Mathematik III für das Verkehrsingenieurwesen

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Mathematik III für das Verkehrsingenieurwesen
Karsten Eppler
Technische Universität Dresden
Institut für Numerische Mathematik
[email protected]
www.math.tu-dresden.de/∼eppler
Vorlesungsassistent: Frau Pfeifer
www.math.tu-dresden.de/∼pfeifer/
K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Organisatorische Hinweise
• K. Eppler: Willersbau, Zi.: C 318, Tel.: 37584
– Sprechzeit: Di. 13-14 Uhr
• Übungsaufgaben: s. Homepage Frau Pfeifer
• Termin(e) Prüfungsklausur(en):
– Wird noch bekanntgegeben
– Bei Testat-Wiederholung: modifizierte Klausur
• Literatur (Ergänzung?): Bärwolff Höhere Mathematik für
”
Naturwissenschaftler und Ingenieure“ (Spektrum)
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Inhaltsübersicht WS 13/14
• Laplacetransformation
• Mehrdimensionale Integralrechnung
– Flächen- und Volumenintegrale
– Kurven- und Oberflächenintegrale
– Inegralsätze
• Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
– Grundbegriffe und Definitionen: Ereignisse und
Wahrscheinlickeiten
– Zufallsgrößen und Verteilungsfunktionen
– Zufallsvektoren und Grenzverteilungen
• Potenz- und Fourierreihen ( Einführung)
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Die Laplacetransformation
Definition: Geg. sei eine Funktion f : [0, ∞) → R (→ C)
Z ∞
Lapl.-trafo: F (s) = L[f ](s) :=
f (t)e−st dt, s ∈ R+ (∈ C).
0
Z
d.h., falls
lim
β→∞
β
f (t)e−st dt, existiert.
0
F (·) heißt die Laplacetransformierte von f .
L
Fkt. mit DB [0, ∞) ⇒ Fkt. mit DB (s0 , ∞) (⊂ C)
Def.: Eine Fkt. f : [0, ∞) → C heißt (i) stückw. stetig, falls diese
in jedem endlichem Intervall nur endlich viele
Unstetigkeitsstellen 1.Art (endl. Sprünge) besitzt
(ii) von exponentieller Ordnung, falls gilt:
|f (t)| ≤ ceγt ,
∀t ≥ 0, c, γ ∈ R (c, γ > 0)
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Eigenschaften der Laplacetransformation I
L[af + bg] = aL[f ] + bL[g],
Satz 2:
1 s
Satz 3: (Streckung) L[f (ct)] = F ( ),
c c
Satz 4: (Ableitung und Integral)
L[f 0 ]
(a)
=
a, b ∈ R (∈ C).
c 6= 0 ∈ R (∈ C).
sL[f ] − f (0)
allgemein: L[f (n) ] = sL [f ] − sn−1 f (0) − . . . − f (n−1) (0)
nZ t
o
(b) L
f (τ )dτ
= s−1 L[f ]
0
Charakteristisch für Laplacetrafo: Auftauchen“ der Anfangswerte
”
(AW) im Ableitungssatz - nur“ Anfangswertaufgaben (AWA)
”
behandelbar.
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Eigenschaften der Laplacetransformation II
Satz 5: (Ableitung und Integral der Bildfunktion)
0
(a) L[tf (t)](s) = −F (s),
(b) L[t
−1
Z
f (t)](s) =
∞
F (u)du
s
Satz 6: (Dämpfung und Verschiebung)
(a) L[e−at f (t)](s)
(b) L[f (t − a)h(t − a)]
=
F (s + a)
= e−as F (s)
Definition der Heaviside-Fkt. ( Sprungfkt.“) h = h(x):
”

1, für x ≥ 0,
h(x) :=
Es gilt: h0 = δ0 (·)“
”
0, für x < 0.
Die Delta-Distribution ist verallgemeinerte Ableitung von h.
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Eigenschaften der Laplacetransformation III
Definition (Faltung zweier Funktionen): Es seien zwei Funktionen
f, g gegeben mit f (t) = g(t) = 0, für t < 0. Dann heißt die
Funktion [f ∗ g](·), definiert durch
Z t
Z t
[f ∗ g](t) :=
f (t − τ )g(τ )dτ =
g(t − τ )f (τ )dτ, t ≥ 0,
0
0
die Faltung der Funktionen f und g.
Satz 7: (Faltungssatz) Es existieren L[f ] := F (·),
Dann existiert auch L[f ∗ g](·) und es gilt
L[g] := G(·).
L[f ∗ g](s) = F (s) · G(s)
Technisches Problem“: Es gibt keine geschlossene Formel für die
”
Berechnung der Laplacetransformierten L[f · g],
([f · g](t) := f (t) · g(t), ∀t) aus der Kenntnis von L[f ], L[g].
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Anwendung der Laplacetransformation
Laplacetransformation: Integraltrafo für Zeitprozesse ⇒ für
GDGL: Anwendung auf inhomogene AWA mit konstanten
Koeffizienten (Systeme; skalare GDGL n-ter Ordnung)
Originalpr.(AWA)
schwer(er) lösb.
=⇒
transform. Probl.
leicht(er) lösbar
⇑
y(t)
⇓
⇐
Rücktrafo
⇐
Y (s)
Bedeutung: Neue Behandlungsmethode eröffnet neue Aspekte“
”
(insbesondere für lineare Regelungstheorie)
Für Lösung konventioneller“ AWA: Im wesentlichen kann die
”
gleiche Problemklasse explizit behandelt werden, Struktur der
allgemeinen Lsg. (homog. DGL + partik. Lsg.) nicht erkennbar
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Mehrdimensionale Integration und Vektoranalysis
1. Jordanmaß und Bereichsintegrale
Zur Konstruktion/Definition des Begriffs Flächeninhalt: Rechteck


