Ferienkurs zur Linearen Algebra Bilinearformen, Euklidische

Technische Universität München
Department of Physics
Ferienkurs zur Linearen Algebra
Bilinearformen, Euklidische Vektorräume
und Endomorphismen
Freitag, 16.03.2012
Sascha Frölich
Ferienkurs Lin. Alg. - Bilinearformen, Euklidische Vektorräume,
Endomorphismen
1
Contents
1 Bilinearformen
1.1 Matrixdarstellung . . . . . . . . . . .
1.1.1 Basiswechsel . . . . . . . . .
1.1.2 Quadratische Formen . . . .
1.2 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Definition . . . . . . . . . . .
1.2.2 Untersuchung der Definitheit
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2
3
4
4
4
5
2 Euklidische Vektorräume
2.1 Das Skalarprodukt . . . . .
2.2 Die Norm . . . . . . . . . .
2.3 Metrik . . . . . . . . . . . .
2.4 Winkel und Orthogonalität
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7
7
7
8
3 Orthogonalisierung
3.1 Orthogonale Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
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4 Normale Endomorphismen
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4.1 Adjungierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Orthogonale Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Der Satz von Schur und seine Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . 12
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Endomorphismen
2
Chapter 1
Bilinearformen
Definition Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und n ∈ N . Eine
Abbildung V 2 → K, die in jeder Komponente linear ist, heißt Blinearform.
Zur Erinnerung: Bilinearität
Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ : V × V →
K : (x, y) 7→ ϕ(x, y) eine Bilinearform und x, y, z ∈ V , λ ∈ R. Dann gilt:
ϕ(x + z, y) = ϕ(x, y) + ϕ(z, y)
λϕ(x, y) = ϕ(λx, y) = ϕ(x, λy)
1.1
Matrixdarstellung
Jede Bilinearform lässt sich durch die Multiplikation zweier Vektoren v,w an
eine Matrix darstellen.
Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B = (b1 , ...bn )
eine Basis von V, v, w ∈ V und ϕ eine Bilinearform. Dann lässt ϕ wie folgt
darstellen:
ϕ(v, w) = t vB · GB (ϕ) · wB
Die Matrix GB (ϕ) heißt Grammatrix, Formmatrix oder auch Strukturmatrix.
Der Eintrag aij der Grammatrix ist das Bild der Basisvektoren bi , bj :
aij = ϕ(bi , bj )
Satz 14.1.3 Eine Bilinearform ϕ eines K-Vektorraums heißt nicht ausgeartet,
wenn für festes v gilt:
ϕ(v, w) = 0 ∀w ∈ V ⇒ v = 0
Satz 14.1.4 Es seien K ein Körper, V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und
ϕ : V × V → K : (x, y) 7→ ϕ(x, y) eine Bilinearform. Dann gilt:
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3
RangGB (ϕ) = n ⇔ ϕ nicht ausgeartet
Beispiel: Ist die Bilinearform ϕ : (x, y) 7→ ϕ(x, y) mit


1 2 3
GB (ϕ) =  2 1 6 
1 3 3
ausgeartet?
Lösung: Es sei x = t (x, y, z) und y = t (a, b, c). Diese beiden Vektoren werden
abgebildet auf:
x · GB (ϕ) · t y = a(x + 2y + z) + b(2x + y ∗ 3z) + c(3x + 6y + 3z)


