Arbeitsblatt 3 ¨Ubungen zu Mathematik I für das Lehramt an der

7. November 2006
Arbeitsblatt 3
Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
H.Strade, B. Werner
7.11.06
WiSe 06/07
Präsenzaufgaben:
1) Schreiben Sie die folgenden Sätze möglichst kurz mit Hilfe der beiden Quantoren“ ∀, ∃:
”
• Erhebt man eine negative Zahl zur 4. Potenz, so erhält man eine positive Zahl.
• Es gibt einen Nachfolger einer 2er Potenz1 mit einer 2er-Potenz als Exponenten, der keine
Primzahl ist.
2) Nun übersetzen Sie die folgenden Aussagen ins Deutsche“:
”
• ∀ n ∈ IN :
• ∃n ∈ IN :
∃k ∈ IN : 1 + 3 + · · · + (2n + 1) = k 2
∀k ∈ IN : n 6= k 2
3) Füllen Sie die Abb. 1 aus.
4) Geben Sie einige Elemente der folgenden Menge an:
M := {n ∈ IN : die Quersumme von n ist 3 oder 7}.
5) Drücken Sie die Aussage A ⊂ B“ unter alleiniger Verwendung von ∩ und = aus.
”
6) Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
•
IN ∪ Q = IR
,
IN ∩ ZZ = IN
,
IN ∈ P ot IN
,
IN ⊂ P ot IN
.
{2} ⊂ B
.
• Sei A := {2, 5, a} und B := A ∪ {{2}}. Dann gilt
a∈A
,
a⊂A
,
{2, a} ⊂ A
• Sei A := {1, 2, 3}.
1
Der Nachfolger einer Zahl n ist n + 1.
1
,
{2} ∈ B
,
Abbildung 1: Mengenpuzzle
(a) 1 ∈ A
(b) 1 ⊂ A
(c) {1} ⊂ A
(d) {1} ∈
/A
(e) {1, 2, 3} ⊂ A
(f) {1, 2} ∈ A ∪ {{1, 2}}
(g) A ∩ {2, 3} = {2, 3}
(h) A \ {1, 2} = 3
• p = 25 =⇒ 5
• 2n − 1 ist Primzahl ⇐⇒ n ist Primzahl.
• 6 · 7 =⇒ 42.
• Ist n ∈ ZZ, so gilt n2 = 25 ⇐⇒ n = 5.
• 7 = Primzahl.
• 27 hat 7 Teiler.
• Für alle reellen Zahlen x und y gilt (x + y)2 := x2 + y 2 + 2xy.
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Abbildung 2:
Übungsaufgaben: (Abgabe 14.11.06 in den Übungen)
Aufgabe 9:
Zu einer natürlichen Zahl n definiert man die Eulersche Funktion ϕ(n) als die Anzahl der
zu n teilerfremden Zahlen ≤ n (inklusive der Eins!). So ist z.B. ϕ(7) = 6, ϕ(8) = 4.
(a) Sei Mn die Menge aller zu n teilerfremden natürlichen Zahlen ≤ n. Geben Sie Mn für
n = 9, 10, 11, 12, 13 jeweils durch eine vollständige Auflistung an.
(b) Berechnen Sie ϕ(n) für n = 9, 10, 11, 12, 13.
(c) Zeigen Sie: Für alle Primzahlen p gilt ϕ(p) = p − 1.
(d) Unter Verwendung der Quantoren ∀ und ∃ sowie der Mengensymbole schreibe man die
folgende Aussage (Der kleine Satz von Fermat) in möglichst knapper Form:
Wenn man irgend eine natürliche Zahl m zur Potenz mϕ(m) erhebt und diese durch irgendeine natürliche Zahl n dividiert, so erhält man stets den Rest eins, sofern ggT (m, n) = 1.
(e) Diese Aussage ist übrigens falsch, wenn man die Voraussetzung ggT (m, n) = 1 weglässt.
Finden Sie zwei solche Ausnahmezahlen m und n, für die der obige Satz falsch ist.
Aufgabe 10:
Seit 1975 gibt es in Berlin eine sogenannte Mengenlehre-Uhr“, s. Abb. 2, die allerdings nicht
”
sehr viel mit Mengenlehre zu tun hat. Wohl aber mit Zahlensystemen (Hinweis: 5er-System).
Sie können sich gerne im Internet informieren.
(a) Wieviel Uhr ist es, wenn nur die Rechtecke in der ersten oder nur in der zweiten oder
nur in der dritten oder nur in der vierten Zeile erleuchtet sind? (Anzugeben sind nur vier
verschiedene Zeiten!)
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(b) Finden Sie (mit Begründung2 !!) heraus, wieviel Uhr es in unserer Abbildung ist. Es ist
wichtig zu wissen, dass es die drei Farben gelb, rot und schwarz gibt. Bei SW-Ausdrucken
kann man rot und schwarz kaum unterscheiden – rot ist etwas heller als schwarz. In der
Realität sind die schwarzen Kästchen dunkel, während die roten und gelben leuchten.
(c) Machen Sie eine farbige Zeichnung für den Fall, dass es 19:17 Uhr ist.
Aufgabe 11:
Im Skript (und Vorlesung) wird (wurde) gezeigt, dass 2n − 1 keine Primzahl ist, wenn n keine
Primzahl ist. Lesen Sie den Beweis durch und beantworten Sie die folgenden Fragen:
(a) Welches Potenzregel wurde benutzt?
(b) Die Zahl n := 34 ist zusammengesetzt. Welche beiden echten“ Teiler hat 2n − 1?
”
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(c) Wieso teilt q − 1 für jede natürliche Zahl q > 1 stets q − 1?
Aufgabe 12:
Geben Sie von den folgenden Mengen jeweils drei verschiedene Elemente an:
(a) M := {n ∈ IN : n mod 6 = 2}.
(b) M := {x ∈ IR : x3 + x2 − x = 0}.
(c) M := {{x, y} : (x, y ∈ IN) ∧ (∃z ∈ IN : x2 + y 2 = z 2 )}.
(d) M := {m ∈ IN : ∃ Primzahl p : m = 2p − 1 ist Primzahl}
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Sie sollen also hier erklären, nach welchem Schema man die Uhr abliest.
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