Tutorium: Vorbereitung der Abschlussklausur am 10.08.2013

Tutorium:
Analysis und lineare Algebra
Vorbereitung der Abschlussklausur (Teil 2)
Steven Köhler
[email protected]
mathe.stevenkoehler.de
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© 2013 Steven Köhler
6. August 2013
Komplexe Zahlen
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen I
Es sei z = a + ib 2 C. Dann hei¼t
² a Realteil von z (Bezeichnung: a = Re z oder a = <z);
² b ImaginÄ
arteil von z (Bezeichnung: b = Im z oder b = =z);
p
² jzj = a2 + b2 absoluter Betrag von z;
² z = a ¡ ib konjugiert komplexe Zahl zu z.
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen II
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen I
Addition & Subtraktion
Es seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 . Dann ist
´
³
´
³
a1 + a2 + i b1 + b2 ;
z1 + z2 =
´
³
´
³
a1 ¡ a2 + i b1 ¡ b2 :
z1 ¡ z2 =
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Komplexe Zahlen
Rechnen mit komplexen Zahlen II
Multiplikation & Division
Es seien z1 = a1 + ib1 und z2 = a2 + ib2 . Dann ist
³
´
³
´
a1 a2 ¡ b1 b2 + i a1 b2 + a2 b1 ;
z1 ¢ z2 =
z1
z2
μ
=
a1 a2 + b1 b2
a22 + b22
7
¶
μ
+i
a2 b1 ¡ a1 b2
a22 + b22
¶
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:
5. August 2013
Komplexe Zahlen
Polarkoordinatendarstellung I
Komplexe Zahlen kÄ
onnen alternativ auch mit Hilfe der folgenden
Polarkoordinatendarstellung angegeben werden:
³
¡ ¢
¡ ¢´
z = r cos ' + i sin ' :
Die Bezeichnungen sind bei dieser Darstellung wie folgt:
² r: Betrag von z;
² ': Argument von z.
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Polarkoordinatendarstellung II
Es seien z1 = r1 (cos '1 + i sin '1 ) und z2 = r2 (cos '2 + i sin '2 ).
Dann gilt:
³
¡
¢
¡
¢´
z1 z2 = r1 r2 cos '1 + '2 + i sin '1 + '2 ;
z1
z2
=
9
¢
¡
¢´
¡
r1 ³
cos '1 ¡ '2 + i sin '1 ¡ '2 :
r2
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Umrechnung
Zu einer gegebenen komplexen Zahl z 2 C mit z = a + ib ist die
Polarkoordinatendarstellung
³
´
z = r ¢ cos (') + i sin (') ;
wobei sich r und ' wie folgt berechnen lassen:
p
r =
a 2 + b2
8
³a´
>
, fÄ
ur b ¸ 0
<arccos
r
' =
³a´
>
:2¼ ¡ arccos
, fÄ
ur b < 0
r
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Die komplexe Exponentialfunktion
Eine weitere MÄ
oglichkeit zur Darstellung komplexer Zahlen ergibt
sich durch die Verwendung der komplexen Exponentialfunktion:
³ ¡ ¢
¡ ¢´
= r ¢ ei'
r ¢ cos ' + i sin '
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5. August 2013
Komplexe Zahlen
Aufgabe 9
a) Es seien z1 = 6 + i und z2 = 2 ¡ 3i zwei komplexe Zahlen.
Berechne z1 + z2 , z1 ¡ z2 , z1 ¢ z2 sowie zz12 . Gib die Ergebnisse
jeweils in der Form z = a + ib an.
b) Gegeben
die beiden ´komplexen Zahlen z1 = 3 ¡ 3i und
³ seien
¡¼¢
¡ ¢
z2 = 5 cos 8 + i sin ¼8 .
(i) Bestimme Betrag und Argument von z = z13 ¢ z2 .
(ii) Es sei z = z1 ¡ z2 . Gib z in der Form a + ib an.
c) Bestimme das Produkt AB der beiden Matrizen A und B:
·
¸
·
¸
2i
1+i
3+i
1
A=
und
B=
:
2¡i
5
i
1+i
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6. August 2013
Die Landau-Symbole
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6. August 2013
Landau-Symbole
Landau-Symbole I
³
´ n
o
O f (n) = g(n) j 9c > 0 : 8n ¸ n0 : g(n) · c ¢ f (n)
\g(n) wÄ
achst hÄ
ochstens so schnell wie f(n)."
