0 Grundlagen

Philipp Landgraf
Franz Zimma
Skript - Tag I
Ferienkurs
Theoretische Elektrodynamik
WS 2015/16
0 Grundlagen
0.1 Koordinatensysteme
Abhängig von der Geometrie des vorliegenden Problems ist es meist sehr nützlich
anstatt der kartesischen Koordinaten (x, y, z) ein anderes Koordinatensystem zu benutzen.
0.1.1 Zylinderkoordinaten
Der Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y, z) in Zylinderkoordinaten (ρ, ϕ, z)
erfolgt mit folgender Transformation:

  
0≤ρ<∞
ρ cos ϕ
x
y  =  ρ sin ϕ 
0 ≤ ϕ < 2π
(0.1)
−∞ < z < ∞
z
z
Abbildung 1: Parametrisierung in Zylinderkoordinaten. Die Grafik stammt von https:
//de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten.
Die Einheitsvektoren


 
cos ϕ
x
1
êρ =  sin ϕ  = y 
ρ
0
0
 

−y
− sin ϕ
1
êϕ = + cos ϕ =  x 
ρ
0
0

bilden ein rechtshändigen System in folgender Weise
~eρ × ~eϕ = ~ez
~ez × ~eρ = ~eϕ
~eϕ × ~ez = ~eρ .
 
0
êz = 0
1
(0.2)
(0.3)
In Zylinderkoordinaten ändert sich das Volumenelement zu
dV = dx dy dz = ρ dρ dϕ dz .
1
(0.4)
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0.1.2 Kugelkoordinaten
Der Übergang von kartesischen Koordinaten (x, y, z) in Kugelkoordinaten (r, ϕ, θ) erfolgt mit folgender Transformation:

  
0≤r<∞
r sin θ cos ϕ
x
y  =  r sin θ sin ϕ 
0 ≤ ϕ < 2π
(0.5)
0≤θ<π
r cos θ
z
Abbildung 2: Parametrisierung in Kugelkoordinaten. Die Grafik stammt von https:
//de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten.
Die Einheitsvektoren


sin θ cos ϕ
êr =  sin θ sin ϕ 
cos θ


cos θ cos ϕ
êθ =  cos θ sin ϕ 
− sin θ

(0.6)
~eθ × ~eϕ = ~er
(0.7)