 x
a ≤x≤a 
2
1
R :=
∈ R2 ⇒ µ(R) = |R| = (b2 −b1 )(a2 −a1 ).
 y
b1 ≤ y ≤ b2 
Es sei M ⊂ R2 eine (beliebige) beschränkte Menge. Betrachten:
Folge von Gittern Γk mit hk = 1/2k , k = 1, 2.., Maschen Bik .
X
X
k
2
µ(Bi ) = hk
1,
sk (M ) :=
Bik ⊂M
Bik ⊂M
Sk (M ) :=
X
Bik ∩M 6=∅
µ(Bik )
=
h2k
X
Bik ∩M 6=∅
1
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Monotonie: sk (M ) ≤ sk+1 (M ) ≤ . . . ≤ Sk+1 (M ) ≤ Sk (M ) ⇒
∃ lim sk (M ) =: si (M ),
k→∞
∃ lim Sk (M ) =: sa (M ).
k→∞
Definition 8.1: si (M ) heißt innerer Inhalt und sa (M ) heißt
äußerer Inhalt. Gilt si (M ) = sa (M ), so heißt M Jordan-meßbar
und die Zahl
si (M ) = sa (M ) =: µ(M ) = |M |
heißt Flächeninhalt (oder Jordanmaß) von M .
Eigenschaften: s. Satz 8.1 (besonders b)!); µ(∅) := 0. Fraktale
Kurven ( populärwissenschaftlich klar“ - z.B. Kochkurve“) sind
”
”
generell nicht Jordanmeßbar.
Begriff regulärer Bereich: siehe Definition 8.2 (insbesondere:
abgeschlossen und beschränkt(!))
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Das Riemannsche Bereichsintegral I
Sei B ein regul. Bereich und f : B → R eine beschränkte Funktion.
Durchmesser einer Menge: diam (M ) := sup{|x − y| ; x, y ∈ M }.
Zerlegung von B: Z := {B1 , . . . , Bn } mit ∪ni=1 Bi = B,
Bi reguläre (Teil-)Bereiche, µ(Bi ∩ Bj ) = 0, ∀i 6= j.
Feinheit einer Zerlegung: δ(Z) := max{diam (Bi ), i = 1(1)n} .
Riemannsche Summe: S(f, Z) :=
n
X
f (xi )µ(Bi ), xi ∈ Bi , i = 1(1)n.
i=1
Wir betrachten Folge(n) von Zerlegungen {Zk } mit δ(Zk ) → 0.
Def.: Falls gilt
lim
δ(Zk )→0
S(f ; Zk ) = I, und ist dieser
GW unabhängig von der Wahl der Zerlegung und der Punkte xi ,
dann heißt dieser GW das Bereichsintegral von f über B.
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Das Riemannsche Bereichsintegral II
Bezeichnung:
lim
δ(Zk )→0
Z
Z
S(f ; Zk ) = I := f (x, y)dB = f (x, y)dxdy.
B
B
Satz: Ist B regulär, f beschränkt und stetig (mit Ausnahme einer
Menge vom Jordanmaß 0), so existiert das Riemann-Integral.
Z
Es gilt a)
1dB = µ(B).
b) Es sei
B
K := {(x, y, z)T |(x, y) ∈ B, 0 ≤ z ≤ f (x, y)} ⊂ R3 .
R
Dann gilt B f dB = V (K), V (K) - das Volumen von K.
Z
Z
Z
c)
c1 f + c2 g dB = c1
f dB + c2
g dB
B
B
Linearität des Integrals bzgl. des Integranden.
B
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Das Riemannsche Bereichsintegral III
d) Additivität des Integrals bzgl. des Bereiches
Z
B = B1 ∪ B2 , µ(B1 ∩ B2 ) = 0 ⇒
Z
f dB =
B
Z
f dB +
B1
f dB.
B2
e) Integralabschätzung: Es gilt für beschränkte Integranden f
Z
Z
f dB ≤
|f |dB ≤ sup{|f (x)|, x ∈ B} · µ(B).
B
B
f) Das Integral einer beliebigen beschränkten Funktion über einer
R
Null-Menge verschwindet immer: µ(B) = 0 ⇒ B f dB = 0.
g)Ist f : B → R stetig, dann existiert ein x∗ ∈ B mit
Z
f dB = f (x∗ )µ(B). (Mittelwertsatz).
B
Achtung: Nicht für Vektorfunktionen f : B → Rl gültig
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Normalbereiche für Bereichsintegrale
Normalbereich Typ I
B = {(x, y) ∈ R2 |a ≤ x ≤ b; φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x)}
#
Z
Z "Z
b
⇒
φ2 (x)
f dB =
B
f (x, y)dy dx
a
φ1 (x)
Normalbereich Typ II
B = {(x, y) ∈ R2 |c ≤ y ≤ d; ψ1 (y) ≤ x ≤ ψ2 (y)}
#
Z
Z "Z
d
⇒
ψ2 (y)
f dB =
B
f (x, y)dx dy
c
ψ1 (y)
Im allgemeinen: Integrationsbereich so aufspalten (Integral ist
additiv bzgl. des Bereichs), daß Teilbereiche jeweils Normalbereiche
sind.
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Berechnu8ng eines statischen Momentes
(Körper homogen, Ber. direkt, ohne Anwendung von Koord.-trafo)
Z
Mz (Q) =
zdV, Q := {x ∈ R3 |(x − z)2 + y 2 ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1} ⇒
Q
1
Z
Mz = I =
nZ
0
Z
1
Z
z+1
=
Z
1
=
Z
1
2zdz
Z
1
2zdz ·
=
0
1−(x−z)
p
1 − t2 dt
−1
0
z−1
√
hZ
1−(x−z)2
√
−
π
π
= .
2
2
i
o
zdy dx dz
1−(x−z)2
Z
√1−(x−z)2
zy √
dxdz =
2
−
z−1
0
z+1
0
1
Z
z+1
2z
p
1 − (x − z)2 dxdz
z−1
(Subst.: t = x − z, dt = dx)
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Koordinatentransformation in Bereichsintegralen
Bereich B in (x, y) − Ebene ⇔ Bereich B ∗ in (u, v) − Ebene
x = x(u, v), y = y(u, v) ⇔ u = u(x, y), v = v(x, y).
Z
Z
f dxdy =
f˜(u, v) · |D(u, v)|dudv
B
Dabei ist
B∗
f˜(u, v) := f (x(u, v), y(u, v))
und die
Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation
∂(x, y) xu yu = |xu yv − xv yu |
=
|D(u, v)| = ∂(u, v)
xv yv Koordinatentransformation: Die Abb.
x
D(u, v) 6= 0 in jedem Punkt y .
x
y
7→
u
v
ist injektiv und
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2. Das Volumenintegral ( Dreifachintegral“)
”
Das 3D-Jordanmaß (Rauminhalt)
Konstruktion analog zur Einführung von Flächeninhalt
(2D-Jordanmaß) für ebene Bereiche:
• Grundlage ist Volumenformel für Quader
• Unterteilung durch Folge von Raumgittern; auszählen“
”
• ⇒ innerer/äußerer Inhalt (existiert für beliebige Menge)
Eine Teilmenge V ⊂ R3 heißt (Jordan-)meßbar, wenn innerer und
äußerer Inhalt übereinstimmen ⇒ µ3 (V ).
2
Achtung: Für B ⊂ R gilt µ3 B × {0} = 0(!)
Feinheit einer Zerlegung: δ(Z) := max{diam (Vi ), i = 1(1)n} .
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Definition des Volumenintegrals
Gegeben: Körper V (meßbar), Funktion f : V → R (stckw.) stetig
⇒ Definition des Volumenintegrals über Riemann-Summen
Z
X
f (~x)dV =: I = lim
f (~xi )µ3 (Vi ), ~x = (x, y, z)T .
δ(Z)→0
V
i
Eigenschaften: analog zum FI, z.B.: Linearität bzgl.
Z
Z
Z
des Integranden
c1 f + c2 g dV = c1
f dV + c2
g dV
V
V
V
Additivität bzgl. Gebietszerlegung usw. ...
Z
Z
Z
f (~x)dV =
f (~x)dV +
f (~x)dV, V = V1 ∪V2 , µ3 V1 ∩V2 = 0
V
V1
V2
Z
Praktisch wichtig:
1dV = µ3 (V ) (Volumenberechnung)
V
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Normalbereiche für Volumenintegrale
Normalbereich Typ I: Der Körper V ⊂ R3 sei definiert durch
x1
≤ x ≤ x2 ,
φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x),
ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y).
# #
Z
Z x2 "Z φ2 (x) "Z ψ2 (x,y)
⇒
f dV =
f (x, y, z)dz dy dx
V
x1
φ1 (x)
ψ1 (x,y)
Andere Interpretation“ mit den Schnittflächen“
”
2
B(x) := {(y, z) ∈ R φ1 (x) ≤ y ≤ φ2 (x), ψ1 (x, y) ≤ z ≤ ψ2 (x, y)}
#
Z
Z x2 " Z Z
f (x, y, z)dB dx, dB =dzdy
ˆ
f dV =
V
x1
B(x)
analog für Normalbereiche Typ II- VI
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Koordinatentransformation in Volumenintegralen
Gebiet G ⊂ R3 ⇔ Gebiet G∗ ⊂ R3 , injektiv
  

  

x
x(u, v, w)
u
u(x, y, z)
  

  