³
´ n
o
Ð f(n) = g(n) j 9c > 0 : 8n ¸ n0 : g(n) ¸ c ¢ f (n)
\g(n) wÄ
achst mindestens so schnell wie f(n)."
o
³
´ n
£ f(n) = g(n) j 9c1 ; c2 > 0 : 8n ¸ n0 : c1 f (n) · g(n) · c2 ¢f(n)
\g(n) wÄ
achst genau so schnell wie f(n)."
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6. August 2013
Landau-Symbole
Landau-Symbole II
³
´ n
o
o f(n) = g(n) j 8c > 0 : 8n ¸ n0 : g(n) · c ¢ f (n)
\g(n) wÄ
achst langsamer als f (n)."
³
´ n
o
! f(n) = g(n) j 8c > 0 : 8n ¸ n0 : g(n) ¸ c ¢ f(n)
\g(n) wÄ
achst schneller als f(n)."
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6. August 2013
Landau-Symbole
Aufgabe 10
Bringe die folgenden Funktionen bezÄ
uglich ihres Wachstumsverhaltens in eine aufsteigende Reihenfolge, d.h., es soll gelten: Steht
f (n) vor g(n), so soll f (n) 2 O(g(n)) gelten.
f1 (n) = n3
f2 (n) = n log n
f3 (n) = nlog n
p
f4 (n) = n
n
f5 (n) = 22
f6 (n) = 2n
f7 (n) = 3log n
f8 (n) = n!
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6. August 2013
Aufgaben
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Aufgabe 1
a) Die Funktion f sei gegeben durch f (x) =¡ 4x+2
3x . ¢T (x) sei die
Tangente an den Graphen von f im Punkt 2; f (2) . Bestimme
die Tangentengleichung in der Form y = ax + b.
Z1
b) Berechne
1
p
dx.
3
x
1
c) Zeige die Konvergenz der Reihe
1
P
k=1
1
k!
sowohl mit dem
Quotienten- als auch mit dem Wurzelkriterium. Gib au¼erdem den Grenzwert der Reihe an!
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Aufgabe 2
a) Di®erenziere die folgende Funktion:
³
´arcsin (x2 )
g(x) = xe ¡ ¼
:
b) Berechne die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
´
³
2
h(x; y; z) = y sin xzex+y + z 2 :
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Aufgabe 3
Z
Berechne
ln x dx auf zwei Arten:
a) mit partieller Integration (Hinweis: ln x = 1 ¢ ln x);
b) mit der Substitutionsregel (Hinweis: t = ln x).
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Aufgabe 4
p
3
a) Berechne eine Stammfunktion von e x und mache die Probe,
dass es sich bei der gefundenen
Funktion tatsÄachlich um eine
p
3
Stammfunktion von e x handelt!
¼
Z4
b) Berechne
sin x cos x dx.
0
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Aufgabe 5
ZZ
1 2
xy d(x; y) auf zwei Arten. Das Dreieck G sei
2
G
¡ ¢ ¡ ¢
dabei
durch
die folgenden Eckpunkte de¯niert: 0; 1 , 2; 1 und
¡ ¢
2; 2 .
Berechne
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Aufgabe 6
Berechne die folgenden Grenzwerte:
¶
μ x
e + e¡2x
a) lim
x!0 x2 + 3x + 1
μ x
¶
e ¡ e¡2x
b) lim
x!0
x2 + 3x
μ 3
¶
2x + x + 5
c) lim
x!1
ln x
μ
¶
1
1
d) lim p ¡
x!0
x ln x
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6. August 2013
Aufgabe 7
Bestimme die stationÄaren Stellen der Funktion f : R2 ! R,
f(x; y) = 3x2 ¡ y 2 unter der Nebenbedingung ¡x + y = ¡2:
1. mithilfe der Lagrangeschen Multiplikatorenregel;
2. ohne die Lagrangesche Multiplikatorenregel;
3. Enscheide:
tremum.
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Minimum, Maximum oder kein lokales Ex-
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Aufgabe 8
Bestimme die stationÄ
aren Stellen fÄ
ur die Funktion f : R3 ! R
und entscheide, ob lokale Minima oder Maxima vorliegen:
f(x; y; z) = ¡2x2 ¡ 3y2 ¡ z 2 + 2xz + 2x + 8y:
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Viel Erfolg bei der Klausur 
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