GRUNDWISSEN SCHULMATHEMATIK ¨UBUNGSBLATT NR. 2

Privatdozent Dr. C. Diem
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GRUNDWISSEN SCHULMATHEMATIK
ÜBUNGSBLATT NR. 2
Jede Aufgabe hat 4 Punkte.
Aufgabe 1 Bei dieser Aufgabe bedeutet (wie in der Vorlesung) “Zahl” dasselbe wie
“natürliche Zahl”.
In der Vorlesung haben wir die Summe von zwei Zahlen m und n wie folgt induktiv
definiert: Für eine feste Zahl m definieren wir:
• Wir setzen m + 1 := m′ .
• Für n > 1 setzen wir m + n := (m + n− )′ .
Es gibt noch eine andere naheliegende Definition der Summe, die gleich folgt. In dieser
Aufgabe sollen Sie zeigen, dass es egal ist, welche Definition man benutzt. Da wir a priori
nicht wissen, dass die beiden Definitionen dasselbe ergeben, benutzen wir für die zweite
Operation das Symbol ⊕.
Wir definieren nun für eine feste Zahl m:
• Wir setzen m ⊕ 1 := m′ .
• Für n > 1 setzen wir m ⊕ n := m′ ⊕ n− .
Zeigen Sie, dass stets m ⊕ n = m + n ist.
Sie können hierbei alle Ergebnisse aus Abschnitt I.3 der Vorlesung voraussetzen, aber
nicht mehr.
Bei den folgenden Aufgaben können Sie die üblichen Rechenregeln für rationale Zahlen
vorausetzen.
Aufgabe 2
a) Es seien a und b natürliche Zahlen. Wir definieren wie folgt induktiv eine Folge
a1 , a2 , a3 , . . .
a1 := 1 , an := a · an−1 + b für n ≥ 2
Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt an > an−1 .
b) 2n > n2 für n ≥ 5.
Hinweis. Bei Teil b) nicht verzweifeln, wenn Sie zuerst nicht weiterkommen! Vielleicht
hilft auch, was Sie über quadratische Funktionen in der Schule gelernt haben. (Sie dürfen
zur Not auch reelle Zahlen benutzen.)
Aufgabe 3 Wir definieren wie folgt eine Folge a1 , a2 , a3 , . . .
a1 := 1 , a2 := 1 , a3 := 1 ,
an := an−1 + an−2 + an−3
für n ≥ 4 .
Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen n gilt
an ≥ 3⌊
n−1
⌋
3
.
Hier ist für eine rationale Zahl q die Zahl ⌊q⌋ die größte ganze Zahl, welche ≤ q ist.
Beispielsweise ist ⌊2, 9⌋ = 2.
Harte Nuss (Zusatz)
Sei a eine natürliche Zahl. Wir definieren eine Folge a1 , a2 , . . . wie folgt:
a1 := a
,
an := 3 · an−1 − 2a + 1 für n ≥ 2
Zeigen Sie:
a) Für alle natürlichen Zahlen n gilt an+1 > an .
b) Für n = a + 1 gilt an ≥ 2a.
c) Für n ≥ a + 1 gilt an ≥ 2n−a · a.
Abgabe.
In der Vorlesung am 27.10. oder bis dahin in meinem Briefkasten.