Ausbildungsseminar Astroteilchenphysik

Ausbildungsseminar
Astroteilchenphysik
Prof. Dr. Gebhard, PD. Dr. Lenz
Physik starker Gravitationsfelder:
Neutronensterne und Schwarze Löcher
Florian Porkert
Universität Regensburg
0
Inhaltsverzeichnis:
0. Einleitung
1. Neutronensterne
1.1 Geschichte und Idee
1.2 Ideales Fermigas
1.3 Realistische Zustandsgleichungen
1.4 Pulsare
1.5 Supraflüssigkeit in Neutronensternen
1.6 Beobachtungsmethoden für Neutronensterne
2. Schwarze Löcher
2.1 Schwarzschild Metrik
2.2 Bewegung von Testteilchen
2.3 Kerr Metrik
2.4 Hawking Strahlung
3. Messergebnisse
3.1 Hinweise für Neutronensterne
3.2 Hinweise für Schwarze Löcher
Schluß
Literaturverzeichnis
(Unterpunkte nicht aufgelistet
1
0. Einleitung:
Im Rahmen dieses Vortrages soll die Physik starker Gravitationsfelder anhand zweier
Beispiele, nämlich den Neutronensternen und der Schwarzen Löcher vorgestellt werden.
Im Stoff der Standardvorlesungen, sowie der vorangegangenen Vorträge haben wir gesehen,
dass am Ende einer Sternentwicklung, insbesondere nach einer Supernova ein kompaktes
astrophysikalisches Objekt steht. Bereits wurde angedeutet, dass es sich hier entweder um
einen Weißen Zwerg (WZ), einen Neutronenstern (NS), oder ein Schwarzes Loch (SL)
handelt, je nach der Sternmasse.
Bei den folgenden Betrachtungen gehen wir davon aus, dass hinreichend viel Zeit seit dem
nuklearen Brennen vergangen sein mag, sodass das erzeugte Material im völligen thermischen
Gleichgewicht vorliegt. Dann wird die Physik der Materiezusammensetzung gerade durch den
minimalen energetischen Zustand der sie beschreibenden Zustandsgleichung bestimmt.
Um Gleichgewichtsmodelle von Sternen aufstellen zu können benutzt man die
Thermodynamik und die Allgemeine Relativitätstheorie (ART).
1. Neutronensterne:
1.1 Geschichte der Neutronensterne:
Man kann die erste Diskussion eines kompakten Objektes, bestehend aus einem Neutronengas
auf Landau (1932) zurückverfolgen, dennoch geht die erste wirkliche Idee eines solchen
Sternes auf Baade und Zwicky zurück.
Wichtige Eckpunkte waren hier:
• 1934:
• 1939:
Baade, Zwicky: Idee des NS, sie nahmen Stern hoher Dichte, und kleinem
Radius an;
weiter postulierten sie seine Entstehung bei Supernovae;
Oppenheimer, Volkoff: erste Berechnungen zu einem von ihnen gebildeten
Modell, Oppenheimer Volkoff Gleichung (OV);
Ursprünglich war der Hauptantrieb der theoretischen Betrachtung des NS Modells die
Annahme, das der Kern des NS Quelle stellarer Energie wäre. Als aber die thermonukleare
Fusion verstanden war wurde die Idee des NS beinahe 30 Jahre von der Mehrzahl der
astronomisch forschenden Gemeinschaft unbeachtet beiseite gelegt 1 , auch wegen seiner dann
geringen thermischen Abstrahlung, was ihn mit üblichen optischen mitteln scher zu
beobachten machen würde.
Weiterhin wurde theoretisch vor allem an der Zustandsgleichung geforscht, darunter von
einigen namhaften Physikern wie Thorne, Wheeler, Salpeter und einigen weiteren.
1
Die Weiterentwicklung der Idee des Neutronensterns wurde 30 Jahre aufgeschoben. Dazwischen lagen der 2.
Weltkrieg und die Entwicklung der Atombombe, an der fast alle führenden Kernphysiker in den USA und der
Sowjetunion beteiligt waren.
2
Experimenteller Wendepunkt:
• 1962:
Giacconi: Entdeckung der kosmischen, nichtsolaren Röntgenstrahlung;
Dies belebte erneut die Theorie der NS, da sie als Quelle der Strahlung vermutet wurden.
Auch die Rotverschiebung des beobachteten Spektrums wurde auf gravitative Effekte an der
Oberfläche des NS zurückgeführt. Allgemein (von Schmidt und Palomar 1963 eingeführt)
bezeichnete man diese „quasi-stellaren Objekte“ nun als Quasare.
Weitere theoretische Betrachtungen schlossen aber in einigen Fällen isolierte NS als
Röntgenquellen aus, da die maximal beobachtete Rotverschiebung unmöglich von einem
stabilen Stern dieser Art herrühren konnte.
Dies stützte sich auf die Theorie des Sternenkollapses, und des Gleichgewichtszustandes
kompakter stellarer Objekte, die ja bereits vorlag.
Ein Abriss wichtiger Messungen:
• 1967/68:
Gold: Entdeckung von Pulsaren, d.h. periodisch sendenden Quellen im
optischen-/radio-/Röntgen-Spektrum; werden als rotierende NS beschrieben
(bis heute akzeptierte Beschreibung;)
• 1971:
UHURU- Satellit: erster Röntgensatellit entdeckt Röntgenpulsare,
Entdeckung als Binärsystem interpretiert, d.h. zwei sich umkreisende Sterne,
darunter solche wo NS mit Akkretionsscheibe aus Gas des Begleiters;
Bsp.: Cen X-3, Her X-1;
• seit 1968:
Krabben und Vela Pulsare entdeckt, beide in Supernova Resten liegend,
(Chinesische Astronomen haben um 1054 die Explosion im Krabbennebel
beobachtet;) => Hinweis, dass NS nach/bei Supernovae entstehen;
Bereits jetzt sei gesagt, dass die Beobachtung der Röntgenpulse, d.h. allgemein des Spektrums
des Pulsars und der Pulsrate, bzw. des Binärsystems eine Massenbestimmung ermöglicht.
Heute sind über 350 Pulsare bekannt, wovon 300 kompakte Röntgenquellen sind, und 19
zeigen eine Periodizität, was auf Binärsysteme hinweist.
1.2 Ideales Fermigas:
Unser Ziel ist es eine Zustandsgleichung eines Sternes für Dichten über ρ ≥ 10 7 gcm −3 zu
finden. Dann wollen wir den niedrigsten Energiezustand eines solchen Systems, das wie wir
meinen i.A. ein Gasgemisch aus Elektronen (e), Protonen (p), Neutronen (n) und Atomkernen
darstellt. Die Kerne sollten, da der NS als Supernovaendprodukt angenommen wird, als
solche jenseits von Eisen aufgefasst werden.
Betrachtet werde soll ein kugelsymmetrischer Stern im hydrostatischen Gleichgewicht.
Die Wahl der Koordinaten wird entsprechend getroffen werden.
Der erste Ansatz zur Beschreibung eines NS stammte von Landau. Ähnlich wie für das
Modell des Weißen Zwerges, der durch ein entartetes Elektronengas vor dem Kollaps bewahrt
wird, untersuchte Landau ein entartetes Neutronengas 2 in analoger Rechnung.
2
Damit ist gemeint, dass das Pauliprinzip, bzw. Verbot zum tragen kommt und keine klassische Gasgleichung
gilt.
3
Durch Energiebetrachtungen sieht man für ein System aus N Fermionen, die in einer Kugel
vom Radius R eingeschlossen sind, dass für die Energien eines Gasteilchens gilt:
1
3
E Fermi ∝ hcN R −1 , und E grav ∝ −G (Nm B )m B R −1 , mit der Baryonenmasse m B .
Die Gesamtenergie ist so:
E = E Fermi + E grav
hcN
∝
R
1
3
−
GNm B
.
R
(1.0)
Berechnet man die maximale Baryonenzahl im Gleichgewicht, so erhält man:
3
⎛ hc ⎞ 2
⎟ ≈ 2 ⋅ 10 57 , d.h. bei Neutronen eine maximale Masse von ca:
N max ∝ ⎜⎜
2 ⎟
⎝ Gm B ⎠
M max ∝ N max ⋅ m B ≈ 1.5 ⋅ M Θ .
(1.1)
Der Radius des Sternes aus Neutronengas entspräche dann Rmax ≈ 3 ⋅ 10 5 cm = 3km .
Eine Verbesserte Modellierung wurde von Harrison und Wheeler (HW-Gleichung)
angegeben. Sie betrachteten einen rein Thermodynamischen Ansatz, aufgrund dessen man
eine Energiedichtegleichung aufstellen, und so eine Zustandsgleichung finden kann.
Die auch bei der nächsten Zustandsgleichung betrachtete Dichte liegt im Bereich von
10 7 gcm −3 ≤ ρ ≤ 4 ⋅ 1011 gcm −3 .
Die Thermodynamik liefert (Zusammensetzung und mögliche Reaktionen seien bekann) i.A.:
⎛ε ⎞
⎛1⎞
d ⎜ ⎟ = − Pd ⎜ ⎟ + Tds + ∑ μ i dYi 3 ,
⎝n⎠
⎝n⎠
i
(1.2)
was im Gleichgewicht, bei ds = 0 liefert:
∑ μ dY
i
i
= 0 .4
(1.3)
i
Bei dem Modell von Baade und Zwicky, das Landau untersuchte war der „Stern“, besser die
Neutronengaskugel praktisch ein dicht gepackter, unglaublich großer Atomkern mit
entsprechender Massenzahl und Kernladung (A,Z).
Hier haben wir ein Elektronen-Neutronen-Kernteilchen-Gas, für dessen Energiedichte gilt:
ε = n N M ( A, Z ) + ε e ′ (ne ) + ε n (nn ) . 5
3
(1.4)
4
Mit P: Druck, e/n: die Energie pro Baryon, s: Entropie pro Baryon, T die Temperatur;
μ i die chemischen Potentiale, Yi die stöchiometrischen Koeffizienten;
5
′
n g : jeweilige Dichte der Komponente g, ε g : Energiedichte von g, ε g : Energiedichte ohne Ruhemasse;
4
Hier ist M(A,Z), die nicht direkt messbare „semiempirische Massenformel“. Sie wird analog
dem Tröpfchenmodell gebildet. Nach Green (1955) hat sie die Form:
[
]
M ( A, Z ) = ( A − Z )mn c 2 + Z (m p + me )c 2 − AEb 6 .
(1.5)
Sie kann in der Regel entsprechenden Tabellen entnommen werden, womit zu erkennen ist,
dass hier semianalytisch zu rechnen ist.
Nach einer längeren Rechnung ergibt sich die HW-Zustandsgleichung:
′
ne M ( A, Z )
⎧
+ εe + εn
ε
Z
⎪ρ =
=
2
2
⎪
c
c
⎪
P = Pe + Pn
.
⎨
⎪
A
n = ne + nn
⎪
Z
⎪⎩
(1.6)
Die von uns gewünschte Zustandsgleichung ist dann gerade P( ρ ) aus (1.6).
Eine allgemeine Diskussion (siehe [3] Kap. 2.3) liefert die schon benutzten Größen:
xg =
bei
p Fg
7
mg c
φ (x ) =
1
, ng =
(
1
3π 2 λ3g
⋅ ⎧⎨ x 1 + x 2
8π ⎩
2
)
1
2
⋅ x g3 , λ g =
(
2
⋅ 2x
)
mg c 2
h
, Pg = 3 ⋅ φ (x g ) ,
mg c
λg
(
− 1 + ln⎛⎜ x + 1 + x 2
3
⎝
)
1
2
⎞⎫ .
⎟⎬
⎠⎭
Dies sei nur der Vollständigkeit halber angegeben.
Eine Verbesserung der HW-Gleichung wurde von Baym, Pethick und Sutherland (1971)
angegeben (BPS-Gleichung), welche zuvor in M(A,Z) vernachlässigte Hülleneffekte und die
„Gitterenergie“ in die Diskussion mit aufnahmen. Die Gitterenergie bezieht sich hier auf die
(als solche angenommene) bcc-Gitter Struktur der Gasmischung, d.h. sie gibt die
Elektrostatische Energie pro Elektron, Kernteilchen, usw. mit an.
Eine analytische Diskussion der modifizierten Energiedichte ergibt schließlich:
1
P = Pe + PL , mit PL = ε L der Gitteranteil.
3
(1.7)
Obigen Gleichungen beachten nicht die Eigengravitation des Gasgemisches mit sich selbst
(d.h. seiner es bildenden Teilchen untereinander), welche hier nicht mehr vernachlässigt
werden kann. Ebenfalls wollen wir ja Zustandsgleichungen höherer zulässiger Dichte finden.
Diese wären dann für die gewünschte Beschreibung von NS geeignet, während Gleichung
(1.6), wie (1.7) schwere WZ beschreiben würden.
6
7
Eb : mittlere Bindungsenergie pro Baryon, m g : Masse von g;
hier ist p der Fermiimpuls des Teilchens, m die Teilchenmasse und
Wellenlänge.
λ
die entsprechende De Broglie-
5
Die erste Zustandsgleichung, die Thermodynamik mit der Gravitation verband wurde von
Oppenheimer und Volkoff (OV-Gleichung) für das hydrodynamische Gleichgewicht einer
Gaswolke gegeben.
Im Vortrag 2.1, und 2.2, von Philipp Wein und Sascha Ratz, haben wir bereits den
Einstein’schen Energie-Impulstensor kannengelernt, und wir wissen, dass so eine Verbindung
von Gravitation zu der Geometrie des Raumes, d.h. der Teilchendynamik (Teilchen bewegen
sich ja auf entsprechenden Geodäten) geschaffen wird.
