Tutoriumsblatt 14 zu Mathematik III für Physiker

Mathematisches Institut der Universität München
26.01.15
Tutoriumsblatt 14 zu Mathematik III für Physiker
Aufgabe 1. Kompaktheit
a) Es sei f : Rn ! Rm stetig. Zeige, dass f auf jeder Kugel K Rn beschränkt ist.
b) Es sei (xn)n2N R eine beschränkte Folge und A := fxn: n 2 Ng [ flim sup xn ; lim inf xn g.
Ist A R kompakt?
Bemerkung: Vergleiche mit Blatt 2 Aufgabe 110.
Aufgabe 2. Es sei X ein normierter Vektorraum. Zeige, dass jede lineare Abbildung T : Rn ! X
stetig ist.
Aufgabe 3. Auf C 1([0; 1]; R) := ff : [0; 1] ! R: f und f 0 sind stetigg deniere die Normen
kf k1 := kf k1 + kf 0k1 = max ff (x): x 2 [0; 1]g + max ff 0(x): x 2 [0; 1]g;
kf k2 := jf (0)j + kf 0k1:
Zeige, dass beide Normen äquivalent sind.
Hinweis: Mittelwertsatz.
Aufgabe 4. Es sei F : (0; 1) ! R eine dierenzierbare Funktion. Deniere
g: Rn nf0g ! R; g(x) := F (kxk2):
Zeige, dass g auf ihrem Denitionsbereich dierenzierbar ist und berechne ihre Ableitung.
Aufgabe 5. Es sei (X ; A; ) ein Maÿraum.
^ zeige, dass die folgenden Mengen meÿbar sind:
a) Für die meÿbaren Funktionen f ; g: X ! R
fx 2 X: f (x) < g(x)g; fx 2 X: f (x) = g(x)g; fx 2 X: f (x) 6 g(x)g:
^ . Zeige, dass die Menge
b) Es sei (fn)n2N eine Folge meÿbarer Funktionen fn: X ! R
n
o
x 2 X: es existiert der Limes lim fn(x) (endlich oder unendlich)
n!1
meÿbar ist.
Aufgabe 6. Es sei f : [0; 1] ! R integrierbar und für n 2 N sei gn(x) = (1 ¡ xn) f (x), x 2 [0; 1].
R 1
Zeige, dass jedes gn integrierbar auf [0; 1] ist und berechne limn!1 0 gn d.
Aufgabe 7. Gauÿintegral
Zeige
Z
1
p
2
e¡x dx = :
¡1
1
Dafür
a) Betrachte die Polarkoordinaten : (0; 1) (0; 2 ) ! R2, (r; ') = (r cos '; r sin '). Ist injektiv? Was ist ihr Bild ((0; 1) (0; 2 ))?
b) Beweise mithilfe des Transformationssatzes für den C 1-Dieomorphismus aus (a) und des
Satzes von Tonelli
Z
2
2
e¡x ¡y d2 x = :
R2
c) Zeige mithilfe des Satzes von Tonelli die Gleichheit
Z
R
2
e¡x dx
Z
R
Z
2
e¡y d y =
R2
2
2¡ y2
e¡x
d2 x:
Lösungsskizze
Zu 1.
a) Der Abschluss der Kugel K ist nach Bolzano-Weierstraÿ kompakt und daher ist f(K) Rm
auch kompakt. Wieder nach Bolzano-Weierstraÿ ist f (K) f (K) beschränkt.
b) Nein. Dafür müsste jede Cauchy-Folge in A auch in A konvergieren. Nimm eine Folge, die
auÿer limsup und liminf einen anderen Häufungspunk hat (der selbt kein Element der Folge
ist). Z.B. sei (xn) gegeben durch
1; ¡1; 1/2; 1; ¡1; 1/3; 1; ¡1; 1/4; :::
Diese Folge hat drei Häufungspunkte: 1 = lim sup xn ; ¡1 = lim inf xn und 0. Die Menge
A = f1; ¡1g [ f1/ n: n 2 Ng enthält die Cauchy-Folge (1 /n)n2N, die gegen 0 2
/ A konvergiert.
Damit ist A nicht kompakt.
Zu 2. Es sei fei gni=1 die Standardbasis von Rn. Für v =
Pn
i=1
i ei 2 Rn ist
n
n
X
X
kTvk = i Tei 6
ji j kTei k:
M¡Ungl:
i=1
i=1
Sei M = maxi fkTei kg. Dann ist
kTvk 6 M
n
X
i=1
ji j = M kv k1:
T ist also stetig bzgl. der 1-Norm auf Rn. Da alle Normen auf Rn äquivalent sind, ist T bzgl. jeder
Norm auf Rn stetig.
