Befreundete, vollkommene und Fermat

WS 2006/07
Aufgabenblatt 4
Elementare Zahlentheorie (C. Mohr)
Befreundete, vollkommene und
Fermat-Zahlen
Hinweis zu den Aufgaben 25 und 26:
Auf http://www.mohr.lehrer.belwue.de/cgi-bin/teiler können Sie die Teiler einer natürlichen Zahl ermitteln und damit prüfen, ob sie prim ist.
24. Seien n, m ∈ N und σ die Teilersummenfunktion auf N. Zeigen Sie:
n, m sind befreundet ⇔ σ(n) = σ(m) = n + m.
25. Zeigen Sie, dass es sich bei (1184; 1210) und (6232; 6368) um Paare befreundeter
Zahlen handelt.
26. Der Satz von Thabit ibn Qurrah (836–901, arabischer Mathematiker) lautet:
Für eine feste natürliche Zahl n sei x = 3·2n −1, y = 3·2n−1 −1 und z = 9·22n−1 −1.
Wenn x, y und z Primzahlen größer als 2 sind, dann sind die beiden Zahlen a = 2n xy
und b = 2n z befreundet.
a) Beweisen Sie diesen Satz, indem Sie die Teilersummenfunktion von a und b
berechnen.
b) Untersuchen Sie, ob dieser Satz für n = 1, 2, . . . 7 Paare befreundeter Zahlen
liefert.
27. Der Satz von Walter Borho (Professor in Wuppertal) lautet:
Seien A und B befreundete Zahlen mit A = au und B = as, wobei s eine Primzahl
ist, und sei weiter p = u + s + 1 eine Primzahl und p kein Teiler von a.
Dann gilt: Sind für eine feste natürliche Zahl n q1 = (u + 1)pn − 1 und q2 =
(u + 1)(s + 1)pn − 1 beide prim, dann sind A1 = Apn q1 und B1 = apn q2 befreundete
Zahlen.
Untersuchen Sie, ob dieser Satz, ausgehend von dem Paar befreundeter Zahlen
(220, 284), für n ∈ {1, 2} weitere Paare befreundeter Zahlen liefert.
28. Beweisen Sie:
Die Summe der reziproken Teiler einer vollkommenen Zahl n ergibt 2:
n vollkommen ⇒
X1
k|n
k
=2
29. Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
n
Für Fermat-Zahlen Fn = 22 + 1, n ∈ N0 , gilt folgende Rekursionsformel:
Fn = F0 F1 . . . Fn−1 + 2.
Anleitung: Gehen Sie zur Durchführung des Induktionsschlusses von der Rekursion
für n aus und konstruieren Sie durch Äquivalenzumformungen die rechte Seite der
Rekursion für n + 1. Weisen Sie dann nach, dass auf der linken Seite der Gleichung
Fn+1 steht.