Eine Verbildlichung der OV-Herleitung sei nun gegeben durch:
(Annahme Δs = 0 , k B T pp E F , d.h. T ≈ 0 K;)
1
Rμν − ⋅ g μν g λκ Rλκ = −8πG ⋅ Tμν 8 “+“Thermodynamische Zustandsgleichungen P( ρ )
2
⇒
⎧
dm
⎪
= 4π ⋅ r 2 ρ
dr
⎪
⎪⎪ dP − ρm ⎛ P ⎞⎛ 4πP ⋅ r 3 ⎞⎛ 2m ⎞ −1
⎟⎜1 −
= 2 ⎜⎜1 + ⎟⎟⎜⎜1 +
⎟ .
⎨
m ⎟⎠⎝
r ⎠
r ⎝ ρ ⎠⎝
⎪ dr
−1
⎪
1 dP ⎛ P ⎞
dΦ
=− ⋅
⋅ ⎜1 + ⎟
⎪
⎪⎩
ρ dr ⎜⎝ ρ ⎟⎠
dr
(1.8)
Die OV-Gleichung basiert auf der allgemeinsten Form einer sphärisch symmetrischen Metrik:
(
)
ds 2 = −e 2 Φ dt 2 + e 2 λ dr 2 + r 2 dθ 2 + sin 2 (θ )dφ 2 ,
(1.9)
−1
hier aber
⎛ 2m ⎞
e 2 λ ≡ ⎜1 −
⎟ .
r ⎠
⎝
(1.10)
R
Man sieht, dass wegen der Gesamtmasse M = ∫ 4πρr 2 dr des Sternes, m(r ) als Masse in r
0
interpretiert werden kann, während Φ weiter eine abstrakte Metrikfunktion bleibt, für die sich
die Differentialgleichung aufstellen lässt:
1
dΦ
dP
.
=−
⋅
dr
P + ρ dr
(1.11)
Wichtig ist, dass wir hier ein Volumenelement der Form:
⎛ 2m ⎞
dV = ( g rr ) dr ⋅ 4πr ≡ ⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
1
2
2
−1
2
⋅ 4πr 2 dr
(1.12)
haben, in welchem nicht wie üblich nur die Masse, sondern auch die „in ihm enthaltene“
Gravitationsenergie (durch das negative Gravitationspotential) steckt.
Gleichsam sind auch Druck und Volumenelement so gekoppelt.
8
Tμν : Energie-Impuls-Tensor, Rμν : Ricci-Tensor;
6
Die Gleichgewichtskonfiguration liefert:
M max = 0.7 M Θ , bei R = 9,6km , und ρ c = 5 ⋅ 1015 gcm −3 .
(1.13)
Interessant ist, dass bei höheren Drücken die Konfiguration instabil wird, und der
Gravitationskollaps erfolgt.
Doch wie geht man theoretisch auf die „Stabilität“ eines Sternes ein?
Es sei auf Kapitel 6 von [3] verwiesen, hier nur eine Kurzzusammenfassung der betreffenden
Sachverhalte.
Zusammenfassung: (Newton’sches Gleichgewicht und Stabilität nichtrotierender Sterne)
Man geht von der Hydrodynamik aus, welche für die Zustandsgleichung P( ρ ) im
Gleichgewicht liefert:
∇P + ρ∇Φ = 0 , mit Φ 9 dem Gravitationspotential.
(1.14)
Analog zur Mechanik will man durch ein Variationsprinzip (vgl. [3] Kap. 6.3) das
Energetische Minimum finden, welches die Physik des Systems und so den
Gleichgewichtszustand und die Zusammensetzung bestimmt.
Mit Energieansatz:
r
E = E kinetisch + Einnere + E gravitation ⇒ δE = ∫ (∇P + ρ∇Φ ) • ξ d 3 x , (1.15)
r r
mit der Lagrange’schen Verschiebung ξ ( x , t ) , was die Lagrange’schen Multiplikatoren für
r
die entstehende Gleichung sind. Die Verschiebung erfüllt: Δρ = − ρ∇ • ξ .
Setzt man nun δE = 0 so haben wir die Physik des Gleichgewichtszustandes. Interessant ist,
wenn man nun kleine Auslenkungen aus diesem betrachtet, indem die Lagrange’sche
Verschiebung als ebene Welle, die den Stern durchläuft, und in ihm stehende Wellen bildet,
angesetzt wird. Aufgrund der härte des beim NS betrachteten Materials ist dies eine extrem
gute Näherung für Verspannungen im Stern. Rechnet man nun weiter, ergibt sich eine
Lagrangefunktion für die Störung, aus der sich Stabilitätskriterien eröffnen (siehe Box 6.1,
S.151 in [3]). (Diese ergeben sich aus den erlaubten Moden der Eigenschwingungen der
gebildten stehenden Wellen.)
All dies führt nun auf eine sehr große Vereinfachung der Diskussion, die wir gleich anwenden
können.
Die Zustandsgleichung dar in der Form einer Polytropengleichung P ( ρ ) = Kρ Γ angesetzt
werden, mit Konstanten K und Γ . Der Energieansatz ergibt:
dP
Gm
dm , bei u =
,
dρ
r
was mit der Abschätzung einer mittleren Dichte ρ c ≡ ρ (0) liefert:
E = ∫ udm − ∫
E = α 1 KMρ cΓ −1 − α 2 GM
9
5
3
1
ρ c 3 , α 1 , α 2 Konstanten.
Für Kugelsymmetrische Sterne ist dies z.B.: Φ(r ) = − Gm(r )
r
r
+ G ∫ 4πρr 2 dr .
0
7
Man hat am Ende der Rechnung also eine Funktion:
M ∝ pc
( Γ − 4 )( 3 )
2
3
, die nur von einem Argument abhängt!
(1.16)
dE eq
= 0 und dM
= 0.
dρ c
dρ c
Man muss beachten, dass die Diskussion bei zu hohen Dichten unsinnig wird.
Stabile Sterne findet man nun bei:
Insgesamt ändert sich die Stabilität bei
dM
d 2M
= 0 und
< 0.
dρ c
dρ c2
Abbildung 1 und 2 verbildlichen stabile Konfigurationen.
[Abb.1]
[Es wirkt überraschend, wenn man nochmals das Vorgehen Revue passieren lässt:
Wir gingen von der Hydrodynamik aus, haben, da wir stets etwas über die Energiebeziehungen sagen können,
ein Variationsprinzip angewandt, den Grundzustand des Gleichgewichtes gefunden. Um die Stabilität zu
bestimmen haben wir das System um die stabile Ausgangslage zum schwingen gebacht, so konnten wir die zu
Stabilen Konfigurationen führenden Moden finden, Stabilitätskriterien bestimmen, und schließlich eine simple
Form der Stabilitätsabschätzung (Abschätzung, da wir die uns unbekannte Zustandsgleichung für einen Grenzfall
maximal möglicher Dichte genähert haben;) gewinnen.]
8
Zu den Kenndaten, die wir tatsächlich messen können gehört sicherlich die Masse des
kompakten Objektes. Betrachten wir die Massen, die unsere Modelle liefern, und die
zugehörigen Dichten, wie Radien.
Die „Chandrasekhar Massengrenze“ 10 für Neutronensterne ist ca. 5,72M Θ .
Dies ist aber die errechnete Ruhemasse des NS, welche durch das negative
Gravitationspotential, d.h. die auftretende Bindungsenergie ,und weitere relativistische
Effekte nochmals deutlich herabgesenkt wird.
[Abb. 3]
Abbildung 3 zeigt einen Vergleich der HW- und OV-Gleichung mit markierten bereichen für
Stabile Weiße Zwerge und Neutronensterne.
Da wir die Zustandsgleichung nicht genau kennen, aber eine ungefähre Abschätzung von M
und R brauchen, machen wir einen Polytropenansatz, d.h. wir nehmen P ≈ P( ρ 0 ) , bei einer
Γ
mittleren Dichte ρ 0 an und setzen P = Kρ 0 , K , Γ konstant. Für den Fall eines leichten NS
aus Neutronengas ist Γ = 5 und man erhält:
3
1
⎧
⎛
⎞ 6
ρ
c
⎪ R = 14.64⎜
⎜ 1015 gcm −3 ⎟⎟ km 11
⎪
⎝
⎠
.
(1.17)
⎨
3
⎪
⎛ 15.12km ⎞
⎟ ⋅MΘ
⎪ M =⎜
R
⎝
⎠
⎩
Im Fall oben angegeben Gasmischung kann man das Teilchendichteverhältnis von Protonen
zu Neutronen untersuchen (siehe Kap. 2.5 in [3], S. 41ff) und findet so ein Maximum bei
ρ ≈ 7.8 ⋅ 1011 gcm −3 .
Dies gibt uns einen Anhaltspunkt wo die Grenze vom NS zum Weißen Zwerg zu liegen hat,
denn bereits im Vortrag 7.2, von Stefan Leinfelder, wo der Beginn der „Neutronisation“
angeschnitten wurde, haben wir eine charakteristische Reaktionsgleichung gesehen.
10
Gemeint sind nicht die 1.24 M Θ vom Weißen Zwerg!
11
Setzen
ρ0 = ρc
an.
9
Es ist dies der inverse β-Zerfall, der z.B. in einer Gleichgewichtsmischung von p, n, e, bei
Dichten jenseits von 1,2 ⋅ 10 7 gcm −3 auftritt.
Die Reaktionsgleichung: e + p → n + ν e , und das Prinzip des kleinsten Zwanges, zeigen
gerade bei diesen Dichten eine Verlagerung des Gleichgewichtes auf die rechte Seite 12 . Hat
ein Stern also hinreichende Masse und so Dichte, d.h. über ρ ≈ 7.8 ⋅ 1011 gcm −3 , so ist im
Wesentlichen die Rückreaktion: n → p + e + ν e unterbunden und der Stern erfährt einen
Anstieg der Neutronendichte. Eine stetige Umwandlung der Gasmischung dieser Art führt zur
Neutronisation weiter Teile des Sternes, womit dort ein Neutronengas gebildet wird.
Nun haben wir einen ungefähren Rahmen über die Parameter gefunden, um realistischere
Zustandsgleichungen vom allgemeinen Standpunkt aus beurteilen zu können.
1.3 Realistische Zustandsgleichungen:
Da wir bis jetzt noch keine Messwerte haben, aber über Stabilitätsbedingungen Aussagen über
Zustandsgleichungen machen können, wollen wir uns nun ganz heuristisch eine Liste dieser
Gleichungen ansehen, wie sie in Tabelle 1 zu finden sind.
13
[Tab.1]
12
Bei diesen Dichten sind die Elektronen des Gemisches praktisch ultrarelativistisch und haben Energien über
1.29MeV ≈ (mn − mp )c 2 , womit das Gleichgewicht auf Seite der Neutronenbildung verschoben wird.
13
„Neutron Drip“ meint Dichten, bei denen freie n außerhalb der Kerne existieren können.
10
Zu sehen ist eine Übersicht der vorhandenen, bekanntesten Modelle/Zustandsgleichungen und
auf welche Annahmen sie sich stützen.
[Abb. 4]
Abbildung 4 zeigt ein M − ρ c -Diagramm der Modelle, dabei steht der ansteigende Ast für
stabile NS. Abbildung 5 zeigt das zugehörige M-R-Diagramm.
[Abb. 5]
Es ergeben sich folgende Charakteristika:
1) Sterne mit „starrer Zustandsgleichung“ (engl. stiff equation of state), d.h. bei
sozusagen inkompressiblen Cores, (BJ, TNI, TI, MF) haben größere maximale Massen
als Sterne mit „weicher Zustandsgleichung“ (engl. soft equation of state), d.h.
kompressiblen Cores;
2) Sterne mit starrer Zustandsgleichung haben geringere Kerndichten ρ c , größere
Radien, dickere Krusten (siehe Aufbau, und Abb.6) als Sterne gleicher Masse aber mit
weicher Zustandsgleichung;
3) Auftreten von exotischen Phänomenen, wie Pionkondensation würde den Kern
kontrahieren;
11
Betrachten wir noch die unterschiedlichen Maximalen Massen der Modelle in Tabelle 2:
.
[Tab. 2]
Wie bei der Beschreibung der Neutronisation angegeben kann man bei der ausführlichen
Analyse der Zustandsgleichung schnell bereiche unterschiedlicher Dichten ausmachen und
mit thermodynamischen Überlegungen die dort mögliche Zusammensetzung bestimmen.
So ergibt sich der Innere Aufbau des Neutronensternes. Abbildung 6 zeigt einen Querschnitt
durch die verschiedenen Schichten des NS, wobei wir es einmal mit einem Repräsentanten für
weiche Zustandsgleichungen (R) und einen für starre Zustandsgleichungen (TNI) zu tun
haben.
[Abb. 6]
12
Diskussion des Aufbaus:
1.) Oberfläche: ( ρ ≤ 10 6 gcm −3 ) Region in der die Temperatur und die magnetischen
Felder die Zustandsgleichung merklich beeinflussen können; es gibt wohl eine wenige
cm dicke Plasma-Atmosphäre und extrem starke Magnetfelder von ca. 1012 Gauß;
2.) Äußere Kruste: ( 10 6 gcm −3 ≤ ρ ≤ 4,3 ⋅ 1011 gcm −3 ) feste Region, in der ein
Coulobgitter aus schweren Nuclei (von uns als Eisenkerne angenommen (siehe
Supernovavortrag)) im β-Gleichgewicht (Isotopenbildung möglich!) mit dem
relativistischen degenerierten Elektronengas (hier gilt die Zustandsgleichung für
Weiße Zwerge);
3.) Innere Kruste: ( 4,3 ⋅ 1011 gcm −3 ≤ ρ ≤ (2bis 2,4) ⋅ 1014 gcm −3 ) festes Gitter/Kristall
(wohl bcc) neutronenreicher Nuclei, zusammen mit einem superfluiden Neutronengas
(bildet sich bei vorliegenden Dichten ab 1011 K!), und einem entarteten Elektronengas;
4.) Core Region: ( ρ ≥ ρ c ≈ ρ nuc ) sie mag es, oder mag es nicht in einigen Sternen geben,
eine Region von Dichten der Größe von Atomkerndichten; dies hängt davon ab, ob
Pionkondensation (Einstein-Bosekondensat?)eintritt, ein Phasenübergang zu fester
Neutronenmaterie auftritt, oder die starke Wechselwirkung Quark-Materie hervorruft;
natürlich können auch andere Materieformen, die sich von der Neutronenflüssigkeit
unterscheiden auftreten, welche bei diesen Dichten existieren könnten;
Schlüsse aus der Diskussion:
!
