Mathematik Grundwissen M 9

BBS
Grundwissen Mathematik
Wissen und Können
Aufgaben und Beispiele
1. Reelle Zahlen R
a (lies: Wurzel von a) ist diejenige nicht
negative reelle Zahl, deren Quadrat a
ergibt. Dabei muss der Radikand a ≥ 0
sein.
2∉ Q ,
(2x − 3 )
b2 = b
Die n-te Wurzel ( n ∈ N ) aus einer reellen
Zahl a ≥ 0 ist die nichtnegative Lösung
der Gleichung x
= a ;
n
2
Aufgabe:
1a) Bestimme die Lösungsmengen :
=6 ,
> x 2 + 25 = 169
D = [2;∞ [
D = ]-∞;2]
>
8r 4 s 3 ⋅ 12r 3 s 3 : 4rs 2
 2x − 3 , falls x ≥ 1,5
=
−(2x − 3 ), falls x < 1,5
1c) Mache den Nenner rational:
x =125 ⇒ x = 125= 5,
3
x − 0,5 = 25
1b) Radiziere teilweise:
= 2x −3 =
3
2− 6
2
=?
5
5+
a = x;
2+ 6
=?
denn 53 =125
Rechenregeln für Wurzeln:
a
a
=
b
b
a ⋅ b = a ⋅b
(− 6)
2x − 4 ,
4 − 2x ,
( a) = a
Beachte:
2 ∈ R, π∈ R
2
25=5 ,
2
n
9. Jahrgangsstufe
a ∈ R0+ ;b ∈ R+
Achtung : gilt
nicht
bei
16 + 9 ≠ 25
Summen!
n
a m = m an
m, n ∈ Z , m ≠ 0
Teilweises Radizieren
a²b = a
a
Rationalmachen des Nenners
c− x
Rechnen mit Potenzen: a,b ∈R, b≠0, m,n∈
∈ℚ
m
m+n
n
m
n
m−n
a ⋅a = a ; a :a =a ; a =1
am ⋅ bm = (a ⋅ b)m am : bm = (a : b)m
m n
m⋅n
(a ) = a
a −m =
1
am
0
a =m a
2. Quadratische Gleichungen auf die
Form ax²+bx+c=0 ( a , b , c ∈ R , a ≠ 0 )
bringen, dann mit der Lösungsformel
nach x auflösen:
x1, 2
mit der
Diskriminanten D = b ² − 4ac .
Für die Anzahl der Lösungen gilt:
D<0 keine/ D>0 zwei/ D=0 genau eine.
Die Lösungen sind die Nullstellen der
quadratischen Funktion f : x a ax² + bx + c
20 = 4 ⋅ 5 = 2 5
(
a ⋅ c+ x
3
)
(c− x )⋅ (c+ x )
3 0, 2 ⋅ 3 4 = 3 0 , 2 + 4 = 3 4, 2
5 3 : 5 −2 = 5 3− ( −2 ) = 5 5
2 −4 ⋅ 3 −4 = (2 ⋅ 3) −4 = 6 −4
1,5 2 : 32 = (1,5 : 3) 2 = 0,5 2
1
1
m
−b± D
=
2a
=
b
5
(
)
a ⋅ c+ x ; a,c ∈R,
c 2 −x
=
Aufgabe: 1d)
Vereinfache mit Hilfe der Potenzgesetze:
 −
3


1
2
3

 =?


1 4
: 3 =?
3
3
1
1
1
3 2 ⋅ 3 4 = 3 4 = 3 ⋅ 3 4 = 34 3
−
−
(
3 x 3 ) 4 ⋅ ( 27 x ) 4 = ?
1
(3 − 2 ) 4 = 3 − 2⋅4 = 3 −8 = 8
3
1
5
− 3 ± 3 − 4 ⋅ ( − 0,5) ⋅ ( − 2,5)
− x 2 +3x − =0
x =
2
2
2 ⋅ ( − 0,5)
2
1
= 
5
1,2
Aufgabe:
y
7
2a) Löse die Gleichung:
6
2 ⋅ x + 3 ⋅(1 − x ²) =0
5
4
2b) Gib in Scheitelform an:
2c) Bestimme die Funktionsgleichungen beider Graphen!
