Blatt 1 der¨Ubungen zur Vorlesung Numerik, LMU München

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Blatt 1 der Übungen zur Vorlesung
Numerik,
LMU München, Wintersemester 2016/2017
Peter Philip, Sabine Bögli
19. Oktober 2016
Abgabe bis Montag, den 31. Oktober, 14 Uhr, im Kasten zur Vorlesung neben der Bibliothek.
1. (10 Punkte) Sei b ≥ 2 eine natürliche Zahl, N ∈ Z, und (dN , dN −1 , dN −2 , . . . ) eine Folge
so, dass dn ∈ {0, . . . , b − 1} für alle n ∈ {N, N − 1, N − 2, . . . }. Zeigen Sie, dass für die
b-adische Reihe gilt:
∞
X
dN −ν bN −ν ≤ bN +1
(1)
ν=0
(insbesondere konvergiert die Reihe also gegen ein x ∈ R+
0 ). Zeigen Sie auch, dass
Gleichheit in (1) genau dann eintritt, wenn dn = b−1 für alle n ∈ {N, N −1, N −2, . . . }.
2. (10 Punkte)
(a) Zeigen Sie, dass die Funktionen
f1
f2
f3
f4
f5
f6
:
:
:
:
:
:
R −→ R,
R \ {−1} −→ R,
R −→ R,
R \ {−3/2} −→ R,
R −→ R,
R \ {−99/70} −→ R,
an der Stelle x =
f1 (x) := (x − 1)6 ,
f2 (x) := (x + 1)−6 ,
f3 (x) := (3 − 2x)3 ,
f4 (x) := (3 + 2x)−3 ,
f5 (x) := 99 − 70x,
f6 (x) := (99 + 70x)−1
√
2 alle exakt den selben Wert haben.
√
(b) Berechnen Sie (mit Taschenrechner oder
√ Computer) Näherungen für fi ( 2) für
alle i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, indem Sie für 2 die Näherungen 1.4, 1.414 sowie einen
möglichst genauen Wert benutzen. Fertigen Sie eine Tabelle mit den Ergebnissen
an.
(c) Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse, gehen Sie dabei
√ auf den Zusam0
menhang zwischen den Abweichungen vom Soll-Wert und |fi ( 2)| ein.
Aufgaben 3 und 4 auf der Rückseite!
3. (10 Punkte)
(a) Geben Sie einen Algorithmus an, der für zwei beliebige ganze positive Zahlen a und
b mit a ≥ b den größten gemeinsamen Teiler von a und b bestimmt. Beweisen Sie,
dass der von Ihnen angegebe Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von a
und b liefert.
(b) Bestimmen Sie mit Hilfe von Teil a) den größten gemeinsamen Teiler von a1 = 910,
b1 = 462 und von a2 = 33411, b2 = 24087.
4. (10 Punkte) Seien b ∈ N, b ≥ 2, l ∈ N, N− , N+ ∈ Z mit N− ≤ N+ . Bestimmen Sie die
in Def. 2.13 definierte relative Maschinengenauigkeit, falls sie existiert. Zu bestimmen
ist also die kleinste positive Zahl ∈ fll (b, N− , N+ ) mit
1 +l 6= 1,
falls diese existiert. Dazu geben Sie die Formel für den Wert an und beweisen sie.
(2)
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