Wir können aus einer starren Zustandsgleichung bei M = 1.4 M Θ (d.h. relativ massereich, und
wie wir sehen werden ein in der Natur favorisierter Fall) eines NS die Dichte ρ ≤ 1015 gcm −3
folgern. Tatsächlich ist selbst bei den massivsten stabilen Neutronensternen 14
ρ c ≤ (kleineZahl ) ⋅ 1015 gcm −3 , wie aus Abb. 4 ersichtlich.
Ein Phasen, bzw. das Vorhandensein solcher Phasenübergänge im Core zu Quark-Materie,
oder anderen exotischen Materieformen ist erstens unwahrscheinlich, und zweitens ist solche
Materie nie untersucht worden, da sie noch nie gebildet werden konnte 15 . Auch wenn man
dies noch nicht messen kann, muss man dennoch eine weitere Klasse kompakter Objekte, die
Quark-Sterne ( ρ c > ρ nuc ), annehmen. Diese Herangehensweise erwies sich, wie die
Geschichte zeigt stets als fruchtbar.
In der Natur scheinen (wie bereits erwähnt) NS mit Massen nahe der Chandrasekhargrenze
von 1,4 Sonnenmassen bevorzugt aufzutreten. Diese Sterne, i.A. gut durch eine starre
Zustandsgleichung wie TNI beschrieben bilden keine exotischen Effekte im Core, wie
Pionkondensation aus (diese bräuchten, falls sie auftreten würden Kerndichten im bereich von
ρ nuc ). Trotz aller Unsicherheiten bzgl. der Zustandsgleichung decken sich diese
Schlussfolgerungen gut mit den Beobachtungen.
Die minimale Masse von NS wird mit der BBP-Gleichung bestimmt, da in diesem
Dichtebereich der NS als schwerer Weißer Zwerg aufgefasst werden kann. Es ergäbe sich so
M min = 1.2 M Θ . Während dieser Bereich als gut verstanden und etabliert gilt, ist die maximale
Masse für eine Gleichgewichtskonfiguration wesentlich schwieriger zu erhalte, da dort die
14
Mehrfache Kerndichten treten wohl stets auf.
Man glaubt heute in Beschleuniger-Experimenten mit schweren Kernen Anzeichen für das Auftreten eines
Quark-Gluon-Plasmas beobachtet zu haben.
15
13
Zustandsgleichung nicht bekannt, bzw. bisher klar spezifizierbar war. Alle Rechnungen
deuten aber auf eine Abschätzung von M max ≤ 3M Θ .
Wir werden später nochmals darauf eingehen, da dieser Bereich zur Abgrenzung und
Identifizierung von Schwarzen Löchern wichtig ist.
1.4 Pulsare:
Kurze geschichtliche Einführung:
•1967: A. Hewish detektierte astronomische Objekte, die periodische Pulse im Radiobereich
abstrahlten.
Bereits zuvor waren ja Modelle für Weiße Zwerge, Neutronensterne, usw. aufgestellt worden.
Darunter war der Vorschlag von Baade und Zwicky (1934), sowie Colgate und White (1966),
welche als Entstehungsort Supernovae vorhersagten. Sie nahmen weiter an, dass NS/Weiße
Zwerge schnell rotierten, und starke Magnetfelder aufwiesen, womit sie z.B. als
„Energiequelle“ von Nebeln, wie dem Krabben-Nebel dienen könnten.
Der von Hewish entdeckte Radiopulsar (1,377s bei 81,5 MHz) war anfangs als
eigenständiges, einzelnes Objekt verstanden worden.
•1968: Gold: Klassifizierte das beobachtete Objekt als rotierenden Neutronenstern, mit
magnetischen Feldern an der Oberfläche von ca. 1012 Gauß. Weiter würde sich das NS-Modell
mit vielen der Beobachtungen, wie der Stabilität der Pulsperiode decken. Er sagte einen
geringfügigen Anstieg der Pulsperiode voraus, was, wie er meine geschah, wenn der NS
langsam Rotationsenergie verlor.
Kurz darauf wurde diese Verlangsamung der Pulsperiode beim Krabben-Nebel-Pulsar
gemessen. Als Gold (1969) weiter zeigen konnte, dass der implizierte Energieverlust gerade
dem Energiebetrag entsprach, um den Krabben-Nebel „anzutreiben“, und alle alternativen
Beschreibungen scheiterten, war das Neutronenstern-Modell endgültig akzeptiert.
Kurze Diskussion der Richtigkeit der Annahme „Pulsare=Neutronensterne“:
Zur Auswahl stehen die uns „bekannten“ kompakten Objekte: Weißer Zwerg, Neutronentern,
und Schwarzes Loch.
Eigenschaften des Pulsars (Schlüsselfakten):
1) Pulsare haben Perioden von ca. 1,6ms bis 4,3s;
2) Periode wächst langsam an, und wird bis auf etwaige „Glitches“ nicht langsamer;
3) Pulsare sind sehr gute „Uhren“ (man kann Pulsperioden bis auf 13 Dezimalen genau
messen);
Nehmen wir eine Pulsrate von 1,6ms, so legt das Licht in dieser Zeit eine Distanz von 500km
zurück. Es gibt keine Modelle, in denen die Quellen viel größer sein können; vor allem in
denen ein solch gut abgestimmter „Uhrmechanismus“ (d.h. Abstrahlung ja kohärent) existiert,
da die emittierende Region ja so, nah mit der ganzen Quelle gekoppelt sein.
Somit muss es sich um ein kompaktes Objekt handeln.
14
Abbildung 7 zeigt die Aufnahme eines typischen Pulsars.
[Abb. 7]
1.) Annahme: Es ist ein Weißer Zwerg, mit Uhrmechanismus: Rotation, Pulsieren,
Binärsystem;
Rotation: errechnen wir die kürzest mögliche Periode, d.h. kurz vor dem
Auseinanderreißen des Sternes:
GM
Ω 2 R ≈ 2 16 , bei mittlerer Dichte ρ ist Ω 2 ≈ Gρ , wobei wir eine maximale
R
mittlere Dichte von ρ ≈ ρ c ,max ≈ 10 8 gcm −3 haben können, was eine Periode
2π
≈ 1s ergibt, genauere Rechnungen liefern einen Wert von ca.
Ω
2s. Innere Schwingungen können aufgrund dessen ausgeschlossen werden,
dass neben den hochfrequenten Moden auch andere niedrigere Frequenzen
angeregt würden 17 , was gegen die schmalen Signale, die nur in relativ
schmalen Frequenzband auftreten spräche. Eine Vibration ist auch nicht
adequat, sie würde die Periode absenken,
d.h. durch dissipative Effekte verzögern.
Binärsystem: Ein Weißer Zwerg in einem Binärsystem ergibt bei Orbitalem
GM
Radius r: Ω 2 r ≈ 2 , bei r ≥ R erhält man ähnliche Größenordnungen der
r
Frequenz wie oben. (Umfangsgeschwindigkeit fast c)
Insgesamt liefert der Weiße Zwerg die kurzen Perioden nicht!
von ca. P =
2.) Annahme: Ein Neutronenstern ist der Pulsar.
Man überlege sich die analoge Diskussion wie beim Weißen Zwerg,
nur der NS hat eine ca. 10 6 mal höhere Dichte, was eine Periode im
Bereich von 1ms lieferte, welch zu kurz wäre, aber für den unteren
Frequenzbereich des Pulsares hinreichend ist.
Bei geeignetem Radius des NS (d. auch für ein Binärsystem entspr. Orbitaler
Radius) kann das Neutonensternsystem sehr wohl die gewünschten Pulse
Liefern. Ebenfalls stimmt die Zeitspanne, in der die Pulsperioden beobachtbar
Sind gut mit der Beobachtung überein.
16
17
Ω die Winkelgeschwindigkeit;
Es gibt Schwingungen der Akkretionsscheiben schwarzer Löcher, deren sehr breites Spektrum auf starke
Dämpfung hinweist (Quasi-Periodic-Oscillations).
15
3.) Annahme: Pulsar ist ein Schwarzes Loch, kann ausgeschlossen werden, denn wie wir
noch sehen werden besitzt es keine Struktur an der sich ein periodischer Emitter
befestigen ließe. Auch sind Schwarze Löcher achsensymmetrisch und etwaige
Akkretionsmechanismen (Pulsieren der Scheibe in sich) sind nicht annähernd so genau
wie notwendig.
Es folgt, dass der Neutronenstern als einziges der kompakten Objekte in Frage kommt ein
Pulsar zu sein.
Kurze Beschreibung des Emissionsmechanismus:
Problem: Die eigentlichen Mechanismen, mit denen der Pulsar wohl Rotationsenergie des
NS in die Beobachteten Pulse umwandelt, sind kaum verstanden.
Es existieren viele Theorien darüber, aber keine kann den, anscheinend für alle Pulsare
gleichen, d.h. also universellen Grund für die charakteristischen Strahlungspulse erklären.
Da die Emission nur einen kleinen Teil der Rotationsenergie abgibt, verglichen mit
anderen Energie „Reibungs-Effekten2 des NS, kann er also von diesen dissipativen
Prozessen entkoppelt betrachtet werden.
Abbildung 8 zeigt eine künstlerische Verbildlichung eines Pulsars.
Hier ist der Pulsar im wesentlichen als ein magnetischer Dipol dargestellt.
[Abb. 8]
Aber welche fundamentalen Anforderungen muss der beobachtete Puls erfüllen?
1) Die Strahlung muss in einem relativ schmalen Winkel, d.h. einem entsprechenden
Kegel, der in Bezug zum NS eine feste Position hat, abgegeben werden. Der Strahl
muss einen weniger als zehn Grad großen longitudinalen Winkel, für viele Dekaden
der Frequenz vom Äquator emittiert werden.
2) Der Strahlungsmechanismus muss Breitbandsignale in Radio- und optisch sichtbarer
Frequenz produzieren, bei Radiopulsen von Bandbreiten größer als 100MHz.
16
3) Der Strahlungsprozess muss die beobachtete Luminosität, und Temperatur des Radio/Optischen-/Röntgen-Bandes produzieren.
4) Bei Radiowellenlängen soll die Emission lineare Polarisation aufweisen, was
näherungsweise Frequenzunabhängig und für lange Zeitintervalle stabil sein soll.
Was lässt sich nun anhand dieser Daten über die emittierte Strahlung aussagen?
Stellen wir wieder thermodynamische Überlegungen an, so können wir die „brightness“
Temperatur Tb einer strahlenden Region über die Plank’sche Strahlungsformel 18 bei der
spezifischen Intensität I v = Bv (Tb ) (in erg ⋅ s −1 ⋅ cm −2 ⋅ Hz ⋅ sr −1 ) erhalten.
Für unseren Fall ist hv pp k B Tb und obiges vereinfacht sich zum Rayleigh-Jeans-Gesetz:
Iv ≈
2v 2
⋅ k B Tb .
c2
(1.18)
Die schwächste beobachtete Luminosität war von (10 25 − 10 28 )erg ⋅ s −1 , was bei einer
ungefähren Pulsdauer von t ≤ ms eine ungefähre Quellengröße von (ct ) 2 ≈ 1015 cm 2 ergibt,
die wir nun annehmen. Es ergeben sich folgende Werte:
(
)
(
(
⎧ I v ≈ 10 4 − 10 7 ⋅ erg ⋅ s −1 ⋅ cm −2 Hz −1 sr −1
⎪
Tb ≈ 10 23 − 10 26 K
.
⎨
17
22
⎪
k B Tb ≈ 10 − 10 eV
⎩
)
)
(1.19)
Die Teilchenenergie bei inkohärenter Strahlung ergäbe ETeilchen ≥ k B Tb , was, selbst beim
Vorhandensein solch absurd hoher Teilchenenergien, eine Energieemission jenseits des
Radiobandes zur Folge hätte, welche aber bei allen ca. 350 beobachteten Pulsaren – als
Breitbandradioemission abgestrahlt- sichtbar ist.
Kurzer Einschub über das Pulsar-Spektrum:
Wie gesagt zeigen Pulsare Breitband-Radioemission in Form periodischer Pulse (siehe
Abb.7). Die Pulsintensität variiert dabei über weite Bereiche und manchmal fehlen einzelne
Pulse.
Die Pulse auf Abbildung 7 haben eine innere Struktur, wie eine bessere Zeitliche Auflösung
(siehe Abbildung 9) offenbart. Der „duty cycle“, d.h. der Bruchteil der Periode, in dem
Emission gemessen werden kann, macht i.A. 1-5% der/des eigentlichen Pulsdauer/Pulses aus.
Der „Grundpuls“, d.h. die Mittelung vieler Pulse, siehe Abb.9, ist stabil, so ergibt sich die
Eigenschaft der guten „Uhr“ des Neutronensterns.
Für die Intensität der Radiopulse gilt ei Potenzgesetz: I v ∝ v a , mit a ≈ −1,5 für v < 1GHz .
Typische Intensitäten liegen für 400MHz bei ca. 0,1 19 Jy.
Die Pulse sind wie gesagt meist linear polarisiert, seltener, und weniger zur Gesamtintensität
beitragend auch elliptisch polarisiert.
(
)
−1
⎛
⎞ ⎞ , die Plank’sche Strahlungsformel, bei der Frequenz v .
⋅ ⎜ exp⎛⎜ hν
⎟⎟
k
T
c2 ⎝
b ⎠⎠
⎝
19
1Jy=1Jansky = 10 −23 erg ⋅ s −1cm −2 Hz −1 ;
18
3
Bν = 2hν
17
Man beachte, dass Abb. 9 gerade den Puls des Krabbennebel-Pulsars darstellt, der eine relativ
kleine Periode aufweist (PSR 0531+21, von 0,0331s; vgl. mit Vela-Pulsar PSR 0833-45, der
Periode von 0,059s hat;).
