Teiler und Teilermengen

Mathematik
Teiler und Teilermengen
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Teiler und Teilermengen
Math 7
Math 8
Sortieren und Diagramme
Multiplikation / Division II
Grundoperationen in Q
Ordnungsübung mit Primzahlen
Faktorzerlegung und Teilbarkeit
Teiler, Teilbarkeitsregeln und
Primzahlen
S. 8 Nr. 8
S. 94-97
S. 98-105
LK S. 85-88
Teiler und Teilermengen
Teiler von 45:
5, 15, ...
Teilbar heisst, dass der Quotient ganzzahlig sein muss, ohne Rest und ohne Nachkommastellen. Wenn also
die Zahl A = 45 teilbar ist durch B = 5, dann sind B und der Quotient (9) Teiler von A.
Solche Übungen machen wir einige am Anfang (S. 94)
Teilbarkeitsregeln
Ziemlich bald wird man bei diesen Übungen die Frage stellen, ob es nicht Regeln gibt, mit denen man die
Teilbarkeit einer Zahl abklären kann. Diese Regeln sind in den Lehrmitteln aufgeführt, und zwar für die Teiler
2, 3, 4, 5, 9 (Math 7 S. 95 und Math 8 S. 99). Die Liste könnte allenfalls ergänzt werden für folgende Teiler:
6
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 wie auch durch 3 teilbar ist.
8
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die drei letzten Ziffern eine dreistellige Zahl bilden, die durch 8
teilbar ist.
10
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
11
8
Elferrest:
2 3 6 5 = 11 * 215
8
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Quersumme der Einer, Hunderter usw. gleich gross ist wie
die Quersumme der Zehner, Tausender usw.
12
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie sowohl durch 3 wie auch durch 4 teilbar ist.
Ermitteln der Teilermenge
Pröbeln, einfaches System
Alle Teiler von 45 = Teilermenge von 45 = T(45) = {1, 3, 5, 9, 15, 45}
Bei einfachen Zahlen können wir pröbeln oder ein wenig Systematik einbauen, indem wir von 1 an
beginnend abklären, ob es sich um einen Teiler handelt. Wenn ja, notieren wir das entsprechende
Zahlenpaar (den Teiler ganz links und den Quotienten ganz rechts) in die geschweifte Klammer. Irgendwann
treffen sich die Teilerreihe (von links) und die Quotientenreihe (von rechts).
T(45) = {1, 3, 5,
9, 15, 45}
Solche Übungen machen wir, bis es klappt. Wir können auch die Aufgaben S. 94 verwenden.
teiler.doc, 05.10.2005 6:17 , wh
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Flussdiagramm
Sobald die Zahlen grösser und
komplizierter werden, muss eine
bessere Möglichkeit gefunden werden.
Es drängt sich eine „Maschine“ auf, ein
klarer Ablauf, ein Flussdiagramm.
Start
INPUT 10 Zahl
Arbeitsspeicher
A
B
Q
G
A
Ein ähnliches Flussdiagramm finden wir
in Math 7 S. 95. Wo liegen die
Unterschiede?
20 B = 1
Listing:
30 Q = A/B
THEN
IF
B>Q
?
40
nein
50
Ende
ja
END
INT(Q)
G = ganzzahliger Aneil von Q
THEN
IF
60
Ist Q=G,
dh. A/B restlos
teilbar?
ja
LPRINT
Die Zahlen in
B und Q farbig
markieren
Teilergraphen
Eine Teilermenge können wir auch
graphisch ermitteln, vorausgesetzt sie
beinhaltet nicht mehr als 3 Primzahlen
(Math 8 S. 102-103):
nein
70 Bneu = Balt +1
80
GOTO
T ={
}
Teilergraph mit 1 Primzahl
Teilergraph mit 2 Primzahlen
Teilergraph mit 3 Primzahlen
TT27
TT45
TT60
1
1
1
Drahtmodell bauen als Hilfe
Der grösste gemeinsame Teiler (g.g.T.)
Wenn wir von mehreren Zahlen die Teilermenge ermitteln, können wir abklären, welches der g.g.T. ist. Er
spielt eine Rolle beim Kürzen von Bruchtermen. Der g.g.T. kann auch ermittelt werden, indem jede Zahl in
ihre Primfaktoren zerlegt und dann die gemeinsamen Primfaktoren multipliziert werden. Für den ersten
Einstieg ist der Weg über die Teilermenge der naheliegendere.
teiler.doc, 05.10.2005 6:17 , wh
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Prüfe folgenden Prozess (Euklid'scher Algorithmus)
Nimm zwei Zahlen. Bilde die Differenz. Nun hast du drei Zahlen,
streiche die grösste dieser Zahlen. Bilde von den bleibenden zwei
Zahlen wieder die Differenz und streiche von den wiederum
vorhandenen drei Zahlen die grösste. Führe das Verfahren solange
fort, bis du zwei gleiche Zahlen erhältst.
Zahl A
Zahl B
Vorschläge: 144/108, 81/729, 120/150, 112/144
Welches ist die Bedeutung der zuletzt doppelt vorkommenden Zahl?
Versuche aus diesen Elementen ein Flussdiagramm zu bauen (M8 S.
104) und setze es in ein lauffähiges Programm um. (BASIC, EXCEL)
Start
1. Zahl
2. Zahl
A
B
Ende
Bneu = Balt-A
A oder B
ist der g.g.T.
A>B
?
A=B
?
Aneu = A alt-B
A und B
notieren
Das kleinste gemeinschaftliche Vielfache (k.g.V.)
