Wiederholung WR IV - Stetige ZG

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik [email protected]
Wiederholung WR IV - Stetige ZG
Def. 13.15: Eine Zufallsgröße X : E → R, deren Vert.-fkt. F (x)
sich für alle x mittels einer Funktion f (x) ≥ 0 in der Form
Z x
f (ξ) dξ darstellen lässt, heißt stetige Zufallsgröße.
F (x) =
−∞
f (x) nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte von X.
Wichtige stetige Verteilg.: Normalverteilung (!!), Gleichvert.,
Exponentialverteilung (=Lebensdauerverteilung)
0
x<0
, p ≥ 0, b > 0
Weibullvertlg.: f (x) =
p
bpxp−1 e−bx x ≥ 0
Weitere Verteilungen (Statistik): Fisher-Vertlg., χ2 -Vertlg.
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Definition 13.16-13.18 (Erwartungswert, Momente einer stet.
ZG)
X sei eine stetige Zufallsgröße mit Dichte f (x), für die
R∞
k
|ξ|
p(ξ) dξ konvergiert (k = 1, 2, . . .). Dann nennt man
−∞
Z ∞
ξf (ξ) dξ den Erwartungswert (Mittelwert) von X,
E(X) =
−∞
∞
mk =
Z
ξ k f (ξ) dξ das k-te Moment von X und
µk =
Z
(ξ − EX)k f (ξ) dξ das zentrale k-te Moment von X
−∞
∞
−∞
Weitere Lageparameter: Ein Wert x = xp heißt p-Quantil, falls
Z xp
f (ξ)dξ, 0.5 − Quantil: Median
F (xp ) = p = P (X < xp ) =
−∞
Weitere Größen: Schiefe γ3 =
µ3
σ3 ,
Exzeß γ4 =
µ4
σ4
−3
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Zufallsvektoren (mehrdim. ZG)
Def. 13.21 (n-dimensionale Zufallsgröße, zufälliger Vektor)
Ein System von n reellen Funktionen X1 (e), X2 (e), . . . , Xn (e),
deren DB die Menge E der Elementarereignisse e ist, heißt
n-dimensionale Zufallsgröße, wenn das Urbild eines jeden
n-dimensionalen Intervalls der Form −∞ < xk < ak , (k = 1, 2, . . . , n)
ein zufälliges Ereignis A aus einem Ereignisfeld Z ist.
Def. 13.22 (Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors)
(X1 , X2 , . . . , Xn ) sei eine n-dimensionale Zufallsgröße. Die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ereignisse
{X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn } gemeinsam eintreten,
heißt Verteilungsfunktion F von (X1 , X2 , . . . , Xn ):
F (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {X1 < x1 , X2 < x2 , . . . , Xn < xn } .
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Beispiel diskreter[
Zufallsvektor - Polynomialverteilung:
X
Ak = E, Ai ∩ Aj = ∅, P (Ak ) = pk ,
pk = 1
Ereignissystem Ak ,
k
k
n unabhängige Versuche; Xk - Anzahl des Eintretens von Ak .
P (X1 = j1 , X2 = j2 , . . . , Xk = jk ) = pj1 j2 ...jk =
n!
pj11 . . . pjkk
j1 ! . . . j k !
Positive Wahrscheinlichkeit besitzen Urbilder aller Vektoren x mit
P
T
x = (j1 , j2 , . . . , jk ) mit i ji = n, 0 ≤ ji ≤ n, ji ganzzahlig
Stetige Zufallsvektoren, Verteilungsfunktion (2D)
ZG (X, Y ) heißt stetig, falls Dichte f (x, y) ≥ 0 existiert mit
Z x Z y
f (x, y)dxdy,
Monotonie:
F (x, y) =
−∞
−∞
F (x1 , y1 ) ≤ F (x2 , y2 ), falls x1 ≤ x2 , und y1 ≤ y2
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Skalierung: F (∞, ∞) =
Z
∞
−∞
Z
∞
f (x, y)dxdy = 1
−∞
Beispiel(e): Normalverteilung, Gleichverteilung in B ∈ R 2 ,
Erinnerung Beispiel 4 (1.VL WR): 2 Personen (P,Q) wollen sich zw.
8.00 und 9.00 Uhr treffen. X - Ankunftszeit P; Y - Ankunftszeit Q.
Zufallsvektor: Z = (X, Y ) ist gleichverteilt in [0, 1] × [0, 1]
Definition 13.25 (Randverteilung, Randdichte (n = 2)): Sei
(X, Y ) ein zufälliger Vektor mit Verteilungsfunktion F (x, y). Dann
nennt man (eindimensionale) Randverteilungen von (X, Y ):
P (X<x, Y <∞) = F (x, ∞)=FX (x), P (X<∞, Y <y) = F (∞, y)=FY (y)
Ist (X, Y ) ein stetiger Zufallsvektor mit Dichte p(x, y), so heißen
Z ∞
Z ∞
p(x, η) dη ,
pY (y) =
p(ξ, y) dξ
pX (x) =
−∞
−∞
(eindimensionale) Randdichten von (X, Y ).
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Momente von Zufallsvektoren (X, Y ) (n=2)
Erwartungswerte der Komponenten X bzw. Y
Z ∞
Z ∞ Z ∞
ξf (ξ, η) dξdη =
ξfX (ξ)dξ
E(X) =
−∞
∞
E(Y )
=
Z
−∞
−∞
∞
Z
−∞
∞
ηf (ξ, η) dξdη =
−∞
Z
ηfY (η)dη
−∞
Def. 13.28 Momente mpq und zentrale Momente µpq
Z ∞ Z ∞
mpq = E(X p Y q ) =
ξ p η q f (ξ, η) dξdη
µpq
−∞
p
−∞
= E(|X − E(X)| |Y − E(Y )|q )
Z ∞ Z ∞
|ξ − E(X)|p |η − E(Y )|q f (ξ, η) dξdη
=
−∞
−∞
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Kovarianzmatrix; Korrelationskoeffizienten
Def. 13.29 Ist (X1 , X2 , . . . , Xn ) ein n-dimensionaler Zufallsvektor,
so heißt kjl = E{[Xj − E(Xj )][Xl − E(Xl )]} = cov(Xj , Xl )
die Kovarianz der Zufallsgrößen Xj , Xl (1 ≤ j, k ≤ n). Die Matrix
(kjl ) heißt Kovarianzmatrix. Die mit den Standardabweichungen
normierten Kovarianzen nennt man Korrelationskoeffizienten
cov(Xj , Xl )
cov(Xj , Xl )
p
=
(1 ≤ j, l ≤ n).
ρjl = p
σj σl
D(Xj ) D(Xl )
Definition 13.30 (unkorrelierte Zufallsgrößen)
Sei (X, Y ) ein zufälliger Vektor. Die Zufallsgrößen X, Y heißen
unkorreliert, wenn ihr Korrelationskoeffizient ρ(X, Y )
verschwindet.