[Abb. 9]
Wie wir noch beschreiben möchten, zeigt sich eine stetige Erhöhung der Pulsperiode P, mit
dP
≈ 10 −15 s ⋅ s −1 , womit einige Pulsarmodelle das Alter des Pulsars klassifizieren wollen.
dt
Man setzt an, dass der Pulsar jünger als eine charakteristische Zeit
T≡ P
•
≈ 10 7 yr
P
ist, d.h. für den Krabben-Pulsar T = 2487 yr , was sicher jünger ist als das Alter der
chinesischen Aufzeichnungen. Bei kann in der Rotationsfrequenz plötzliche Sprünge
erkennen, „Glitches“ genannt. Für den Krabben-Pulsar gilt:
ΔP
P
•
−8
≈ 10 , bei
ΔP
•
≈ 0,01
P
18
und einer Abklingzeit von 50 Tagen.
Wie man weiß gibt es solche kleinen Glitches, wie sie der Vela-, oder Krabben-Pulsar zeigen,
aber auch „Makroglitches“. Interessanter weise konnte keine mathematische Formulierung
gefunden werden die diese Messungen in einheitlichen Zusammenhang stellt. Das weist wohl
auf das Fehlen eines allgemeinen, vielleicht einzig internen Mechanismus hin. Stattdessen
können wohl auch verschiedene Zufallsereignisse (Zusammenprall mit Objekt, usw., bzw.
Sternbeben) dazu führen.
Die oben geschilderte Entdeckung, dass der „Antrieb“ (bzw. „antreiben“) des Krabbennebels
ein Pulsar sei, bezieht sich auf die zuvor gemachten Beobachtungen, der im Nebel enthaltenen
Filamente, welche im optischen Bereich strahlen, wie auch Synchotronstrahlung emittieren.
Dies sollte also damit gemeint sein – der ca. 2kpc vom Nebel entfernte Pulsar ist die
geschilderte Ursache.
(Ende des Einschubes)
Zurück zum Strahlungsmechanismus. Wir folgern also einen kohärenten
Strahlungsmechanismus, bei dem die Gesamtintensität ∝ N 2 , bei N der Teilchenzahl, mal der
Intensität, welche durch ein Teilchen abgestrahlt wird.
Der Mechanismus für das optische oder das Röntgenspektrum (dessen Pulse) muss nicht
zwingen kohärent sein, wie wir aus der Atomphysik wissen.
Dipol-Mechanismus:
Wollen wir kurz die elektromagnetischen Eigenschaften des Neutronensternes besprechen.
Das einfachste anwendbare Modell ist das Dipolmodell des Pulsars.
Ein Neutronenstern rotiert gleichbleibend mit Frequenz Ω und besitz ein magnetisches
r
Dipolmoment m , im Winkel α zur Rotationsachse orientiert.
Unabhängig von der inneren Geometrie des Sternes ergibt sich für das reine magnetische
Dipolfeld B p am magnetischen Pol:
3
r Bp R
m =
.
2
Bei einer solche Konfiguration strahlt der Dipol nun Energie, die von der Rotationsenergie:
E=
•
•
1 2
IΩ ⇒ E = IΩ Ω , I: das Trägheitsmoment des Sternes,
2
kommt und mit der Rate:
2
B p R 6 Ω 4 sin 2 (α )
2 •r•
E=− 3 m =−
,
3c
6c 3
•
2
abstrahlt.
Offenbar zeigt sich der Zusammenhang eines Potenzgesetzes der Form:
•
Ω ∝ −Ω n ,
19
wobei der Parameter n der „breaking index“ ist, welcher für unser Dipolmodell gerade n=3
ergäbe. Man kann ihn als:
••
n≡−
ΩΩ
• 2
Ω
definieren. Er kann direkt aus der Pulsarfrequenz bestimmt werden, er ist z.B. für den
Krabben-Pulsar mit
n = 2,515 ± 0,005 (Groth 1975)
gegeben. (Die zeitliche Funktion der Winkelgeschwindigkeit ist ein Charakteristikum in der
Beschreibung!)
Das Dipolmodell erlaubt quantitative Aussagen über die Energie von Pulsaren zu machen. So
haben Gunn und Ostriker (1968) errechnet, dass für den Krabben-Pulsar M = 1,4M Θ ,
R=12km, und I = 1,4 ⋅ 10 45 gcm 2 eine Energie und eine Abstrahlrate von:
•
E = 2,5 ⋅ 10 49 erg , und E = 6,4 ⋅ 10 38 erg ⋅ s −1
ergibt. Das ist eine sehr gute Näherung, wenngleich die insgesamt abgestrahlte Energie weit
größer ist als die mit den Radiopulsen empfangbare.
Für den Krabben-Pulsar ergäbe sich weiter eine Feldstärke von
B p = 5,2 ⋅ 1012 G (α = π ) .
2
Interessant ist, dass dies aus dem eingefrorenen, durch den Schwund des Radius um den
Faktor 10 5 bedingt erhöhten Magnetfeld des Vorgängersternes, dessen typische
Magnetfeldstärke bei ca. 100 G lag. Auch das Oberflächenfeld steigt in der Stärke um den
Faktor 1010 an.
Wir müssen nun den in der Natur vorkommenden Fall eines Neutronensternes annehmen, der
nicht isoliert im Vakuum rotiert, sondern dabei von einer Gasschicht umgeben ist, die mit
seiner Oberfläche wechselwirkt.
Der Ausgerichtete Rotator:
Die ersten, die diese Wechselwirkung beschrieben waren Goldreich und Julian (1969).
Sie zeigten auf, dass so auch starke elektrische Felder parallel der Oberfläche existent wären,
die geladene Teilchen aus der Oberfläche reißen können, und diese würden dann entsprechend
dem komplex geformten Magnetfeld, der (magnetisch) „dichten“ Magnetosphäre
beschleunigt.
Ein Bereich der Magnetosphäre nahe eines virtuellen Lichtzylinders (siehe Abbildung 9b)
würde mit dem Pulsar mitrotieren. Der korotierende Radius wäre:
Rc =
c
≈ 5 ⋅ 10 9 Pcm (P: Pulsarfrequenz;).
Ω
20
Teilchen (Plasma) bei diesem Radius wären ultrarelativistisch und dies führt zu
hochfrequenter Abstrahlung, sowie Synchotronstrahlung.
[Abb. 9b]
Es deutet sich die Komplexität der Physik von Akkretionsscheiben an, wobei das Plasma des
Neutronensternes nicht mit der Akkretionsscheibe gleichgesetzt werden sollte, welche wenig
damit zu tun hat.
1.5 Suprafluidität in Neutronensternen:
Wie wir für die einzelnen Schichten beschrieben hatten, kommt es an einigen Stellen in
diesem Vielteilchensystem zu einer Phasenumwandlung hin zu einem Superfluid. Dies
geschieht wie indem sich die Teilchen zu Paaren formieren. Sind diese geladen, so tritt
Supraleitung auf. Es können sich nach der BCS-Theorie so großflächig supraleitende/flüssige
Areale im Stern ausbilden, wobei hier im stark degenerierten Fall nur solche Teilchen nahe
n
der Fermikante davon betroffen sind. Ist n
groß, so muss man nur n-n, und p-p
np
Paarungen betrachten; da ja immer Paare mit betragsgleichen antiparallelen Impulsen
ausgebildet werden, und n, p verschiedene Fermiflächen aufweisen, ist eine n-p Paarung nur
selten.
Wichtig: Paare von n sind Bosonen, mit einem Verhalten von 4 He Atomen, d.h. flüssigem
Helium. Dieses Verhalten zeigt sich bei Dichten ρ ≈ 2,8 ⋅ 1014 gcm −3 , wie man aus dem Labor
weiß, dabei muss die latente Wärme, die mit der Paarbildung einhergeht größer als die
thermische Energie sein. Die p-Flüssigkeit ist wohl für supraleitende Ströme im NS
verantwortlich, während Elektronen bei den gegeben Bedingungen keine Supraleitung
ausbilden.
21
Im Neutronenstern gilt:
1.) Die innere Kruste enthält n-Supraflüssigkeit (Neutronenreiche Schicht).
2.) Im Quantenflüssigkeiten-Bereich, wo die Nuclei sich zu n und p, in Form von
entarteten Flüssigkeiten aufgelöst haben, gibt es auch supraleitende p Gebiete und
auch Neutronenflüssigkeit.
Die supraflüssigen Schichten wirken sich zwar nicht wesentlich auf Masse, oder Radius des
Neutronensternes (nur 1% der an interaktiven Prozessen beteiligten Energie hier involviert;),
wohl aber haben sie Einfluss auf thermale Effekte, wie die Wärmeleitung (Reduzierung der
Wärmekapazität; Elektronen für Wärmeleitung im üblichen Sinne;), wie auf
elektromagnetische Effekte oder auf hydrodynamische Effekte (wie die Gltches vermuten
lassen).
Gehen wir noch sehr knapp auf die Glitches ein:
Was führt uns neben den Dichteabschätzungen zu dem Gedanken der Supraflüssigkeiten in
Neutronensternen – gibt es Messungen, die darauf hindeuten?
Daten des Krabben-Pulsars und des Vela-Pulsars (hier keine Makroglitches) zeigen ja
plötzliche Pulsperiodensprünge.
Baym (1969) hat zur Erklärung der Vela Glitches ein phänomenologisches
Zweikomponentenmodell für Neutronensterne aufgestell. Bei einem Glitch ändert sich
•
•
offenbar auch Ω (Winkelbeschleunigung) mit Δ Ω
von Ω , um ΔΩ
Ω
≈ 2 ⋅ 10
−6
•
Ω
≈ 10 − 2 , bei einem schwachen Anstieg
für Vela.
Das Zweikomponenten-Modell:
Der Stern besteht hier aus einer festen Kruste mit geladenen Teilchen, usw., und hat ein
Trägheitsmoment I c und eine Winkelgeschwindigkeit Ω(t ) (durch gemessene
Pulsarfrequenz mit P = 2π verknüpft), der restliche Teil sind supraflüssige Neutronen, mit
Ω
Trägheitsmoment I n , die nur schwach an die feste Kruste gebunden sind und mit Ω n (t )
bewegen. Die Kopplung zwischen beiden Schichten wird einzig durch die Relaxationszeit τ c
für Reibungseffekte beschrieben.
Der Auslöser für die Glitches ist auch in diesem Modell ein Sternbeben in der Kruste.
Zu diesen Sternbeben kann es durch den Einschlag von anderen Objekten, die so die Kruste
deformieren kommen. Eine andere Möglichkeit bezieht sich auf die vorhandenen Rotation des
Sternes, welche die Oberfläche entsprechend rotationssymmetrisch geformt hat.
Durch dissipative Effekte kommt es zu einer Verringerung der Winkelgeschwindigkeit,
sodass die Kruste nun nicht mehr in der energetisch günstigsten Form ist, was zu
(mechanischen Ver-)Spannungen in der Kruste führt, die, wenn sie entsprechend groß genug
sind in einem „Crack“, d.h. einer plötzlichen Verformung hin zu einer neuen
Gleichgewichtsform enden. So gibt es dann Sternbeben, begleitet von einer Absenkung des
Trägheitsmomentes der Kruste, was aufgrund der Drehimpulserhaltung folglich zu einer
Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit führt.
22
Das Sternbeben wirkt sich in kurzer Zeit auf die ganze Kruste aus, diese ist ja starken inneren
Wechselwirkungskräften unterworfen.
[Abb. 10]
In Abbildung 10 ist eine graphische Darstellung einer helioseismischer Simulation zu sehen.
Untersuchungen des Spektrums von solchen Beben gibt Aufschluss über die interne
Beschaffenheit des (Neutronen)Sternes.
Die Supraflüssigkeit spürt das Beben und seine Auswirkungen erst später, wegen der
schwachen Bindung an die Kruste wohl durch deren Magnetfelder.
Bei einer schlupffreien Wechselwirkung der beiden Schichten nach dem Sternbeben ergeben
sich die linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen:
•
I c Ω = −α −
•
In Ωn =
I c ⋅ (Ω − Ω n )
τc
I c ⋅ (Ω − Ω n )
τc
, 20
(1.20)
.
(1.21)
Nimmt man α und τ c als konstant während der Zeitskala der Wechselwirkung an, so ergibt
eine Diskussion der Gleichungen:
[
( τ )+ 1 − Q],
Ω(t ) = Ω 0 (t ) + ΔΩ 0 ⋅ Q ⋅ exp − t
mit
τ=
τ cIn
(1.22)
, bei I = I n + I c und Q: der „Heilungsparameter“ 21 ,
I
Ω 0 (t ) : Anfangswinkelgeschwindigkeit die instantan zu Ω(t ) übergeht,
hierbei ist ΔΩ 0 der „Sprung“ beim Glitch.
20
21
α :“external breaking torque“ der Kruste durch magnetische Wechselwirkungskräfte;
Q beschreibt den Grad der Relaxation der Winkelgeschwindigkeit zurück in den extrapolierten „Ruhewert“.
23
Abbildung 11 zeigt das allgemeine Aussehen eines solchen Glitches, als gute Näherung
wieder.
[Abb. 11]
Als Beispiel kann der Vela Pulsar herangezogen werden, siehe Tabelle 3.
[Tab. 3]
Vela zeigt klar Glitch-Verhalten. Da für die gleichen Pulsare, die kleine Glitches zeigen, nur
geringe Abweichungen zwischen den gemessenen Parametern Ω und τ für verschiedene
Glitches auftreten, scheint das Modell also doch Charakteristika der Glitches richtig zu
beschreiben. Natürlich stellt es eine sehr starke Simplifizierung der Sachverhalte dar.
Aber wir können noch mehr aus den Daten ziehen.
