvergleichen für die verschiedenen
Flugrichtungen diesen Effekt nachweisen, wenn er groß genug ist. Hier sind noch mal die Meßdaten der
einzelnen Atomuhren:
t t O t A in ns
Seriennummer der Atomuhr
120
361
408
447
t tW t A in ns
t t120 t 361
-57
-74
-55
-51
Ostflug
17
277
284
266
266
Westflug
-7
t t120 t 408
-2
11
t t120 t 447
-6
11
t t 361 t 408
-19
18
t t 361 t 447
-23
18
-4
0
t t 408 t 447
Das Vorzeichen der Laufzeitunterschiede ist für die verschiedenen Richtungen entgegengesetzt. Aber die
Größenordnung der Abweichungen ist interessant. Wenn ich die Uhren mit den Seriennummern 361 und
408 miteinander vergleiche, dann sind die Abweichungen nahezu gleich und sehr hoch. Wenn ich die
Uhren mit den Seriennummern 120 und 408 miteinander vergleiche, dann sind die Abweichungen im
Ostflug fast nicht mehr vorhanden, während sie im Westflug 5-6 mal so groß sind. Das kann ein Hinweis
darauf sein, daß die Fehlerkorrektur in Abhängigkeit von der Lage der Uhr im Raume unterschiedlich gut
funktioniert.
Beweisen die Ergebnisse des Experimentes, daß die Relativitätstheorie falsch ist?
Nein! Das bedeutet nur, daß die physikalischen Eigenschaften der Atomuhr nicht mit den physikalischen
Eigenschaften der Lichtuhr identisch sind und deshalb sind die Formeln der Relativitätstheorie zur
Zeitmessung nicht auf die Atomuhr übertragbar!
Literaturverzeichnis
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Roman Sexl, Herbert K. Schmidt: „Raum – Zeit – Relativität“
K. Stumpff: „Himmelsmechanik“, 3 Bände, 1973
Markierte Literatur:
Weiterführende Überlegungen zu den Eigenschaften des Äthers.
Anschauliche Erklärungen für den physikalischen Laien, aber nur unzulängliche Beweise.
