Übungsblatt 6

Übungsblatt 6
Algebra I
Prof. Dr. Ulrich Görtz
WS 2011/12
Dr. Christian Kappen
Übungsblatt 6
Ist
c∈C
eine komplexe Zahl, so bezeichne
Z[c]
die von
c
in
C
erzeugte
Z-Algebra,
d.h. das Bild
des Homomorphismus
Z[X] → C ,
welcher für die Variable
X
das Element
c
X 7→ c ,
einsetzt. Es sei
|·|
der gewöhnliche Absolutbetrag auf
C.
Aufgabe 1
2πi
3
∈ C. In dieser Aufgabe studieren wir den Ring Z[ζ] der sogenannten Eisenstein-Zahlen.
√
a) Zeigen Sie, dass ζ 2 + ζ + 1 = 0 gilt, und folgern Sie die Gleichung ζ = 12 (−1 + i 3). Folgern Sie,
dass zu jedem Element c ∈ Z[ζ] eindeutig bestimmte ganze Zahlen a, b ∈ Z existieren, derart
dass c = a + bζ gilt. Skizzieren Sie Z[ζ] als Teilmenge der komplexen Zahlenebene.
Sei
ζ := e
b)
Zeigen Sie, dass
Z[ζ]
Z[ζ]×
euklidisch ist und dass
mit
{c ∈ Z[ζ] ; |c| = 1}
übereinstimmt.
Aufgabe 2
a)
√
Zahlen a, b ∈ Z
c ∈ Z[i 3] eindeutig bestimmte ganze
√
2πi
3
c = a + 2bζ gilt, mit ζ = e . Skizzieren Sie Z[i 3] als Teilmenge von
Zeigen Sie, dass zu jedem Element
existieren, derart dass
Z[ζ],
vgl. Aufgabe 1, und zeigen Sie
√
√
Z[i 3]× = {c ∈ Z[i 3] ; |c| = 1} = {±1} .
b)
√
√
c1 = 4 und c2 = 2(1 + i 3) von Z[i 3]. Zeigen Sie: Ist d ein
gemeinsamer Teiler von c1 und c2 , welcher von 2 geteilt wird, so ist d zu 2 assoziiert. Ist ferner
√
√
d0 ein gemeinsamer Teiler von c1 und c2 , welcher
von 1 + i
3 geteilt wird, so ist d0 zu 1 + i 3
√
assoziiert. Folgern Sie, dass c1 und c2 in Z[i
3] keinen gröÿten gemeinsamen Teiler besitzen.
Betrachten Sie die Elemente
Aufgabe 3
Sei
R
K sein Quotientenkörper.
a0 ∈ R× , a1 , . . . , an ∈ R mit
ein faktorieller Integritätsbereich, und sei
Element, für welches Elemente
Zeigen Sie: Ist
b∈K
ein
a0 bn + a1 bn−1 + · · · + an = 0
existieren, so gilt
b ∈ R.
Aufgabe 4
Sei
R
ein faktorieller Integritätsbereich, und seien
x, y ∈ R
Elemente mit ggT
(x, y) = 1
und
xy = z n
für ein
z ∈ R
und ein
n ∈ N>0 .
Zeigen Sie, dass Elemente
welche die Gleichungen
x =
aun
y
a−1 v n
=
erfüllt sind.
1/1
u, v ∈ R
und
a ∈ R×
existieren, für