− sin ϕ
êϕ = + cos ϕ
0
bilden wieder ein Rechtshändiges System in folgender Weise
~er × ~eθ = ~eϕ
~eϕ × ~er = ~eθ
In Kugelkoordinaten ändert sich das Volumenelement zu
dV = dx dy dz = r2 sin θ dϕ dθ dr
(0.8)
und das Flächenelement der Kugeloberfläche ist
dA = r2 sin θ dϕ dθ
2
~ = dA · êr .
dA
(0.9)
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0.2 Vektoranalysis
0.2.1 Nabla-Operator
Der Nabla-Operator in R3 ist definiert als folgender Vektoroperator:
∂ ∂ ∂
~
.
,
,
∇≡
∂x ∂y ∂z
(0.10)
0.2.2 Gradient
Der Gradient wirkt auf Skalarfelder Φ(~r) : R3 → R und gibt einen Vektor aus:
~ r) = ∂Φ ê1 + ∂Φ ê2 + ∂Φ ê3 .
grad Φ(~r) ≡ ∇Φ(~
∂x1
∂x2
∂x3
(0.11)
Dieser steht senkrecht auf Äquipotentialflächen und zeigt in Richtung der stärksten
Änderung einer Funktion.
In Zylinder- und Kugelsymmetrie ist es nützlich den Gradienten in den Koordinaten
der zugrundeliegenden Symmetrie zu verwenden:
Gradient in Zylinderkoordinaten
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
êρ +
êϕ +
êz
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
(0.12)
∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
êr +
êϑ +
êϕ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
(0.13)
grad Φ (ρ, ϕ, z) =
Gradient in Kugelkoordinaten
grad Φ (r, ϑ, ϕ) =
Weitere Eigenschaften:
~
~ + ∇G
~
∇(F
+ G) = ∇F
~
~ · G + F · ∇G
~
∇(F
· G) = ∇F
~ (F (G)) = ∂F (G) · ∇G
~
∇
∂G
⇒
(0.14)
(0.15)
~ (r) = ∂F · ∇r
~ = ∂F êr
∇F
∂r
∂r
(0.16)
0.2.3 Divergenz
~ r) : R3 → R3 und gibt
Die Divergenz (oder Quelldichte) wirkt auf Vektorfelder E(~
ein Skalarfeld aus, das an jedem Punkt angibt, wie sehr die Vektoren in einer kleinen
Umgebung des Punktes auseinanderstreben:
~
~ ·E
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez
div E(x,
y, z) ≡ ∇
∂x
∂y
∂z
(0.17)
Divergenz in Zylinderkoordinaten
~ ϕ, z) = 1 ∂ (ρEρ ) + 1 ∂Eϕ + ∂Ez
div E(ρ,
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
(0.18)
Divergenz in Kugelkoordinaten
1 ∂Eϕ
∂
~ θ, ϕ) = 1 ∂ (r2 Er ) + 1
(Eθ sin θ) +
div E(r,
2
r ∂r
r sin θ ∂θ
r sin θ ∂ϕ
3
(0.19)
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Weitere Eigenschaften:
~+B
~ =∇
~ ·A
~+∇
~ ·B
~
~ · A
∇
~ ·A
~
~ · FA
~ = ∇F
~ ·A
~+F · ∇
∇
(0.20)
(0.21)
0.2.4 Rotation
~ r) : R3 → R3 und gibt
Die Rotation (oder Wirbeldichte) wirkt auf Vektorfelder A(~
einen Vektor aus:
∂Ax
∂Ay
∂Az
∂Ay
∂Az
∂Ax
~
~
~
êx +
êy +
êz
rot A(x, y, z) ≡ ∇ × A =
−
−
−
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
(0.22)
Rotation in Zylinderkoordinaten