~x = y  = y(u, v, w) ⇔ ~u =  v  =  v(x, y, z) 
.
z
z(u, v, w)
w
w(x, y, z)
Z
Z
f dxdydz =
f˜(u, v, w) · |D(~u)|dudvdw.
V
V∗
Dabei ist f˜(u, v, w) := f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)), V ∗ = ~x(V ),
und die Funktionaldeterminante der Koordinatentransformation
x
u yu zu ∂~x |D(~u)| = = xv yv zv 6= 0.
∂~u
xw yw zw K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Volumenintegralberechnung mit Koord.-trafo
2
2
2
x
y
z
2
2
+
+
≤
1}
⇒
(x
+
y
)dxdydz =
2
2
2
a
b
c
E
√
√
"Z
"
# #
b 1−x2 /a2 Z c 1−x2 /a2 −y 2 /b2
2
2
(x
+
y
)dz dy dx
√
E := {~x ∈ R3 |
Z
a
=
−a
Z
1−x2 /a2
−b
1
2π
√
−c ...
π/2
4
Trafo
. . . dψ dφ dr
=
abcπ(a2 + b2 )
= ... =
15
0
0
−π/2
Z 1
Z 2π
Z π/2
= abc
r4 dr ·
a2 cos2 φ + b2 sin2 φ dφ ·
cos3 ψ dψ,
Z
0
Z
Z
−π/2
0
Z
1
wegen:
cos ψ dψ = − sin3 ψ + 1 · sin ψ
3
Z
Z
1
φ
1
φ
cos2 φ dφ = cos φ sin φ + ,
sin2 φ dφ = − cos φ sin φ +
2
2
2
2
3
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Mehrfachintegrale über Quaderbereiche
Falls für den Integrationsbereich Q und den Integranden f gilt
(i)
Q =
(ii) f (x)
=
×ni=1 [ai , bi ]
n
Y
fi (xi )
(Q achsparalleler Quader),
( Integrand hat Produktstruktur).
i=1
Dann gilt
Z
f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn =
Q
n Z
Y
i=1
bi
ai
fi (xi )dxi .
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Grundbegriffe der Vektoranalysis
Definitionsbereich V ⊆ R3 (R2 ⊂ R3 )
Skalarfeld: f : V → R,
Vektorfeld: f~ = (f1 , . . . , fm )T : V → Rm .
Anwendungen f : Temperaturfeld, (Masse-/Ladungs-)Dichte, . . .
Anwendungen f~: Strömungsfelder(-geschw.); elektromagnetische
Felder, Verschiebungs- Deformations- Spannungsfelder
(lin. Elastizität), . . .
1. + 2. Ableitungen (Wiederholung) für Skalar- und Vektorfeld
T
2
Gradient: ∇f = (fx1 , . . . fxn ) , Hessian: ∇ f = ∇ ∇f
~
∂
f
= ∇f~T = (∇f1 , . . . , ∇fm )T
Jakobian(Vektorfeld): Df~ =
∂~x
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Rechenregeln der Vektoranalysis
Sei φ : D → R, D ⊂ Rn und v : D → Rn , D ⊂ Rn ein zweimal stetig
differenzierbares Skalarfeld bzw. Vektorfeld, so gelten die Regeln
(i) rot(grad φ) = 0
(Satz von Schwarz)
(ii) div(rot v) = 0
(iii) div(grad φ) =: ∆ φ
Definition Laplace-Op.
(iv) div(φv) = gradφ · v + φdiv v
(v) rot(φv) = gradφ × v + φ(rot v)
(vi) rot(rot(v)) = grad(div(v)) − ∆ v
Definition Vektor-Laplace.
Die Regeln, in denen der Rotationsoperator vorkommt, gelten
nur für n = 3 (n ≤ 3).
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Kurvenintegrale 1. Art I
Gegeben: Glatte, reguläre Kurve (stückweise glatte ∼) γ.
Erinnerung: Bogenelement und Bogenlänge Sei
x : [ta , tb ] → Rn die Parameterdarstellung dieser Kurve. Dann heißt
q
ds := ẋ21 (t) + ẋ22 (t) + · · · + ẋ2n (t)dt = |ẋ(t)| dt
das (skalare) Bogenelement der Kurve (an der Stelle x(t)).
Für die Bogenlänge s(t) der Kurve zwischen x(ta ) und x(t) gilt
Z t
s(t) =
|ẋ(τ )| dτ .
ta
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Kurvenintegrale 1. Art II
Für die Gesamtlänge L der Kurve gilt
Z tb
|ẋ(τ )| dτ .
L = s(tb ) =
ta
Die Kurve heißt regulär, falls
γ̇ 6= 0 (⇔ |γ̇|2 > 0, ∀t ∈ [ta , tb ].
Definition Kurvenintegral 1. Art. Die Funktion f : D → R sei
stetig, γ ⊂ D ⊂ Rn . Dann heißt
Z
Z tb
f ds :=
f (x(t))|ẋ(t)| dt
γ
ta
Kurvenintegral 1. Art oder skalares Kurvenintegral von f .
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Kurvenintegrale 1. Art III
Anwendungen: (Gesamt-)Masse (Liniendichte ρ = ρ(x, y, z))
Z
Z te
p
m=
ρ(~x)ds =
ρ(x(t), y(t), z(t)) ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt,
γ
ta
Z
1 te
√
analog Schwerpunktskoordinaten xS =
x(t)ρ(. . .) . . .dt usw.
m ta
cos t
Rechenbeispiel: γ(t) := r
⊂ R2 , t ∈ [0, 2π],
sin t
f (x, y) = x2 − y 2 , r > 0 fixiert ⇒
− sin t
˙ =r ⇒
f˜(t) = f (γ(t)) = r2 cos 2t, γ̇(t) = r
, |γ(t)|
cos t
Z
Z 2π
Z 2π
˙ dt = r3
f ds =
f˜(t)|γ(t)|
cos 2t dt = 0.
γ
0
0
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Def./Berechnung Kurvenintegrale 2. Art
Sei γ : [ta , te ] → Rn eine reguläre Kurve und v : Rn → Rn ein
stetiges Vektorfeld (mit γ ⊂ D(v)). Dann bildet man das
Kurvenintegral 2. Art ( Arbeitsintegral“)
”
Z
Z
v · ds =
v1 dx1 + . . . vn dxn ds - vektorielles Bogenelement.
γ
γ
Z
Z
te
v · ds =
Berechnung:
γ
v(γ(t)) · γ̇(t) dt
ds := γ̇(t) dt.
ta
Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des
Integranden; Additiv. bzgl. Teilkurven; etc.) bleiben erhalten
Z
Z
v · ds = −! v · ds.
γ−
γ
KI 2. Art hängt von Orientierung der Kurve ab(!).
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Schritte zur Berechnung KI 1.(2.) Art
Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen
1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung der Kurve
γ : [ta , te ] → Rn
2) Berechnung der Funktionswerte f (γ(t)) (bzw. v(γ(t))) der
Belegungsfunktion
3) Berechnung von |γ̇(t)| (bzw.γ̇(t))
R
4) Berechnung des Kurvenintegrals γ f ds =
R
R te
bzw. γ v · ds = ta v(γ(t)) · γ̇(t) dt .
R te
ta
f (γ(t))|γ̇(t)| dt
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Integration über Oberflächen
Def. 8.10:( Parametrisierung eines Flächenstücks) Es seien
D ⊆ R2 offen und zusammenhängend und M ⊂ D ein regulärer
Bereich. Weiter sei x : D → R3 ein stetig differenzierbares
Vektorfeld. Dann heißt S := x(M ) = {x(u, v) | (u, v)> ∈ M }
reguläres Flächenstück und x heißt Parametrisierung des
Flächenstücks, wenn
• x : M → R3 injektiv ist, und
• xu (u, v) × xv (u, v) 6= 0 für alle (u, v)> ∈ M .
Eine Teilmenge S ⊂ R3 heißt stückweise reguläre Fläche, wenn
es endlich viele reguläre Flächenstücke S1 , ..., Sp gibt, die höchstens
endlich viele reguläre Kurvenstücke ihrer Ränder gemeinsam
Sp
besitzen und für die gilt S = j=1 Sj .
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Def./Berechnung Oberflächenintegrale 1. Art
~