−5
Diese Gleichung ist unabhängig von y immer null, sofern x = λ  1  , λ ∈ R.
3
Demnach ist diese Bilinearform ausgeartet. Eine weitere Lösungsmöglichkeit
wäre, die Determinante der Matrix zu bestimmen. Diese ist null, folglich hat
die Matrix nicht den vollen Rang und ϕ ist ausgeartet.
1.1.1
Basiswechsel
Hier wird noch einmal speziell auf den Basiswechsel mit einer Grammatrix eingegangen, da man diese in einer möglichst einfachen Form unter einer neuen Basis
darstellen möchte. Transformiert man die Basis B von V in die Basis B̃ von V,
so gibt es wieder eine Transformationsmatrix T : = B̃ [idV ]B :
GB (ϕ) = t T · GB̃ · T
Definition 14.2.1 Zwei Matrizen A,B ∈ K n×n heißen kongruent, wenn es ein
invertierbares T ∈ K n×n mit A = t T · B · T gibt.
Satz 14.2.2 Die Kongruenz von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation.
Sucht man nun zur Matrix A eine kongruente Matrix Ã, so kann man wie folgt
vorgehen:
(A|1)
elementare Zeilen- und Spaltenumf. an A, an
1nur Zeilenumf.
Nun ist à zur Matrix A kongruent und es gilt:
à = S · A · t S ⇔ A = t T · à · T mit S −1 = t T
(Ã|S)
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1.1.2
4
Quadratische Formen
Definition 14.3.1 Seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum und ϕ : V × V → K
eine Bilinearform. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn gilt:
ϕ(v, w) = ϕ(w, v) ∀v, w ∈ V
Dies ist äquivalent zu der Aussage, dass die Grammatrix GB (ϕ) symmetrisch ist.
Definition 14.3.3 Zu einer symmetrischen Bilinearform ϕ : V × V → K heißt
qϕ =
V →K
v 7→ ϕ(v, v)
die zu ϕ gehörende quadratische Form. Dabei gilt:
qϕ (µv) = µ2 qϕ (v)
qϕ (u + v) = qϕ (u) + qϕ (v) + 2ϕ(u, v)
Satz 14.3.5 Es seien K ein Körper, mit 1 + 1 6= 0, V en K-Vektorraum und
qϕ : V → K eine quadratische Form. Dann ist
ϕ(u, v) = 21 (q(u + v) − q(u) − q(v))
die zu q gehörende symmetrische Bilinearform.
Beispiel 14.3.6 Wir suchen eine kongruente Matrix für eine symmetrische Bilinearform GB (ϕ)

1
 4
7
4
6
8
7
8
9
1
0
0
0
1
0

0
0 
1

1
 0
0
0
−1
0
0
0
0
1
− √4
10
1
0
√1
10
−2

0
0 
1
Die dabei entstandene Diagonalmatrix heißt Sylvester- Normalform von GB (ϕ).
Die Signatur solch einer Sylvester- Normalform setzt sich wie folgt zusammen:
(n+ ,n− ,n0 ). n+ steht dafür, wie oft 1, n− wie oft -1 und n0 wie oft 0 in der
Diagonalen vorkommt. In diesem Falle ist die Signatur demnach (1,1,1).
1.2
1.2.1
Definitheit
Definition
Blinearformen bilden nicht immer auf ganz R ab. Deshalb wird die Definitheit
formuliert. Eine symmetrische Matrix A ist:
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5
positiv definit
⇔ t x · Â · x > 0 ∀x ∈ Rn
positiv semidefinit ⇔ t x · Â · x ≥ 0 ∀x ∈ Rn
negativ definit
⇔ t x · Â · x < 0 ∀x ∈ Rn
negativ semidefinit ⇔ t x · Â · x ≤ 0 ∀x ∈ Rn
indefinit
⇔ t x · Â · x ≤ 0 ∨ ≥ 0 ∀x ∈ Rn
Bei der Definition der Definitheit beschränken wir uns lediglich auf symmetrische
Matrizen!
1.2.2
Untersuchung der Definitheit
Um die Definitheit einer Matrix herauszufinden gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Das charakteristische Polynom
Die Untersuchung der Definitheit mit Hilfe des charakteristischen Polynoms ist
die einzige Methode, mit der man nachweisen kann, dass eine Matrix semidefinit
ist. Es gilt:
Sind alle Eigenwerte
Sind alle Eigenwerte
Sind alle Eigenwerte
Sind alle Eigenwerte
Gibt es positive und
positiv
positiv oder null
negativ
negativ oder null
negative Eigenwerte
⇔ Matrix ist positiv definit
⇔ Matrix ist positiv semidefinit
⇔ Matrix ist negativ definit
⇔ Matrix ist negativ semidefinit
⇔ Matrix ist indefinit
Das Hurwitzkriterium
Beim Hurwitzkriterium werden die Unterdeterminanten der (symmetrischen)
Matrix untersucht. Dabei sagt dieses Kriterium folgendes:
Matrix ist positiv definit ⇔ alle ihre Unterdeterminanten sind positiv
Matrix ist negativ definit ⇔ alle ihre Unterdeterminanten sind negativ
Vorsicht! Das Hurwitzkriterium sagt nichts über Semidefinitheit oder Indefinitheit aus!
Die Signatur
Es sei K ein Körper, V ein K- Vektorraum und  ∈ K n×n . Gilt für die Signatur,
dass n+ = n = dimV , so ist die Matrix positiv definit. Gilt n− = n = dimV ,
so ist sie negativ definit.
Beispiel zu Hurwitz Ist die Matrix