Eine weitere Diskussion des Problems liefert:
•
Δ Ω(t = 0)
Q=−
⋅ τ , bei t=0 der Glitch,
ΔΩ 0
24
was im Zweischalen-Modell heißt:
⎛ ΔI n
⎞
In ⎜
In Ωn ⎟
⎟.
⋅
Q = ⋅ ⎜1 −
Ω ⎟
I ⎜ ΔI c
⎜
⎟
Ic
⎝
⎠
Für den zu erwartenden Fall „kleiner“ Glitches gilt Ω n − Ω pp Ω , was bedeutet:
Q≈
In
.
I
(1.23)
Damit liefert Tabelle 3 auch einen Wert für das Trägheitsmoment der normalen, oder der
supraflüssigen Komponente des Neutronensternes.
Man könnte mit ähnlicher Diskussion so die obigen Zustandsgleichungen testen, was tiefere
Einsicht in die Struktur des Sternes lieferte.
1.6 Beobachtungsmethoden für Neutronensterne:
Wir haben also gesehen, dass makroskopische Parameter, wie Masse, Radius,
Trägheitsmoment, usw. des Neutronensternes über die Annahmen der dem Modell
zugrundeliegenden Zustandsgleichung eng mit den mikroskopischen Modellen der NukleonNukleon-Wechselwirkung verbunden waren.
Damit können diese astronomischen Messungen (falls hinreichend genau machbar) Einsicht
in die Hadronenphysik geben.
Eine Schlüsselmessung ist die Massenbestimmung (leider lassen sich die Radien der
Neutronensterne aufgrund ihrer geringen Größe nicht weiter auflösen, d.h. messen).
a) Röntgen-Binärsysteme:
Es handelt sich hier um ein System zweier sich umkreisender Sterne.
Grundlage für die Messungen ist das 3. Kepler’sche Gesetz welches auch hier, da die
„Sonnenabstände“ a genügend groß sind unabgeändert, in bekannter Form anwendbar ist.
[Abb. 12]
Wir betrachten also ein System wie in Abbildung 12, mit zwei sphärisch symmetrischen
Massen M 1 , M 2 ,
25
wobei in der Ebene gelten soll:
a = a1 + a 2 , und M 1a1 − M 2 a 2 = 0 .
Der Winkel i heißt Inklinationswinkel; das Spektrum von (o.B.d.A.) M 1 wird eine
Dopplerverschiebung aufweisen, und die Amplitude der Variation ist v1 :
v1 =
2π
⋅ a1 ⋅ sin(i ) , P: orbitale Periode.
P
Da man die periodische Variation im Spektrum von M 1 messen kann, bekommt man mit
v1 , P auch a1 sin(i ) 22 .
Kepplers 3. Gesetz liefert:
G (M 1 + M 2 ) ⎛ 2π ⎞
=⎜
⎟ .
a3
⎝ P ⎠
2
(1.24)
Man definiert sich eine nur von den Observablen v1 , P abhängige „Massenfunktion“:
f (M 1 , M 2 , i ) ≡
(M 2 sin(i) )3
(M 1 + M 2 )2
=
Pv13
.
2πG
(1.25)
Besonders interessant ist diese Größe, falls die zwei Sterne, bzw. kompakten Objekte
verschiedene Spektren derart aufweisen, dass eines im Röntgen- und das des Begleiters im
optischen Bereich liegt. (Es wurden mehr als sechs solcher Systeme bisher entdeckt!)
Es gilt dann (indiziere die Massenfunktionen mit X, für das Objekt mit Röntgenspektrum,
oder O für das mit optischem Spektrum;):
fX
(M O ⋅ sin(i) )3
=
, und
(M X + M O )
fO
(M X ⋅ sin(i) )3
.
=
(M X + M O )2
(1.25)
Es lässt sich so ein Verhältnis bilden:
M
f ⋅ q ⋅ (q + 1)
.
q = X ⇒ MX = X
MO
(sin(i) )3
2
(1.26)
Der Teil sin(i) wirde über die Bestimmung der Dauer der Eklipse bestimmt, d.h. wie in
Abbildung 13. Die beiden Massen sind hier, im Falle unterschiedlicher Spektren gut
bestimmbar, indem man jeweils nach q auflöst.
22
Im Röntgenbereich wir hier a1 sin(i ) , d.h. die „Ankunftszeit“ gemessen;
c
26
So erhält man q und über unsere weiteren Messungen (Objektklassifizierung, usw.) eine
der Massen und schließlich auch die zweite.
[Abb. 13]
b) Binäre Systeme:
Hier tritt das Problem zutage, dass keine weiteren Bestimmungen nur mit denen in a)
gemachten Gleichungen und Annahmen möglich wären.
Ein Beispiel ist der Hulse-Taylor Binär-Pulsar (PSR 1913+16), bei dem nur eine
Massenfunktion aus Radiomessungen bestimmt werden kann. (Hier Pulsar+kompaktes
Objekt) Man kann jedoch in diesem Falle durch eine sehr aufwendige Diskussion der
ART (siehe [3], Kap. 16.5, bzw. das original Paper [5];), und über Messungen der
Doppler-Rotverschiebung 2. Ordnung, eine Parameterbestimmung von M 1 , M 2 , a1 , sin(i )
erhalten.
Auf Messungen werden wir am Schluß noch mal eingehen.
Mit obigen Massenbestimmungen werden wir die Liste der möglichen Modelle weiter
einschränken können.
Zum Ende von 1.3 haben wir schon auf die minimale Masse eines Neutronensternes
geschlossen, nun wollen wir kurz betrachten, wie wir seine maximale Masse bestimmen
könnten und geben dann einen Wertebereich an.
Zur „klaren“ Abgrenzung der Neutronensterne von der nächst schwereren Klasse der
kompakten Objekte, den „Schwarzen Löchern“ müssen wir eine adequate Abschätzung für
M max finden. Das Hauptproblem ist die Unbekanntheit der genauen Zustandsgleichung.
27
Sieht man sich die Diskussion eines nichtrotierenden Neutronensternes an, wie sie z.B. von
Rhoades und Ruffini (1974) durchgeführt wurde (siehe [3], Kap. 9.5), so ergeben sich
folgende Abschätzungen aus der OV-Gleichung:
M
≤ 0,405 (mit Variationsprinzip),
R
M max ≈ 3,6 ⋅ M Θ (semianalytisch),
bzw.:
M max
⎛ 4,6 ⋅ 1014 gcm −3 ⎞
⎟⎟
≈ 6,05 ⋅ ⎜⎜
ρ0
⎠
⎝
1
2
⋅ M Θ , mit ρ 0 einer bekannten Grenzdichte, (1.27)
oder ohne die Kausalitätsbedingung, die besagt, das die Schallgeschwindigkeit im Stern
kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, ergibt sich:
M max
⎛ 4,6 ⋅ 1014 gcm −3 ⎞
⎟⎟
≈ 5,3 ⋅ ⎜⎜
ρ
0
⎠
⎝
1
2
⋅MΘ.
(1.28)
Letztendlich liefern die starren Zustandsgleichungen M max ≈ (1,5 − 2,7) ⋅ M Θ ,
und die weichen Zustandsgleichungen liefern uns M max ≈ (3 − 5) ⋅ M Θ .
Bezieht man die Rotation mit in die Diskussion ein, so ergibt sich eine maximale Erhöhung
obiger Ergebnisse um 20%. (Bei Weißen Zwergen ergäben sich sogar bis zu 70%!)
Zusammenfassung der Daten:
Ein Neutronenstern hat einen ungefähren Radius von 10-20km, eine Masse von 1,44-3
Sonnenmassen, seine Dichte im Zentrum recht von 1011 kg ⋅ cm −3 bis ca. 2,5 ⋅ 1012 kg ⋅ cm −3 .
Die Dichte übersteigt die von Atomkernen im Grenzfall also nicht merklich. Er ist wie ein
enorm großer Atomkern beschaffen, mit dicht gepackten Kernteilchen, Kernen und
Elektronen, sowie einem Plasma-Ozean (sehr dünn) und Atmosphäre an der Oberfläche.
Sein Gravitationsfeld ist ca. 1012 -mal stärker als das der Erde, und die extremen
Magnetfelder, die sich durch seine Rotation bilden erreichen ca. 10 8 Tesla, bei Elektrischen
Feldstärken ( ≈ Folge von Halleffekt) von tausend Volt pro Atomdurchmesser. Nach einer
Abkühlungsphase beträgt seine Temperatur im Inneren ungefähr eine Milliarde Kelvin.
Kommen wir nun zu den Schwarzen Löchern.
28
2. Schwarze Löcher:
Kurze Beschreibung:
Ein Schwarzes Loch ist eine Region der Raumzeit, die, im Wesentlichen, nicht mit dem
außerhalb ihr liegenden Universum kommunizieren kann.
Der Rand dieser Region die „Oberfläche“ des Schwarzen Loches , oder auch
„Ereignishorizont“ (engl. event horizon) genannt.
Es ist nicht bekannt, was mit der kollabierenden Materie passiert, nachdem sie den
Ereignishorizont passiert hat. Für Massen von M Θ hat solche kollabierende Materie eine
Dichte im Bereich von ρ ≈ 1017 gcm −3 .
Beim Studium der Einsteingleichungen bis ins Innere des Schwarzen Loches ergibt sich dort
eine Singularität. Ob diese unphysikalische Situation mit einer Theorie der
Quantengravitation reparierbar wäre ist noch ungeklärt. Da aber der Ereignishorizont eine
Wechselwirkung von Singularität und restlichem Universum verhindert, diese also kausal von
der Welt entkoppelt ist, ist die ART. Außerhalb des Schwarzen Loches weiter unbeschadet
benutzbar.
Beim Kollaps werden die sternspezifischen Informationen über seine Beschaffenheit in Form
von elektromagnetischen und Gravitationswellen abgestrahlt. Das Schwarze Loch an sich hat
im stationären Fall letztendlich nur noch die drei Beobachtbaren Parameter Masse M, Ladung
Q, und Drehimpuls J. Dies ist als „keine Haare Theorem“, von Wheeler bekannt, und ist eine
Erkenntnis von fast 50 Jahren Forschung in der Gravitationsphysik. Die genannten
Observablen sind in hinreichend großer Entfernung durch die Keppler’schen Gesetze, das
Coulombgesetz und den Lense-Thirring-Effekt messbar.
Wollen wir nur sehr kurz die Geschichte der Schwarzen Löcher studieren, so ist ihr erstes
Aufkommen 1795 durch Laplace, der aus den Newton’schen Gesetzen der Gravitation und
Lichttheorie Objekte folgerte, die bei hinreichenden Massen und Radien nicht einmal Licht
entweichen ließen. Der nächste größere Schritt kam aufgrund der Einsten’schen ART. (1915)
durch Karl Schwarzschild (1916), der in einem Brief an Einstein und die Akademie in Berlin
eine Lösung der Feldgleichungen für sphärische Massenverteilungen vorstellte. Beiden noch
nicht bewusst, enthielt diese Veröffentlichung bereits die vollständige Lösung des externen
Feldes eines ungeladenen, nichtrotierenden Schwarzen Loches. In der weiteren Entwicklung,
die auch die theoretische Entwicklung des Neutronensternes mit umfasste, und sogar
insgesamt im Vordergrund stand, waren Theoretiker wie Chandrasekhar, Landau oder
Eddington verwickelt.
Auffallend ist, dass viele von ihnen, wie z.B. Eddington, der 1922 die erste englische
Übersetzung der ART in Form einer mathematischen Abhandlung schrieb, und so diese gut
verstanden hatte, stets an der Existenz solcher Schwarzer Löcher zweifelte. Auch die Arbeiten
Chandrasekhars (1971); der ja eine Obergrenze der Massenkonfiguration stabiler Sterne fand,
konnten ihn nicht überzeugen- Stets formulierte er nach seiner sauberen Diskussion der
Zustandsgleichung diese so um, dass ein Kollaps zum Schwarzen Loch ausgeschlossen
wurde. Selbst Landau (1932) hielt die Existenz solcher Objekte für absurd. Erst die
Diskussion einer sphärischen Gasverteilung in der ART durch Oppenheimer und Snyder
(1939) treiben die Theoretiker erneut voran. Durch Wheeler wurde 1968 der Begriff des
„black hole“ geprägt. Eine noch allgemeinere Lösung wurde 1963 von Kerr gefunden; hier ist
Q,J ≠ 0. Wir wollen im Folgenden zuerst den Fall J = 0 = Q diskutieren.
29
Zu allem Anfang ist zu sagen, dass unsere Betrachtungen auf ein abstraktes Objekt,
„Raumzeit“ genannt beschränkt sein werden, und einen Rahmen in hinreichender
Allgemeinheit für unsere Überlegungen schafft.
Dabei handelt es sich um eine 4-dimensionale (reelle) orientierte und zeitorientierte LoretzMannigfaltigkeit (siehe [1]). Da eine ausreichend klare Darstellung hier nicht möglich ist, sei
auf die Literatur verwiesen.
Glücklicherweise ist für unsere Strukturanalyse eine Diskussion der entsprechenden,
verwendeten Lorentz-Metrik (g μν ) im lokalen ausreichend, ohne diese Theorie weiter
behandeln zu müssen.
2.1 Schwarzschild Metrik:
Statt der Metrik g μν wird in der Physik gerne das „Längenelement“ ds 2 untersucht, wobei
dies ja äquivalent ist.
Für die Schwarzschild-Metrik gilt:
−1
⎛ 2M ⎞ 2 ⎛ 2M ⎞
2
2
2
2
2
2
ds = −⎜1 −
⎟dt + ⎜1 −
⎟ dr + r dθ + r sin (θ )dφ ,
r ⎠
r ⎠
⎝
⎝
2
(2.1)
mit der Observablen M, bei J,Q=0.
Ab jetzt benutzen wir weiterfort geometrische Maßeinheiten G=1=c.
Ein statische Beobachter (und um diese Klasse von Schwarzen Löchern gibt es gerade
solche;) wäre bei (r , θ , φ ) fest.
