Fakultät für Mathematik und Informatik Preprint 2012-07 Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva Aufgabensammlung zur Festigung der Schulmathematik ISSN 1433-9307 Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva Aufgabensammlung zur Festigung der Schulmathematik TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Prüferstraße 9 09596 FREIBERG http://www.mathe.tu-freiberg.de ISSN 1433 – 9307 Herausgeber: Dekan der Fakultät für Mathematik und Informatik Herstellung: Medienzentrum der TU Bergakademie Freiberg Aufgabensammlung zur Festigung der Schulmathematik Melanie Nentwich, Alina Ruziyeva 17. Oktober 2012 Vorwort Liebe Studentinnen, liebe Studenten, zu Beginn möchte ich Sie an der TU Bergakademie Freiberg willkommen heißen, einer kleinen, aber auf vielen Gebieten (z. B. der Lehre) erstklassigen Universität. Sie werden sie kennen und, so hoffe ich, auch lieben lernen. Zunächst steht ein neuer Lebensabschnitt vor Ihnen, Sie werden viel Neues kennen lernen und oft werden Sie vor Problemen stehen, die Sie lösen müssen. Eines der ersten Probleme für viele Studenten ist die Mathematik; das Fach „(Höhere) Mathematik“ steht im Lehrplan aller an der TU Bergakademie gelehrten Studienrichtungen in den ersten Semestern. Um es erfolgreich zu absolvieren, müssen manche „lernen lernen“, andere früher Gelerntes auffrischen, wieder andere haben vielleicht keine großen Schwierigkeiten. Die Suche nach Bodenschätzen, die sichere Lagerung (für 1 Million Jahre ?) von (radioaktiven) Materialien auf Deponien, die Bestimmung von „besten“ Standorten für Telekommunikationseinrichtungen, die kostengünstigste Erzeugung und Verarbeitung von Aluminium oder Magnesium und viele andere Fragestellungen erfordern zur Bearbeitung mathematische Kenntnisse und Hilfsmittel. Im Laufe Ihres Studiums werden Sie diese kennen und anwenden lernen. Einige kleine Anwendungsaufgaben, die vielleicht (?) mit Kenntnissen aus dem Gymnasium von Ihnen gelöst werden können, haben wir in dieser Broschüre zusammengefasst. Beim Lösen ist es sicher an der einen oder anderen Stelle sinnvoll, mal in das Heft „Mathematische Grundlagen zur Vorbereitung des Studiums an derTechnischen Universität Bergakademie Freiberg“, das auf derInternetseite http://www.mathe.tu-freiberg.de/files/page/2012-03-fertig.pdf gefunden werden kann, hineinzusehen. An einer kleinen Universität wie der TU Bergakademie Freiberg ist es auch immer möglich, Ansprechpartner zu finden, wenn sich eine mathematische Aufgabenstellung als hartnäckig herausstellen sollte. Versuchen Sie das, bevor „das Kind in den Brunnen gefallen“ ist. Ich wünsche Ihnen ein interessantes Studium und immer die Kraft, den „inneren Schweinehund“ zu besiegen, bevor er Sie am Studieren hindern kann. Glück Auf, Prof. Stephan Dempe Dekan Fakultät für Mathematik und Informatik i Bemerkungen Die folgende Aufgabensammlung stellt eine Ergänzung der Mathe–Fibel dar (http://www.mathe.tufreiberg.de/files/page/2012-03-fertig.pdf, ISSN 1433–9307). Die mit orange markierten Textstellen sind dynamische Referenzen. In runden Klammern beziehen sie sich auf eine Formel, beginnt diese nicht mit einer römischen Zahl, dann gehört die Referenz zu einer Formel aus der Fibel. Die vorgestellten Aufgaben wurden teilweise aus den folgenden Büchern entlehnt: • Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler – Anwendungsbeispiele, Lothar Papula, 5. Auflage, 2004, Vieweg Verlag • Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Basiswissen mit Praxisbezug, Knut Sydsaeter, Peter Hammond, 2. Auflage, 2006, Pearson Studium • Mathematik in der Biologie, Annika Eickhoff–Schachtebeck, Anita Schöbel, 2009, http://optimierung.math.uni-goettingen.de/skripte/bioskript.pdf • Mathematik für Chemiker, Gerhard Just, Dieter Oelschlägel, 2. Auflage, 1982, Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie • Übungsbuch Physik – Grundlagen – Kontrollfragen – Beispiele – Aufgaben, Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer, Hellmut Zimmer, 10. Auflage, 2007, Carl Hanser Verlag ii I Aufgaben zu Gleichungen, Ungleichungen und Systemen I.1 Stöchiometrie einer chemischen Reaktion Photosynthese ist die Erzeugung energiereicher Stoffe, wie z. B. Zucker C6 H12 O6 und Sauerstoff O2 , aus energieärmeren Stoffen, wie z. B. Kohlendioxid CO2 und Wasser H2 O. In welchem Verhältnis stehen die stöchiometrischen Koeffizienten xi ∈ N zueinander (i = 1, . . . , 4)? x1 · CO2 + x2 · H2 O −→ x3 · C6 H12 O6 + x4 O2 (I.1.1) Lösung Gleichung (I.1.1) kann aus mathematischer Sicht auch geschrieben werden als x1 · C + 2x1 · O + 2x2 · H + x2 · O = 6x3 · C + 12x3 · H + 6x3 · O + 2x4 · O Komponentenweise gilt dann C: O: H: 1x1 2x1 + 1x2 2x2 - 6x3 6x3 12x3 - 2x4 =0 =0 =0 Es liegt ein homogenes System aus drei Gleichungen mit vier Unbekannten vor. Daher gibt es unendlich viele Lösungen (vgl. Abschnitt 3.1.3). Es darf also eine Variable frei gewählt werden. Mit x3 = t folgt: x1 = x2 = x4 = 6t. Für t = 1 folgt 6 · CO2 + 6 · H2 O −→ C6 H12 O6 + 6O2 . iii II Funktionen II.1 Federschwingung Ein Körper mit Masse m durchfällt die Höhe h und trifft zur Zeit t = 0 am Ort z(0) auf eine senkrecht stehende Schraubenfeder mit Federkonstante k. Nach dem Auftreffen bleibt der Körper mit der Feder verbunden, sodass eine harmonische Schwingung entsteht. Der Koordinatenursprung z = 0 soll in die Ruhelage der Schwingung gelegt werden. Die Masse der Feder bleibt unberücksichtigt. 1. Bestimmen Sie den Anfangsort z(0) und die Anfangsgeschwindigkeit vz(0) der harmonischen Schwingung. 2. Bestimmen Sie für diese Schwingung die in der Ort–Zeit–Funktion z(t) enthaltenen unbekannten Größen. 3. Welche maximale Geschwindigkeit vz,max tritt bei dieser Schwingung auf? Lösung 1. Die Federkraft F (z) ist das Produkt aus Federkonstante k und der Auslenkung aus der Ruhelage (z = 0). Deshalb gilt für die Federkraft F (z) = −k · (z − z(0)) . Die Ruhelage z = 0 ist dort, wo Gewichtskraft G und Federkraft F (z) im Gleichgewicht sind: F (z) = G. Mit F (0) = k · z(0) und G = m · g folgt k · z(0) = mg ⇒ z(0) = mg . k (II.1.1) Die Anfangsgeschwindigkeit vz(0) dieser Schwingung liefert der Energiesatz, angewandt auf den freien Fall: ! m 2 mgh = · vz(0) ⇒ vz(0) = − 2gh. 2 (Siehe hierzu die Abschnitte 1.2, 1.3 und 3.2.) Das Vorzeichen wird unter Berücksichtigung der positiven z–Richtung gewählt. 2. Die Ort–Zeit–Funktion der harmonischen Schwingung lautet z(t) = zmax · cos(ω0 t + α), (II.1.2) wobei ω0 = k/m die Kreisfrequenz der Federschwingung ist. Die beiden Unbekannten (Amplitude zmax und Nullphasenwinkel α) müssen aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Zur eindeutigen Bestimmung von zwei Unbekannten sind zwei Gleichungen nötig (siehe Abschnitt 3). Die notwendige zweite Gleichung wird aus Gl. (II.1.2) durch Differenzieren nach der Zeit gewonnen: vz(t) = −zmax · ω0 · sin(ω0 t + α). (II.1.3) ! iv Zum Zeitpunkt t = 0 resultiert für Gl. (II.1.2) und Gl. (II.1.3) z(0) = zmax cos α = vz(0) = − ! mg k " 2gh = −zmax (II.1.4) k sin α. m (II.1.5) Zunächst soll zmax ermittelt werden. Dazu ist α zu eliminieren. Das gelingt mit der Beziehung 1 = cos2 α + sin2 α # $2 mg 2ghm 1= + 2 k · zmax k · zmax % 2hk mg 1+ zmax = . k mg Das gleiche Ergebnis folgt auch mit dem Energiesatz: mg(h + z(0)) = −mg · zmax + k 2 (z(0) + zmax ) . 