Zu 3. Dass kf k2 6 kf k1 ist, ist klar.
Für die andere Ungleichung: Hat f bei 0 ein Maximum, so ist kf k1 = jf(0)j. Ansonsten sei x 2 (0; 1]
mit jf (x)j = kf k1. Nach dem Mittelwertsatz gilt
f (x) ¡ f (0) = f 0(c) x
für ein c 2 (0; x). Also kf k1 = jf (x)j 6 jf 0(c) xj + jf (0)j 6 jf (0)j + kf 0k1. In beiden Fällen gilt
kf k1 6 2 kf k2:
Zu 4. Es sei f : Rn nf0g ! (0; 1), f(x) := kxk2. Dann ist f dierenzierbar auf ihrem Denitionsbex
reich (auÿerhalb von 0) mit Df = (@1 f ; :::; @n f )(x) = kxk . Nach der Kettenregel ist auch g = F f
2
dierenzierbar und es gilt
Dg(x) = DF (f (x)) Df (x) = F 0(kxk2)
x
:
kxk2
Zu 5.
a) fx 2 X: f (x) < g(x)g =
S
r 2Q
(fx 2 X: f (x) < rg \ fx 2 X: g(x) > rg) 2 A,
fx 2 X: f (x) = g(x)g = X n(fx 2 X: f (x) < g(x)g [ fx 2 X: g(x) < f (x)g) 2 A,
fx 2 X: f (x) 6 g(x)g = fx 2 X: f(x) < g(x)g [ fx 2 X: f(x) = g(x)g 2 A.
3
b)
n
x 2 X: es existiert der Limes lim fn(x) = x 2 X: liminf fn(x) = limsup fn(x) :
o
n!1
n!1
n!1
Man benuzte hier a.ii) für die meÿbaren Funktionen lim infn!1 fn und lim supn!1 fn.
Zu 6. Es folgt aus dem Satz der majorisierten Konvergenz. Wir überprüfen die Annahmen:
i. gn ist meÿbar: im Allgemeinen gilt, dass die Komposition meÿbarer Funktionen meÿbar
ist (zeige!). gn ist Komposition aus Fn: R ! R2, Fn(x) = (1 ¡ xn ; f (x)) und das Produkt :
R2 ! R, (x; y) = x y. Die Funktion x 7! 1 ¡ xn ist stetig, also meÿbar, f ist meÿbar, und
somit ist Fn meÿbar. Das Produkt ist stetig und daher auch meÿbar.
ii. jgn j 6 jf j für jedes n, und f ist integrierbar. (Wegen der Monotonie des Integrals ist jedes
gn auch integrierbar).
iii. gn(x) ! f(x) für x 2 [0; 1) und gn(x) ! 0 für x = 1, also gn ! f f.ü. in [0; 1].
Zu 7.
a) ist injektiv: (r1 cos '1; r1 sin '1) = (r2 cos '2; r2 sin '2) impliziert
r1 = k(r1 cos '1; r1 sin '1)k = k(r2 cos '2; r2 sin '2)k = r2:
Weiter
cos '1 = cos '2
() '1 = '2 + 2 k ; k 2 N;
sin '1 = sin '2
aber da '1; '2 2 (0; 2 ) gilt '1 = '2.
ist nicht surjektiv: Das Bild ist R2nf(x; 0): x > 0g.
b) Nach dem Transformationssatz für die Polarkoordinaten ist
Z
R2
e
¡x2 ¡ y 2
d x=
2
Z
2
e¡r r d2(r; '):
(0;1)(0;2)
Nach Tonelli (die Funktion ist positiv) gilt
Z
2
e¡r r d2(r; ') =
(0;1)(0;2)
Z
1
0
Z
2
2
e¡r r d ' dr = 2 0
Z
1
2
e¡r r dr:
0
Vergisst nicht, den Satz der monotonen/majoranten Konvergenz anzuwenden um Integrale
auf nicht kompakten Intervalen zu berechnen (der Hauptsatz gilt nur auf kompakten Intervalen). Hier:
Z
1
0
e
¡r2
r dr
=
lim
Z
monot. Konv.n!1 0
n
e
¡r 2
c) Direkte Anwendung des Satzes von Tonelli.
4
"
e¡r
r dr =
lim ¡
Hauptsatzn!1
2
2
#r=n
r=0
1
= :
2