Gf
3
f ( x) = 0,5 x ² − x + 0,75
2
1
x
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
-1
Gg
Quadratische Funktionen
-2
-3
f : x a ax ² + bx + c
mit quadratischer Ergänzung auf
1 2
5
1 2
5
Scheitelform y = a (x – xs)² + ys bringen. y= − 2 x + 3x− 2 = − 2[x − 6x] − 2=
Scheitel S(xs / ys)
1
5
= − [x 2 − 6x + 3 2 −3 2 ] − =
a bestimmt die Öffnung der Parabel:
2
2
a > 0 : Parabel nach oben geöffnet
a < 0 : Parabel nach unten geöffnet
|a| = 1 : Normalparabel
|a| > 1 : engere Form
|a| < 1 : weitere Form
1
2
= − (x − 3 ) − 9
2
[
]
5
− =
2
y
3,0
2,6
2,2
1,8
1,4
1,0
0,6
0,2
x
1
=
−
1
(x − 3)2 + 2 ;
2
-0,2
S(3/2)
-0,6
2
3
4
5
6
Binomische Formeln:
(a ± b) 2 = a ² ± 2ab + b²
9 4
1
9
a b² − 2 a²bc³ + c6 =
16
4
4
3
3
= ( a²b − c³)²
4
2
(a + b) ⋅ (a − b) = a ² − b ²
3. Die Wurzelfunktion f : x a
x mit
D = R0+ ; W = R+ ist die Umkehrfunktion
der quadrat. Funktion im I.Quadranten.
Den Graphen erhält man durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden.
Aufgabe: Finde
Aufgabe:
2
2d) (2x + 6) = ?
(a
4
2e)
a2 = pc, b2 = qc
h2 = pq
)
b2
a2
c2
=
h² 7
16
= cm; c = p + q = cm ;
p 3
3
4
1
8
b = qc = 7cm, A = c ⋅ h = 7cm2
3
2
3
C
0
Gegeben: b = 4,5m; α = 43,5
gesucht: q und h
b
h = a² − p² = 7cm; q =
sin α
cos α
a
h
cos α =
Ankathete von α
Hypotenuse
Ankathete von α
− 4 b2
mögliche Werte für x: 7 und 1.
Probe: Nur Schnittpunkt S(1/1)
q
⇒ q = b ⋅ cos α = 3,26m
b
h
sin α =
⇒ h = b ⋅ sin α = 3,10m
b
Gegenkathete von α
sin α =
Hypotenuse
Gegenkathete von α
2
f ( x) = 4 x − 3 und g ( x) = 2 − x .
3
4 x − 3 = 2 − x; D = ] ; ∞ ]
4
quadrieren: 4 x − 3 = 4 − 4 x + x ²;
Lösung:
5. Trigonometrische Beziehungen im
rechtwinkligen Dreieck:
tan α =
4
Aufgabe: Gegeben: p=3cm, a=4cm.
Berechne b, c, und den Flächeninhalt A des Dreiecks ABC.
Kathetensätze des Euklid
cos α =
)( a
+ 4 b2 ⋅
die Schnittpunkte der Graphen von
4. Satzgruppe des Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Hypotenuse flächengleich
der Summe der Quadrate über den Katheten.
a2 + b2 = c2
Gilt in einem Dreieck a2 + b2 = c2, dann
ist es rechtwinklig.
Höhensatz des Euklid:
2
α
A
q
B
p
Aufgabe:
5a) Berechne die Länge der Diagonalen einer Raute ABCD mit
a = 4,3 cm und α = 74° !
D
5b) In einem symmetrischen
Trapez mit c < a gilt
h : b = 2 : 3 für die Höhe h
und die Seite b.