Sei B ⊂ R2 ein Bereich und S := X(B)
⊂ R3 ein reguläres
Flächenstück. Für eine (stckw.) stetiges Skalarfeld f : R3 → R
(S ⊂ D(f )) heißt
Z
Z
f dO =
f (~x(u, v))|~xu × ~xv |dB (dB =
b dudv)
S
B
skalares Oberflächenintegral (oder OI 1. Art) von f über S.
Speziell: Flächeninhalt gekrümmter Flächen
Z
Z
Ao =
1dO =
|~xu × ~xv |dB.
S
B
Es gilt: Das Oberflächenintegral 1. Art (der Oberflächeninhalt)
hängt nicht von der Wahl einer konkreten Parametrisierung ab!
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Def./Berechnung Oberflächenintegrale 2. Art
~
Sei B ⊂ R2 ein Bereich und S := X(B)
⊂ R3 ein reguläres
Flächenstück. Für eine (stckw.) stetiges Vektorfeld v : R3 → R3
(S ⊂ D(f )) heißt
Z
Z
~ =
v · dO
v(~x(u, v)) · (~xu × ~xv ) dB (dB =
b dudv)
S
B
vektorielles Oberflächenintegral (oder OI 2. Art) von v über S
( Flußintegral“, Fluß von v durch S).
”
Es gilt: Das Oberflächenintegral 2. Art (der Oberflächeninhalt)
hängt nicht von der Wahl einer konkreten Parametrisierung ab!
Alle wesentlichen Eigenschaften von Integralen (Linearität bzgl. des
Integranden; Additiv. bzgl. Teilkurven; etc.) bleiben erhalten
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Schritte zur Berechnung OI 1.(2.) Art
Bei der Berechnung sind die folgenden Schritte zu vollziehen
1) Falls nicht gegeben, Parametrisierung des Flächestücks
S := ~x(B) : B → R3
2) Berechnung der Funktionswerte f (~x(u, v)) (bzw. v(~x(u, v))))
der Belegungsfunktion
3) Berechnung von | ~xu × ~xv (u, v)| bzw. ~xu × ~xv (u, v)
4) Berechnung des Oberflächenintegrals
R
R
f dO = B f (~x(u, v))|~xu × ~xv |dB
S
R
R
~
bzw. S v · dO = B v(~x(u, v)) · (~xu × ~xv ) dB .
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Der Integralsatz von Gauß
Es sei V ⊂ R3 ein Körper, ∂V seine Oberfläche (stückw. glatt),
v : R3 → R3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt
(dabei bezeichnet n die äussere Normalenrichtung)
Z
Z
Z
divv dV =
v · dO =
vn dO, vn = v · n.
V
∂V
∂V
Folgerung: Für alle divergenzfreien Vektorfelder (divv = 0) gilt
Z
v · dO = 0, für alle regulären Körper V.
∂V
Bsp. 1: Fluß durch die Oberfläche der E.-Kugel K.
Z
v = (x2 yz, xy 2 z, −2xyz 2 )T , divv = 0 ⇒
v · dO = 0
∂K
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Der Integralsatz von Stokes
Es sei S := ~x(B) : B → R3 eine (gekrümmte) Fläche im Raum
(Normale n), L seine (geschlossene) Randkurve (τ = γ̇/|γ̇|), und
v : R3 → R3 ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt
Z
Z
rotv · dO =
v · ds.
L
S
Orientierung der Randkurve: n, τ und n × τ bilden
Rechtssystem
Folgerung: Besitzen 2 Flächen S1 := ~x1 (B1 ) : B1 → R3 und
S2 := ~x2 (B2 ) : B2 → R3 im Raum die gleiche Randkurve
L = ∂S1 = ∂S2 , so gilt
Z
Z
Z
v · ds =
rotv · dO =
rotv · dO
L
S1
S2
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Der Integralsatz von Green
Sei D ⊂ R2 ein Gebiet und B ⊂ D ein Bereich, dessen Rand aus
endlich vielen, positiv orientierten Kurven(stücken) besteht
(∂B = L, L : [a, b] → R2 , L(t) = (γ1 (t), γ2 (t))T ) und v : R2 → R2
sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt
Z
Z
∂v2 (x, y) ∂v1 (x, y) −
dB =
v · ds.
∂x
∂y
B
L
Der Integralsatz von Green stellt die ebene Version“ des
”
Integralsatzes von Stokes dar.
Analog: Der Gauß-sche IS der Ebene lautet
Z
Z
Z b
γ
(t)
γ
(t)
1
1
⊥
γ̇2 (t) − v2
γ̇1 (t) dt.
divv dB =
v · ds =
v1
γ
(t)
γ
(t)
2
2
B
L
a
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Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsrechnung(= Stochastik) + später
(am Schluß): Einführung in mathematische Statistik
Zufallssituation: Komplex von Bedingungen, bei dessen
Realisierung nicht voll vorhersagbare Ergebnisse eintreten
können (=
b Zufallsexperiment - s. Bärwolff)
Elementarereignis: elementarer Versuchsausgang e (ω) (genau
einer tritt ein) ⇒ Menge aller elementaren Versuchsausgänge:
sicheres Ereignis E (Ω, S) ⇒ unmögliches Ereignis ∅ (U )
Zufälliges Ereignis: (A, B) bei Realisierung der Zufallssituation
auftretendes Ereigniss ( aus Elementarereign. zusammengesetzt“).
”
Hauptziel: Berechnung der Wahrscheinlichkeit von zuf. Ereign.
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Operationen mit zuf. Ereignissen I
Summe zweier Ereignisse: A ∪ B
Produkt zweier Ereignisse: A ∩ B
Differenz zweier Ereignisse: A \ B
Komplementäres Ereignis Ā := E \ A
Mehrfache Summen und Produkte (endlich und(!) abzählbar
unendlich) :
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An
= ∩ni=1 Ai ,
B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bn ∪ . . .
= ∪∞
n=1 Bn
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Operationen mit zuf. Ereignissen II
De’Morgansche Regeln (auch mehrfach“, einschließlich
”
abzählbar unndlich vieler Mengen)
A ∪ B = Ā∩ B̄,
A ∩ B = Ā∪ B̄,
∪k Ak = ∩k Ak ,
∩k Ak = ∪k Ak ,
Def. 13.3: (Teilereignis, gleichwertiges Ereignis) Seien A, B
zufällige Ereignisse. Folgt aus dem Eintreten von A stets das
Eintreten von B, dann heißt A Teilereignis von B; A ⊆ B: A
zieht B nach sich (A ist Teilereignis von B). Gilt A ⊆ B und
B ⊆ A ⇔ A = B (A und B sind gleichwertig).
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Unvereinbarkeit, vollst. Ereignissystem
Def. 13.5: Gilt ∩k Ak = ∅ für endlich oder abzählbar viele zufällige
Ereignisse A1 , A2 , . . . , so nennt man A1 , A2 , . . . insgesamt
unvereinbare Ereignisse oder insgesamt disjunkte Ereignisse.
Die Ereignisse heißen paarweise unvereinbar oder paarweise
disjunkt, wenn Ai ∩ Aj = ∅ für i 6= j gilt.
Def. 13.6: Sind A1 , A2 , . . . , An zufällige Ereignisse (Ak ⊆ E), für
die gilt
a) Ai ∩ Aj = ∅ für i, j = 1, 2, . . . , n, i 6= j
Sn
b) k=1 Ak = E (sicheres Ereignis),
dann nennt man (A1 , A2 , . . . , An ) ein vollständiges System
paarweise unvereinbarer Ereignisse.
