4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen
Definition 4.1. Es seien V , W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt
linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v ∈ V und λ ∈ K gilt
L1
f (u + v) = f (u) + f (v),
L2
f (λu) = λf (u).
Beispiel 4.2.
Satz 4.3. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Lin(V, W )
bezeichnet und ist ein Untervektorraum des Vektorraums X = Abb(V, W ) aller Abbildungen von V nach W .
Beweis.
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4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Satz 4.4. (i) Sind f : V → W und g : W → Z lineare Abbildungen, so ist auch die
Verkettung f ◦ g : V → Z (mit (f ◦ g)(v) = f (g(v))) eine lineare Abbildung.
(ii) Ist f : V → W eine lineare Abbildung und besitzt f eine Umkehrfunktion f −1 , so
ist auch die Umkehrfunktion linear.
Satz 4.5. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und U ein Untervektorraum
von V . Die orthogonale Projektion PU : V → U aus 3.15 ist linear.
Definition 4.6. Es sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist
Im(f ) = f (V ) = {f (v) | v ∈ V }
das Bild von f , und
Ker(f ) = {v ∈ V | f (v) = 0}
der Kern von f .
Beispiel 4.7.
Satz 4.8. Ist f : V → W eine lineare Abbildung, so ist Im(f ) ein Untervektorraum
von W , und Ker(f ) ein Untervektorraum von V .
Beweis.
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4.2 Isomorphismen
4.2 Isomorphismen
Definition 4.9. Besitzt f : V → W eine Umkehrfunktion f −1 : W → V , so heißt f
Isomorphismus. Die Vektorräume V , W heißen zueinander isomorph, falls es einen Isomorphismus f : V → W gibt.
Beispiel 4.10.
Satz 4.11. Ist V ein Vektorraum mit der Basis B = {b1 , b2 , . . . , bn }, so kann man eine
lineare Abbildung f definieren, indem man die Bilder der Basisvektoren festlegt. D.h. für
f : V → W wählt man w1 , w2 , . . . , wn ∈ W , und setzt f (bi ) = wi . Dann ist f definiert
durch
!
n
n
n
X
X
X
f (v) = f
λ i bi =
λi f (bi ) =
λi wi .
i=1
i=1
i=1
Beispiel 4.12.
Satz 4.13. Es seien V , W K-Vektorräume, und f : V → W sei eine lineare Abbildung.
(i) Schränkt man den Bildbereich von f auf f (V ) ein, so ist die Abbildung f˜ : V →
f (V ) mit f˜(v) = f (v) invertierbar, genau dann, wenn Ker(f ) = {0}.
(ii) Es sei B = {b1 , b2 , . . . , bn } eine Basis von V . f ist ein Isomorphismus, genau dann
wenn die Menge {f (b1 ), f (b2 ), . . . , f (bn )} eine Basis von W ist.
(iii) Gilt Dim(V ) = Dim(W ), so ist f invertierbar, genau dann wenn Ker(f ) = {0}.
(iv) Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so gilt
Dim(V ) = Dim(Im(f )) + Dim(Ker(f )).
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Satz 4.14. Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Dann ist V isomorph zum
Vektorraum K n .
Beweis.
4.3 Matrizen
Es sei V ein Vektorraum mit der geordneten Basis B = (b1 , b2 , . . . , bn ), W sei ein Vektorraum mit der geordneten Basis C = (c1 , c2 , . . . , cm ), und f : V → W sei eine lineare
Abbildung. Denkt man an Satz 4.11, so ist f bereits vollständig gegeben durch die
Definition von
f (b1 ) = w1 , f (b2 ) = w2 , . . . f (bn ) = wn .
Stellt man die Vektoren wi als Linearkombinationen in der Basis C dar (vgl. Satz 2.16),
so bekommt man das Schema
f (b1 ) = a11 c1 + a21 c2 + . . . am1 cm ,
f (b2 ) = a12 c1 + a22 c2 + . . . am2 cm ,
..
..
.
.
f (bn ) = a1n c1 + a2n c2 + . . . amn cm .
Die lineare Abbildung f ist also durch das Zahlenschema


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
am1 am2 . . . amn
eindeutig definiert.
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(?)
4.3 Matrizen
Definition 4.15. Ein Zahlenschema der Form (?) heißt m × n-Matrix. Die Menge aller
solcher Zahlenschemata wird mit K m×n bezeichnet. Man kann zwei m × n-Matrizen
addieren wie folgt,

 
 

a11 +b11 a12 +b12 . . . a1n +b1n
a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2n   a21 +b21 a22 +b22 . . . a2n +b2n 
 


 
 ..

.. ..
.. + ..
.. .. ..  = 
..
..
..
..
 .

. .
.   .
. . .  
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn
bm1 bm2 . . . bmn
am1 +bm1 am2 +bm2 . . .
und mit einer Zahl λ ∈ K multiplizieren,

 
λa11 λa12 . . .
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n   λa21 λa22 . . .

 
λ ·  ..
..
..
..  =  ..
..
..
 .
.
.
.   .
.
.
am1 am2 . . . amn
λam1 λam2 . . .
λa1n
λa2n
..
.
amn +bmn





λamn .
Mit diesen Operationen + und · ist die Menge K m×n ein K-Vektorraum.
Definition 4.16. Es sei A ∈ K m×n und B ∈ K p×m . Man kann das Produkt C = A · B ∈
K p×n definieren wie folgt,

 

 
c11 c12 . . . c1n
b11 b12 . . . b1m
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2m   c21 c22 . . . c2n 

 
 

 ..
.. .. ..  ,
.. .. ..  =  ..
.. ..
..  ·  ..
 .
. . . 
. . .   .
. .
.   .
cm1 cp2 . . . cpn
bm1 bp2 . . . bpm
am1 am2 . . . amn
P
wobei ckj = m
i=1 aki bij = hak , bj i, wobei ak die k-te Zeile von A, und bj die j-te Spalte
von B ist ( Zeile mal Spalte“).
”
Beispiel 4.17.
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