GRUNDWISSEN SCHULMATHEMATIK ¨UBUNGSBLATT NR. 3

Privatdozent Dr. C. Diem
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GRUNDWISSEN SCHULMATHEMATIK
ÜBUNGSBLATT NR. 3
Jede Aufgabe hat 4 Punkte.
Aufgabe 1 Für (natürliche) Zahlen m, n definieren wir die Potenz mn induktiv mittels
m1 := m ,
mn := mn · m
−
für n > 1 .
Seien nun a, b, c (natürliche) Zahlen. Zeigen Sie:
abc = (ab )c
Hinweis. Sicher ist es eine gute Idee, den Beweis per Induktion zu führen. Und bei Aussagen über Potenzen ist es immer sinnvoll, Induktion über den Exponenten zu machen.
Was sollte man dann hier als Induktionsvariable wählen?
Ihr Beweis sollte möglichst vollständig sein, d.h. Sie sollten nur die Definition benutzen.
Wenn Sie ein Ergebnis der Übungsgruppen benutzen, so geben Sie hiervon bitte auch
einen Beweis an.
Aufgabe 2 Seien a, b, c (natürliche) Zahlen. Zeigen Sie:
a) Wenn c ein Teiler von a ist, ist c auch ein Teiler von ab, und es gilt (ab)/c = (a/c) · b.
b) Die Zahl bc ist genau dann ein Teiler von a, wenn die Zahl b die Zahl a teilt und die
Zahl c die Zahl a/b teilt. Wenn dies erfüllt ist, gilt a/(bc) = (a/b)/c.
c) Wenn b ein Teiler von a ist, ist bc ein Teiler von ac, und es gilt a/b = (ac)/(bc).
Hinweis. Die Aussagen sehen alle “sowieso offensichtlich” aus. Versuchen Sie, bei Ihren
Beweisen wirklich nur das zu verwenden, was wir in der Vorlesung gemacht haben.
Aufgabe 3
a) Zeigen Sie mittels einer Wahrheitstabelle, dass für alle Aussagen A, B, C die Aussagen
A ∨ (B ∧ C) und (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) äquivalent sind.
b) Sei nun M eine Menge und seien X, Y, Z Teilmengen von M . Zeigen Sie:
X ∪ (Y ∩ Z) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z)
Abgabe.
In der Vorlesung am 3.11. oder bis dahin in meinem Briefkasten.