2 Zur Bestimmung von α muss zmax eliminiert werden. Dazu kann Gl. (II.1.5) durch Gl. (II.1.4) dividiert werden: % √ sin α 2hk k 2gh ! = = tan α = . cos α mg mg k/m (Siehe hierzu die Abschnitte 3.1.3, 1.3 und 4.) 3. Die Geschwindigkeitsamplitude oder maximale Geschwindigkeit ist der Funktion (II.1.3) zu entnehmen: vz = −zmax ω0 sin(ω0 t + α) % " 2hk k mg 1+ . vz,max = zmax ω0 · 1 = k mg m v II.2 Zerbrochene Scheibe Beim Beladen eines Autos mit Umzugskartons ist die Heckscheibe zerbrochen. Natürlich hat es sofort angefangen zu regnen, so dass es durch die schiefe Scheibe (Winkel zur Erdoberfläche beträgt α) hereinregnen würde. Der schlaue Autofahrer hat erkannt, dass alles im Auto trocken bleibt, wenn er nur schnell genug fährt. Welche Geschwindigkeit v ist erforderlich, wenn davon ausgegangen wird, dass der Regen senkrecht mit einer Geschwindigkeit von vR fällt? Abbildung II.1: Autofahren mit kaputter Heckscheibe im Regen Lösung Die Hauptidee ist folgende: der Autofahrer muss so schnell fahren, dass die Verschiebung des Autos nicht kleiner als die Verschiebung des Tropfens ist. Betrachte das Dreieck ABC in Abb. II.1: tan α = AC BC ⇒ AC = BC · tan α. (II.2.1) Zur Zeit t = 0 befindet sich der Tropfen in Position A und zur Zeit t = τ in C. Also (II.2.2) vR · τ = AC. Das Auto muss schneller als der Tropfen sein, d. h. in derselbe Zeit τ muss das Auto mindestens die Verschiebung BC durchfahren: v · τ ≥ BC. Jetzt wird die Gleichung vmin · τ = BC (II.2.3) vmin BC . = vR AC (II.2.4) betrachtet, dabei ist vmin die minimale Geschwindigkeit des Autos. Gleichungen (II.2.2) und (II.2.3) ergeben nun Durch Kombination der Gleichungen (II.2.4) und (II.2.1) resultiert 1 vmin BC = = vR tan α BC · tan α vi (= cot α) , d. h. vmin = Der Fahrer muss mit einer Geschwindigkeit v ≥ vR . tan α vR fahren. tan α vii III Aufgaben zur Vektorrechnung III.1 Outputvektoren Ein Unternehmen hat zwei Fabriken, die als Output drei verschiedene Güter produzieren. Die gesamte Arbeitskraft ist fest. Wenn ein Anteil λ der Arbeitskraft der ersten Fabrik und der Anteil 1 − λ (mit 0 ≤ λ ≤ 1) der zweiten Fabrik zugewiesen wird, so ist der gesamte Output der drei Güter gegeben durch den Vektor ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 8 2 6λ + 2 λ · ⎝4⎠ + (1 − λ) ⎝ 6 ⎠ = ⎝−2λ + 6 ⎠ . 4 10 −6λ + 10 1. Ist es dem Unternehmen möglich, einen der zwei Outputvektoren a = (5, 5, 7)T und b = (7, 5, 5)T zu produzieren, wenn kein Output vernichtet werden darf? 2. Wie ändern sich Ihre Antworten, wenn Output vernichtet werden darf? 3. Wie wird die den Erlös maximierende Wahl des Anteils λ von dem Verkaufspreis (p1 , p2 , p3 ) dieser drei Güter abhängen? Welche Bedingung müssen die Preise erfüllen, damit beide Fabriken in Betrieb bleiben sollen? Lösung 1. Wenn kein Output vernichtet werden darf, kann der Outputvektor a mit λ = 1/2 produziert werden. Der Outputvektor b ist nicht produzierbar. 2. Wenn Output vernichtet werden darf, ist b trotzdem nicht produzierbar. 3. f (λ) = λ (6p1 − 2p2 − 6p3 ) + 2p1 + 6p2 + 10p3 → max Die Funktion f (λ) = λ · m + n ist linear. Damit beide Fabriken bestehen bleiben, muss m = 6p1 − 2p2 − 6p3 = 0 gelten. Für m > 0 läge das Maximum bei λ = 1 und für m < 0 läge das Maximum bei λ = 0. viii III.2 Netto–Output–Vektoren Ein Unternehmen produziert nichtnegative Outputmengen z1 , z2 , . . . , zn von n verschiedenen Gütern und benutzt als Input die nichtnegativen Mengen x1 , x2 , . . . , xn derselben n Güter. Konkret produziert das Unternehmen zwei Güter: dabei wird das zweite Gut als Input genutzt und das erste ist der Output. Sein Netto–Outputvektor y = z − x ist (2, −1). Der Preisvektor p ist (1, 3). Bestimmen Sie 1. den Outputvektor z und den Inputvektor x, 4. den Wert des Netto–Outputs n, 2. die Kosten k, 5. den Gewinn oder Verlust des Unternehmens. 