~ ϕ, z) = 1 ∂Az − ∂Aϕ êρ + ∂Aρ − ∂Az êϕ + 1 ∂ (ρ · Aϕ ) − ∂Ar êz
rot A(ρ,
ρ ∂ϕ
∂z
∂z
∂ρ
ρ ∂ρ
∂ϕ
(0.23)
Rotation in Kugelkoordinaten
∂Aθ
1 ∂
∂
1 ∂Ar
~ θ, ϕ) = 1
(Aϕ sin θ) −
−
(rAϕ ) êθ +
rot A(r,
êr +
r sin θ ∂θ
∂ϕ
r sin θ ∂ϕ
r ∂r
1 ∂
∂Ar
+
êϕ .
(0.24)
(rAθ ) −
r ∂r
∂θ
Weitere Eigenschaften:
~ × A
~+B
~ =∇
~ ×A
~+∇
~ ×B
~
∇
~ × F ·A
~ = ∇F
~ ×A
~+F · ∇
~ ×A
~
∇
(0.25)
(0.26)
0.2.5 Helmholtz’scher Satz
Aus den Definitionen folgt:
Gradientenfelder sind wirbelfrei:
~ × ∇Φ
~ =0
∇
(0.27)
~ ×A
~ =0
~ · ∇
∇
(0.28)
~ = ∇Φ
~ +∇
~ ×V
~
A
(0.29)
Wirbelfelder sind quellenfrei:
Daraus folgt der Helmholtz-Satz:
Jedes hinreichend schnell abfallende Vektorfeld kann eindeutig in einen wirbelfreien
und einen quellfreien Anteil zerlegt werden.
4
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0.2.6 Laplace-Operator
Der Laplace-Operator
~2=
△≡∇
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
(0.30)
kann sowohl für Skalarfelder, als auch für Vektorfelder definiert werden:
2
2
2
~ 2Φ = ∂ Φ + ∂ Φ + ∂ Φ
△Φ(x, y, z) ≡ ∇
∂x2
∂y 2
∂z 2
2
X
∂ 2 Ei
∂ 2 Ei
∂ Ei
2~
~
~
êi
+
+
△E(x, y, z) ≡ ∇ E =
∂x2
∂y 2
∂z 2
i=x,y,z
(0.31)
(0.32)
Der Laplace-Operator kann auch als Kombination der zuvor eingeführten Differentialoperatoren dargestellt werden:
~ · (∇Φ)
~
△Φ = ∇
~ ×E
~
~ ·E
~ −∇
~ × ∇
~ =∇
~ ∇
△E
(0.33)
(0.34)
Laplace Operator in Zylinderkoordinaten
∂Φ
1 ∂2Φ ∂2Φ
1 ∂
△Φ(ρ, φ, z) =
ρ
+ 2
+
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ2
∂z 2
(0.35)
Laplace Operator in Kugelkoordinaten
∂2Φ
1
∂Φ
1
∂
1 ∂
2 ∂Φ
r
+ 2
sin ϑ
+ 2 2
△Φ(r, ϑ, φ) = 2
r ∂r
∂r
r sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
r sin ϑ ∂φ2
(0.36)
Weitere Eigenschaften:
~
~
+ F (△G)
· ∇G
△ (F G) = (△F ) G + 2 ∇F
(0.37)
0.3 Heaviside-Funktion und Delta-Distribution
Die Heaviside-Funktion (Sprungfunktion) ist definiert als1
(
1 x>0
Θ(x) =
0 x<0
(0.38)
Diese Funktion ist sehr geeignet um Fallunterscheidungen oder Begrenzungen zu beschreiben.
⋆ Beispiel: Ladungsdichte einer Vollkugel
Die Gesamtladung Q verteilt sich gleichmäßig auf das Kugelvolumen
lokalisiert auf Θ(R − r):
(
1 r<R
3Q
Q
·
ρ(~r) = 4 3 Θ(R − r) =
3
4πR
πR
0 r>R
3
1 Das
4
3
3 πR
und ist
Verhalten an der Stelle x = 0 ist konventionsabhängig, allerdings für unsere Fälle irrelevant.
5
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Überprüfen der Gesamtladung:
ˆ
d3 x ρ(~r) =
3Q
·
4πR3
ˆ
∞
r2 dr Θ(R−r)
0
ˆ
π
sin θdθ
0
ˆ
2π
dϕ =
0
3Q
·
4πR3
R
ˆ
r2 dr
0
ˆ
dΩ = Q
Eine sehr einfache (wenn auch mathematisch höchst unsaubere) Definition der Delta