Er hätte die Eigenzeit
⎛ 2M ⎞ 2
dτ 2 = −ds 2 = ⎜1 −
⎟dt ,
r ⎠
⎝
d.h.
1
⎛ 2M ⎞ 2
dτ = ⎜ 1 −
⎟ dt .
r ⎠
⎝
(2.2)
(Daraus wird nochmals die gravitative Rotverschiebung, die für schwache Felder ja mit
Φ
⎛ 2Φ ⎞
g 00 ≈ −⎜1 + 2 ⎟ , bei 2 pp 1 ,
c ⎠
c
⎝
bei ΔΦ = 4πGρ gegeben ist, ersichtlich, für eine Uhr im Unendlichen.)
Offenbar bricht Gleichung (2.2) für r → 2 M zusammen. Damit ist r = 2M der
Ereignishorizont, bzw. in unserem Fall der Schwarzschildradius, der durch die
Kugelsymmetrie die Oberfläche des Schwarzen Loches ergibt.
30
Der statische Beobachter macht in seinem Bezugssystem Messungen, dabei legt er eine Basis
fest.
Eine mögliche Orthonormalbasis ist gegeben durch:
⎛ 2M ⎞
eˆt = ⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
−1
2
⎛ 2M ⎞
⋅ et , eˆr = ⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
1
2
⋅ er , eˆθ =
eφ
eθ
, eˆφ =
,
r
sin(θ )
bei
eμ ∗ eν = g μν 23 , für μ ,ν ∈ {r , t ,θ , φ} ,
und
g μν
⎛ ⎛ 2M ⎞ ⎛ 2M ⎞ −1 2 2
⎞
= diag ( g tt , g rr , g θθ , g φφ ) ≡ diag ⎜ − ⎜1 −
, ⎜1 −
, r , r sin 2 (θ ) ⎟ .
⎟
⎟
⎜ ⎝
⎟
r ⎠⎝
r ⎠
⎝
⎠
2.2 Bewegung von Testteilchen:
Um die Schwarzschild-Geometrie besser zu verstehen, betrachten wir nun die Dynamik sich
frei bewegender Teilchen, die das Feld nicht stören sollen (Masse, Ladung hinreichend klein).
Für die Lagrangefunktion gilt:
L=
•
•
1
⋅ g αβ x α x β ,
2
(2.3)
d.h. das Teilchen bewegt sich auf entsprechenden Geodäten, also Kurven (Weltlinien
genannt) in der Raumzeit x(λ ) , mit entsprechender Parametrisierung.
Es folgt für die Schwarzschild-Geometrie:
⎛ 2M
2 L = −⎜1 −
r
⎝
−1
•
•
•
⎞ •2 ⎛ 2M ⎞
2
2
2
2
2
2
⋅
t
+
1
−
⋅
r
+
r
θ
+
r
sin
(
θ
)
φ
,
⎟
⎜
⎟
r ⎠
⎠
⎝
(2.4)
dt
τ
, bei einem affinen Parameter 24 λ ≡
bei Teilchenmasse m, analog für die
dλ
m
anderen Koordinaten.
Ist also x α = (t , r , θ , φ ) , so gelten die Euler-Lagrange-Gleichungen:
•
wo t =
⎛
d ⎜ ∂L
dλ ⎜⎜ • α
⎝∂x
⎞
⎟ = ∂L
⎟⎟ ∂x α
⎠
25
,
(2.5)
womit wir die Bewegungsgleichungen des Problems erhalten.
23
Schreibe für das Skalarprodukt von 4-er Vektoren A ∗ B ≡ Aρ B ρ ≡ gτζ Aτ B ζ .
24
λ
25
Der Parameter
Parameter der Weltlinie, ds invariant unter Parameterwechsel;
λ
im Zeitargument von
L = L(λ , x 0 (λ ),..., x 3 (λ )) steht.
31
Man erhält das „Gleichungssystem“:
•
⎧ d ⎛ 2 •⎞
2
2
⎪ ⎜ r θ ⎟ = r sin(θ ) cos(θ ) φ
d
λ
⎠
⎪ ⎝
•
d ⎛ 2
⎪
⎞
2
.
⎜ r sin (θ ) φ ⎟ = 0
⎨
dλ ⎝
⎠
⎪
d ⎡⎛ 2 M ⎞ • ⎤
⎪
⎜1 −
⎟t = 0
⎪
dλ ⎢⎣⎝
r ⎠ ⎥⎦
⎩
(2.6)
Man beachte, dass
pμ =
∂x μ
∂λ
, wegen den kanonischen Impulsen pα =
∂L
•
∂x
.
α
Aber es gilt auch
m2
g αβ p p = − m , womit L = −
2
α
β
2
folgt.
Wähle ein Koordinatensystem mit θ =
π
•
,θ = 0 , d.h. das Teilchen bewegt sich in der
2
Äquatorialebene und es bleibt auch in dieser, da L invariant unter Parameterwechseln. Dies
gilt ja da die Lösungen der Differentialgleichungen eindeutig sind, oder anschaulich wegen
der Kugelsymmetrie.
Eine bequeme Umformulierung von (2.6) ist dann:
•
pφ = r 2 ⋅ φ = const. ≡ l
(2.7)
⎛ 2M ⎞ •
− p t = ⎜1 −
⎟ t = const. ≡ E .
r ⎠
⎝
(2.8)
und
Ein statischer Beobachter messe (selbst in der Äquatorialebene) die Teilchenenergie, d.h. die
Projektion der Zeitkomponente des 4-Vektors p des Teilchenimpulses im Beobachtersystem.
Er sieht:
E loc
⎛ 2M ⎞
= − p ∗ eˆt = − p ∗ ⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
E loc
⎛ 2M ⎞
= ⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
−1
2
⎛ 2M ⎞
⋅ et = −⎜1 −
⎟
r ⎠
⎝
−1
2
⋅ pt ,
d.h.
−1
2
⋅E
(2.9)
32
wird von ihm gemessen. E ist die „Energie im Unendlichen“ (r → ∞ ⇒ Eloc → E; ) , die über
einen „Rotverschiebungsfaktor“ mit der Messung verbunden ist.
Auch l erhält eine physikalische Interpretation, indem man eine Messung der
Tangentialgeschwindigkeit des Teilchens vom Beobachter betrachtet.
Ist v̂ φ die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit, so erhält man:
l = Eloc ⋅ r ⋅ vˆ φ .
(2.10)
Also ist (im Vergleich zu Newton wo mvˆ φ r das Drehmoment ist) l also das erhaltene
Drehmoment des Teilchens.
Weiter gibt es also die Fälle m=0, oder m ≠ 0.
Zur Vereinfachung normieren wir für m ≠ 0 alle Erhaltungsgrößen auf die Einheitsmasse:
~ E ~ l
E= , l = .
m
m
Da λ = τ
m
(2.11)
war gelten die umgeschriebenen Bewegungsgleichungen:
~
2
~ 2 ⎛ 2 M ⎞ ⎛⎜ l 2 ⎞⎟
⎛ dr ⎞
(1) a ⎜ ⎟ = E − ⎜1 −
⎟ ⋅ 1 + 2 ⎟,
r ⎠ ⎜⎝
r ⎠
⎝ dτ ⎠
⎝
~
dφ
l
(2) a
= 2,
dτ r~
dt
E
(3) a
.
=
2M
dτ
1−
r
(2.12)
Löse (1) ⇒ r (τ ) , in (2) ⇒ φ (τ ) ; r (τ ) in (3) ⇒ t (τ ) .
Uns interessieren nur Orbits außerhalb des Ereignishorizontes. Wir sehen schon den
unterschied zu Sternen, wo die stabilen Orbits praktisch bis kurz zur Oberfläche reichen.
Der Beobachter würde am Teilchen eine Radiale Geschwindigkeitskomponente messen:
⎡
1 ⎛ 2M
vˆ r = ⎢1 − ~ 2 ⋅ ⎜1 −
r
⎣⎢ E ⎝
~ 2 12
⎞⎛⎜ l ⎞⎟⎤
⎟⎜1 + 2 ⎟⎥ .
r ⎠⎥⎦
⎠⎝
(2.13)
(Bei r → 2M ⇒ vˆ φ → 1 , wo der statische Beobachter bei r ist, und so das Teilchen auf dem
Weg ins Schwarze Loch beobachtet, welches auf einer radialen Geodäte (also von Drehimpuls
unabhängig) mit schließlich Lichtgeschwindigkeit im Ereignishorizont verschwindet.)
Die einfachsten Geodäten sind solche mit φ = const. , wo das Teilchen ins Schwarze Loch
~
fällt, also hier l = 0 . Ihre Bewegungsgleichung lautet:
2M ⎞
dr
⎛~
= −⎜ E 2 − 1 +
⎟
dτ
r ⎠
⎝
1
2
gilt dann.
(2.14)
33
Fälle die sich aus (2.14) ergeben:
~
i) E < 1 : Teilchen fällt aus Ruhe bei r = R 26 ,
~
ii) E = 1 : Teilchen fällt in Ruhe aus Unendlichem,
~
iii) E > 1 : Teilchen fällt mit endlicher Anfangsgeschwindigkeit v = v ∞ aus
dem Unendlichen.
Aus obiger Gleichung ergibt sich für die Eigenzeit eines aus endlichem Abstand fallenden
Teilchens (Fall (i)):
⎛ R3
τ = ⎜⎜
⎝ 8M
⎞
⎟⎟
⎠
1
2
⎡ ⎛ r r 2 ⎞ 12
⎤
⎞⎥ 27
−1 ⎛ 2r
⎢
⋅ 2 ⋅ ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ + cos ⎜ − 1⎟ .
⎢ ⎝R R ⎠
⎝R
⎠⎥
⎣
⎦
Führt man zykloiden Parameter η , mit r =
⎛ R3
τ = ⎜⎜
⎝ 8M
⎞
⎟⎟
⎠
1
2
(2.15)
R
⋅ (1 + cos(η ) ) :
2
⋅ (η + sin(η ) ) .
(2.16)
Wichtig ist nun, dass der radiale Fall eines Teilchens ins Schwarze Loch aus der Ruhelage
r = R > 2M nach r = 2M für endliche Eigenzeiten τ verläuft.
(
3
Auch die Zeitspanne (Eigenzeit) um weiter nach r=0 zu fallen ist π ⋅ R
)
1
8M
2
,
ist also ebenfalls endlich.
Für den Betrachter des Teilchens gilt jedoch:
(
(
)
)
1
⎤
⎡R
2
1
1
−
+ tan⎛⎜η ⎞⎟ ⎥
⎢
2M
2⎠ ⎛ R
t
R
⎞ 2 ⎡
⎤
⎝
− 1⎟ ⋅ ⎢η +
⋅ (η + sin(η ) )⎥ , (2.17)
= ln ⎢
⎥+⎜
1
2M
4M
⎠ ⎣
⎦
⎢R
− 1 2 − tan⎛⎜η ⎞⎟ ⎥ ⎝ 2M
M
2
2
⎠⎦
⎝
⎣
sodass für ihn (t die Eigenzeit des Beobachters) der Fall des Teilchens nach r=2M unendlich
lange dauert.
26
27
R ist die „Fallhöhe“.
Haben hier τ = 0 bei r=R.
34
Dies veranschaulicht Abbildung 14 veranschaulicht dieses.
[Abb. 14]
Die Lösung der Gleichungen (2.12) führt auf elliptische Integrale. Um dennoch ein
verständliches Bild der Orbits zu erhalten, konstruieren wir das effektive Potential, und lassen
es uns plotten.
Das Potential lautet:
⎛ 2M
V ( r ) = ⎜1 −
r
⎝
und wir bekommen:
~2
⎞⎛⎜ l ⎞⎟
⎟⎜1 + 2 ⎟ ,
r ⎠
⎠⎝
(2.18)
2
~2
⎛ dr ⎞
⎜ ⎟ = E − V (r )
⎝ dτ ⎠
(2.19)
als (radiale) Bewegungsgleichung.
Wählt man den Drehimpuls fest, so ergibt sich für das Potential des massenbehafteten
Teilchens:
[Abb. 15]
35
Es gibt also drei Fälle der Interaktion zwischen Teilchen und Schwarzem Loch, abhängig von
der Teilchenenergie 28
1) Einfall von ∞ , „Streuung“ zurück nach ∞ , (ungebunden, mit
Umkehrpunkt)
2) Einfall von ∞ , Sturz ins Schwarze Loch, (gefangen)
3) Einfall von ∞ , zwei Umkehrpunkte, zwischen denen Teilchen reflektiert
wird (gebunden)
Sonderfall: wenn Umkehrpunkte ein Punkt werden, so stabiler
Orbit,
Sonderfall: instabiler Orbit, bei der leichtesten Störung Fall ins
Schwarze Loch so 2), oder Flucht ins Unendliche, so 2);
Die Stabilen Orbits sind in Abbildung 16 als Punkte zu sehen.
[Abb. 16]
Dort ist die V durch den Drehimpuls parametrisiert. Kreisbahnen treten gerade auf, wenn:
~
~
dr
∂V
= 0 ⇒ Mr 2 − l 2 r + 3M l 2 = 0, und
= 0 ist;
dτ
∂r
dies liefert:
~2
(r − 2M ) ,
Mr 2
~
, und E 2 =
l =
r − 3M
r (r − 3M )
2
28
(2.20)
In der Newton’schen Gravitation gibt es nur 1) und 3)!
36
∂ 2V
∂ 2V
>
0
< 0 ) vorliegen und bis auf Radien
(sonst
instabil
bei
∂r 2
∂r 2
von r=3M (gerade der Grenzfall der Photon-Orbits).
~
Interessant ist, dass bei l < 2 3M V keine Minima mehr aufweist (im Falle der Gleichheit
das letzte lokale Extremum).
für stabile Orbits, die bei
Aus Gleichung (2.20), für ein Teilchen auf seiner letzten stabilen Kreisbahn ergibt sich eine
Bindungsenergie von:
m−E
~
⎛8⎞
Ebind =
= 1− ⎜ ⎟
m
⎝9⎠
1
2
≈ 5,72%!