3. die Einnahmen e, Lösung 1. Da das erste Gut nur als Output dient und das zweite nur als Input gilt z = s · (1, 0), x = t · (0, 1), s, t ∈ R. Wegen y = (2, −1) gilt x = (0, 1) und z = (2, 0). 2. Die Kosten ergeben sich als Produkt von Preis der Güter und Anzahl der Inputs k = (1, 3) · (0, 1)T = 3. 3. Die Einnahmen ergeben sich als Produkt von Preis der Güter und Anzahl der Outputs e = (1, 3) · (2, 0)T = 2. 4. Der Wert des Netto–Outputs ist das Produkt aus Preisvektor und Netto–Output–Vektor (1, 3) · (2, −1)T = 2 − 3 = −1. 5. Das Unternehmen macht Verluste, da die Differenz aus Einnahmen und Kosten negativ ist 2 − 3 = −1. ix III.3 Bauunternehmen Ein Bauunternehmen hat einen Auftrag für mehrere Häuser von drei verschiedenen Typen: 5 vom Typ A, 7 vom Typ B und 12 vom Typ C. Schreiben Sie einen 3–dimensionalen Vektor x, dessen Koordinaten die Anzahl der Häuser von jedem Typ angeben. Nehmen Sie an, dass für Häuser vom Typ A je 20 Einheiten Holz gebraucht werden, für Typ B je 18 Einheiten und für Typ C je 25 Einheiten. Schreiben Sie einen Vektor u auf, der die verschiedenen Holzmengen angibt, die für je ein Haus von jedem der drei Typen A, B und C benötigt werden. Bestimmen Sie die Gesamtmenge an Holz, die benötigt wird, indem Sie das innere Produkt u · x berechnen. Lösung x = (5, 7, 12), u = (20, 18, 25), u · x = 526 x III.4 Stabkräfte in einem belasteten Dreibein In dem in Abb. 4.3 dargestellten Dreibein, dessen Stäbe gelenkig gelagert sind, greift im Gelenk S eine Gewichtskraft G vom Betrag |G| = 18 kN an. Welche Reaktionskräfte (Zug- bzw. Druckkräfte) FA , FB und FC treten in den drei Stäben auf? ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 −1 1 0 A = ⎝1⎠ , B = ⎝ 1 ⎠, C = ⎝−2⎠ , S = ⎝0⎠ 0 0 2 0 Lösungshinweis: Setzen Sie die Reaktionskräfte in der aus Abb. III.1 ersichtlichen Weise zunächst als Zugkräfte an. Das Eigengewicht der Stäbe bleibt unberücksichtigt. z S FC G FB FA C O x B y A Abbildung III.1: Dreibein Lösung Die Stabkräfte sind Druckkräfte mit (Angaben in kN) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −2 5 FA = ⎝−1⎠, FB = ⎝−5⎠, 2 10 |FA | = 3, |FB | = 12, 25, xi FC = |FC | = ⎛ ⎞ −3 ⎝ 6⎠, 6 9. IV Aufgaben zu Folgen und Reihen IV.1 Wachstum einer Bakterienkultur Über eine Bakterienkultur ist bekannt, dass die tägliche Wachstumsrate 6 % beträgt, diese beinhaltet die Geburten-, sowie die Sterberate. Außerdem sterben täglich je 150 Bakterien durch eine Probenentnahme. Zu Beginn bestand die Kultur aus 2 000 Bakterien. Wieviele Bakterien leben am n–ten Tag nach Start der Beobachtungen? Lösung an+1 = 1, 06 · an − 150, a0 = 2 000 Es handelt sich hierbei um eine Verknüpfung aus geometrischer und arithmetischer Folge (vgl. Abschnitt 5.1.6, damit folgt im nächsten Schritt) an+1 = 1, 06n+1 · 2 000 − 150 · (1 + 1, 06 + · · · + 1, 06n ) Der Klammerausdruck beinhatlet nun eine geometrische Reihe (vgl. Abschnitt 5.2.2), diese kann wie folgt aufgelöst werden = 1, 06n+1 · 2 000 − 150 · xii 1, 06n+1 − 1 1, 06 − 1 IV.2 Geldanlagen mit Zinseszins 1. Als Mr. Barnes starb, erhielt seine Witwe 2/3 seines Vermögens, 1/4 teilten sich seine Kinder und der Rest, 100 000 e ging an eine wohltätige Organisation. Wie groß war das Vermögen von Mr. Barnes? 2. Wenn die Witwe ihren Anteil zu 3 % Zinsen mit Zinseszins anlegt, wieviel Geld hat sie dann nach 10 Jahren? 