Distribution ist
(
ˆ a+ǫ
∞ x=a
δ(x − a) =
δ(x − a)dx ≡ 1 ǫ > 0
(0.39)
mit
0
sonst
a−ǫ
Wir finden also eine Singularität bei der Nullstelle ihres Arguments, während sie sonst
0 ergibt. Integrieren wir δ(x − a)ψ(x) über ein Intervall, das die Singularitätsstelle a
enthält filtert δ(x − a)“ den Funktionswert an der Stelle a heraus:
”
ˆ a+ǫ
dx δ(x − a)ψ(x) = ψ(a)
(0.40)
a−ǫ
Aufgrund ihrer Eigenschaften eignet sich die Delta-Distribution ausgezeichnet um un”
endlich hohe Dichten“ an bestimmen Orten“ zu beschreiben.
”
⋆ Beispiel: Ladungsdichte einer Punktladung am Ort ~a = (a1 , a2 , a3 )
Die Ladung q ist unendlich hoch konzentriert“ auf den Punkt ~a:
”
ρ(~r) = q δ 3 (~x − ~a) = q δ(x − a1 )δ(y − a2 )δ(z − a3 )
Wir überprüfen die Gesamtladung
ˆ
ˆ
ˆ
d3 x ρ(~r) = q d3 x δ 3 (~x−~a) = q
∞
δ(x−a1 )dx
ˆ
∞
δ(y−a2 )dy
−∞
−∞
ˆ
∞
δ(z−a3 )dz = q
−∞
Ergänzung: Mit dem Gauß’schen Satz (1.9) kann allgemein gezeigt werden, dass gilt
△
1
= −4πδ 3 (~r − ~r ′ ).
|~r − ~r ′ |
(0.41)
⋆ Beispiel: Ladungsdichte eines (unendlich dünnen) Zylindermantels
Die Gesamtladung Q ist homogen verteilt auf die Mantelfläche 2ρπh, begrenzt auf
− h2 < z < h2 und unendlich hoch konzentriert“ auf den Mantelort“ ρ = R:
”
”
Q
h
Θ
− |z| δ(R − ρ)
ρ(~r) =
2ρπh
2
Wir überprüfen erneut die Gesamtladung
ˆ 2π
ˆ ∞
ˆ
ˆ ∞
Q
h
1
3
ρ dr δ(R − ρ)
dz Θ
dϕ = Q.
− |z|
d x ρ(~r) =
2πh 0
ρ
2
−∞
0
6
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1 Elektrostatik im Vakuum
1.1 Coulombgesetz und Feldgleichungen
1.1.1 Feld und Potential einer Punktladung
Grundlage für die Elektrostatik ist das experimentell erschlossene Coulombgesetz
F~C =
qQ
~er .
4πε0 r2
(1.1)
Wobei Q und q die Ladungen sind, zwischen welchen die Kraft berechnet wird. Der
1
ist eine Konstante und nur aus Einheitentechnischen Gründen vorhanden.
Faktor 4πε
0
Es gibt auch Einheitensysteme, die solche Faktoren vermeiden, wir werden allerdings
hier das SI-System verwenden.
Nun ist es zweckmäßig das elektrische Feld über die beobachteten Kräfte zu definieren:
~
~ r) = FC = Q ~er ,
E(~
q
4πε0 r2
(1.2)
wobei davon ausgegangen wird, dass sich die erzeugende Ladung im Ursprung befindet. Dieses Vektorfeld ist ein Gradientenfeld. Das heißt, dass sich ein elektrostatisches
Potential definieren lässt, welches folgende Bedingung erfüllt:
~ r) = −∇Φ(~
~ r).
E(~
(1.3)
Das Potential hat dann folgende Form:
Φ(~r) =
Q
4πε0 r
(1.4)
1.1.2 Mehrere Punktladungen - Das Superpositionssystem