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Ereignisfeld, zufälliges Ereignis (Def. 13.4)
Eine Menge Z von Teilmengen einer Menge E von
Elementarereignissen heißt Ereignisfeld (oder Borelscher
Mengenkörper), wenn gilt:
a) E, ∅ ∈ Z (das sichere Ereignis E und das unmögliche Ereignis
∅ gehören zu Z)
b) Gehören die Ereign. A, B zu Z, dann auch die Differenz A \ B:
A, B ∈ Z ⇒ A \ B ∈ Z.
c) Gehören die Ereign. A1 , A2 , . . . zu Z (endlich oder abzählbar
unendlich viele), dann auch die Summe und das Produkt:
S
T
A1 , A2 , . . . ∈ Z ⇒ k Ak ∈ Z, k Ak ∈ Z.
Die Elemente von Z heißen zufällige Ereignisse.
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Wahrscheinlichkeit: Axiome von Kolmogoroff
Z sei ein Ereignisfeld. Jedem zufälligen Ereignis A ∈ Z lässt sich
eine reelle Zahl P (A) so zuordnen, dass die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
a) Für jedes A ∈ Z ist
0 ≤ P (A) ≤ 1
(Axiom I).
b) Dem sicheren Ereignis E ist die Zahl 1 zugeordnet:
P (E) = 1
(Axiom II).
c) Es gilt das Additionsaxiom: Sind A1 , A2 , . . . paarweise
unvereinbare Ereignisse aus Z, so gilt
X
[
P (Ak )
(Axiom III).
P ( Ak ) =
k
k
Die Zahl P (A) heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereign. A.
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Folgerungen aus den Kolmog. Axiomen
P (∅) = 0, da 1 = P (E) = P (E∪Ē) = P (E)+P (∅), ⇒ P (Ā) = 1−P (A).
Monotonie: A ⊆ B ⇒ P (A) ≤ P (B) ⇒ P (∪nk=1 Ak ) ≤
n
X
P (Ak )
k=1
ZUSATZ
Das Additionstheorem (Axiom III) ist dem (sogenannten)
Stetigkeitsaxiom äquivalent:
Für Folge A1 , A2 , .. von zuf. Ereignissen sei jedes Ereignis
Teilereignis des vorhergehenden (d.h., Ai+1 ⊆ Ai , i = 1, 2, ..), und
diese Ereignisse sind insgesamt unvereinbar, d.h.,
∞
\
i=1
Ai = ∅.
Dann gilt:
lim P (An ) = 0.
n→∞
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Sind 2 Ereignisse unvereinbar, so P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(Axiom III f. 2 Mengen), aber: Für beliebige 2 Ereignisse gilt
nur“:
”
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ≤ P (A) + P (B)
Formel für P (A ∪ B): A ∪ B wird durch paarweise unvereinbare
Ereignisse dargestellt
A∪B
=
P (A ∪ B) =
(A \ B) ∪ (B \ A) ∪ (A ∩ B), ⇒
P (A \ B) + P (B \ A) + P (A ∩ B).
Offensichtlich gilt aber auch:
P (A)
=
P (A \ B) + P (A ∩ B),
P (B)
=
P (B \ A) + P (A ∩ B) ⇒
P (A ∪ B)
=
P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
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Die 4 Grundaufgaben der Kombinatorik
Generell: Auswahl von k Elementen aus einer Grundgesamtheit der
Anzahl n
• Ohne Zurücklegen, ohne Beachtung
der Reihenfolge
n
(ungeordnet - Kombination):
Möglichkeiten
k
• Ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge (geordnet n!
Variation):
Möglichkeiten
(n − k)!
• Mit Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge: nk
Möglichkeiten
• Mit Zurücklegen,
ohne Beachtung der Reihenfolge:
n+k−1
Möglichkeiten
k
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Grundformel der klass. Wkt-rechnung
Klassische Wahrscheinlichkeit: Das Ereignisfeld sei aus endlich
vielen Elementarereignissen zusammengesetzt. Falls die
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sind, dann
Anzahl der günstigen“ Fälle
”
P (A) =
Anzahl der möglichen“ Fälle
”
Beispiele: Lotto ( 6 aus 49“, ... etc...);
”
43
3
P ( Dreier“) =
”
6
3
·
49
6
20 · 43 · 287
=
,
13983816
Alle Karten- Würfel- und sonstige Glücksspiele ...
usw.,...
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Bedingte Wahrscheinlichkeit
Def. 13.7: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B unter der
Bedingung, dass ein Ereignis A mit P (A) > 0 bereits eingetreten
ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter
der Bedingung A und wird mit P (B|A) bezeichnet.
Wichtig (sinnvoll): Bedingte Wkt.en werden nur für P (A) > 0
betrachtet.
Multiplikationstheorem der WR: Es gilt
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B) = P (B|A)P (A),
für alle Ereignisse mit P (A) > 0, P (B) > 0
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Unabhängigkeit von Ereignissen
Def. 13.8: Ein zufälliges Ereignis A heißt vom zufälligen Ereignis
B unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von
A unabhängig davon ist, ob B eingetreten ist oder nicht, d.h.
P (A|B) = P (A).
Folgerungen: a) aus Multiplikationstheorem:
P (A ∩ B) = P (A|B)P (B)
= P (A)P (B) = P (B|A)P (A) ⇒ P (B|A) = P (B)
Ist A von B unabhängig, so auch B von A.
b) Sind A, B unabhängig, so auch die Paare
(A, B̄), (Ā, B), (Ā, B̄)
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Unabhängigkeit in Mengensystemen (> 2)
Def. 13.9: Die n zufälligen Ereignisse A1 , A2 , . . . , An heißen
insgesamt unabhängig, wenn für jedes m-Tupel (i1 , i2 , . . . , im )
von natürlichen Zahlen mit 1 ≤ i1 < i2 < · · · < im ≤ n gilt:
P (Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aim ) = P (Ai1 )P (Ai2 ) . . . P (Aim ) .
Konsequenz: P (
n
\
k=1
Ak ) =
n
Y
P (Ak ).
k=1
Die Ereignisse A1 , A2 , . . . , An heißen paarweise unabhängig,
wenn für jedes Indexpaar (i, j) mit 1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j die Ereignisse
Ai und Aj unabhängig sind, also wenn gilt
P (Ai ∩ Aj ) = P (Ai )P (Aj ).
Insgesamt unabhängige Ereignisse sind auch paarweise unabhängig
(nicht umgekehrt).
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Anwendung Unabhängigkeit
Zuverlässigkeitstheorie ( Schaltalgebren; logische Verknüpfung“
”
von Ereignissen) P (Ai ) = pi , i = 1, 2, . . .
!
Parallelschaltung: B = A1 ∪ A2
Reihenschaltung: C = A1 ∩ A2
∪ A3 ∪ . . . An
!
∩ A3 ∩ . . . An
Grundformeln“ (beliebig kombinierbar in Komplex-Schaltungen):
”
P (A1 ∩ A2 )
= p1 p2 , P (A1 ∪ A2 ) = p1 + p2 − p1 p2 ,
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ∩ A2 ) = (1 − p1 )(1 − p2 ) ⇒