3. Wann erfolgt eine Verdreifachung des eingezahlten Geldes? Lösung 1. Mr. Barnes hatte insgesamt 1 200 000 e. Der Anteil der Witwe beträgt 800 000 e und die Kinder bekommen 300 000 e. Siehe Anhang C 2. Die Witwe erhält nach angegebenem Modell nach 10 Jahren 1 075 133, 10 e. 3. Die Verdreifachung erfolgt nach 38 Jahren. xiii IV.3 Effektivzinssatz Ein Kapital K0 werde jährlich mit dem Zinssatz ik , k = 1, . . . , n, verzinst. Der Zinsertrag wird sofort wieder angelegt. Wie hoch ist der Effektivzinssatz ieff dieser Anlage? Unter welchen Voraussetzungen stimmt er mit dem arithmetischen Mittel der einzelnen Jahreszinssätze überein? Lösung Das Äquivalenzprinzip verlangt die Gleichheit der Endwerte beider Zahlungsreihen nach n Jahren im entsprechenden Zinsmodell. Eine Zahlungsreihe entsteht durch die jährliche Verzinsung des Startkapitals K0 mit den Zinssätzen ik (rechte Seite der folgenden Gleichung). Die zweite Zahlungsreihe entsteht, indem für jedes Jahr der gleiche Zinssatz ieff angenommen wird (linke Seite). K0 (1 + ieff )n = K0 (1 + i1 ) · · · (1 + in ). Nach Elimination von K0 und ziehen der n–ten Wurzel (siehe Abschnitt 1.3) folgt ! 1 + ieff = n (1 + i1 ) · · · (1 + in ). (IV.3.1) Die rechte Seite der Gleichung stellt ein geometrisches Mittel dar. Arithmetische und geometrische Mittel über Zahlen ak ≥ 0, k = 0, . . . , n, sind mit folgender Ungleichung verbunden (A. L. Cauchy 1821): √ a1 + · · · + an n a1 · · · an ≤ n (IV.3.2) oder in kompakter Form: * + n n +1. n , ak ak ≤ n k=1 k=1 Gleichheit gilt genau dann, wenn a1 = a2 = . . . = an . Aus Ungleichung (IV.3.2) und Gleichung (IV.3.1) folgt (1 + i1 ) + . . . + (1 + in ) n n 1. i1 + . . . + in = ik ≤ n n 1 + ieff ≤ ieff k=1 Der Effektivzinssatz beträgt ieff = ! n (1 + i1 ) · · · (1 + in ) − 1. Er ist identisch mit dem arithmetischen Mittel der einzelnen Jahreszinssätze, falls diese identisch sind. xiv IV.4 Extraktion einer organischen Substanz mit Benzen Eine bestimmte Menge m0 einer organische Substanz sei in Wasser gelöst und soll mit Benzen extrahiert werden. Nach Zugabe des Benzens ergibt sich im Gleichgewichtszustand der Verteilungskoeffizient k = c1/c2 = 0, 653 (c1 Konzentration des Stoffes in Wasser, c2 Konzentration in Benzen). 1. Wie oft muss man 200 ml der wässrigen Lösung mit jeweils 200 ml Benzen extrahieren, um 97 % der Substanz aus der wässrigen Lösung zu entfernen? 2. Wie oft müsste man mit jeweils 100 ml Benzen extrahieren, um dieselbe Abreicherung zu erhalten? Lösung Sei v1 das Volumen der wässrigen Lösung und v2 das Volumen von Benzen, das bei jeder Extraktion zugegeben wird. Nach der ersten Zugabe von Benzens verteilt sich die Ausgangsmenge m0 auf Wasser und Benzen wie folgt: m0 = v1 c11 + v2 c12 . Nach der 1. Extraktion verbleibt im Wasser die Substanzmenge m1 = v1 c11 , das Verhältnis zwischen den Anteilen m1 und m0 beträgt m1 v1 c11 = 1 m0 v1 c1 + v2 c12 1 c1 (v1 · c1/c1 ) = 1 2 1 1 2 c2 (v1 · c1/c2 + v2 ) v1 k =: α, = v1 k + v2 also m1 = m0 α. Nach erneuter Zugabe von Benzen verteilt sich die verbleibende Substanzmenge m1 auf Wasser und Benzen wie folgt: m1 = v1 c21 + v2 c22 . Nach der 2. Extraktion verbleibt im Wasser die Substanzmenge m2 = v1 c21 , das Verhältnis zwischen den Anteilen m2 und m1 beträgt m2 = α, ⇒ m 2 = m1 α = m 0 α 2 . m1 Es ergibt sich die geometrische Folge {mn } der verbleibenden Substanzmenge mit mn = m0 α n . Es soll mehr als 97 % der Substanz entfernt werden, es soll also weniger als 3 % verbleiben m0 αn ≤ 0, 03m0 αn ≤ 0, 03 | : m0 | ln ln(αn ) ≤ ln 0, 03 n ln α ≤ ln 0, 03 Um n zu isolieren, muss durch ln α geteilt werden. Da es sich um eine Ungleichung handelt, muss das Vorzeichen dieses Ausdrucks berücksichtigt werden. xv 1. α = 0, 395 039 und damit ln α = −0, 928 771 < 0. Also n≥ ln 0, 03 = 3, 775 483 ln α Es müssen n = 4 Extraktionen durchgeführt werden. 