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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Berechnung von Wechselstromkreisen
komplexe Spannung
u t   U0  e jt
517
Ohm’sches Gesetz
für
Wechselstromkreise
komplexe Stromstärke
  
u  Z i
i  t   I0  e j t 
komplexer Widerstand (Impedanz)

Z  Z0  e j  R  jX
737
738
739
Ohm’scher
Widerstand im
Wechselstromkreis
Induktiver
Widerstand im
Wechselstromkreis
Kapazitiver
Widerstand im
Wechselstromkreis
R
U
I
Der Ohm’sche Widerstand R im Wechselstromkreis ist unabhängig von der Frequenz
XL   L  j  2f  L
XC 
1
1
 j
 C
2f  C
Eine ideale Spule (R=0) stellt einen rein induktiven Blindwiderstand X dar.
Während eine Spule im Gleichstromkreis wie ein Kurzschluss wirkt,
speichert und entlädt sie im Wechselstromkreis elektrische Energie ohne
dabei Wirkleistung zu erbringen. Strom und Spannung sind um 90°
phasenverschoben, wobei der Strom der Spannung nacheilt. Die
Selbstinduktion der Spule verzögert nämlich den Stromfluss.
Der induktive Widerstand X einer Spule im Wechselstromkreis hängt ab
von der Bauform der Spule (L) und von der Frequenz f des Wechselstroms.
Ein idealer Kondensator (R=0) stellt einen rein kapazitiven
Blindwiderstand X dar. Während ein Kondensator im Gleichstromkreis
wie eine Leitungsunterbrechung wirkt, lässt er im Wechselstromkreis
einen reinen Blindstrom durch, da er sich periodisch lädt und entlädt.
Strom und Spannung sind um 90° phasenverschoben, wobei der Strom
der Spannung vorauseilt. Da sich die Spannung am stärksten in ihrem
Nulldurchgang ändert, hat zeitgleich der Strom sein Maximum.
Der kapazitive Widerstand X eines Kondensators im Wechselstromkreis
hängt ab von der Bauform des Kondensators und von der Frequenz des
Wechselstroms.
742
Frequenz im
Wechselstromkreis
743
Kreisfrequenz im
Wechselstromkreis
744
Reihen- /
Serienschaltung
von Widerständen
im
Wechselstromkreis
f
1
T
  2  f
f … Frequenz
T … Schwingungsdauer oder Periodendauer
 … Kreisfrequenz
R Serie  R1  R2
745
Parallelschaltung
von Widerständen
im
Wechselstromkreis
L Serie  L1  L 2
C Serie 
C1  C2
C1  C2
ZSerie  Z1  Z2
R12 
R1  R2
R1  R2
L12 
L1  L 2
L1  L 2
C12  C1  C2
Z12 
Z1  Z2
Z1  Z2
Z2
Z1  Z2
748
Stromteiler im
Wechselstromkreis
I1  I 
749
Spannungsteiler im
Wechselstromkreis
U1  U 
Z1
Z1  Z2
Stand vom: 04.06.2016
Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com
Der Strom im betrachteten Zweig ergibt sich aus dem Gesamtstrom
mal Widerstand des nicht benützten Paralellzweigs dividiert durch
die Summe aller Widerstände
Der Spannungsabfall am betrachteten Widerstand ergibt sich aus
der Gesamtspannung mal betrachtetem Widerstand dividiert durch
die Summe aller Widerstände
Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch.
Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Berechnung von Wechselstromkreisen
Strom und Spannung als sich zeitlich ändernde
Momentanwerte:
i  t   i  sin  t   
i
746
u  t   u  sin  t  u 
Wechselstrom
Strom und Spannung in komplexer Zeigerdarstellung:
i  t   i   cos  t  i   j  sin  t  i    i  e j ti 
Haben in einem Leiter Strom und Spannung
einen sinusförmigen Verlauf mit der gleichen
Periodenlänge, dann spricht man von
Wechselstrom.
u  t   u  cos  t  u   j  sin  t  u    u  e j tu 
Ohm’scher Widerstand:
Strom und Spannung sind in Phase
u
i
R
u
ZR   R
i
Ue  Re  Ie
Induktiver Widerstand:
Strom eilt der Spannung nach
Die Spannung ist proportional zur Änderung
der Stromstärke
u di  j ti 
  i e
 j  i  j
L dt
j0
747
Phasenlage von
Strom und
Spannung im
Wechselstromkreis
ZL  XL 
j0
j0

j
u
 j L  L  e 2  L  e 90
i
Ue j0  Le j  Ie  j
Kapazitiver Widerstand:
Strom eilt der Spannung vor
Die Stromstärke ist proportional zur
Änderung der Spannung
i du  j tU 

 ue
 j  u  j 
C dt
ZC  X C 
Ue j0 
750
751
Scheitelwert einer
Wechselspannung
Effektivwert einer
Wechselspannung
u
1
1
1  j 2

 j

 e  L  e 90
i jC
C C
u  U  2 ;
i  I  2
U
u
;
2
I
i
;
2
i  t   I  2  cos  t  i 
Scheitelfaktor
Die Phasenverschiebung wird als Winkel angegeben,
wobei einer vollen Periode der Winkel von 360° bzw. 2
entspricht.
Eine ideale Spule (R=0) bewirkt, dass die Spannung

dem Strom um  90 voreilt. Der komplexe
2
Widerstand XL wird auf der positiven imaginären Achse
aufgetragen.
Ein idealer Kondensator (R=0) bewirkt dass die