Ein gemeinschaftliches Vielfaches erhält man ganz einfach, indem man die Zahlen miteinander multipliziert.
Nur gibt das sehr bald sehr grosse Vielfache, die nicht zu gebrauchen sind. Eine Anwendung des k.g.V.
finden wir im Rechnen mit Bruchtermen: Der gemeinsame Nenner von Brüchen ist das k.g.V. ihrer Nenner.
Auch hier ein Flussdiagramm, mit dem wir ein k.g.V. müheloser finden können (Variante zu Math 8 S. 105):
1. Zahl
21
21
42
: 2. Zahl
: 14
geht nicht auf
geht auf
INPUT
10
INPUT
Start
A
A
B
Z
Listing:
Z=A
2. Zahl
20
B
30
A und B
ausdrucken
IF ... THEN
LPRINT
40
A teilbar
durch B
?
LPRINT
ja
A ist das k.g.V.
nein
GOTO
60
Wir bilden eine arithmetische Reihe mit der
grösseren Zahl als Inkrement und klären der
Reihe nach ab, ob die Glieder teilbar sind
durch die kleinere Zahl. Sobald dies der Fall
ist, haben wir das k.g.V. gefunden.
Richtig mühelos geht es aber nur dann, wenn wir dieses
Programm automatisieren:
1. Zahl
15
63
50
A=A+Z
teiler.doc, 05.10.2005 6:17 , wh
Ende END
10
INPUT "1. Zahl " ; A
15
Z=A
20
INPUT "2. Zahl " ; B
30
LPRINT A, B
40
IF A/B = INT(A/B) THEN LPRINT "k.g.V.= "; A : END
50
A = A+Z
60
GOTO 30
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Mathe-Magisches
Zahlenfreunde (TA Magazin 15/93)
„Alles ist Zahl“, liess der Mathematiker und Mystiker
Pythagoras (Bild, um 570 bis um 500 v. Chr.) seine Anhänger
wissen. Warum sollte das Wesen der Freundschaft von
diesem Leitsatz ausgenommen bleiben? Und so ver-kündete
der Meister eben, ein Freund sei „einer, der ein anderes Ich
ist - wie 220 und 284“.
Tatsächlich stehen diese beiden Zahlen in einer ganz besonderen Beziehung zueinander: Sie reproduzieren sich
gegenseitig Genauer: 220 wird restlos geteilt durch 1, 2, 4, 5,
10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 - mit der Summe 284; die Zahl
284 dagegen besitzt 1, 2, 4, 71, 142 als Teiler, die aufaddiert
wieder 220 ergeben.
220/284
1184/1210
2620/2924
5020/5564
6232/6368
10’744/10’856
12’285/14’595
17’296/18’416
63’020/76’084
66’928/66’992
67’095/71’145
69’615/87’633
79’750/88’730
Seit 1985 sind alle 1427 Zahlenfreunde
unterhalb von zehn Milliarden bekannt.
Zudem hat man in letzter Zeit einige
Freundespaare mit mehreren hundert
Stellen aufgespürt. Doch dieser Gigantismus konnte bis heute folgende Fragen
nicht klären:
• Lässt sich die Liste der Zahlenfreunde beliebig lang fortsetzen?
• Kann eine gerade Zahl mit einer ungeraden befreundet sein?
Hier die Liste aller Paare befreundeter Zahlen bis 100'000. Die sechs in der Liste aufgeführten ungeraden Zahlen haben eine gemeinsame Eigenschaft. Welche?
Universale Zahlenfänger (TA Magazin 3/94)
Es liegt in der Natur der Sache, dass niemand je eines der ominösen schwarzen Löcher zu Gesicht
bekommen wird. Denn ihre Gravitation ist derart gigantisch, dass selbst Licht verschluckt wird. Immerhin
verraten sich die Schwerkraftfallen durch eine heftige Reaktion ihrer Umgebung. Doch erst im November
1992 ist es mittels des Hubble-Teleskops* gelungen, entsprechende Materiestrudel zu fotografieren (siehe
Abbildung).
Vor ein paar Jahren wurde von verschiedenen Seiten bemerkt, dass es auch im Zahlenkosmos schwarze
Löcher gibt.
Zur Illustration betrachte man die Teiler von 21, also 1, 3, 7, 21. Die Summe der dadurch entstehenden
Ziffern beläuft sich auf 14. Diese neue Zahl besitzt die Teiler 1, 2, 7, 14. Abermalige Addition der Ziffern führt
schliesslich zu 15.
Dies ist keineswegs blosser Zufall! Denn der kürzlich verstorbene US-Mathematiker Samuel Yates hat 1989
entdeckt, dass durch den beschriebenen Prozess jede noch so grosse Zahl früher oder später bei 15
hängenbleibt.
Der Euklid’sche Algorithmus - eine Exkursion ins griechische Altertum
Gegeben sind zwei Zahlen.
grössere Zahl
: kleinere Zahl = Rest 1
kleinere Zahl
: Rest 1
= Rest 2
Rest 1
: Rest 2
= Rest 3
Rest (n-2)
: Rest (n-1)
= Rest n
teiler.doc, 05.10.2005 6:17 , wh
Wenn der Rest n = 0 ist, ist der Rest (n-1) der g.g.T. der
beiden ursprünglichen Zahlen.
Vielleicht kannst Du auch hier ein Flussdiagramm zeichnen
und dieses in ein lauffähiges Programm umsetzen, wobei
auch dies eher für Fans ist.