2. α = 0, 566 348 und damit ln α = −0, 568 547 < 0. Also n≥ ln 0, 03 = 6, 209 910 ln α Es müssen n = 7 Extraktionen durchgeführt werden. xvi V Aufgaben zur Differentialrechnung V.1 Elektronenstrahl–Oszilloskop Beim Elektronenstrahl–Oszilloskop werden die von einer Glühkathode ausgesandten Elektronen zunächst auf eine konstante Geschwindigkeit v0 beschleunigt und treten dann senkrecht zu den elektrischen Feldlinien in einen auf die Spannung U aufgeladenen Plattendetektor ein, wo sie aus ihrer ursprünglichen Richtung abgelenkt werden (vgl. Abb. V.1). (Platten: Abstand d zueinander und Länge l. Elektronen: Elementarladung e und Ruhemasse m0 ) 1. Unter welchem Ablenkwinkel α (gegenüber der Eintrittsrichtung gemessen) verlassen die Elektronen den Kondensator? 2. Im Abstand s hinter dem Kondensator befindet sich ein Auffangschirm für die Elektronen. Wie groß ist die seitliche Ablenkung b der Elektronen auf diesem Schirm, gemessen gegenüber der ursprünglichen Flugbahn? Lösungshinweis: Bestimmen Sie zunächst die Bahnkurve der Elektronen im Plattenkondensator. y v0 d 2 + + + C + B b α A m0 x d 2 E - - - s l Abbildung V.1: Elektronenstrahl–Oszilloskop Lösung 1. Die Koordinaten (x, y) eines Elektrons zur Zeit t mit einer Beschleunigung a lauten x = v0 t, ⇒ y= y= eU 2 t 2m0 d 1 2 at , 2 a = (eU )/(m0 d) t=x/v0 =⇒ y = f (x) = eU 2m0 d # x v0 $2 . Im Punkt B verlassen die Elektronen den Kondensator und bewegen sich geradlinig auf der Bahntangenten weiter auf den Schirm zu. Es gilt: f ′ (xB) = tan α ⇒ α = arctan 2. Im Auftreffpunkt C = (l + s, b) beträgt die Auslenkung b= eU l(l + 2s) . 2m0 dv02 xvii eU l . m0 dv02 V.2 Wurfparabel eines Wasserstrahls Abbildung V.2 zeigt einen bis zur Höhe H mit Wasser gefüllten Zylinder. In der Tiefe h (von der als unveränderlich angenommenen Wasseroberfläche aus gerechnet) befindet sich eine seitliche Öffnung, aus der das Wasser in waagerechter Richtung mit der nach der Formel ! v0 = 2gh berechneten Geschwindigkeit austritt. An welcher Stelle A des Gefäßes muss man dies Öffnung anbringen, damit der seitlich austretende Wasserstrahl den Boden an einer möglichst weit entfernten Stelle B (in horizontaler Richtung gemessen) trifft? Lösungshinweis: Die Bewegung des Wasserstrahls kann in guter Näherung als ein waagerecher Wurf im luftleeren Raum betrachtet werden. h v0 A xW x x y H Zylinder mit Wasser H −h B xW y Abbildung V.2: Parabel eines Wasserstrahls Lösung Die Wasserbewegung besteht aus zwei unabhängigen Teilen: Die Bewegung in x–Richtung besitzt die konstante Geschwindigkeit x = v0 t. In y–Richtung geschieht eine Beschleunigung aufgrund der Gravitation mit der Beschleunigung g, es folgt 1 y = gt2 . 2 Durch Substitution von t folgt x2 y= . 4h Einsetzen des Auftreffpunktes B = (xW , H − h) und Auflösen nach xW : ! xW = 2 Hh − h2 . Diese Größe soll maximiert werden, es genügt hierfür z(h) = Hh − h2 zu maximieren. Der Austrittspunkt A sollte in der Höhe h = H/2 liegen, dann ist xW,max = H. xviii V.3 Grenzkosten, Grenzertrag und Grenzgewinn Ein Unternehmen produziert in einer Zeitperiode x Einheiten einer Ware. Der Gewinn der Produktion π(x) ist die Differenz aus dem Ertrag R(x) und den Produktionskosten C(x). Die Grenzkosten C ′ (x) sind definiert als die Ableitung der Kosten C(x). Sie geben die Kosten an, die durch die Produktion einer zusätzlichen Einheit eines Produktes entstehen. Analog ist der Grenzertrag R′ (x) die Ableitung des Ertrags R(x), er beschreibt den Ertragszuwachs bei Verkauf einer weiteren Produktionseinheit. Der Grenzgewinn π ′ (x) ist die Ableitung des Gewinns π(x). Er gibt den erwarteten Gewinn für eine weitere produzierte Einheit eines Produktes an und kann Aufschluss darüber geben, wieviele Einheiten produziert werden müssen, um die Gewinnschwelle zu erreichen. Bestimmen Sie den Grenzertrag, die Grenzkosten und den Grenzgewinn sowie einen Wert x, so dass der Grenzgewinn Null ist, für 1. R(x) = ax, C(x) = a1 x2 + b1 x + c1 , 2. R(x) = ax − bx2 , C(x) = a1 x + b1 . Lösung 1. π(x) = −a1 x2 + (a − b1 )x − c1 , R′ (x) = a, C ′ (x) = 2a1 x + b1 , π ′ (x) = −2a1 x + a − b1 , a − b1 π ′ (x) = 0 ⇒ x = 2a1 2. π(x) = −bx2 + (a − a1 )x − b1 , R′ (x) = a − 2bx, C ′ (x) = a1 , π ′ (x) = −2bx + a − a1 , a − a1 π ′ (x) = 0 ⇒ x = 2b xix VI Aufgaben zur Integralrechnung VI.1 Massenträgheitsmoment eines Rotationskörpers y Abbildung VI.1 zeigt einen homogenen Ellipsoiden, also einen Rotationskörper mit elliptischem Querschnitt. Er entsteht durch Drehung einer Ellipse mit den Halbachsen a und b um die y–Achse. 1. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment Jy des Ellipsoidstumpfes (hellblau) bezüglich der Rotationsachse in Abhängigkeit vom Parameter h (2h — Höhe des Rotationskörpers, 0 ≤ h ≤ b). Wie groß ist das Volumen dieses Körpers? b h 2. Welche Werte ergeben sich aus dem ersten Teil für die Massenträgheitsmomente eines Rotationsellipsoids und einer Kugel vom Radius R? Wie groß sind die Volumina dieser Körper? x a Abbildung VI.1: Rotationsellipsoid Lösung 1. Das Massenträgheitsmoment ist definiert als / 2 J= r⊥ ρ(r)dV. V Dieses Integral ist in diesem Rahmen zu schwer zu lösen. In Tafelwerken ist jedoch die einfache Formel für das Trägheitsmoment eines Zylinders mit Radius R und Masse m, bzw. Volumen V = m/ρ 1 ρ≡1 1 JZylinder = mR2 = V R2 2 2 zu finden. Diese Formel kann genutzt werden, wenn der Rotationskörper in Zylinderscheiben zerteilt wird, die senkrecht zur y–Achse stehen. Der Radius der Scheiben ist die x–Auslenkung der begrenzenden Funktion x = R(y). Die Zahl der Scheiben wird vergrößert, sodass sich deren Höhe H = y und damit auch das Volumen V auf infinitesimale Größe verringert (dy bzw. dV ) V = πR(y)2 y ⇒ dV = πR(y)2 dy. Es folgt für einen einzelnen Zylinder JZylinder = xx 1 πR(y)4 dy. 2 Für den gesamten Rotationskörper wird nun über alle unendlich dünnen Zylinder summiert, es findet eine Integration im Intervall [−h, h] statt Jy = /h JZylinder = /h 1 π πR(y)4 dy = 2 2 −h −h /h R(y)4 dy. −h Der Körper ist symmetrisch zur x, z–Ebene, d. h. es genügt eine Hälfte des Körpers zu berechnen (0 ≤ y ≤ h statt −h ≤ y ≤ h) und den errechneten Wert dann zu verdoppeln Jy = π · /h R(y)4 dy. 0 Die Formel für x = R(y) resultiert aus der Ellipsengleichung y2 x2 + a2 b2 2 0 1 a x 2 = 2 b2 − y 2 b |− 1= y2 2 , ·a b2 (VI.1.1) Es folgt für das Massenträgheitsmoment Jy = πρ · /h 0 0 x 1 2 2 $ # πρ · a4 2 2 3 1 5 4 dy = · b h− b h + h b4 3 5 Das Volumen wird mit Hilfe von Gl. (7.4.1) gelöst, der Argumentbereich x = R(y) wird dabei von y = −h und y = h begrenzt V =π /h (VI.1.1) x2 dy = π =π −h a2 b2 # 2 2b2 h − h3 3 2. Rotationsellipsoid (h = b): JEllipsoid = 8 πρa4 b 15 VEllipsoid = 4 2 πa b 3 Kugel mit Radius R (a = b = R): JKugel = 8 πρR5 15 VKugel = xxi 4 3 πR 3 $ VI.2 Schlittenfahren Im Winter will ein kleiner Junge einen glatten Hügel mit Höhe h = 10 m und Länge l = 30 m mit dem Schlitten hinunter fahren. Der Junge wiegt mJ = 40 kg und sein Schlitten mS = 5 kg. Mit welcher Geschwindigkeit v wird der Junge das Ende des Hügels (im Punkt A in Abb. VI.2) erreichen, und wie lange wird seine Abfahrt dauern? Abbildung VI.2: schematische Darstellung der Kräfte beim Herabfahren eines Hügels Lösung Das Zweite Newton’sche Gesetz (Bewegungsgleichung) besagt, dass die Änderung der Bewegung einer Masse proportional zu der einwirkenden