(2.21)
Das ist die frei werdende Energie das vom Unendlichen auf einer spiralförmigen Bahn in das
Schwarze Loch fällt. Im Vergleich zum nuklearen Brennen, wo z.B. Wasserstoff zu Eisen
fusioniert, werden nur ca. 0,9% der Ruhemasse an Energie frei.
Kompakte Objekte, und insbesondere Schwarze Löcher sind also immense galaktische
Energiequellen. Deshalb kann in den sie umgebenden Akkretionsscheiben so viel Energie umund freigesetzt werden.
Gedankenexperiment:
Führe Streuversuch eines Teilchens das vom Unendlichen kommt am Schwarzen Loch durch.
(Vgl. [6], S. 57ff;)Der (Einfang) Wirkungsquerschnitt ist so:
29
2
σ cap = π ⋅ bmax
.
(2.22a)
Drückt man b durch die Teilchenenergie und den Drehimpuls (auf Einheitsmasse normiert),
so ist:
bmax =
4M
, im Nichtrelativistischen Fall v∞ pp ∞
v∞
und
bmax
~
1
l
=
⋅ (1 − v∞2 ) 2 30 .
v∞
~
Das Teilchen wird bei l < 4 M eingefangen. Es ergibt sich also:
σ cap
29
30
~
2
4π ⋅ (2 M )
π ⋅l 2
=
, bzw. σ cap = ~ 2
.
v ∞2
E −1
(2.22b)
Mit bmax : maximaler Stoßparameter des einfallenden Teilchens.
−1
~
E = (1 − v∞2 ) 2 .
37
Der Sachverhalt ist in Abbildung 17 dargestellt.
[Abb. 17]
Vergleicht man den Wirkungsquerschnitt des nichtrelativistischen Falles mit dem
geometrischen Querschnitt eines Teilchens an einer harten Kugel mit Radius R, so gilt:
⎛
σ geom = πR 2 ⋅ ⎜⎜1 +
⎝
2M ⎞
⎟.
v∞2 R ⎟⎠
D.h., ein Schwarzes Loch fängt nichtrelativistische Teilchen in guter Näherung wie eine
„harte“ Kugel mit Radius R=8M ein. (Seine „Oberfläche“ ist dabei aber beliebig weich!)
Wollen wir noch den Fall von Teilchen mit verschwindender Ruhemasse, d.h. im
Wesentlichen Photonen betrachten.
Aus der kanonischen Impulsen ergeben sich die Bewegungsgleichungen:
dt
=
dλ ′
E
2M
1−
r
dφ
l
.
=
dλ ′ r 2
2
2
⎛ 2M ⎞ l
⎛ dr ⎞
2
⎟⋅ 2
⎜
⎟ = E − ⎜1 −
r ⎠ r
⎝
⎝ dλ ′ ⎠
Wir schreiben diese um mit λ = l ⋅ λ ′ , b =
(2.23)
l
(Stoßparameter), und definieren das effektive
E
Potential:
V phot (r ) =
1 ⎛ 2M ⎞
⋅ ⎜1 −
⎟,
r ⎠
r2 ⎝
(2.24)
so gilt für die (radiale) Bewegungsgleichung:
2
1
⎛ dr ⎞
⎜ ⎟ = 2 − V phot (r ) .
b
⎝ dλ ⎠
(2.25)
38
In Abbildung 18 kann man ein Photon, aus dem Unendlichen kommend sehen.
[Abb. 18]
Da V kein lokales Minimum hier hat, gibt es einen kritischen Stoßparameter, nämlich
bc = 3 3 ⋅ M ≈ 5,2 M . Photonen mit b > bc werden nach ∞ zurückgestreut, während solche
mit b < bc eingefangen werden.
Der Wirkungsquerschnitt für das Photon ist:
σ phot = π ⋅ bc2 = 27π ⋅ M 2 .
(2.26)
Abbildung 19 zeigt in welche Richtungen ein Photon emittiert werden muss, um von dem
Schwarzen Loch nicht erfasst zu werden.
[Abb. 19]
39
Nichtsingularität des Schwarzschildradius:
Betrachtet man die Schwarzschild-Metrik (2.1), so sieht man, dass für r → 2 M der
Koeffizient von dt 2 gegen 0 geht, während gleichzeitig der von dr 2 unendlich wird.
Hat dies nun eine physikalische Bedeutung, oder ist dies nur eine geometrische Singularität?
Eine geometrische „Singularität“ tritt hier, oder in Kugelkoordinaten auf, wenn man θ → 0
gehen lässt. Dann wird der Koeffizient von dφ 2 verschwinden. Mit einem entsprechenden
Kartenwechsel existiert diese Singularität an gleicher Stelle jedoch nicht mehr.
Für die Schwarzschildmetrik zeigt sich außerdem (analog der Parametrisierung von einer
Kugelfläche), dass dieser Bereich außerhalb einer entsprechenden Kartenumgebung liegt (d.h.
der verwendeten Karte).
Damit, wie sich zeigten lässt, ist r=2M nur eine „Koordinatensingularität“, d.h. sie
verschwindet unter entsprechenden Kartenwechseln (bzw. mit besser gewählten
Überdeckungen) vollständig (hierzu siehe [10], S. 94ff, bzw. [11] S. 21;).
Ein Beobachter/Teilchen würde beim passieren den Ereignishorizontes nichts besonderes
spüren (abgesehen von den extremen Bedingungen), wenngleich er danach nicht mehr mit
dem Rest des Universums kommunizieren könnte.
Ein solcher Kartenwechsel stammt von Kruskal. Wählt man Kruskal-Koordinaten:
⎛ r
⎞
u=⎜
− 1⎟
⎝ 2M
⎠
⎛ r
⎞
v=⎜
− 1⎟
⎝ 2M
⎠
1
1
2
⎛ r ⎞
⎛ t ⎞ 31
⋅ exp⎜
⎟ ⋅ cosh ⎜
⎟ ,
⎝ 4M ⎠
⎝ 4M ⎠
(2.27a)
2
⎛ r ⎞
⎛ t ⎞
⋅ exp⎜
⎟ ⋅ sinh ⎜
⎟,
⎝ 4M ⎠
⎝ 4M ⎠
(2.27b)
mit der Metrik:
ds 2 =
32 M 3
⎛ −r ⎞
2
2
2
2
2
2
2
⋅ exp⎜
⎟ ⋅ − dv + du + r dθ + r sin (θ )dφ .
r
2
M
⎝
⎠
(
)
(2.28)
Diese Metrik hat bei r=2M offenbar keine Singularität!
Jedoch erbleibt bei dieser diese, und wie man zeigen kann bei jeder anderen, aus (2.1) mit
Kartenwechseln erzeigten Metriken eine Singularität bei r=0.
Eine solche nichtbeseitigbare Singularität ist eine physikalische Singularität, das
Gravitationsfeld hat bei r=0 eine unendlich hohe Feldstärke.
(
)
1
Bei unseren Kruskal-Koordinaten treten bei r=0, d.h. v 2 − u 2 = 1 , also bei v = ± 1 + u 2 2
sogar zwei Singularitäten auf; auch gehören bei r ≥ 2 M zwei Regionen zu diesem Wert von r
(da stets u 2 ≥ v 2 bei r ≥ 2 M ⇒ u ≥ v oder u ≤ v ;).
31
⎛ r ⎞
⎞
⎛ r
⎛ t ⎞ v , und r = r (u , v) .
2
2
− 1⎟ ⋅ exp⎜
⎟ = u − v , tanh ⎜
⎜
⎟=
⎝ 2M ⎠
⎠
⎝ 2M
⎝ 4M ⎠ u
40
Hier ist das Kruskal-Diagramm zu sehen.
[Abb. 20]
Es hat große Ähnlichkeit mit den Raum-Zeitdiagrammen der SRT, da auch hier die
Lichtstrahlen Weltlinien sind, die wie eine Ursprungsgerade im u-v-Diagramm sind.
Kurze Erklärung: Weltlinien materieller Teilchen müssen in den Lichtkegeln sein,
•Region I) ist in unserem Universum, d.h. bei r > 2M ,
•Region II) ist das Innere des Schwarzen Loches, d.h. bei r < 2M ;
•Region III) ein anderes Universum ist,
Wohingegen
•Region IV) ein „Weißes Loch“ ist;
All dieses zu betrachten ist physikalisch nicht sinnvoll, da hier nichts gemessen
werden kann und als aus der speziellen Metrik resultierend angesehen werden
kann.
[Abb. 21]
Abbildung 21 zeigt einen kollabierenden Stern.
Es wird aber auch im Kruskal-Koordinatensystem klar:
Passiert ein Objekt erst r=2M, so muss es die Singularität bei r=0 treffen, und keine von ihm
abgegebenen Signale können außerhalb von r=2M empfangen werden.
41
Dennoch gibt es keinen lokalen Test, den Ereignishorizont wahrzunehmen, d.h. ein
Beobachter/Teilchen sieht bei r = 2 M + ε → R = 2 M − ε keine signifikante Veränderung.
In Abbildung 22 wird noch mal ein Vergleich der beiden Metriken gezeigt.
[Abb. 22]
2.3 Kerr Metrik:
Nun mögen wir, da eine entsprechende Diskussion, ja selbst ein Abriss dieser zu umfangreich
wäre einige weitere Fakten für den Fall J ≠ 0 aufführen.
Wie wir gesehen hatten führten die Lösungen der Einsteingleichungen auf Schwarze Löcher,
mit dem maximalen Satz an Observablen M, J, Q.
Die allgemeinste stationäre Metrik wäre die Kerr-Newman-Metrik, mit beliebigen M, J, Q.
Aus ihr resultieren bei Q=0 die Kerr-Metrik, bei J=0 die Reissner-Nordstrøm-Metrik und bei
J=0=Q, die vorgestellte Schwarzschild-Metrik.
Da ein (reales) astrophysikalisches Schwarzes Loch mit Q ≠ 0 schnell von umgebendem
Plasma, bzw. Gas (das in der Regel ja durch seinen Entstehungsprozess vorhanden sein muss)
entladen würde, das in es stürzen würde. Nehmen wir also Q=0 an, was auf die Kerr-Metrik
führt – diese ist also für die meisten astrophysikalischen statischen Probleme adäquat.
Die von Kerr 1963 gefundene Lösung der Einsteingleichungen wurde zu Anfang nicht als
solche mit Schwarzem Loch erkannt. Erst in den Boyer-Lindquist (1967) Koordinaten wird
die Theorie physikalisch transparent:
2
⎛
Σ
2 Mra 2 sin 2 (θ ) ⎞ 2
⎛ 2 Mr ⎞ 2 4aMr sin (θ )
⎟⎟ sin (θ )dφ 2
ds 2 = −⎜1 −
dtdφ + ⋅ dr 2 + Σdθ 2 + ⎜⎜ r 2 + a 2 +
⎟dt −
Σ ⎠
Σ
Δ
Σ
⎝
⎝
⎠
42
mit
a≡
J
, Δ ≡ r 2 − 2Mr + a 2 , und Σ ≡ r 2 + a 2 cos 2 (θ ) .
M
(2.29)
Der Ereignishorizont tritt bei Δ → 0 auf, d.h. erstmals (der nächste liegt innerhalb des
Ereignishorizontes und bildet die „Cauchy-Fläche“) bei:
r+ = M + (M 2 − a 2 ) 2 .
1
(2.30)
Zu beachten ist, dass a < M für die Existenz eines Schwarzen Loches gelten muss.
Bei a > M entstünde eine „nackte“ Singularität, d.h. ohne Ereignishorizont.
Das „Cosmic Censorship Conjecture“ von Penrose schließt dies aus. Man kann nämlich
zeigen, dass es keinen Mechanismus gibt, der ein Kerr Schwarzes Loch mit a < M auf
a > M bringt. D.h. weiter a = M ist der maximal mögliche Fall, er wird schnellst möglich
rotierendes Schwarzes Loch (engl.: maximal rotating)genannt.
Weiter haben wir ja auch hier einen statischen Fall, lange nach dem Kollaps. Versuchte man
wie im Kruskal-Fall die Metrik ins Innere des Ereignishorizontes fortzusetzen ergeben sich
mehrere Probleme. Zuerst müsste ein Teil der Metrik Informationen des kollabierenden
Objektes enthalten, aber es gibt kein Birkhoff-Theorem („Ein sphärisches Gravitationsfeld im
leeren Raum ist statisch.“), für rotierenden Kollaps und die Kerr-Metrik ist nur der statische
Grenzfall, nicht die Metrik des Kollapses.
Es ergäben sich keine physikalisch sinnvollen Aussagen wie sich zeigen lässt.
Wieder gibt es für Teilchen mit und ohne Ruhemasse stabile und instabile Bahnen um das
Schwarze Loch, wobei zusätzliche Stabilitätsbedingungen auftreten.
Man findet Kreisbahnen für Photonen im ganzen Raum um das Kerr-Loch, bis zum
begrenzenden Photonenorbit:
(
)
⎛
⎡2
⎤⎞
rph = 2 M ⎜⎜1 + cos ⎢ ⋅ cos −1 m a ⎥ ⎟⎟ . 32
M
⎣3
⎦⎠
⎝
Nicht alle Kreisbahnen mit Radien größer als rph sind gebunden, einige Photonen werden auf
hyperbolischen Bahnen vorbeifliegen.
Massenbehaftete Teilchen haben ebenfalls stabile Kreisbahnen im ganzen Raum, bis zu der
33
bei:
Grenze der marginal gebundenen Kreisbahnen für E
1 =1
2
(− 2 L )
rmb = 2 M m a + 2 M
1
2
(M m a ) 12 .
Hier gibt es hyperbolische und parabolische Teilchenbahnen entsprechend.
Außerdem fällt ein Teilchen mit parabolischer Bahn, die an einer Stelle r < rmb hat in das
Schwarze Loch.