Berechne die fehlenden
Seiten und Winkel und
den Flächeninhalt A
A
des Trapezes, wenn gilt:
h = 5,0 cm; c = 4,5 cm !
c
C
d
b
h
β
α
a
B
6. Raumgeometrie: Berechnung des Volumens und der Oberfläche von Körpern
1
Zylinder: VZ = r 2 π h , OZ = 2r 2 π + 2rπ h ;
Kegel: V Ke = r 2 π h , OKe =r 2π +rπ m
3
(Mantellinie m = r ² + h ² )
h
m
h
r
Prisma: VPr i = AG ⋅ h
AG
1
Pyramide: V Pyr = AG h , OPyr = AG + M Pyr
3
h
h
r
AG
OPr i =2 AG + M
Aufgabe:
6a) Ein kegelförmiges Sektglas hat den Randdurchmesser d = 2r und die Höhe h. Das Glas wird bis zur halben Höhe
gefüllt. Wie viel Prozent des Gesamtvolumens sind das?
2
6b) Wie viel cm Blech benötigt man zur Herstellung einer Konservendose mit Durchmesser d = 8,1 cm und Volumen
V = 0,5 l, wenn für Falze und Verschnitt 15 % Blech hinzuzurechnen sind ?
Aufgabe: Der Rauschgifthund Rex soll immer bellen, wenn er
Mehrstufige (zusammengesetzte) Zufallsexperimente: mehrere Teilexperimen- Rauschgift findet. Ca. 20% aller Ankommenden haben Rauschgift
und Rex bellt mit 90%-er Sicherheit richtig. Leider bellt er in 30%
aller Fälle zu Unrecht.
Gib die WS dafür an, dass eine Person
unerkannt Rauschgift schmuggeln kann.
te werden nacheinander ausgeführt.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den
Ästen, die von einem Knoten ausgehen, beträgt
immer 1.
P ( R, B ) = 0,2 ⋅ 0,1 = 2% )
1.Pfadregel: Die WS eines Ergebnisses ist gleich
dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem
Aufgabe: 7) In einer Urne befinden
Pfad, der zu dem Ergebnis führt.
sich 4 Kugeln mit der Aufschrift „1“ und 2
2. Pfadregel : Die WS eines Ereignisses ist gleich
Kugeln mit der Aufschrift „2“. Es werden
2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
der Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu
Mit welcher Wahrschein- Von Interesse ist das Ereignis A: „Die
diesem Ereignis gehören.
lichkeit bellt Rex?
Summe der Zahlen auf den Kugeln beP(B) =
trägt 3.“.
Gib Ω und A in Mengenschreibweise an
und bestimme P (A) mit Hilfe eines
Baumdiagramms !
0 , 2 ⋅ 0 , 9 + 0 ,8 ⋅ 0 , 3 =
42 %
LÖSUNGEN:
1a)
2a)
x = ±12
x 1,2 =
/
− 2 ± 4 − 4 ⋅ (− 3 ) ⋅ 3
2 ⋅ (− 3 )
2
2c) f(x)=0,5(x-3) -1
5a)
x = 5,5
f
α
cos( ) = 2
2
a
=
2 6r ³s ²
−2±4
2
5b) b = 2 h = 7,5cm = d ;
→
−2 3
g(x)= - (x+2) +2
⇒
3
1b)
2d)
α
1c)
x1 = −
3
; x2 = 3
3
4 x ² + 24x + 36
f = 2a cos( ) = 6,87cm;
2
x = b² − h² ;
7
5
5
1,4 ⋅ 5 =
2b)
3− 3 =
3
9
/
3
−
7
12
/
1
3x
f ( x) = 0,5( x − 1)² + 0.75
2e) a - b
e
2
sin( ) =
2
a
a = c + 2 x = 4,5 + 5 5 ;
1d)
α
sin β =
⇒
α
e = 2a sin( ) = 5,18cm;
2
a+c
h
⋅ h = 50,5cm²
⇒ β = α = 41,8°; γ = δ = 138,2°; A =
b
2
3
5
2
6a)
6b)
7)
1 r h 1
V ´= π   ⋅ = V = 12,5% ⋅ V
3 s 2 8
2V
O = 2 ⋅ G + M = 2πr ² +
= 350cm² Verbrauch somit 1,15 ⋅ O = 402,5cm²
r
Ω = {(1 / 1); (1 / 2); (2 / 1); (2 / 2)}
4 2 2 4 8
A = {(1 / 2); (2 / 1)} P( A) = ⋅ + ⋅ =
6 5 6 5 12
4
6
2
6
1
1
2
5
4
5
2
1
2
1
5
2