Bearbeitungsvorschlag

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Dr. E. Schörner
WS 2014/15
Blatt 12
25.01.2017
Tutorium zur Vorlesung
Grundlagen der Mathematik I“
”
— Bearbeitungsvorschlag —
45. a) Für a = 6.706 und b = 623 ergibt sich etwa
6.706
623
476
147
35
=
=
=
=
=
10 · 623
1 · 476
3 · 147
4 · 35
5·7
+ 476
+ 147
+ 35
+ 7
b) Gemäß a) ist d = 7 ein größter gemeinsamer Teiler von a und b; für ihn
erhalten wir die Darstellung
7 =
=
=
=
147 − 4 · 35
147 − 4 · (476 − 3 · 147) = (−4) · 476 + 13 · 147
(−4) · 476 + 13 · (623 − 1 · 476) = 13 · 623 − 17 · 476
13 · 623 − 17 · (6.706 − 10 · 623) = (−17) · 6.706 + 183 · 623,
also
d=x·a+y·b
mit
x = −17 und y = 183.
c) Ein kleinstes gemeinsames Vielfaches v von a und b läßt sich aus d über die
Beziehung |a · b| = |d · v| bestimmen; wir erhalten etwa
v=
6.706 · 623
a·b
=
= 596.834.
d
7
46. Da d1 ein größter gemeinsamer Teiler von a und c ist, besitzt d1 die Darstellung
d 1 = x1 · a + y 1 · c
mit x1 , y1 ∈ Z;
analog besitzt der größte gemeinsame Teiler d2 von b und c die Darstellung
d 2 = x2 · b + y 2 · c
mit x2 , y2 ∈ Z.
Für das Produkt d1 · d2 erhalten wir demnach
d1 · d2 = (x1 · a + y1 · c) · (x2 · b + y2 · c) =
= x 1 · x 2 · a · b + x 1 · y 2 · a · c + x 2 · y 1 · b · c + y 1 · y 2 · c2 ;
für den ersten Summanden gilt wegen c | (a · b) schon c | (x1 · x2 · a · b), also
x1 · x2 · a · b = q · c für ein q ∈ Z. Insgesamt ergibt sich damit
d1 · d2 = q · c + x1 · y2 · a · c + y1 · x2 · b · c + y1 · y2 · c2 =
= (q + x1 · y2 · a + x2 · y1 · b + y1 · y2 · c) · c
mit q + x1 · y2 · a + x2 · y1 · b + y1 · y2 · c ∈ Z, und somit ist c ein Teiler von d1 · d2 .
47. a) Wegen a2 − k 2 = (a − k) (a + k) für alle a ∈ Z gilt stets (a + k) | (a2 − k 2 )
für alle a ∈ Z mit a 6= −k.
• Bei =⇒“ gilt ferner (a + k) | (a2 + k), und daraus ergibt sich
”
(a + k) | a2 + k − a2 − k 2
bzw. (a + k) | k (k + 1),
also in (a + k) ∈ T (k(k + 1)) die gewünschte Beziehung.
• Bei ⇐=“ gilt (a+k) ∈ T (k(k + 1)), also (a + k) | k (k +1), und daraus
”
ergibt sich
(a + k) | a2 − k 2 + k (k + 1)
bzw. (a + k) | a2 + k ,
also die gewünschte Beziehung.
b) Gemäß a) gilt für a 6= −6
(a + 6) | (a2 + 6)
⇐⇒
⇐⇒
(a + 6) ∈ T (42)
a + 6 ∈ {±1, ±2, ±3, ±6, ±7, ±14, ±21, ±42} ;
dies ist aber äquivalent zu
a ∈ {−48, −27, −20, −13, −12, −9, −8, −7, −5, −4, −3, 0, 1, 8, 15, 36} .
c) Gemäß a) gilt für a 6= 6
(a − 6) | (a2 − 6)
⇐⇒
⇐⇒
(a − 6) ∈ T (30)
a − 6 ∈ {±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30} ;
dies ist aber äquivalent zu
a ∈ {−24, −9, −4, 0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 16, 21, 36} .
48. a) Sei n ∈ N mit n ≥ 2 fest gewählt. Wir bestimmen für jedes k ∈ Z die Summe
der n aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen k + 1, . . . , k + n und erhalten mit
Hilfe der Gaußschen Summenformel
(k + 1) + (k + 2) + . . . + (k + n) =
n
X
j=1
(k + j) = n · k +
n · (n + 1)
.
2
b) Sei n ungerade; damit ist n + 1 gerade, also n+1
∈ N.
2
Für =⇒“ sei a die Summe von k + 1, . . . , k + n für ein k ∈ Z, und mit Hilfe
”
von a) erhalten wir
n+1
n+1
n · (n + 1)
=n·k+n·
=n· k+
a=n·k+
2
2
2
mit k + n+1
∈ Z; damit ist n ein Teiler von a.
2
Für ⇐=“ sei n ein Teiler von a; damit gibt es q ∈ Z mit q · n = a. Wegen
”
n · (n + 1)
n+1
n+1
n·k+
= q · n ⇐⇒ k +
= q ⇐⇒ k = q −
2
2
2
mit q −
n+1
2
∈ Z erhalten wir für a die Darstellung
a = (k + 1) + (k + 2) + . . . + (k + n)
n+1
n+1
n+1
=
q−
+1 + q−
+ 2 + ... + q −
+n
2
2
2
a n+1
a n+1
a n+1
=
−
+1 +
−
+ 2 + ... +
−
+n
n
2
n
2
n
2
als Summe von n aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.
c) Sei n gerade; damit ist n2 ∈ N.
Für =⇒“ sei a die Summe von k + 1, . . . , k + n für ein k ∈ Z, und mit Hilfe
”
von a) erhalten wir


a=n·k+
n
n  n 
n · (n + 1)
= · (2 k + (n + 1)) = · 
2
k
+
+1;
2
2
2 | {z 2 } 
gerade
{z
}
|
ungerade
damit ist a von der Form n2 · q mit einer ungeraden ganzen Zahl q ∈ Z.
Für ⇐=“ sei a von der Form n2 · q mit einer ungeraden ganzen Zahl q ∈ Z,
”
also a = n2 · q; damit ist q − 1 ∈ Z gerade, also q−1
∈ Z. Wegen
2
n·k+
mit
q−n−1
2
n · (n + 1)
n
q−n−1
= · q ⇐⇒ 2 k + n + 1 = q ⇐⇒ k =
2
2
2
=
q−1
2
−
n
2
∈ Z erhalten wir für a die Darstellung
a = (k + 1) + (k + 2) + . . . + (k + n)
q−n−1
q−n−1
q−n−1
=
+1 +
+ 2 + ... +
+n
2
2
2
2a
2a
2a
−n−1
−n−1
−n−1
n
n
n
=
+1 +
+ 2 + ... +
+n
2
2
2
als Summe von n aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen.