Universität Stuttgart Scheinklausur Wahrscheinlichkeitstheorie

Universität Stuttgart
PD Dr. J. Dippon
Dipl.-Math. P. Schnizler
Fachbereich Mathematik
Scheinklausur Wahrscheinlichkeitstheorie
VORNAME:
NAME:
MATRIKELNUMMER:
STUDIENGANG:
Aufgabe
Punkte
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
19. Februar 2010
15
16
P
• Für die Bearbeitung der Aufgaben haben Sie 60 Minuten Zeit.
• Schreiben Sie die Lösungen der Aufgaben in die dafür vorgesehenen Kästchen.
• Tragen Sie nur Ihre Endergebnisse in die Kästchen ein.
• Innerhalb von Ankreuzaufgaben werden “falsche Kreuze” negativ verrechnet. Die erreichte Punktezahl einer Aufgabe kann jedoch nicht negativ werden.
• Taschenrechner sind nicht erlaubt!
• Maximal erreichbare Punktzahl: 30.5 Punkte.
• Zum Bestehen der Klausur werden 10 Punkte benötigt.
• Zum Erreichen der Bestnote werden 24 Punkte benötigt.
• Viel Erfolg!
Aufgabe 1 (1.5 Punkte).
Sei X eine reelle, auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) definierte Zufallsvariable, PX die Verteilung,
F die Verteilungsfunktion und f die Dichtefunktion von X. Drücken Sie für beliebige a, b ∈ R mit a < b
die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte aus dem Interval (a, b] annimmt, durch PX , F
und f aus.
P[a < X ≤ b] =
=
=
Aufgabe 2 (3 Punkte).
richtig
falsch
Jede reelle Zufallsvariable hat eine Dichte
Zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß auf der Borelschen σ-Algebra gibt
es eine entsprechende Verteilungsfunktion
Aus der Unkorreliertheit der Zufallsvariablen X und Y
folgt im Allgemeinen deren Unabhängigkeit.
Aus der fast sicheren Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen
folgt im Allgemeinen die Konvergenz im L2 -Sinne.
Sei A ⊂ Q und λ das Lebesgue-Borel-Maß, dann gilt λ(A) = 0.
Es seien und Y unabhängige ZVen und Z := X + Y .
Für die zugeh. charakt. Funktion gilt i.A. : ϕZ (t) = ϕX (t) · ϕY (t).
Aufgabe 3 (2 Punkte).
Zu Konstanten a, b ∈ R betrachten wir die Funktion f : R → R, definiert durch
(
ax2 + b
falls |x| < 1,
f (x) :=
0
sonst.
Für welche Werte von a und b ist f eine Wahrscheinlichkeitsdichte?
≤a≤
b=
(Hinweis: b ist in Abhängigkeit von a anzugeben.)
Aufgabe 4 (2 Punkte).
Sei X ∼ exp(λ) mit Parameter λ > 0. Berechnen Sie
P [X · E(X) ≥ 1] =
Aufgabe 5 (2 Punkte).
Beschreiben Sie die minimale σ-Algebra auf Ω = [0, 1], die durch die Menge {[0, 12 ], [ 21 , 1]} erzeugt wird.
1 1
σ
[0, ], [ , 1]
=
2 2
Aufgabe 6 (2 Punkte).
Es werde ein Würfelwurf unendlich oft wiederholt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass
unendlich oft die Sechs auftritt.
Wahrscheinlichkeit =
Aufgabe 7 (4 Punkte).
Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum ([0, 1], B([0, 1]), P), wobei P das Lebesgue-Borel-Maß bezeichne.
√
In welchem Sinne konvergieren die angegebenen Folgen gegen Null? Markieren Sie Konvergenz durch
und keine Konvergenz durch ×.
fast sicher
L1
P
Xn (ω) = n · 1(0, 1 ) (ω) (n ∈ N)
n
√
Xn (ω) = n · 1(0, 1 ) (ω) (n ∈ N)
n
Xn (ω) = ω n (n ∈ N)
X1 (ω) = 2 · 1[0, 1 ) (ω) X2 (ω) = 2 · 1[ 1 ,1) (ω) X3 (ω) = 3 · 1[0, 1 ) (ω)
2
2
3
X4 (ω) = 3 · 1[ 1 , 2 ) (ω) X5 (ω) = 3 · 1[ 2 ,1) (ω), . . .
3 3
3
Aufgabe 8 (2 Punkte). Die Zufallsvariable Y sei auf dem Intervall (1, 3) gleichverteilt. Berechnen Sie
EY 3 .
EY 3 =
Aufgabe 9 (2 Punkte).
Es werden 12 zufällig ausgewählte Menschen betrachtet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass alle
in verschiedenen Monaten geboren sind?
p=
Aufgabe 10 (2 Punkte).
Wie kann man in R . . .
Befehl
einen Vektor mit den Einträgen 1, 2, 3 erzeugen?
n Zufallszahlen aus einer N (0, 1)-Verteilung erhalten?
die Komponenten des Vektors x aufsummieren?
eine Graphik mit Punkten erzeugen, deren x- und y-Koordinaten in den
Vektoren x bzw. y enthalten sind?
Aufgabe 11 (2 Punkte).
Was berechnet die Funktion f, wenn man sie auf eine natürliche Zahl n anwendet?
f <- function(n){
x <- rbinom(n,size=1,p=0.5)
k <- sum(x)
c(n-k,k)/n
}
Aufgabe 12 (2 Punkte).
Die Zufallsvariablen
X1 , X2 , . . . seien unabhängig N (0, 1)-verteilt. Durch welche Verteilung kann die VerP
teilung von ni=1 Xi2 für große n auf einfache Weise approximiert werden?
Aufgabe 13 (Martingaltheorie) (2 Punkte).
Sei (An ) eine Folge von wachsenden Teil-σ-Algebren eines Wahrscheinlichkeitsraumes und X eine integrierbare reellwertige Zufallsvariable. Warum wird durch Xn := E(X|An ), n ∈ N, ein Martingal (Xn )
bzgl. (An ) definiert?
Aufgabe 14 (Martingaltheorie) (2 Punkte).
Untersuchen Sie die in Aufgabe 13 definierte Folge (Xn )n∈N von Zufallsvariablen auf Konvergenz.
Aufgabe 15 (Statistik) (2 Punkte).
Gegeben sei die Stichprobe {3, 6, 2, 4, 1, 2}. Bestimmen Sie die folgenden statistischen Kenngrößen der
Stichprobe:
arithmetisches Mittel
empirischer Median
empirische Varianz
Spannweite
Aufgabe 16 (Statistik) (2 Punkte).
Es sei bekannt, dass eine Zufallsgröße N (µ, 4)-verteilt ist. Bei einer Stichprobe vom Umfang 100 wird das
arithmetisches Mittel x̄ = 1, 4 gefunden. Wenden Sie einen geeigneten statistischen Hypothesentest an,
um zu überprüfen, ob µ > 1 ist. Hinweis: u0,05 = 1, 6448, u0,01 = 2, 3263.