n
n
Y
Y
pk , P (B) =
(1 − pk )
P (C) =
k=1
k=1
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Zusatz: Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel 3 Urnen: U1: 3w/2r; U2: 2w/8r; U3: 0w/8r
B: gezogene Kugel ist weiß; Ai : Kugel ist aus Urne i
Beweis der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit P (A ∪ B|C):
!
P (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
P (A ∪ B|C) =
P (C)
=
P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − P (A ∩ B ∩ C)
=
⇒
P (C)
P (A ∪ B|C) = P (A|C) + P (B|C) − P (A ∩ B|C)
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Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
Sei (A1 , A2 , . . . , An ) ein vollständiges System paarweise
unvereinbarer Ereignisse (s. Def.13.6). Dann gilt für ein beliebiges
zufälliges Ereignis B
n
[
B=
(B ∩ Ak ) ⇒ P (B) =
k=1
n
X
P (B ∩ Ak ),
k=1
weil die Mengen (B ∩ Ak ) ebenfall unvereinbar sind.
⇒ P (B) =
n
X
P (B|Ak )P (Ak )
mit Multiplikationssatz
k=1
Das ist die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
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Der Satz von Bayes
Es interessieren auch P (Ai |B), i = 1, 2, 3 (Kugel aus Urne Ui , falls
gezogene Kugel weiß). Nach Multiplikationstheorem gilt
P (B ∩ Ak ) = P (B|Ak )P (Ak ) = P (Ak |B)P (B)
P (B|Ak )P (Ak )
⇒ P (Ak |B) =
P (B)
P (B|Ak )P (Ak )
⇒ P (Ak |B) = Pn
k=1 P (B|Ak )P (Ak )
Das ist die Formel von Bayes (Eine Folgerung aus dem Satz von
der totalen Wahrscheinlichkeit)
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Zufallsgrößen und Verteilungsfunktion
Häufig: Ergebnisse von Zufallsversuchen sind Zahlenwerte (werden
durch reelle Zahlen räpresentiert).
Def 13.10: Es sei E die Menge der bei einem Zufallsexperiment
möglichen Elementarereignisse e und Z ein Ereignisfeld
entsprechend Def. 13.4. Eine (eindeutige) reelle Funktion X(e), die
für alle e ∈ E definiert ist, heißt Zufallsgröße, wenn das Urbild
X −1 (I) eines beliebigen Intervalls I der Form ] − ∞, x[⊂ R ein
zufälliges Ereignis A ∈ Z ist.
Def 13.11: X sei eine Zufallsgröße. Die Wahrscheinlichkeit dafür,
dass X einen Wert annimmt, der kleiner als x ist, heißt
Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion FX (x) von X:
FX (x) := P {X < x}.
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Eigenschaften einer Verteilungsfunktion
Satz 13.1: Eine Verteilungsfunktion F (x) = P {X < x} hat
folgende Eigenschaften:
a) F (x) ist monoton nichtfallend,
b) limx→−∞ F (x) = 0, limx→∞ F (x) = 1,
c) F (x) ist linksseitig stetig.
Jede Funktion mit diesen Eigenschaften ist Verteilungsfunktion
einer gewissen Zufallsgröße.
Konsequenz aus der Definition bzw. dem Satz:
P {x1 ≤ X < x2 } = F (x2 ) − F (x1 ) möglich:
P {−∞ ≤ X ≤ x2 } = F (x2 ) + P {X = x2 } > F (x2 )
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Würfeln (einfacher Wurf )
F(x)
1
1
6
1
2
3
4
5
6
x
Abbildung 13.6:
Verteilungsfunktion F (x) für das Beispiel Würfeln
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Diskrete Zufallsgrößen
Def.13.12: Eine Zufallsgröße X, die nur endlich oder abzählbar
viele Werte x1 , x2 , . . . annehmen kann, nennt man diskrete
Zufallsgröße; dabei wird vorausgesetzt, dass P {X = xk } = pk > 0
für k = 1, 2, . . . ist.
Für die Verteilungsfunktion ergibt sich unmittelbar
F (x) = P {X < x} =
X
k:xk ∈I(x)
pk
∞
X
!
pk = 1
k=1
Wichtige diskrete Verteilungen ( praktisch relevant“):
”
m
n
Binomialvertlg. (endlich) pn (m) = Pn {X = m} = m p (1 − p)n−m
Poisson-Vertlg. (abzählbar) pk = P {X = k} =
λk −λ
k! e
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Wdhlg.: Die Poisson-Vertlg.
Sei Xt - Anzahl von Ereignissen im (Zeit-)Intervall der Länge t.
Eine ZG ist Poisson-verteilt bei
• Homogenität der Zuwächse: λ̄ - mittl. Anz. im Intervall [0, 1];
• Unabhängigkeit der Zuwächse;
• Ordinarität: limt→0
P (Xt >1)
t
= 0 (limt→0
P (Xt =1)
t
= λ̄). Dann
∞
X
(λ̄t)k −λ̄t
P (Xt = k) =
e , k = 0, 1, . . . ⇒
P (Xt = k) = 1
k!
k=0
Eine Poisson-verteilte ZV X(= Xt ) ist vollständig charakterisiert
durch den Parameter λ = λ̄t.
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Die hypergeometrische Verteilung
Grundgesamtheit: N Elemente, davon M Elemente markiert“.
”
Auswahl von n(< N ) Elementen ( Stichprobe“) - ZG X: Anzahl
”
der markierten“ Elemente ⇒ Wertemenge: {0, 1, .., n}.
”
Das ist eine diskrete ( endliche“) ZG ⇒
”
M
k
N −M
n−k
N
n
günstige“ = ”
P (Xn = k) =
mögliche“
”
N
Für sehr kleine“ Stichproben ( Faustregel“: n <
):
”
”
20
Approximation durch die Binomialverteilung möglich
M
(dabei Wahl von p :=
).
N
( Zahlenlotto-Verteilung“)
”
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Def.13.13: Die diskrete Zufallsgröße X nehme die Werte xk mit
den positiven Wahrscheinlichkeiten pk (k = 1, 2, . . . ) an; die Reihe
P∞
k=1 pk |xk | sei konvergent.
Dann heißt
E(X) =
∞
X
p k xk
Erwartungswert von X.
k=1
Def.13.14: X sei eine diskrete Zufallsgröße mit den möglichen
Werten x1 , x2 , . . . , den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , . . .
und dem Erwartungswert E(X).
Ist die Reihe
2
σX
=
∞
X
pk [xk − E(X)]2
konvergent,
k=1
2
so nennt man ihren Wert σX
auch Dispersion D2 (X), Varianz
p
V ar(X) oder Streuung von X. Die Wurzel σX = D2 (X) > 0
aus der Dispersion heißt Standardabweichung von X.
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Stetige Zufallsgrößen
Def. 13.15: Eine Zufallsgröße X : E → R, deren Vert.-fkt. F (x)
sich für alle x mittels einer Funktion f (x) ≥ 0 in der Form
Z x
F (x) =
f (ξ) dξ darstellen lässt, heißt stetige Zufallsgröße.
−∞
f (x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte von X.
Wichtige stetige Verteilg.: Normalverteilung (!!), Gleichvert.,
Exponentialverteilung (=Lebensdauerverteilung)

