4 Lineare Abbildungen und Matrizen

4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen
Definition 4.1. Es seien V , W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt
linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v ∈ V und λ ∈ K gilt
L1
f (u + v) = f (u) + f (v),
L2
f (λu) = λf (u).
Beispiel 4.2.
Satz 4.3. Die Menge aller linearen Abbildungen von V nach W wird mit Lin(V, W )
bezeichnet und ist ein Untervektorraum des Vektorraums X = Abb(V, W ) aller Abbildungen von V nach W .
Beweis.
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4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Satz 4.4. (i) Sind f : V → W und g : W → Z lineare Abbildungen, so ist auch die
Verkettung f ◦ g : V → Z (mit (f ◦ g)(v) = f (g(v))) eine lineare Abbildung.
(ii) Ist f : V → W eine lineare Abbildung und besitzt f eine Umkehrfunktion f −1 , so
ist auch die Umkehrfunktion linear.
Satz 4.5. Es sei V ein Vektorraum mit einem Skalarprodukt und U ein Untervektorraum
von V . Die orthogonale Projektion PU : V → U aus 3.15 ist linear.
Definition 4.6. Es sei f : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist
Im(f ) = f (V ) = {f (v) | v ∈ V }
das Bild von f , und
Ker(f ) = {v ∈ V | f (v) = 0}
der Kern von f .
Beispiel 4.7.
Satz 4.8. Ist f : V → W eine lineare Abbildung, so ist Im(f ) ein Untervektorraum
von W , und Ker(f ) ein Untervektorraum von V .
Beweis.
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4.2 Isomorphismen
4.2 Isomorphismen
Definition 4.9. Besitzt eine lineare Funktion f : V → W eine Umkehrfunktion f −1 :
W → V , so heißt f Isomorphismus. Die Vektorräume V , W heißen zueinander isomorph,
falls es einen Isomorphismus f : V → W gibt.
Beispiel 4.10.
Satz 4.11. Ist V ein Vektorraum mit der Basis B = {b1 , b2 , . . . , bn }, so kann man eine
lineare Abbildung f definieren, indem man die Bilder der Basisvektoren festlegt. D.h. für
f : V → W wählt man w1 , w2 , . . . , wn ∈ W , und setzt f (bi ) = wi . Dann ist f definiert
durch
!
n
n
n
X
X
X
f (v) = f
λi f (bi ) =
λi wi .
λi bi =
i=1
i=1
i=1
Beispiel 4.12.
Satz 4.13. Es seien V , W K-Vektorräume, und f : V → W sei eine lineare Abbildung.
(i) Schränkt man den Bildbereich von f auf f (V ) ein, so ist die Abbildung f˜ : V →
f (V ) mit f˜(v) = f (v) invertierbar, genau dann, wenn Ker(f ) = {0}.
(ii) Es sei B = {b1 , b2 , . . . , bn } eine Basis von V . f ist ein Isomorphismus, genau dann
wenn die Menge {f (b1 ), f (b2 ), . . . , f (bn )} eine Basis von W ist.
(iii) Gilt Dim(V ) = Dim(W ), so ist f invertierbar, genau dann wenn Ker(f ) = {0}.
(iv) Ist V ein endlichdimensionaler Vektorraum, so gilt
Dim(V ) = Dim(Im(f )) + Dim(Ker(f )).
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4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Satz 4.14. Es sei V ein K-Vektorraum der Dimension n. Dann ist V isomorph zum
Vektorraum K n .
Beweis.
4.3 Matrizen
Es sei V ein Vektorraum mit der geordneten Basis B = (b1 , b2 , . . . , bn ), W sei ein Vektorraum mit der geordneten Basis C = (c1 , c2 , . . . , cm ), und f : V → W sei eine lineare
Abbildung. Denkt man an Satz 4.11, so ist f bereits vollständig gegeben durch die
Definition von
f (b1 ) = w1 , f (b2 ) = w2 , . . . f (bn ) = wn .
Stellt man die Vektoren wi als Linearkombinationen in der Basis C dar (vgl. Satz 2.16),
so bekommt man das Schema
f (b1 ) = a11 c1 + a21 c2 + . . . am1 cm ,
f (b2 ) = a12 c1 + a22 c2 + . . . am2 cm ,
..
..
.
.
f (bn ) = a1n c1 + a2n c2 + . . . amn cm .
Die lineare Abbildung f ist also durch das Zahlenschema


a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 


A =  ..
..
..
.. 
 .
.
.
. 
am1 am2 . . . amn
eindeutig definiert.
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(?)
4.3 Matrizen
Definition 4.15. Ein Zahlenschema der Form (?) heißt m × n-Matrix. Die Menge aller
solcher Zahlenschemata wird mit K m×n bezeichnet. Man kann zwei m × n-Matrizen
addieren wie folgt,

 
 

a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1n
a11 +b11 a12 +b12 . . . a1n +b1n
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2n   a21 +b21 a22 +b22 . . . a2n +b2n 

 
 

 ..

.. ..
.. + ..
.. .. ..  = 
..
..
..
..
 .