Spannung dem Strom um   90 nacheilt. Der
2
komplexe Widerstand XC wird auf der negativen
imaginären Achse aufgetragen.
1  j j
e  Ie
C
u  t   U  2  cos  t  u 
752
Unter der Phasenlage versteht man die
unterschiedlichen Zeitpunkte der Nulldurchgänge von
2 Sinusschwingungen (Strom u. Spannung), obwohl sie
die gleiche Frequenz (50 Hz) haben.
fs 
i
I
Stand vom: 04.06.2016
Die jeweils aktuellste Version findet sich auf: maths2mind.com
Im Wechselstromkreis nehmen die elektrischen Größen innerhalb
einer Periode (bei 50 Hz dauert eine Periode 20 msec) jeden Wert
 i sowie zwischen
zwischen Null und dem positiven Scheitelwert u,
Null und den negativen Scheitelwert an. Der Scheitelwert ist somit
der Maximalwert während einer Halbperiode.
Unter dem Effektivwert U, I einer Wechselspannung bzw.
Wechselstroms versteht man das Äquivalent jener Gleichspannung
bzw. jenes Gleichstroms, die/der am gleichen ohm’schen
Widerstand die gleiche Leistung umsetzt.
Der Effektivwert ist im Wechselstromkreis um den Faktor
2  1,4142 kleiner als die Amplitude der sinusförmigen
Wechselgröße.
Das Verhältnis vom Scheitelwert zum Effektivwert wird als
Scheitelfaktor bezeichnet und beträgt bei Wechselstrom
2  1,4142
Für dieses Werk nehmen wir u.a. §40f und §6 UrhG in Anspruch.
Es darf unentgeltlich weitergegeben, jedoch nicht verändert werden.
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Grundlagen der Elektrotechnik
Kapitel: Berechnung von Wechselstromkreisen
753
Zusammenhang
Effektivwert und
Scheitelwert im
Wechselstromkreis
754
Zusammenhang
Nennspannung und
Effektivwert im
Wechselstromkreis
755
Effektivwert bei
Überlagerung von
mehreren
sinusförmigen
Schwingungen
756
757
758
759
760
u
2
Effektivwert: Ueff  U; Ieff  I
 i
Scheitelwert: u,
i
Ieff 
2
Im Wechselstromkreis ist die Nennspannung gleich der
Effektivspannung, z.B. 230V.
UN  U
2
Oberschwingungs
gehalt
762
Serien
ersatzschaltung bei
gegebenem Strom,
Spannung und
Phasenwinkel im
Wechselstromkreis
Parallel
ersatzschaltung bei
gegebenem Strom,
Spannung und
Phasenwinkel im
Wechselstromkreis
2
n
 Uk 2 
U  U12  U2 2  ...  Uk 2 
k 0
1
T
I
U
i
2
2
2
 u k 

 

k 0  2 
n
 u
2
2
t T
1
T
 i  t  dt
2
t
t T
 u  t  dt
2
t
1
i 
T
tT

1
i 
T
i dt
t
1
u 
T
Gleichrichtwert von
Wechselstrom
größen
Klirrfaktor einer
Teilschwingung
n
2
Arithmetischer
Mittelwert von
Wechselstrom
größen
Grundschwingungs
gehalt von
Wechselstrom
größen
2
 ik 
I  I  I2  ...  Ik   Ik   
 

k 0
k 0  2 
n
2
1
Effektivwert bei
beliebiger
Kurvenform
761
763
Ueff 
tT
 u dt
t
tT
1
u 
T

i dt
t
tT

u dt
t
I
I1
gI  1 
I
I12  I22  ...  Ik 2
gU 
U1
U1

U
U12  U22  ...  Uk 2
kn 
In
In

I
I12  I22  ...  In2
kn 
Un
Un

U
U12  U22  ...  Un2
k I  1 gi2
k U  1 gU2
Der Oberschwingungsgehalt ist der
Klirrfaktor sämtlicher
Oberschwingungen
U,I, Z
U
RSerie   cos Z
I
U
XSerie   sin Z
I
U,I, Z
R 
U
I  cos Z
X 
U
I  sin Z
Stand vom: 04.06.2016
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