Kraft ist. Die hier wirkende Kraft setzt sich aus mehreren Teilkräften zusammen, daher folgt . m·a= Fi . i Die am Schlitten wirkenden Teilkräfte sind die Gewichtskraft FG = m · g, die Hangabtriebskraft FA und die Reibungskraft FR = µ · FN , mit dem Reibungskoeffizienten µ und der Normalkraft FN . Die Kräfte wirken, wie in der Skizze vermerkt. Die zwei Dreiecke ABC und N OM sind ähnlich, deshalb sind die entsprechenden Winkel gleich. Es folgt für die resultierende Kraft m · a = FA − FR . (VI.2.1) Laut Aufgabenstellung ist die Oberfläche ein rutschiger Hügel, d. h. für die Reibungskraft gilt FR = 0. Daher folgt aus Gl. (VI.2.1) m · a = FA . (VI.2.2) Mit Hilfe der Winkelbeziehungen am rechtwinkligen Dreieck (vgl. Abschnitt 1.5) folgt m · a = FG · sin α. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras (1.5.4) lässt sich die Länge von AB bestimmen ! √ sA := AB = 102 + 302 m = 10 10 m. (VI.2.3) (VI.2.4) Mit Gl. (1.5.2) und Gl. (VI.2.4) folgt (1.5.2) sin α = BC AB (VI.2.4) = √ 1 10 m 10 √ . =√ = 10 10 10 m 10 (VI.2.5) Durch Zusammenfassen der Gleichungen (VI.2.2) und (VI.2.5) ergibt sich g a= √ . 10 xxii (VI.2.6) Offenbar ist die Lösung von der Masse unabhängig, d. h. die Aufgabe enthält überschüssige Daten. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind definiert als erste bzw. zweite Ableitung des Weges nach der Zeit: v(t) = s′ (t), a(t) = v ′ (t) = s′′ (t) (VI.2.7) Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (7.2.1) kann also die Beschleunigung integriert werden, um die Geschwindigkeit zu erhalten (vgl. Abschnitt 7). Das Integral über die Geschwindigkeit liefert ferner den Weg: v= s= t=τ / t=0 t=τ / (VI.2.8) a dt = a · τ, v dt = t=0 t=τ / t=0 a · t dt = 1 a · τ 2. 2 (VI.2.9) Hier ist τ die Fahrtzeit des Jungen den Hügel hinunter, bei Start im Punkt B. Die Aufgabe besteht jetzt darin, die Zeit τA zu bestimmen, die der Junge braucht um vom Punkt B bis zum Punkt A herunterzufahren. Für die Fahrtzeit τA transformiert sich Gl. (VI.2.9) zu 1 a · τA2 2 sA = (VI.2.6) = g √ · τA2 . 2 10 (VI.2.10) % √ % √ 2 10 · 10 10 m 200 s2 = ≈ 4, 5 s = 9, 81 m/s2 9, 81 (VI.2.11) Umstellen nach τA ergibt % √ 2 10sA τA = g (VI.2.4) Wird τ in Formel (VI.2.8) durch τA ersetzt, folgt v A = a · τA (VI.2.6) = g · 4, 5 s = 9, 81 m · 4, 5 s ≈ 14m/s s2 Der Junge erreicht den Fuß des Hügels A mit einer Geschwindigkeit vA ≈ 14m/s. Die Fahrt dauert τA ≈ 4, 5 s. xxiii VI.3 Konsumenten– und Produzentenrente Eine Nachfragefunktion P = f (Q) beschreibt den Zusammenhang von nachgefragter Menge Q und Preis P . Eine Angebotsfunktion P = g(Q) stellt die Beziehung von angebotener Menge Q und Preis P dar. Wenn Angebot und Nachfrage gleich sind, wird von einem Gleichgewichtspreis P ∗ gesprochen. Er tritt bei einer Menge Q∗ ein. Mit Konsumentenrente CS wird der Betrag bezeichnet, der insgesamt von allen Konsumenten eingespart wird, wenn sie das Gut zu einem Preis kaufen, der unter dem Preis liegt, den sie maximal zu zahlen bereit sind CS = /Q ∗ 0 (f (Q) − P ∗ ) dQ. Die Produzentenrente PS ist der Gesamtbetrag aller Produzenten, die einen höheren Preis erzielen, als der minimale Preis, zu dem sie ihr Gut verkaufen würden PS = /Q 0 ∗ (P ∗ − g(Q)) dQ. Gegeben seien eine Nachfragefunktion f (Q) = 200 − 0, 2 · Q sowie eine Angebotsfunktion g(Q) = 20 + 0, 1 · Q. Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis und berechnen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente. Lösung Gleichgewichtspreis: f (Q) = g(Q) 200 − 0, 2 · Q = 20 + 0, 1 · Q Q∗ = 600 f (600) = P ∗ = 80 Konsumentenrente CS = Produzentenrente /600 (200 − 0, 2 · Q − 80) dQ /600 (80 − 20 − 0, 1 · Q) dQ PS = 0 0 = 36 000 = 18 000 xxiv