. .
.   .
. . .  
.
.
.
.
am1 am2 . . . amn
bm1 bm2 . . . bmn
am1 +bm1 am2 +bm2 . . .
und mit einer Zahl λ ∈ K multiplizieren,

 
a11 a12 . . . a1n
λa11 λa12 . . .
 a21 a22 . . . a2n   λa21 λa22 . . .

 
λ ·  ..
..
..
..  =  ..
..
..
 .
.
.
.   .
.
.
am1 am2 . . . amn
λam1 λam2 . . .
λa1n
λa2n
..
.
amn +bmn





λamn .
Mit diesen Operationen + und · ist die Menge K m×n ein K-Vektorraum.
Definition 4.16. Es sei A ∈ K m×n und B ∈ K n×p . Man kann das Produkt C = A · B ∈
K m×p definieren wie folgt,


 
 
a11 a12 . . . a1n
b11 b12 . . . b1p
c11 c12 . . . c1p
 a21 a22 . . . a2n   b21 b22 . . . b2p   c21 c22 . . . c2p 


 
 
 ..
.. .. ..  ,
.. ..
..  ·  ..
.. .. ..  =  ..
 .
. . . 
. .
.   .
. . .   .
cm1 cm2 . . . cmp
am1 am2 . . . amn
bn1 bn2 . . . bnp
Pn
wobei ckj = i=1 aki bij = hak , bj i, wobei ak die k-te Zeile von A, und bj die j-te Spalte
von B ist ( Zeile mal Spalte“). Das neutrale Element der Matrixmultiplikation in K n×n
”
ist die Einheitsmatrix


1 0 ... 0
0 1 . . . 0


E = En =  .. .. . . ..  .
. .
. .
0 0 ... 1
Beispiel 4.17.
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4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Satz 4.18. Es seien Matrizen A, B, C, D gegeben so dass die jeweiligen Rechenoperationen ausführbar sind. Dann gilt
(i) E · A = A · E = A,
(ii) (A · B) · C = A · (B · C),
(iii) A · (B + C) = A · B + A · C und (B + C) · D = B · D + C · D.
Im Allgemeinen gilt
(iv) A · B 6= B · A,
(v) A · B = 0
6⇒ A = 0 oder B = 0.
Zu Beginn dieses Abschnitts haben wir gesehen, dass man lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Zahlenmatrix darstellen kann. Der folgende Satz besagt, dass auch umgekehrt durch jede Zahlenmatrix eine lineare Abbildung
definiert wird.
Satz 4.19. Durch eine Matrix A ∈ K m×n wird eine lineare Abbildung fA : K n → K m
definiert wie folgt:
für x ∈ K n = K n×1 ist fA (x) = A · x.
Beweis.
Definition 4.20. Die Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix A ∈ K m×n ist
gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen der Matrix. Diese Zahl heißt Rang von A
und wird mit Rang(A) bezeichnet. Eine quadratische Matrix A ∈ K n×n heißt regulär,
wenn Sie vollen Rang hat, d.h., wenn Rang(A) = n. Ansonsten heißt die Matrix singulär.
Beispiel 4.21.
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4.3 Matrizen
Satz 4.22. (i) Sind A ∈ K m×n , B ∈ K n×` Matrizen und fA : K n → K m , fB : K ` →
K n die zugehörigen linearen Abbildungen, so gilt fA ◦ fB = fA·B , d.h., für x ∈ K `
ist
(fA ◦ fB )(x) = fA (fB (x)) = fA (B · x) = A · (B · x) = (A · B) · x
(vgl. Satz 4.18 (ii)).
(ii) Eine Matrix A ∈ K n×n ist regulär, genau dann wenn die durch A induzierte lineare Abbildung fA eine Umkehrfunktion besitzt. Die Matrix A besitzt dann eine
Inverse A−1 (die Darstellungsmatrix von fA−1 ) und es gilt A · A−1 = A−1 · A = E.
Beispiel 4.23.
Satz 4.24. Es seien A, B ∈ K n×n .
(i) Ist A · B = En , so sind A und B regulär und es ist A = B −1 und B = A−1 .
(ii) Sind A und B regulär, so ist auch das Produkt A · B regulär und es gilt
(A · B)−1 = B −1 · A−1 .
Definition 4.25. Es sei

a11
 a21

A =  ..
 .
a12
a22
..
.
...
...
..
.
am1 am2 . . .
Dann ist

a11
 a12

A> =  ..
 .
a21
a22
..
.
...
...
..
.
a1m a2m . . .

a1n
a2n 

m×n
.
..  ∈ K
. 
amn

an1
a2n 

n×m
..  ∈ K
. 
anm
die zu A transponierte Matrix.
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4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Beispiel 4.26.
Satz 4.27. Es seien A, B, C, D Matrizen, so dass die folgenden Operationen durchgeführt werden können. Es gilt
(A + B)> = A> + B > ,
(C · D)> = D> · C > .
Ist F eine quadratische, reguläre Matrix, so ist
(F −1 )> = (F > )−1 .
Beispiel 4.28.
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