6
 2
3
2
4
1

3
1 
7
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positiv oder negativ definit? Die erste
ist schlicht 6 > 0.
Unterdeterminante
6 2 = 20 > 0
Die zweite Unterdeterminante ist 2 4 6 2 3 Die dritte Unterdeterminante ist nun 2 4 1 = 110 > 0
3 1 7 Da also alle Unterdeterminanten positiv sind ist die Matrix positiv definit.
6
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Chapter 2
Euklidische Vektorräume
2.1
Das Skalarprodukt
Das Skalarprodukt ist eine besondere Bilinearform. Das Skalaprodukt ist eine
positiv definite, symmetrische Bilinearform. Ein R-Vektorraum heißt Euklidischer Vektorraum, wenn er ein Skalarprodukt besitzt. Das Skalarprodukt
zwischen den Vektoren v und w wird geschrieben als hv|wi.
2.2
Die Norm
Definition 15.2.1 Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. Die Abbildung
k k=
V →p
R
x 7→ hx|xi
ist die zu h | i gehörige Norm von V (auch Betrag oder Länge).
Satz 15.2.4 Es sei (V, h | i) ein Euklidischer Raum und k k die zu h | i gehörige
Norm. Dann gilt:
(1) hx|xi ≥ 0, hx|xi = 0 ⇔ x = 0
(2) k λx k= |λ|· k x k
(3) k x + y k≤k x k + k y k (Dreiecksungleichung)
2.3
Metrik
Definition 15.3.1 Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. Die Abbildung
d:
V ×V →R
(x, y) 7→k x − y k
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heißt die zu h | i gehörige Metrik.
Folgerung 15.3.2 Für die oben definierte Metrik gilt immer:
(1) d(P, Q) ≥ 0 , d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q
(2) d(P, Q) = d(Q, P )
(3) d(P, R) ≤ d(P, Q) + d(Q, R)
2.4
Winkel und Orthogonalität
Definition 15.4.1 Der Winkel zweier Vektoren x,y in einem Euklidischen Vektorraum ist definiert als:
cos ^(x, y) =
hx|yi
kxk·kyk
Zwei Vektoren x,y heißen orthogonal, (bzgl. h | i), wenn hx|yi = 0. Orthogonale
Vektoren sind immer linear unabhängig!
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Chapter 3
Orthogonalisierung
Die Idee der Orthogonalisierung ist die, dass prinzipiell fast alle Rechnungen einfacher von statten gehen, wenn die involvierten Vektoren orthogonal zueinander
sind.
3.1
Orthogonale Zerlegung
Zwei Vektoren a, b stehen in einem Winkel ϕ 6= 90◦ zueinander. Nun wollen
k
wir die parallelen (ba ) sowie orthogonalen Anteile (b⊥
a ) des Vektors b zu Vektor
a bestimmen. Diese berechnen sich wie folgt:
k
ha|bi
kak2
b⊥
a
= b − ba
ba =
·a
k
b⊥
a wird auch die Projektion von b auf a genannt. Die Projektion eines Vektors
c auf die von a unb b aufgespannte Ebene ist:
k
k
c⊥
Lin(a,b) = c − cLin(a,b) mit cLin(a,b) =
ha|ci
kak2 a
Figure 3.1: Orthogonale Zerlegung
+
hb|ci
kbk2 b
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10
Das Verfahren, aus gegebenen Vektoren ein Orthogonalsystem zu erstellen wird
Gram-Schmidt-Verfahren genannt.
Folgerung 15.5.2 Jeder endlichdimensionale euklidische Vektorraum hat eine
Orthogonalbasis (und somit Orthonormalbasis).
Satz 15.5.4 Es sei B = (b1 , ..., bn ) eine orthonormalbasis eines endlichdimensionalen euklidischen Vektorraumes, dann gilt für jedes beliebige v ∈ V :
v/B = hb1 |vi + hb2 |vi + ... + hbn |vi
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Chapter 4
Normale Endomorphismen
Zur Erinnerung: Ein Endomorphismus ist ein Homomorphismus (lineare Abbildung) f : V → V .
4.1
Adjungierte
Definition 16.2.1 Es seien (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum und f ∈
End(V ). Der Endomorphismus f ∗ ∈ End(V ) heißt zu f adjungiert, wenn gilt
hf (v)|wi = hv|f ∗ (w)i
Satz 16.1.3 Es seien (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. Zu jedem Endomorphismus f ∈ End(V ) gibt es eine eindeutig Adjungierte f ∗ ∈ End(V ).
Nun suchen wir die Abbildungsmatrizen [f ]B und [f ∗ ]B eines Ednomorphismus
und seiner Adjungierten bzgl. einer Orthonormalbasis B = (b1 , ...bn ). Es gilt:


hf (b1 )|b1 i ... hf (bn )|b1 i

:
:
[f ]B = 
hf (b1 )|bn i ... hf (bn )|bn i


hf (b1 )|b1 i ... hf (b1 )|bn i

:
:
[f ∗ ]B = 
hf (bn )|b1 i ... hf (bn )|bn i
Und demnach für eine Orthonormalbasis B:
[f ∗ ]B = t ([f ]B )
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4.2
12
Orthogonale Endomorphismen
Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. f ∈ End(V ) heißt orthogonal,
wenn gilt
hv|wi = hf (v)|f (w)i ∀v, w ∈ V
Für orthogonale Endomorphismen gilt:
f ∗ = f −1
Und für die Abbildungsmatrizen:
t
([f ]B ) = ([f ]B )−1
Vorsicht: Dies gilt nur bzgl. einer Orthonormalbasis B!
Definition 16.2.2 Eine Matrix A ∈ Rn×n heißt orthogonal, wenn gilt
t
A = A−1
Folgerung 16.2.3 Ein Endomorphismus f eines endlichdimensionalen Euklidischen Vektorraumes ist genau dann orthogonal, wenn die dazugehörige Abbildungsmatrix bzgl. einer Orthonormalbasis orthogonal ist.
Definition 16.2.4 Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. f ∈ End(V )
heißt:
• längentreu, wenn k v k=k f (v) k ∀v, w ∈ V
• abstandstreu, wenn d(v, w) = d(f (v), f (w) ∀v, w ∈ V
• winkeltreu, wenn ^(v, w) = ^(f (v), f (w))text∀v, w ∈ V
Für einen orthogonalen Endomorphismus f mit Orthogonalmatrix A gilt:
• det(A) = ±1.
⇒ Er ist längen- abstands- und winkeltreu
• Die reellen Eigenwerte (falls vorhanden) eines orthogonalen Endomorphismus
sind λi = ±1 und für alle komplexen Eigenwerte gilt |λ| = 1.
• f ist injektiv. Im endlichdimensionalen Fall sogar surjektiv, wodurch f ein
Automorphismus ist.
Definition 16.2.8 Es sei V ein endlichdimensionaler R − V ektorraum. Ein
f ∈ End(V ) heißt orientierungstreu, wenn det(f ) > 0.
4.3
Der Satz von Schur und seine Folgen
Definition 16.3.1 Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. f ∈ End(V )
heißt selbstadjungiert, wenn
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hf (v)|wi = hv|f (w)i ∀v, w ∈ V ⇔ f = f ∗
und schiefadjungiert, falls f = −f ∗ .
Für die Abbildungsmatrix A eines selbstadjungierten Endomorphismus gilt A =
A∗ = t A, d.h. A ist symmetrisch.
Das charakteristische Polynom eines selbstadjungierten Endomorphismus hat n
reelle Eigenwerte, also zumindest eine Jordan- Normalform.
Satz 16.3.4 Es sei f ein selbstadjungierter Endomorphismus eines n-dimensionalen
Euklidischen Vektorraumes. Dann gilt: Die EIgenräume von f zu paarweise verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.
Definition 16.3.5 Es sei f ein Endomorphismus, B Orthonormalbasis von V
und A := [f ]B . f bzw. A heißt orthogonal trigonalisierbar, wenn es eine Orthonormalbasis C von V gibt, sodass [f ]C Dreiecksgestalt hat. Gleichbedeutend:
Es gibt eine orthogonale Transformationsmatrix T = B [id]C , sodass à := [f ]C
Dreiecksgestalt hat:
t
T = T −1 und T −1 AT = Â
Ist  sogar diagonal, so spricht man von orthogonaler Diagonalisierbarkeit.
Satz 16.6.3: Satz von Schur Ein Endomorphismus f eines n-dimensionalen
euklidischen Vektorraumes ist orthogonal trigonalisierbar, falls er n Eigenwerte
in R hat.
Definition 16.3.7 Es sei (V,h | i) ein euklidischer Vektorraum. Ein Endomorphismus f ∈ End(V) heißt normal, wenn er mit seinem adjungierten Endomorphismus vertauschbar ist, d.h. wenn gilt
f • f ∗ = f ∗f
Entsprechend heißt eine Matrix normal, wenn gilt:
A · A∗ = A∗ · A
Satz 16.3.10 Ein normaler Endomorphismus f eines n-dimensionalen Euklidischen Vektorraumes (V,h | i) ist orthogonal diagonalisierbar, falls er n Eigenwerten in R hat.
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Figure 4.1: Die verschiedenen Endomorphismen in der Übersicht
14