Die Diskussion der marginal stabilen Orbits ist aufgrund der so erhältlichen Bindungsenergie
der Teilchen wichtig für uns, da wir so den Energiegewinn der entsprechenden, sich auf einer
32
33
Die Vorzeichen stehen für gleichsinnig mitrotierend oder gegenrotierend.
Hier ist L die zugrundeliegende Lagrangefunktion, die wie in (2.3) gebildet wird.
43
Akkretionsscheibe um das Schwarze Loch bewegenden Teilchen beim Fall in selbiges
abschätzen können.
So kann ein Teilchen auf einer stabilen Kreisbahn durch eine geringe Störung in das KerrLoch (auf z.B. Schraubenbahn) fallen. Es würden dabei ca. 42.3% der Energie der Ruhemasse
des Teilchens frei werden, sodass die zusätzlich beim Auftreffen auf den Erreignishorizont
erhaltene Energie vernachlässigbar ist. Es wird nun so viel mehr Energie, als im
Schwarzschild Fall frei, da das Teilchen Rotationsenergie beim Fall gewinnt. An sich gibt es
eine besondere Region um das Kerr-Loch, die „Ergosphäre“ (gr. Arbeit), welche sich in
einem Bereich r+ < r < r0 um das Schwarze Loch bildet (siehe Abbildung 23). Dabei ist
(
r0 = M + M 2 − a 2 cos 2 (θ )
)
1
2
die statische Grenze (static limit). Das ist die Grenze, für die keine statischen, nicht
rotierenden Beobachter existieren können (welche r ≤ r0 erfüllen). In dieser Ergosphäre
rotiert also alles (gleich oder gegenorientiert), sogar die Raumzeit selbst.
Rotierende Schwarze Löcher geben deshalb extreme Energien an ihre Akkretionsscheiben ab.
[Abb. 23]
2.4 Hawking Strahlung:
Hawking hat bewiesen, dass das Oberflächengebiet eines Schwarzen Loches nie schrumpfen
kann – sind mehrere Schwarze Löcher in einem Raumgebiet, so addieren sich ihre
Oberflächen.
Setzt man t=const. und r = r+ , so erhält man die Metrik der Oberfläche des Kerr-Loches:
ds = (r + a cos (θ ) )dθ +
2
2
+
2
2
(2Mr+ )2
2
r + a cos (θ )
2
+
2
2
⋅ sin 2 (θ )dφ 2 .
Die Fläche des Ereignishorizontes ist so:
1
A = ∫ dφdθ det g μν = 8πM ⋅ ⎡ M + (M 2 − a 2 ) 2 ⎤ .
⎢⎣
⎥⎦
(2.31)
Für a → 0 ergibt sich A = 4π (2 M ) , also eine Kugeloberfläche des SchwarzschildEreignishorizontes, wie erwartet.
2
44
Das Areal-Theorem braucht man, um die Nichterzeugbarkeit von nackten Singularitäten zu
zeigen.
Bläst man mehr und mehr Teilchen in das Schwarze Loch, und erhöht sich so sein
Drehimpuls, wie verhält sich dann A?
Man findet für Perturbationen von δA > 0 :
⎡2 M (M 2 − a 2 )1 2 + 2 M 2 − a 2 ⎤δM > Maδa ⇒ MδM > aδa .
⎢⎣
⎥⎦
D.h. M 2 bleibt stets größer als a 2 und so wird der Ereignishorizont Radius (2.30) nicht
zerstört (d.h. bleibt reell und endlich).
Bekenstein zeigte (1973) die Verwandtschaft zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik. Jedoch
würde ein Schwarzes Loch nie Gleichgewichtszustände dulden, meinte er, da es z.B. aus
einem vorliegenden Wärmebad ständig Energie absorbieren würde, ohne ein Gleichgewicht
zu erreichen.
Erst mit dem Hawking-Effekt entstand eine verallgemeinerte Thermodynamik, in der
Schwarze Löcher durch Quanteneffekte an ihrer Oberfläche/ihrem Ereignishorizont
sozusagen „graue Strahler“ wurden.
Hier entstehen im Gravitationsfeld virtuelle Teilchen-Loch-Paare, die dadurch reell werden,
indem ein Teilchen des Paares in das Schwarze Loch fällt.
Die Strahlung lässt sich durch eine Temperatur, die des Schwarzen Loches, charakterisieren:
h
kc 3 1
, bei der Entropie S =
A.
T=
Gh 4
8πkM
Das Schwarze Loch emittiert auch Photonen und Neutrinos, deren Energien einer
Plankverteilung folgen.
Ein isoliertes Schwarzes Loch würde ständig Masse verlieren.
Die Rate in der dies geschähe ist:
1
dE
E
∝ 2 und die zugehörige Zeitskala ist: τ ∝
∝ M 3.
dE
dt
M
dt
Wir erhalten mit zurückgewonnenen Einheiten:
3
⎛ M ⎞
M3
≈ 1010 yr ⎜⎜ 15 ⎟⎟ ,
τ∝
h
⎝ 10 g ⎠
und
2
⎛ 1015 g ⎞
dE
⎟⎟ ,
∝ 10 20 erg ⋅ s −1 ⎜⎜
dt
⎝ M ⎠
was einer Produktion von Lichtquanten der Energie
⎛ 1015 g ⎞
⎟⎟
hω ≈ 100 MeV ⎜⎜
⎝ M ⎠
entspräche.
45
Wir könnten also nur Explosionen von Schwarzen Löchern mit M ≈ 1015 g heute sehen,
leichtere hätten nie das heutige Alter des Universums erreicht, schwerere würden erst viel
später explodieren.
3.1 Hinweise für Neutronensterne:
Da die Phänomenologische Beschreibung, sowie die Auflistung von Messwerten aller Form,
die Akkretionsscheiben mit einschließen zu dem nächsten Vortrag gehören, werden hier nur
jeweils ein Beispiel des entsprechenden Typs beschrieben.
Wie beschrieben können Binäre Röntgenquellen sowohl periodische (z.B. Her X-1), wie auch
quasi-, bzw. aperionische (z.B. Cyg X-1) Variation zeigen.
Das Studium des Pulsprofils, der Periode, und der orbitalen Parameter liefert uns wichtige
Schlüsselparameter für das Studium von Akkretionsscheiben.
Über das Pulsprofil wurde bereits gesprochen.
Abbildung 24 zeigt Aufnahmen solcher Pulse für verschiedene Pulsare.
Die Morphologie dieser Pulse lässt sich schwer aufschlüsseln, da die vom kompakten Objekt
abgestrahlten Röntgenstrahlen die Akkretionsscheibe durchwandern, und so komplizierten
Wechselwirkungen, die aus Ermangelung eines konkreten theoretischen Modells dafür nicht
verstanden sind. Es ist jedoch sichtbar, dass ein Röntgenstrahl, gleich dem eines Leuchtturms
die Scheibe anstrahlt.
[Abb. 24]
46
Die oben genannten Glitches deuten oft auf Neutronensterne hin.
Abbildung 25 zeigt, wie Materie der Akkretionsscheibe auf den Stern fällt, dort vaporisiert
wird, und schließlich Energie an der Sternenoberfläche so freigesetzt wird.
[Abb. 25]
Der seit seiner Entdeckung 1972 am besten erforschte Binärpulsar ist Herkules X-1.
Es gibt drei Perioden: ein Pulsieren mit 1,24s, eine orbitale Periode von 1,7s, und einen 35
Tage Zyklus („on-off“ cycle).
M
Die Masse des Neutronensternes beträgt 0,4 ≤ X ≤ 2,2 , und der Begleiter, HZ Herculis, hat
MΘ
M
eine Masse von 1,4 ≤ O ≤ 2,8 .
MΘ
Der Begleiter zeigt optisches Pulsieren, mit einer Periode von 1,24s, welche als vom
Neutronenstern kommende und absorbierte, sowie umgewandelte (absorbiert, thermal
umgewandelt, und remittiert) Röntgenpulse interpretiert werden. Der 35 Tage Zyklus wird auf
die Prozession der Akkretionsscheibe der Röntgenquelle zurückgeführt.
47
Das Röntgenspektrum liegt im Energiebereich von 1-40MeV, und ist in Abbildung 26 zu
sehen.
[Abb. 26]
Es gibt Evidenz für eine spektrale Linie in den Pulsen, des harten Röntgenspektrums von Her
X-1, nahe 58 keV. Die wahrscheinlichste Erklärung dafür ist, dass sie aus einer
Elektronzyklotron Emission/Absorption stammt, welche dann ein Magnetisches Feld der
Oberfläche von B ≈ (4 − 6) ⋅ 1012 G implizierte.
Ähnliche Charakteristika, die wieder die Annahme des Neutronensternes stützen haben sich
auch bei anderen Systemen gezeigt.
3.2 Hinweise für Schwarze Löcher:
Bei der Identifikation von Schwarzen Löchern in Binärsystemen müssen wir die in 1.6
besprochenen Methoden anwenden.
Unser Beispiel ist Cygnus X-1, welches große Variabilität in dem abgestrahlten
Röntgenspektrum zeigt. Das mutmaßliche Schwarze Loch hat einen Stern, im optischen
Spektrum strahlend als Begleiter, der ein gigantisch großer Stern ist.
Zusammenfassung der Argumente, dass Cygnus X-1 ein Schwarzes Loch ist:
1) Cyg X-1 ist ein kompaktes Objekt, da die Dauer der in sich korrelierten Pulse in
Zeiträumen von Δt ≈ 1 − 10ms auftreten, was einen Radius von ca. R ≤ cΔt ≤ 10 8 cm .
2) Cyg X-1 ist der „unsichtbare“ Begleiter von HDE 226868 (bei simultaner Radio- und
Röntgen Intensitätsverschiebung von 5,6 Tagen Binärer Periode und 5,6 Tagen
Periode der weichen Röntgenstrahlung).
3) Cyg X-1 hat eine Masse von M X > 3,4M Θ wie sich aus einer Berechnung der
Messwerte ergibt.
48
Abbildung 27 zeigt noch das beobachtete Spektrum (aperiodisch) von Cygnus X-1.
[Abb. 27]
Damit wollen wir unsere Betrachtungen abschließen.
Schluss:
Im Anschlussvortrag werden nun die Akkretionsmechanismen und die reichhaltige
Phänomenologie der kompakten Objekte behandelt, von denen wir zwei sehr bekannte
Beispiele und ihre Physik hier vorgestellt haben.
49
Literaturverzeichnis:
[1]: Oloff, „Geometrie der Raumzeit“, Vieweg, 2008;
[2]: S. Chandrasekhar, „The Mathematical Theory of Black Holes”, Oxford University Press,
2006;
[3]: S. L. Shapiro, S. A. Teukolsky, “Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars – The
Physics of Compact Objects”, Wiley&Sons, 1983;
[4]: T. Fließbach, “Allgemeine Relativitätstheorie”, Spektrum Akademischer Verlag, 2003;
[5]: J. H. Taylor, J. M. Weisberg, “A New Test of General Relativity and Binary Pular PSR
1913+16”, Astrphys. J. 253, 908, 1982;
[6]: Landau, “Klassische Mechanik”, Vieweg;
[7]: Wikipedia;
[8]: NASA;
[9]: http://www.mpe.mpg.de/~amueller, “Lexikon der Astrophysik von Andreas Müller”;
[10]: C. Bär, „Elementare Differentialgeometrie“, de Gruyter;
[11]: M. P. Do Carmo, „Riemannian Geometrie“, Birkhäuser;
[12]: Wolfgang Gebhardt, Joachim Keller, „13. Thermodynamik Schwarzer Löcher“ („Raum,
Zeit und Materie“, Ausbildungsseminar WS 05/06);
[13]: A. Merloni, „Cosmological evolution of supermassive black holes and AGN: a synthesis
model for accretion and feedback”, Max Planck Institute für Extraterrestrische Physik, Mem.
S.A.It. Vol. 79, 1 c SAIt 2008;
[14]: Neven Bilić, “Black-Hole Phenomenology”, Rudjer Bǒsković Institute (Croatia)
arXiv:astro-ph/0610657v2 ;
[15]: ANTHONY L. PIRO, „SURFACE MODES ON BURSTING NEUTRON STARS AND
X-RAY BURST OSCILLATIONS“, Department of Physics, Broida Hall, University of
California, arXiv:astro-ph/0502546v2;
[16]: Anna L. Watts, Tod E. Strohmayer, “DETECTION WITH RHESSI OF HIGH
FREQUENCY X-RAY OSCILLATIONS IN THE TAIL OF THE 2004
HYPERFLARE FROM SGR 1806-20”, arXiv:astro-ph/0512630 v2;
[17]: Andreas Müller, “Experimental Evidence of Black Holes“,Max–Planck–Institut für
extraterrestrische Physik Garching, Germany, PoS(P2GC)017;
[18]: S. Weinberg, “Cosmology”, Wiley 1972;
[19]: A. Reisenegger, „Magnetic Fields of Neutron Stars: an Overview“, arXiv:astroph/0103010 v1 1 Mar 2001;
[20]: T.E. Strohmayer, “Oscillations During Thermonuclear X-ray Bursts”, arXiv:astroph/0012516 v2;
[21]: A. D. Schwope, G. Hasinger, R. Schwarz, F. Haberl, M. Schmidt, „The isolated neutron
star candidate RBS1223 (1RXS J130848.6+212708)“, arXiv:astro-ph/9811326;
[22]: T. S. Olson, “High Density Neutron Stars Equation of State from 4U 1636-53
Observations”, arXiv:astro-ph/0201099;
[23]: www.eso.org;
[24]: R. Blandford, N. Gehrels, “Revisiting The Black Hole”, 1999 American Institute of
Physics S-0031-9228-9906-030-5, bzw. Physics Today, June 1999, S.40-45;
[25]: M. Camenzind, “Compact Objects In Astrophysics – Neutron Stars and Quark Matter –
Part I”, Landessternwarte Königstuhl Heidelberg;
[26]: “Event-horizon-scale structure in the supermassive black hole candidate at the Galactic
Centre”, nature Vol. 455, 4. September 2008, doi:10.1038/nature07245;
50