Nun wollen wir das Feld mehrerer Punktladungen betrachten. Sowohl für das Elektrostatische Potential als auch für die elektrischen Felder gilt das Superpositionsprinzip.
Das bedeutet, um das Feld für eine Anordnung von n Punktladungen zu erhalten,
addiert man einfach die Felder der einzelnen Ladungen. Hieraus folgt dann für Feld
und Potential:
n
X
Qi (~r − r~i )
~ r) = 1
E(~
.
(1.5)
4πε0 i=1 |~r − ~ri |3
Das Potential ist dann entsprechend:
Φ(~r) =
n
1 X Qi
.
4πε0 i=1 |~r − ~ri |
(1.6)
1.1.3 Kontinuierliche Ladungsverteilung
Um nun komplexere Probleme berechnen zu können, müssen wir von Punktladungen zu
Ladungsdichten übergehen. Aus der Summe wird dann ein Integral, und das elektrische
Feld hat folgende Form:
ˆ
ρ(~r ′ )(~r − ~r ′ )
~ r) = 1
,
(1.7)
d3 r ′
E(~
4πε0
|~r − ~r ′ |3
7
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wobei ρ(~r) die Ladungsdichte beschreibt. Dieses Integral ist vektoriell, weshalb es in
den meisten Fällen viel einfacher ist das Potential zu berechnen, und daraus dann auf
das elektrische Feld zu schließen. Das elektrostatische Potential hat folgende Form:
ˆ
ρ(~r ′ )
1
d3 r ′
Φ(~r) =
.
(1.8)
4πε0
|~r − ~r ′ |
1.1.4 Gauß’scher Integralsatz und Poissongleichung
Ein wichtiger Satz aus der Analysis ist der Gauß’sche Integralsatz:
‹
˚
~ · E(~
~ r) .
~ r) =
dF~ · E(~
dV ∇
F =∂V
(1.9)
V
Dieser Satz besagt anschaulich, dass der Fluß durch eine geschlossene Fläche gleich
der Quellen im inneren dieser Fläche ist. Er spielt eine große Rolle in der Elektrostatik. Betrachten wir nun z.B den Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene
Fläche. Wir erhalten allgemein:
˚
‹
~ r) = 1
dV ρ(~r).
(1.10)
dF~ · E(~
ε0
V
F =∂V
Durch Vergleich mit dem Gauß’schen Integralssatz erhalten wir folgende Maxwellgleichung:
~ · E(~
~ r) = ρ(~r)
∇
(1.11)
ε0
~ r) = −∇Φ(~
~ r) direkt die Poissongleichung:
Hieraus folgt mit E(~
△Φ(~r) = −
1
ρ(~r)
ε0
(1.12)
1.2 Multipolentwicklung
Nun interessieren wir uns für das Potential sowie das elektrische Feld einer Ladungsverteilung ρ(~r ′ ) in großer Entfernung ~r zur Quelle.
8
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Hierzu Taylorentwickeln wir den inversen Abstand:
− 12
1
2~r · ~r ′
1
r′ 2
2
′2
′ −1/2
1−
= r + r − 2~r · ~r
=
+ 2
|~r − ~r ′ |
r
r2
r
"
2 #
′
′
′2
1
1
2~r · ~r
r
3 2~r · ~r
=
1−
− 2 + 2 +
+ ...
r
2
r
r
8
r2
=
1 ~r · ~r ′
1
+ 3 + 5 [3(~r · ~r ′ )2 − ~r 2 · ~r ′2 ] + . . .
r
r
2r
(1.13)
Setzt man dies nun in Gleichung (1.8) ein, erhält man folgenden Ausdruck für das
Potential