0
x<0
Weibullvertlg.: f (x) =
, p > 0, b > 0
bpxp−1 e−bxp x ≥ 0
Weitere Verteilungen (s. Statistik): Fisher-Vertlg., χ2 -Vertlg.
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Normalverteilung (Gaußvertlg.)
Standardisierte Normalverteilung N (0, 1)
1
φ(x) = f (x; 0, 1) = √ e
2π
2
− x2
Zz
⇒ Φ(z) =
φ(x)dx
−∞
Zentrale Aussage (für Anwendung): Falls die ZG X ∼ N (µ, σ 2 ),
eine N (0, 1)-Verteilung (Z ∼ N (0, 1))
so besitzt die ZG Z := X−µ
σ
Beispiel: Der Innenringdurchmesser D von Kugellagern sei
normalverteilt mit µ = 12.2mm, σ 2 = 0.0064mm2
(D ∼ N (12.2, 0.0064)). Ein Innenring ist paßfähig, wenn
D ∈ [12.1mm, 12.4mm]. Wie groß ist in einem Posten von 1000
Stück der (mittlere) Anteil paßfähiger Ringe?
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Definition 13.16-13.18 (Erwartungswert, Momente einer stet.
ZG)
X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte f (x), für die
R∞
k
|ξ|
f (ξ) dξ konvergiert (k = 1, 2, . . . ). Dann nennt man
−∞
Z ∞
E(X) =
ξf (ξ) dξ den Erwartungswert (Mittelwert) von X,
−∞
∞
Z
mk =
ξ k f (ξ) dξ das k-te Moment von X und
−∞
∞
Z
µk =
(ξ − EX)k f (ξ) dξ das zentrale k-te Moment von X
−∞
Weitere Lageparameter: Ein Wert x = xp heißt p-Quantil, falls
Z xp
F (xp ) = p = P (X < xp ) =
f (ξ)dξ, 0.5 − Quantil: Median
−∞
Weitere Größen: Schiefe γ3 =
µ3
σ3 ,
Exzeß γ4 =
µ4
σ4
−3
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Die Tschebychevsche Ungleichung
Satz: Für eine beliebige ZG X mit endlichen EX, D2 X gilt
D2 X
1
P (|X −EX| ≥ a) ≤
,
bzw.
P
(|X
−EX|
≥
kσ)
≤
, ∀a, k > 0
2
2
a
k
1
Konsequenz: P (|X − EX| < kσ) ≥ 1 − 2 , ∀k > 0.
k
Diese Abschätzung gilt für beliebige ZG X mit endlichem
Erwartungswert und Varianz. Für konkrete Verteilungen lassen sich
diese Abschätzungen u.U. noch verbessern:
3 − σ−Regel für die Normalverteilung: Sei X ∼ N (µ, σ 2 ). Dann
P (|X − µ| < 3σ) = . . . = 2Φ0 (3) ≈ 0.997 (∼ 1).
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Zufallsvektoren (mehrdim. ZG)
Def. 13.21 (n-dimensionale Zufallsgröße, zufälliger Vektor)
Ein System von n reellen Funktionen X1 (e), X2 (e), . . . , Xn (e),
deren DB die Menge E der Elementarereignisse e ist, heißt
n-dimensionale Zufallsgröße, wenn das Urbild eines jeden
n-dimensionalen Intervalls der Form −∞ < xk < ak , (k = 1, 2, . . . , n)
ein zufälliges Ereignis A aus einem Ereignisfeld Z ist.
Def. 13.22 (Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors)
(X1 , X2 , . . . , Xn ) sei eine n-dimensionale Zufallsgröße. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse
{X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn } gemeinsam eintreten,
heißt Verteilungsfunktion F von (X1 , X2 , . . . , Xn ):
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn } .
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Beispiel diskreter[
Zufallsvektor - Polynomialverteilung:
X
Ereignissystem Ak ,
Ak = E, Ai ∩ Aj = ∅, P (Ak ) = pk ,
pk = 1
k
k
n unabhängige Versuche; Xk - Anzahl des Eintretens von Ak .
P (X1 = j1 , X2 = j2 , . . . , Xk = jk ) = pj1 j2 ...jk
n!
pj11 . . . pjkk
=
j1 ! . . . jk !
Positive Wahrscheinlichkeit besitzen Urbilder aller Vektoren x mit
P
T
x = (j1 , j2 , . . . , jk ) mit i ji = n, 0 ≤ ji ≤ n, ji ganzzahlig
Stetige Zufallsvektoren, Verteilungsfunktion (2D)
ZG (X, Y ) heißt stetig, falls Dichte f (x, y) ≥ 0 existiert mit
Z x Z y
F (x, y) =
f (x, y)dxdy, Monotonie:
−∞
−∞
F (x1 , y1 ) ≤ F (x2 , y2 ), falls x1 ≤ x2 , und y1 ≤ y2
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Z
∞
Z
∞
Skalierung: F (∞, ∞) =
f (x, y)dxdy = 1
−∞
−∞
Beispiel(e): Normalverteilung, Gleichverteilung in B ∈ R2 ,
Erinnerung Beispiel 4 (1.VL WR): 2 Personen (P,Q) wollen sich zw.
8.00 und 9.00 Uhr treffen. X - Ankunftszeit P; Y - Ankunftszeit Q.
Zufallsvektor: Z = (X, Y ) ist gleichverteilt in [0, 1] × [0, 1]
Definition 13.25 (Randverteilung, Randdichte (n = 2)): Sei
(X, Y ) ein zufälliger Vektor mit Verteilungsfunktion F (x, y). Dann
nennt man (eindimensionale) Randverteilungen von (X, Y ):
P (X<x, Y <∞) = F (x, ∞)=FX (x), P (X<∞, Y <y) = F (∞, y)=FY (y)
Ist (X, Y ) ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte p(x, y), so heißen
Z ∞
Z ∞
pX (x) =
p(x, η) dη ,
pY (y) =
p(ξ, y) dξ
−∞
−∞
(eindimensionale) Randdichten von (X, Y ).
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Die 2-dimensionale Gleichverteilung
Rechteck B = [a, b] × [c, d] |B| = (b − a)(d − c), Dichtefunktion:

1

(x, y) ∈ [a, b] × [c, d]
(b−a)(d−c)
f (x, y) =
, speziell:
0
sonst.


0








1 (x, y) ∈ [0, 1]2
xy
f (x, y) =
⇒ F (x, y) = x
0 sonst




y




1
x, y ≤ 0
(x, y) ∈ [0, 1]2
y > 1, x ∈ (0, 1)
x > 1, y ∈ (0, 1)
x, y > 1.
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Die Randverteilungen der 2D-Gleichverteilung sind jeweils
eindimensionale Gleichverteilungen: Für x ∈ [a, b] gilt
(fX (x) = 0, x ∈
/ [a, b], da f (x, y) = 0 für x ∈
/ [a, b])
Z ∞
Z d
dy
1
fX (x) =
f (x, y)dy =
=
b−a
−∞
c (b − a)(d − c)
Das ist die Dichte einer 1D-Gleichverteilung!

 1
y ∈ [c, d]
d−c
Analog gilt: fY (y) =
0
sonst.
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Momente von Zufallsvektoren (X, Y ) (n=2)
Erwartungswerte der Komponenten X bzw. Y
Z ∞Z ∞
Z ∞
E(X) =
ξf (ξ, η) dξdη =
ξfX (ξ)dξ
−∞
∞
Z
E(Y )
−∞
∞
−∞
∞
Z
=
Z
ηf (ξ, η) dξdη =
−∞
−∞
ηfY (η)dη
−∞
Def. 13.28 Momente mpq und zentrale Momente µpq
Z ∞Z ∞
ξ p η q f (ξ, η) dξdη
mpq = E(X p Y q ) =
µpq
=
=
−∞
p
−∞
E(|X − E(X)| |Y − E(Y )|q )
Z ∞Z ∞
|ξ − E(X)|p |η − E(Y )|q f (ξ, η) dξdη
−∞
−∞
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Kovarianzmatrix; Korrelationskoeffizienten
Def. 13.29 Ist (X1 , X2 , . . . , Xn ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor,
so heißt kjl = E{[Xj − E(Xj )][Xl − E(Xl )]} = cov(Xj , Xl )
die Kovarianz der Zufallsgrößen Xj , Xl (1 ≤ j, k ≤ n). Die Matrix
(kjl ) heißt Kovarianzmatrix. Die mit den Standardabweichungen
normierten Kovarianzen nennt man Korrelationskoeffizienten:
ρjl = p
cov(Xj , Xl )
cov(Xj , Xl )
p
(1 ≤ j, l ≤ n).
=
σj σl
D(Xj ) D(Xl )
Definition 13.30 (unkorrelierte Zufallsgrößen)
Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor. Die Zufallsgrößen X, Y heißen
unkorreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ρ(X, Y )
verschwindet.
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Unabhängigkeit von ZG
Def. 13.31: Sei (X1 , X2 , . . . , Xn ) ein zufälliger Vektor,
F (x1 , x2 , . . . , xn ) seine Verteilungsfunktion, und
F1 (x1 ), F2 (x2 ), . . . , Fn (xn ) seien die eindimensionalen
Randverteilungen. Man nennt die Zufallsgrößen X1 , X2 , . . . , Xn
unabhängig, wenn für beliebige x1 , x2 , . . . , xn gilt.
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = F1 (x1 )F2 (x2 ) . . . Fn (xn ).
Für stetige ZG: ZG sind genau dann unabhängig, wenn die Dichte
Produkt der Randdichten ist:
F (x, y) = FX (x)FY (y) ⇔ f (x, y) = fX (x)fY (y)
Satz: Unabhängigkeit der ZG (X, Y ) impliziert ihre
Unkorreliertheit, d.h.,
F (x, y) = FX (x)FY (y) ⇒ cov(X, Y ) = ρ(X, Y ) = 0
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Die zweidimensionale Normalverteilung
Def. 13.32: (X, Y ) ist 2D-normalverteilt, wenn die Dichte
gegeben ist durch (σX > 0, σY > 0, ρ ∈ (−1, 1))
f (x, y)
=
a(x, y)
=
1
p
e−a(x,y)
2πσX σY 1 − ρ2
1
x−mX 2
x−mX y−mY
y−mY 2
[(
)
−2ρ
+(
) ].
2
2(1−ρ )
σX
σX
σY
σY
2
Randverteilg.: X ∼ N (mX , σX
), Y ∼ N (my , σY2 ), ρ(X, Y ) = ρ.
Die Komponenten X und Y sind normalverteilt mit
2
E(X) = mX , D2 (X) = σX
, E(Y ) = mY , D2 (Y ) = σY2 .
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2D-Normalverteilte ZG (Ergänzg.)
Skalierung auf Standard-NV (2D):
X0 =
X −mX
Y −mY
, Y0 =
, ⇒ (X 0 , Y 0 ) ∼ N V mit
σX
σY
0
m0X = m0Y = 0, σX
= σy0 = 1. ρ(X 0 , Y 0 ) = ρ
fX 0 Y 0 (x, y) =
1
2π
p
1−
ρ2
·e
2 −2ρxy+y 2
2(1−ρ2 )
−x
Satz: Bei normalverteilten ZG gilt:
Unabhängigkeit ⇔ Unkorreliertheit ⇔ ρ = 0
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Funktionen/Summen von ZG
Gegeben: Zufallsvektor (X, Y ) ⇒ neue ZG Z = g(X, Y ) ⇒
Frage(n): Verteilung bzw. stochastische Parameter von Z?
Z ∞Z ∞
E(Z) =
g(ξ, η)f (ξ, η) dξdη.
−∞
−∞
speziell Summen von ZG(allgemeingültig!):
E(a1 X + a2 Y ) = a1 E(X) + a2 E(Y ),
aber:
i.a. D2 (X + Y ) = D2 X + D2 Y + 2ρ(X, Y )σX σY
Für unabhängige ZG gilt jedoch:
E(XY ) = EXEY,
D2 (a1 X +a2 Y ) = a21 D2 X +a22 D2 Y
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Summen identisch verteilter unabhängiger ZG
X1 , .., Xn identisch verteilte ZG, unabhängig (wichtig für
Statistik),
Pn
2
2
mit EXi = µ, D Xi = σ < ∞ Zn = i=1 Xi .
E(Zn ) = nEX = nµ, D2 Zn = nD2 X = nσ 2 ⇒
Zn
nσ 2
σ2
2
X̄n =
⇒ E X̄n = µ, D X̄n = 2 =
n
n
n
Zn - Summe; X̄n - statistischer Mittelwert.
I.a. andere Verteilung; Sonderfall: Xi (identisch, unabh.)
normalverteilt ⇒ Summe (Mittelwert) wieder normalverteilt
σ2
Xi ∼ N (µ, σ ) ⇒ X̄n ∼ N (µ, )
n
2
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Das schwache Gesetz der großen Zahlen
Satz: Sei X1 , X2 , . . . , Xn , .. eine Folge identisch verteilter
unabhängiger ZG vom Typ X“ (i.i.d. - englisch: identically
”
independently distributed) mit EXi = µ, D2 Xi = σ 2 , i = 1, .., n, ...
Dann gilt für alle ε > 0
stoch.
lim P (|X̄n − µ| ≤ ε) = 1, (X̄n −→ µ)
n→∞
d.h., das statistische Mittel konvergiert im Sinn der Wkt.
(stochastisch) gegen den (einheitlichen) Erwartungswert µ aller
Zufallsgrößen der Folge.
Anwendung: Konvergenz der relativen Häufigkeit Hn (A) gegen
P (A) = p für A ∈ Z
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Satz 13.14 (zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg und Levy)
{X1 , X2 , . . . } sei eine Folge unabhängiger Zufallsgrößen, die
sämtlich dieselbe Verteilungsfunktion haben. Es sei E(Xi ) = µ und
Pn
2
V ar(Xi ) = σ > 0 (i = 1, 2, . . . ). Weiter sei Zn = i=1 Xi ,
X̄n = n1 Zn . Dann gilt für jedes x ∈] − ∞, ∞[
Z x
1 2
Zn − nµ
1
√
lim P {
< x} = √
e− 2 ξ dξ = Φ(x)
n→∞
σ n
2π −∞
oder dazu äquivalent
lim P {
n→∞
X̄n − µ
√σ
n
1
< x} = √
2π
Z
x
1
2
e− 2 ξ dξ = Φ(x) .
−∞
X̄n − µ √
n, P (Ȳn < x) = Fn (x) → Φ(x), ∀x
σ
Die (standardisierte) ZG Ȳn ist asymptotisch N (0, 1)-verteilt(!)
Interpret.: Ȳn =
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Zahlenreihen (Buch, Kap. 3.1)
∞
Gegeben: ZF {an }n=0 , ⇒ n-te Partialsumme: sn :=
n
X
ak .
k=0
∞
Damit ist {sn }n=0 eine (Zahlen-)Folge ⇒
X
Definition: Eine Reihe
ak heißt konvergent, wenn die
zugehörige Folge der Partialsummen konvergiert.
Schreibweise:
∞
X
k=0
ak := lim sn
n→∞
(= lim
n→∞
n
X
ak )
k=0
Aufgabenstellungen: 1.) Berechnung der Reihensumme
2.) Nachweis der Konvergenz (!!)
(Achilles’ Schildkrötenparadoxon: Die Summe unendlich vieler
positiver Größen kann einen endlichen Wert besitzen(!))
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Beispiele für Konvergenz/Divergenz
Beispiel 1: Die harmonische Reihe ist divergent (bei naiver“
”
Summation auf Rechnern: scheinbar endliche Reihensumme):
Hn :=
n
X
k=1
k −1 ⇒ lim Hn = ∞,
n→∞
Genauer: Hn ∼ γ + ln n
Hn
(γ = 0.577.. - Euler-Mascheroni-Konstante ⇒ lim ln
n = 1)
aber: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent:
n
X
(−1)k+1 k −1 = ln 2
(Taylorentw. für ln(1 + x), x = 1)
k=1
Beispiel 2: Die geometrische Reihe (divergent für |q| ≥ 1)
sn =
n
X
k=0
∞
n+1
X
1
1
−
q
qk =
(q =
6 1) ⇒
qk =
(|q| < 1).
1−q
1−q
k=0
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Kriterien zur Konvergenzuntersuchung I
Notwendiges Konvergenzkriterium: Falls
so gilt lim ak = 0 für k → ∞.
P∞
k=0
ak konvergiert,
Vergleichskriterien: Seien 0 ≤ ak ≤ bk gegeben. Dann gilt:
1.) Konvergiert
∞
X
bk , so konvergiert auch
k=0
2.) Divergiert
∞
X
∞
X
ak .
k=0
ak , so divergiert auch
∞
X
bk .
k=0
k=0
(Konvergente Majorante und Divergente Minorante)
∞
∞
X
X
ak
3.) Falls lim
bk konv. ⇔
ak konv.
= c > 0, dann
k→∞ bk
k=0
k=0
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Kriterien zur Konvergenzuntersuchung II
Wurzel- und Quotientenkriterium: Wir betrachten den GW
p
|ak+1 |
a) g = lim |ak | und b) w = lim k |ak | (jeweils k → ∞).
A) Falls g < 1 (g > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe.
B) Falls w < 1 (w > 1), dann konvergiert (divergiert) Reihe.
∞
Leibnizkriterium: Es sei {an }n=0 eine monotone Nullfolge. Dann
P∞
konvergiert die Reihe k=0 (−1)k ak .
Integralkriterium: Es sei ak = f (k) mit einer monoton fallenden
Funktion f : R+ → R+ . Dann gilt
Z ∞
∞
X
ak konv. ⇔
f (x) dx konv. (uneigentl. Integral).
k=0
1
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Absolute und bedingte Konvergenz
Definition: Eine Reihe
X
ak heißt absolut konvergent, wenn auch
X
die Reihe der Beträge konvergiert:
|ak | < ∞. Anderenfalls heißt
die Reihe bedingt konvergent.
Bedingt konvergente Reihen haben ein sehr exotisches Verhalten“,
”
z.B.: Für jede bedingt konvergente Reihen existiert eine
Umordnung, die einen beliebigen Wert x ∈ R ∪ ±∞ als
Reihensumme besitzt.
Bemerkung: Additivität und Homogenität gilt generell bei
konvergenten Reihen, d.h.:
X
X
X
X
X
|
ak | < ∞, |
bk | < ∞ ⇒ λ
ak +
bk =
[λak + bk ]
aber: z.B. Multiplikation ist nur bei absolut konvergenten Reihen
(sinnvoll) möglich.
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Die harmonische“ Brücke zum Mond
”
(Eine (kleine) Herbstgeschichte)
Bau aus Ziegelsteinen. Forderung: Der Gesamtschwerpunkt der
Brücke befindet sich über dem Basisstein“.
”
Konstruktionsidee“ (n Steine gegeben): Inverse“
”
” −1
Anordnung(!), d.h.: 2-ter Stein: Überhang =(2n) , 3-ter Stein:
ÜH=(2[n − 1])−1 , .. j-ter Stein: ÜH=(2[n + 2 − j])−1 , .. (n − 1)-ter
Stein: ÜH=1/6, n-ter Stein: ÜH=1/4.
Erreichbarer Gesamtüberhang (= Brückenlänge)
n
X
1
1
Ug (n) =
= [Hn −1] ⇒ lim Ug (n) = ∞ (da lim Hn = ∞).
n→∞
n→∞
2j
2
j=2
Schwerpunkt: Sn = 1 −
Hn
< 1, ∀n (lim Sn = 1).
2n