ˆ
ˆ
ˆ
3
X
1
~
r
1 1
xi xj d3 r′ (3x′i x′j − δij ~r ′2 )ρ(~r ′ )
d3 r′ ~r ′ ρ(~r ′ ) + 5
d3 r′ ρ(~r ′ ) + 3
Φ(~r) =
4πε0 r
r
2r i,j=1
Das erste Integral ist hierbei der Monopol-Term, das zweite der Dipol-Term, das dritte
der Quadrupol-Term. Höhere Ordnungen werden in der Regel nicht berücksichtigt.
Das erste Integral gibt die Gesamtladung:
ˆ
q = d3 r′ ρ(~r ′ )
(1.14)
Das zweite Integral wird Dipolmoment genannt.
ˆ
p~ = d3 r′ ~r ′ ρ(~r ′ )
(1.15)
Das dritte Integral ist der Quadrupoltensor.
ˆ
Qij = d3 r′ (3x′i x′j − δij ~r ′2 )ρ(~r ′ ).
(1.16)
Zu beachten ist die Symmetrie des Quadrupoltensors: Qij = Qji . Des Weiteren ist der
Quadrupoltensor auch spurfrei: Q11 + Q22 + Q33 = 0.
Das Potential kann also letztendlich darstellt werden als:
Φ(~r) =
3
i
1 h q
p~ · ~r
1 X
xi xj Qij .
+ 3 + 5
4πε0 |{z}
r
r
2r i,j=1
|{z}
|
{z
}
1
1
∼
∼
r
r2
∼ r13
Nun betrachten wir die Form eines reinen Dipolfeldes.
3~r(~
p · ~r)
p~
~ p~ · ~r = 1
~ Dipol (~r) = − 1 ∇
.
−
E
4πε0
r3
4πε0
r5
r3
9
(1.17)
(1.18)
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1.3 Randwertprobleme
Es gibt zwei relevante Arten des Randwertproblems.
• Das Drichlet’sche Randwertproblem:
Φ(~r) ist auf einer Randfläche F = ∂V vorgegeben.
• Das Neumann’sche Randwertproblem:
~
Die Normalenableitung von ∂Φ
∂n = n · ∇Φ ist auf einer Randfläche F = ∂V
vorgegeben.
Allgemein kann man diese Probleme allgemein Lösen mit Hilfe einer Green’schen Funktion.
˛
ˆ
∂
(1.19)
dV ′ GD (~r, ~r ′ )ρ(~r ′ ) − ε0 dF ′ Φ(~r ′ ) ′ GD (~r, ~r ′ )
Φ(~r) =
∂n
V
Es gestaltet sich in den meisten Fällen sehr schwierig die Green’sche Funktion zu
bestimmen.
1.3.1 Methode der Bildladungen
Die Methoder der Bild- oder Spiegelladungen stellt eine effektive Methode dar, um die
Green’sche Funktion für bestimmte physikalische Probleme zu konstruieren. Allgemein
wird das Dirichlet’sche Randwertproblem durch folgende Green’sche Funktion gelöst:
GD (~r, ~r′ ) =
1
+ f (~r, ~r′ )
4πε0 |~r − ~r′ |
(1.20)
Wobei man sich den Term f (~r, ~r′ ) physikalisch als Potential einer Ladungsverteilung
vorstellen kann, welche außerhalb des betrachteten Volumens liegt, und die Randbedingung erfüllt, dass GD auf der Randfläche verschwindet.
⋆ Beispiel: Punktladung vor Metallplatte
Es befinde sich eine Punktladung q im Abstand a über einer geerdeten unendlich großen
Metallplatte. Berechnen sie das Potential im oberen Halbraum, sowie die induzierte
Flächenladungsdichte.
Um das Potential zu berechnen Bilden wir den Ansatz mit einer Spiegelladung entgegengesetzter Ladung −q im Abstand a′ .
1
1
qB
=0
(1.21)
GD (~r, ~r ′ ) =
+
4πε0 |~r ′ − ~r| |~r ′ − ~rB |
Durch Lösen dieser Gleichung erhält man qB = −1 und ~rB = (x, y, −z). Dies ergibt
das Potential
1
1
Q 2
Φ(x, y, z) =
(1.22)
[x + y 2 + (z − a)2 ]− 2 − [x2 + y 2 + (z + a)2 ]− 2 .
4πε0
Zu beachten is, dass dieses Potential nur im oberem Halbraum z > 0 gilt. Also gilt das
Potential NIE in dem Bereich in dem die Spiegelladung platziert wurde. Für weitere
Aufgaben kann nun benutzt werden, dass die Spiegelladung hinter einer Metallplatte
immer den gleichen Abstand wie die erzeugende Ladung hat, und die entgegengesetzte
Ladung.
10
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ACHTUNG! Nur Ladungen und Ladungsverteilungen spiegeln, keine komplexeren
Strukturen.
Nun erhalten wir aus dem Potential das elektrische Feld:
− 3
Qa
~
~
E(x,
y, 0) = −∇Φ(x,
y, z)
=−
x2 + y 2 + a2 2 ~ez
2πε0
z=0
(1.23)
Aus dem Sprung der Normalenkomponente (Metallplatten schirmen ab d.h im Halbraum z < 0 ist das elektrische Feld 0) lässt sich die influenzierte Flächenladungsdichte
errechnen.
3
Qa 2
σ(x, y) = ε0 Ez (x, y, 0) = −
(1.24)
[x + y 2 + a2 ]− 2
2π
1.4 Energie und Arbeit im elektrischen Feld
Nun, da wir elektrische Felder für alle möglichen Ladungsverteilungen berechnen können,
interessieren wir uns noch für die Energie sowie die Energiedichte im eletrischen Feld.
Zuerst berechnen wir die Arbeit, die nötig ist um eine Punktladung q aus dem unendlichen an den Ort ~r zu bringen.
ˆ r
~ r) = qΦ(~r)
d~r ′ · E(~
(1.25)
W (~r) = −q
∞
Um nun auf Ladungsverteilungen überzugehen, berechnen wir zuerst die Kraft um N
Punktladungen qi von ∞ an den jeweiligen Ort ~ri zu bringen:
Wi = qi
i−1
X
j=1
qj
4πε0 |~ri − ~rj |
(1.26)
Die gesamte potentielle Energie ergibt sich dann aus der Summe der Wi
W =
N
X
i=2
Wi =
1
2
N
X
i,j=1;i6=j
qi qj
.
4πε0 |~ri − ~rj |
Nun wollen wir auf Kontinuierliche Ladungsverteilungen übergehen.
ˆ
ˆ
ˆ
r ′ )ρ(~r)
ε0
1
3
3 ′ ρ(~
d r d r
d3 r |E(~r)|2
=
W =
8πε0
|~r − ~r ′ |
2
Hierüber können wir eine Energiedichte definieren:
ˆ
ˆ
ε0
ε0
~ r)|2 .
W = d3 r w =
d3 r |E(~
w = |E(~r)|2
2
2
11
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